SKKN sử dụng cấp số cộng và cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của dãy số trong chương trình đại số và giải tích lớp 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT LÊ VĂN HƯU SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN, ĐỂ TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ, TRONG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11 Người thực hiện: Thiều Minh Tiến Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Tốn THANH HĨA, NĂM 2021 MỤC LỤC 2 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Dãy số toán dãy số sở quan trọng để học sinh nắm kiến thức chương trình giải tích THPT Dãy số có nhiều cách cho khác nhau, toán dãy số đa dạng Nhưng có lẽ biết cơng thức số hạng tổng quát dãy số, có “chiếc chìa khóa” quan trọng giúp ta hình dung tốt dãy số làm sở để giải tốt toán liên quan tới Đáng tiếc điều khơng dễ khơng phải làm Trong chương trình SGK việc tìm SHTQ dãy số đề cập tới, song dừng lại dạng đơn giản thường trực tiếp CSC hay CSN hay dạng yêu cầu chứng minh quy nạp (kết SHTQ rõ) Với hai mục đích quan trọng mơ hình trường chun: ngồi đào tạo kiến thức cho học sinh đáp ứng nhu cầu thi Đại học, phải trang bị cho học sinh kiến thức chuyên sâu môn chuyên để làm tiền đề cho em phát triển tốt sau này, xây dựng hệ thống chuyên đề bổ trợ kiến thức cho học sinh có chuyên đề đặc biệt để bồi dưỡng HSG Trong chuyên đề tìm cơng thức SHTQ dãy số có lẽ đáp ứng hai u cầu đó, ngồi dạng tốn dãy số, tìm SHTQ dãy số hay xuất thi HSG cấp (một ý riêng rẽ bước quan trọng vấn đề) Tuy nhiên tài liệu viết chuyên đề thường không đầy đủ, rời rạc gây cho học sinh có cảm giác “rất khó” Trên sở chuyên đề giảng dạy năm qua, mạnh dạn tập hợp dạng toán "Sử dụng cấp số cộng cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát dãy số chương trình đại số giải tích lớp 11” để góp phần giúp khắc phục khó khăn nêu Mong chia sẻ ý kiến với em học sinh dạy quý đồng nghiệp Nhiệm vụ đề tài Với lý mục đích nêu nhiệm vụ đề tài là: + Củng cố kiến thức dãy số, CSC, CSN, phương pháp chứng minh quy nạp chương trình lớp 11 + Xây dựng phương pháp giải cho lớp tập tìm cơng thức SHTQ dãy số dạng Đối tượng nghiên cứu Các dãy số đề cập chương trình phổ thơng dãy số đặc biệt khác Phạm vi nghiên cứu Nội dung, kiến thức dãy số dành cho đối tượng học sinh bậc THPT phong phú đa dạng Bài viết nhỏ đề cập đến vấn đề nhỏ là: Sử dụng cấp số cộng cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát dãy số chương trình đại số giải tích lớp 11 Phương pháp nghiên cứu Đề tài nghiên cứu sở phân tích tính chất dãy số, liên quan đến q trình tìm cơng thức SHTQ nó, dựa việc nghiên cứu sách giáo khoa nâng cao lớp 11 hành, sách tham khảo ôn luyện thi đại học, qua việc trực tiếp giảng dạy NỘI DUNG Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 1.1 Cơ sở thực tiễn Dãy số toán dãy số sở quan trọng để học sinh nắm kiến thức chương trình giải tích THPT sở để xây dựng nên khái niệm giới hạn, từ đến khái niệm khác giải tích Việc tìm công thức SHTQ vấn đề hay đặt nghiên cứu dãy số Vì đề tài cung cấp số phương pháp tìm cơng thức SHTQ dãy số, nhằm trang bị cho em học sinh kiến thức, phương pháp kỹ cần thiết chuẩn bị tốt cho kì thi Đại học Cụ thể đề tài đề cập đến phương pháp chung để giải toán dạng: + Ứng dụng phép quy nạp tìm cơng thức SHTQ dãy số + Ứng dụng CSC, CSN tìm cơng thức SHTQ số dãy CSC, CSN 1.2 Cơ sở khoa học     Phương pháp quy nạp toán học Dãy số khái niệm liên quan Cấp số cộng cấp số nhân Một số dãy số đặc biệt khác liên quan đến phương pháp sai phân Chương II: NỘI DUNG VẤN ĐỀ 2.1 Phương pháp chung * Bài tốn tổng qt Cho dãy số Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số * Phương pháp + Phương pháp quy nạp toán học + Đặt dãy số phụ quy dãy số biết cơng thức SHTQ + Xét phương trình liên quan đến tìm cơng thức SHTQ dãy số (một số tài liệu gọi tên phương trình đặc trưng dãy số) 2.2 Dạng toán cho vấn đề nghiên cứu -ứng dụng 2.2.1 Khái niệm dãy số a)Dãy số.Mỗi hàm số u xác định tập số nguyên dương ¥* gọi dãy số vơ hạn (gọi tắt dãy số) Kí hiệu u : ¥ * ® ¡ , n a u ( n) Người ta thường viết dãy số dạng khai triển u1 , u2 , u3 , , un , , un = u ( n ) viết tắt un số hạng thứ với ( un ) gọi u1 số hạng đầu, n SHTQ dãy số ( un ) b) Dãy số tăng, dãy số giảm.Dãy số un+1 > un ( un ) gọi dãy số tăng ta cú n ẻ Ơ * un+1 < un vi Chú ý Không phải dãy số tăng giảm Chẳng hạn, dãy số ( un ) Dãy số gọi dãy số giảm ta có n ẻ Ơ * vi un = ( - 3) n tức dãy - 3,9, - 27,81, không tăng không giảm ( un ) c)Dãy số bị chặn Dãy số M gọi bị chặn tồn số cho un £ M , với Dãy số ( un ) n Î ¥* un ³ m, với Dãy số ( un ) m cho gọi bị chn di nu tn ti mt s n ẻ Ơ* gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn số m, M cho m £ un £ M , vi mi n ẻ Ơ* 2.2.2 Khỏi niệm CSC, CSN CSC Số hạng tổng quát Tính chất Công thức tổng CSN un = un −1 + d với n ∈¥ * u +u un = n+1 n −1 ( u + u ) n Sn = n  ( n − 1) d  n = u1 +    un = un −1 q với n ∈¥ * un = un +1.un −1 Sn = u1.( − q n ) 1− q với q ≠1 Sn = u1.n với q =1 2.3 Bài tốn tìm SHTQ dãy số dựa vào cấp số cộng số nhân DẠNG 1.Tìm SHTQ dạng đa thức biết số hạng Nhận xét Với 10 số hạng đầu này, để tìm quy luật biểu diễn khó Với cách cho ta thường làm phương pháp sau,đặt ∆uk = uk +1 − uk ∆ 2uk = ∆uk +1 − ∆uk ∆ 3uk = ∆ 2uk +1 − ∆ 2uk ∆uk , ∆ 2uk , ∆ 3uk , đến hàng có giá trị khơng Ta lập bảng giá trị un đa thức bậc 1,2,3, ta tìm đa đổi dừng lại ,sau kết luận thức ( un ) có dạng khai triển sau Ví dụ 1.1.Cho dãy số 1,-1,-1,1,5,11,19,29,41,55, Hãy tìm SHTQ dãy số Lời giải Bảng giá trị ban đầu - -1 1 -2 2 Ta thấy hàng 2 9 1 2 ∆ uk không đổi nên dãy số dãy giá trị đa thức bậc hai un = an + bn + c, ( a ≠ ) ( *) Trong n số thứ tự số hạng dãy Cho n=1,2,3 thay vào công thức (*) ta hệ phương trình sau  a + b + c =1  4a + 2b + c = −1  9a + 3b + c = −1  ta tính a = 1, b = 5, un = 5n + 5n − c = −5 Vậy số hạng tổng quát Ví dụ 1.2 Cho dãy ( un ) có số dạng khai triển sau −5,-3,11,43,99,185,307,471, Hãy tìm SHTQ dãy số Lời giải :Bảng giá trị ban đầu uk-5 ∆uk -3 ∆ 2u k 11 43 14 18 12 ∆ 3uk Ta thấy hàng 32 99 56 24 6 185 86 30 307 122 36 471 164 42 ∆ 3uk không đổi nên dãy số dãy giá trị đa thức bậc ba un = an + bn + cn + d , ( a ≠ ) (**) Cho n=1,2,3,4 thay vào cơng thức (**) ta hệ phương trình  a + b + c + d = −5  8a + 4b + 2c + d = −3    27a + 9b + 3c + d = 11 64a + 16b + 4c + d = 43 Ta tính a = 1, Vậy SHTQ dãy b = 0, c = −5 , d = −1 un = n − 5n − Bài tập tương tự Với dãy số sau đây,hãy tìm SHTQ dãy số 1)8,14,20,26,32, 2)1, -2, -2,1,7,16,28,43,61, 3)1,6,17,34,57,86,121, Tiếp theo tìm hiểu tiếp DẠNG Ở dạng cách tìm SHTQ dãy số dựa vào biểu diễn số hạng dãy số để đưa CSC nhân.Từ ta tìm SHTQ tương ứng DẠNG Dạng sở Cho dãy ( un ) u1 = a, un+1 = qun + d , n ≥ , biết q, d số thực với Lời giải q = Trường hợp 1.Nếu u1 = a, un = d ,với Nên q = Trường hợp 2.Nếu Suy ( un ) Do un = a + ( n − 1) d ( un ) n ∈ Ν* , n ≥ u1 = a , un+1 = un + d , n ≥ CSC với số hạng đầu d =0 Trường hợp 3.Nếu Suy u1 = a , un +1 = d , n ≥ u1 = a cơng sai u1 = a , un +1 = qun , n ≥ CSN với số hạng đầu u1 = a cơng bội Do un = a.qn−1 Trường hợp 4.Nếu un = + +1 + Khi q ≠ 0, q ≠ 1, d ≠ Đặt dãy d 1− q Thay công thức cho vào CTTH ta có  d d  = q  + ÷+ d 1− q − q   Suy ( ) ( ) (***) ( ***) d CSN với số hạng đầu 10 +1 = qvn , n ≥ q v1 = u1 − d d =a− 1− q − q công bội q Nên  d  n −1 =  a − q ,n ≥1 1− q ÷   Vậy u n = +  d d  n−1 d = a − ÷q + 1− q  1− q  1− q ( un ) Ví dụ 1.3.Tìm cơng thức SHTQ dãy biết 1) u1 = −1, un+1 = un + 3, n ≥ [ ĐS : un = 3n − 4] 2) u1 = 1, un +1 = 2un + 3, n ≥  ĐS : un = 2n+1 − 3 Lời giải ( un ) un +1 = un + 3, n ≥ nên 1) Vì u1 = −1 cơng CSC với số hạng đầu d = sai Do un = u1 + ( n − 1) d = −1 + ( n − 1) = 3n − 2) Đặt dãy ( ) cho un = + d = − 1− q Thay vào CTTH ta vn+1 − = ( − 3) + ⇔ vn+1 = 2vn Nên ( ) CSN với số hạng đầu q = Suy v1 = u1 + = + = công bội Vậy un = − = 2n+1 − 11 = 4.2n−1 = 2n+1 Bài tập tương tự.Tìm cơng thức SHTQ dãy 1) u1 = 1, un +1 = un + 7, n ≥ 2) u1 = 3, un +1 = 2un , n ≥ 3) u1 = −1, un +1 = 2un + 1, n ≥ 4) u1 = , un +1 = 2un − , n ≥ 4 5) u1 = 1, un+1 = 2un − , n ≥ ( un ) biết Lời bình.Dạng gọi dạng sở Với trường hợp 1,2 dãy số trở thành dãy đặc biệt là: dãy số hằng,CSC CSN Các dãy số ta tìm cơng thức số hạng tổng quát Trên sở dãy ,để giải trường hợp phương pháp đặt dãy số ( ) thể đưa dãy số ( ) mà Vấn đề đặt quan hệ đưa dãy ( un ) biểu thức để có liên hệ với dãy số ( ) dãy số CSN ( un ) ( ) biểu thức ( ) thành dãy số CSC,CSN trường hợp 4.Qua q trình tìm tịi ,tác giả tìm số dạng sau 12 LOẠI u1 = a , un +1 = qun + cn + d , n ≥ 2.1: q, c, d ∈ R với q, c ≠ Lời giải q = Trường hợp1.Nếu u1 = a un+1 = un + cn + d Cách 1.Ta có u1 = a u2 = u1 + c.1 + d u3 = u2 + c.2 + d u4 = u3 + c.3 + d un = un−1 + c.( n − 1) + d Cộng vế với vế hệ thức trên, ta un = a + c.1 + c.2 + c.3 + + c.( n − 1) + ( n − 1) d = a + cn ( n − 1) + ( n − 1) d Cách Dùng công thức DẠNG (Viết dãy số theo dạng khai triển) q ≠ đặt dãy Trường hợp 2.Nếu ( ) cho un = + cn , 1− q thay vào CTTH ta c ( n + 1)  cn  = q  + ÷+ cn + d 1− q 1− q   c ⇒ vn+1 = qvn + d − 1− q vn+1 + Từ ta có dãy Khi dãy ( ) với v1 = u1 − ( ) lại có DẠNG 13 c c , +1 = qvn + d − , n ≥1 1− q 1− q ( un ) Ví dụ 1.4.Tìm SHTQ dãy biết, 1) u1 = 5, un+1 = un + 3n − 2, n ≥ 2) u1 = 11, un +1 = 10un + − n, n ≥ 3) u1 = 1, un+1 = 3un − 6n + 1, n ≥ Lời giải 1) u1 = 5, un+1 = un + 3n − 2, n ≥ Cách 1.Ta có u1 = u2 = u1 + 3.1 − u3 = u2 + 3.2 − u4 = u3 + 3.3 − u5 = u4 + 3.4 − un = un −1 + 3.( n − 1) − Cộng vế với vế hệ thức trên, ta un = + 3.1 + 3.2 + 3.3 + + ( n − 1) − ( n − 1) = + un = hay 3n ( n − 1) − ( n − 1) 3n − 7n + 14 ( un ) Cách 2.Ta có dạng khai triển dãy số 5,6,10,17,27,40,56,75, uk5 ∆u k ∆ 2u k 10 17 27 10 40 13 56 16 75 19 Từ bảng ta suy un = an + bn + c (*) Thay n = 1, n = 2, n = vào ( *) ta 14 a + b + c = −7  4a + 2b + c = ⇔ a = , b = , c = 2 9a + 3b + c = 10  3n − 7n + 14 un = n − n + = 2 Vậy 2) u1 = 11, un +1 = 10un + − n, n ≥ ( ) Đặt dãy cho un = + n, n ≥ Thay vào CTTH dãy ( un ) ta vn+1 + n + = 10 ( + n ) + − 9n ⇒ vn+1 = 10vn ( ) Nên CSN với số hạng đầu v1 = u1 − = 10 công bội q = 10 Do = 10.10n−1 = 10n Vậy un = 10n + n 3) u1 = 1, un+1 = 3un − 6n + 1, n ≥ Đặt dãy ( un ) ( ) cho un = + 3n, n ≥ Thay vào CTTH dãy ta vn+1 + ( n + 1) = ( + 3n ) − 6n + ⇒ vn+1 = 3vn − Nên ( ) xác định v1 = u1 − = −2, vn+1 = 3vn − 2, n ≥ Đặt dãy ( ) ( yn ) cho = yn + 1, n ≥ Thay vào CTTH dãy ta yn+1 + = ( yn + 1) − ⇒ yn+1 = yn Suy hạng đầu y1 = v1 − = −2 − = −3 công bội 15 ( yn ) CSN với số q=3 yn = −3.3n−1 = −3n ⇒ = −3n + Do un = −3n + + 3n Vậy ( un ) Bài tập tương tự.Tìm cơng thức SHTQ dãy biết, 1)u1 = 99, un+1 = un − 2n − 1, n ≥ 2)u1 = 1, un+1 = un + n3 , n ≥ 3)u1 = 1, un+1 = un + 2n , n ≥ LOẠI 2.2 u1 = a, un+1 = qun + rc n , n ≥ ,với q ≠ Lời giải u1 = a, un+1 = un + rc n ta làm q = Trường hợp 1.Nếu phương pháp sau, u1 = a u2 = u1 + rc1 u3 = u2 + rc u4 = u3 + rc3 un = un−1 + rc n−1 Cộng vế với vế hệ thức trên, ta un = a + ( c + c + c + + c Trường hợp 2.Nếu ( ) n −1 ) r = a + c ( c n−1 − 1) r c −1 u1 = a, un+1 = qun + rc n nên đặt dãy c ≠ q cho rc n un = + c−q Thay vào CTTH ta 16 +1 +  rc n+1 rc n  n = q  + ÷+ rc ⇒ +1 = qvn c−q c−q  ( ) CSN Suy với số hạng đầu ( ) Khi  rc  n−1 rc n  rc  n−1 rc n = a − = a − ÷q ⇒ un = + ÷q + c−q c−q  c−q c−q  hợp 3.Nếu un = q n v n ,thay u1 = a, un+1 = qun + rq n ,đặt c = q vào CTTH q n+1vn+1 = q ( q n ) + rq n ⇒ +1 = + ( ) Suy d= rc rc =a− c−q c − q công q bội Trường v1 = u1 − CSC ( un ) dãy ta dãy r q với số hạng đầu v1 = u1 a = q q công sai r q n Ví dụ 1.5.Cho dãy ( un ) 1 u1 = 1, un+1 = un +  ÷   ,với biết Xác định SHTQ dãy số Lời giải Cách Ta có 17 n ∈¥ * u1 = u2 = u1 + 2 1 u3 = u2 +  ÷ 2 1 u4 = u3 +  ÷ 2 n −1 1 un = un−1 +  ÷ 2 Cộng vế với vế ta n −1    −  ÷  ÷ n −1 n −1 ÷    1 1 1  un = + +  ÷ + +  ÷ = + = 2− ÷ 2 2  2 −1 n ( ) Cách 2.Đặt dãy số 1 n  ÷ 2 1  un = + = − 2. ÷ 2 − cho Thay vào CTTH ta n +1 1 +1 −  ÷ 2 Suy dãy n n 1 1 = − 2. ÷ +  ÷ ⇔ vn+1 = 2 2 ( ) xác định  v1 = u1 + = + = ⇒ = v1 = , n ≥   vn+1 = n Vậy n −1 1 1 un = −  ÷ = −  ÷ 2 2 Ví dụ 1.6 Viết cơng thức SHTQ dãy số 18 ( un ) với 1)u1 = 8, un+1 = 2un + 3n , n ≥ 2)u1 = 1, un+1 = 5un − 3n , n ≥ 3)u1 = 101, un+1 = 7un + n+1 , n ≥ 4)u1 = 1, un+1 = 2un + 6.2n , n ≥ Lời giải 1)u1 = 8, un+1 = 2un + 3n , n ≥ un = + 3n , n ≥ thay vào CTTH dãy Đặt ( un ) ta vn+1 + 3n+1 = ( + 3n ) + 3n ⇔ vn+1 = 2vn Suy ( ) CSN có q =2 v1 = u1 − = công bội Vậy = 5.2n−1 ⇒ un = 5.2n−1 + 3n 2)u1 = 1, un+1 = 5un − 3n , n ≥ 3n un = + ,n ≥1 thay vào CTTH dãy Đặt ( un ) ta  3n+1 3n  n vn+1 + =  + ÷− ⇔ vn+1 = 5vn 2  Suy ( ) CSN có v1 = u1 − = − 2 công bội Vậy 1 = − 5n−1 ⇒ un = ( 3n − 5n−1 ) 2 3)u1 = 101, un+1 = 7un + n+1 , n ≥ Đặt un = 7n.vn , n ≥ thay vào CTTH dãy n+1.vn+1 = ( n.vn ) + n+1 ⇔ vn+1 = + 19 ( un ) ta q = v1 = ( ) CSC có Suy u1 101 = 7 công sai d =1 Vậy = v1 + ( n − 1) d = 101 94  94  + n − = n + ⇒ un = n  n + ÷ = n.7 n + 94.7 n−1 7 7  4)u1 = 1, un+1 = 2un + 6.2n , n ≥ un = 2n.vn , n ≥ thay vào CTTH dãy Đặt ( un ) ta 2n+1.vn+1 = ( 2n.vn ) + 6.2n ⇔ vn+1 = + ( ) Suy CSC có = v1 + ( n − 1) d = Nên v1 = u1 = 2 công sai d = + ( n − 1) = 3n − 2 Vậy 5  un = 2n  3n − ÷ = 3n.2n − 5.2n−1 2  u1 = a, un+1 = LOẠI 2.3 cun , n ≥ q + dun Lời giải ( ) Đặt dãy số un = cho thay vào CTTH dãy c 1 c q d = ⇔ = ⇔ vn+1 = + vn+1 q + d +1 qvn + d c c Nên ( ) , v1 = q d , vn+1 = + , n ≥ a c c Quay DẠNG 20 ( un ) ta u1 = a, un+1 = LOẠI 2.4 b + cun , n ≥1 p + run ( un ) Ví dụ 1.7.Tìm cơng thức SHTQ dãy 1)u1 = 1, un+1 = sau biết, un , n ≥ 1 + un 2)u1 = 2, un+1 = un , n ≥1 + un Lời giải 1)u1 = 1, un+1 = un = Đặt dãy un , n ≥ 1 + un cho un = + α ,thay vào CTTH ( un ) ta 1 = ⇒ = ⇒ vn+1 = + vn+1 + vn+1 + vn v1 = = 1, u1 công sai Dãy ( ) Vậy = v1 + ( n − 1) d = + n − = n ⇒ un = n CSC có số hạng đầu 2)u1 = 2, un+1 = Đặt dãy ( ) d = un , n ≥1 + un un = cho , thay vào CTTH 21 ( un ) ta 1 = ⇒ = ⇒ vn+1 = 2vn + vn+1 + vn+1 2vn + vn = yn − ,thay vào CTTH Đặt ( ) ta yn+1 − = ( yn − 1) + ⇒ yn+1 = yn ⇒ ( yn ) CSN với số hạng đầu q = bội Khi yn = 2n−1 = 3.2n−2 ⇒ = yn − = 3.2n−2 − Vậy un = 3.2n −2 − 22 y1 = v1 + = +1 = u1 công KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Qua tơi trình bày, hy vọng phần giúp cho em học sinh nắm vững tốn tìm cơng thức SHTQ dãy số, hệ thống hóa tốn loại, có phương pháp đa dạng tiếp cận loại tốn này, từ giúp em học tập tốt Như biết, thị trường có nhiều tài liệu tham khảo Tuy nhiên, thân em học sinh khó lựa chọn cho tài liệu phù hợp, mang tính hệ thống hóa vấn đề Vì qua ý kiến nhỏ bé cá nhân tơi đúc kết qua q trình nghiên cứu trình giảng dạy thực tiễn, hy vọng phần giúp em học sinh có thêm tài liệu tham khảo vấn đề nêu Qua tài liệu này, tơi mong giúp em xâu chuỗi kiến thức, thấy ứng dụng đặc sắc kiến thức dường đơn giản nhất, tiếp cận tự nghiên cứu, tự sáng tạo học tập mơn Tốn Các vấn đề trình bày tài liệu ý kiến riêng cá nhân thân tôi, nên không tránh khỏi sai sót hạn chế Vì tơi mong góp ý chân thành quý báu đồng nghiệp,các em học sinh quan tâm vấn đề này, để viết hoàn thiện Kiến nghị Hằng năm, sáng kiến kinh nghiệm có ứng dụng thực tiễn, thiết thực phục vụ cho nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục đào tạo, sáng 23 kiến đổi phương pháp giảng dạy cần tập hợp kỷ yếu khoa học Sở GD& ĐT tạo điều kiện cho giáo viên, học sinh phụ huynh tham khảo TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Tài Chung (2014), Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên khảo dãy số, NXB Quốc Gia Hà Nội [2] Phạm Văn Ga (2016), Rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh khá, giỏi thông qua dạy học giải tập số dạng phương trình sai phân Nxb Đại học Quốc Gia Hà Nội [3] Nguyễn Thành Giáp, Phạm Văn Quốc (2003), Một số Bài toán dãy số, Nxb Đà Nẵng [4] Nguyễn Văn Mậu (2008), Chuyên đề chọn lọc dãy số ứng dụng, Nxb Giáo dục [5] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thị Nhung(2003), Phương pháp lượng giác xác định dãy số tính giới hạn, Nxb Sư phạm Hà Nội [6] Lê Đình Thịnh (2011), Bài tốn phương trình sai phân, Nxb Giáo dục [7] Lê Đình Thịnh (Chủ biên ), Đặng Đình Châu,Lê Đình Định, Phan Văn Hạp (2001), Phương trình sai phân số ứng dụng, Nxb Giáo dục [8] Lê Đình Thịnh, Lê Đình Định (2005), Các phương pháp sai phân, Nxb Đại học Quốc Gia Hà Nội 24 XÁC NHẬN CỦA Thanh Hóa, ngày 15 tháng 04 năm 2021 THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Lê Đình Sinh Thiều Minh Tiến 25 ... dạy năm qua, tơi mạnh dạn tập hợp dạng tốn "Sử dụng cấp số cộng cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát dãy số chương trình đại số giải tích lớp 11? ?? để góp phần giúp khắc phục khó khăn nêu Mong... cộng cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát dãy số chương trình đại số giải tích lớp 11 Phương pháp nghiên cứu Đề tài nghiên cứu sở phân tích tính chất dãy số, liên quan đến q trình tìm cơng thức... tài Dãy số toán dãy số sở quan trọng để học sinh nắm kiến thức chương trình giải tích THPT Dãy số có nhiều cách cho khác nhau, tốn dãy số đa dạng Nhưng có lẽ biết công thức số hạng tổng quát dãy