SKKN sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của một số dãy số truy hồi có quy luật đặc biệt

1 MỤC LỤC Mở đầu…………………………………………………………… 1.1 Lý chọn đề tài………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu……………………………………………… 1.3 Đối tượng ngiên cứu……………………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu………………………………………… 3 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm………………………………… 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm………………………… 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm… 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề………………… 2.4 3.1 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường……………………… 19 Kết luận, kiến nghị……………………………………………… 20 Kết luận…………………………………………………………… 20 3.2 Kiến nghị………………………………………………………… 3.3 Danh mục đề tài SKKN mà tác giả hội đồng SKKN 20 Ngành GD huyện, tỉnh cấp cao đánh giá đạt từ loại C trở lên…………………………………………………………… 20 1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài: Trong hai năm trở lại đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn bậc THPT tỉnh Thanh hóa ln có câu hỏi dãy số với mức độ khó so với tập sách giáo khoa hành khơng có tập sách giáo khoa tương tự làm cho nhiều học sinh khó khăn giải vấn đề Cụ thể: Câu III ý (Đề thi HSG mơn Tốn THPT tỉnh Thanh hóa năm 2018): cho un u1 2, u2 dãy số (u ) u 5u 6u , n lim Tính giới hạn n Câu III ý (Đề thi HSG mơn Tốn THPT tỉnh Thanh hóa năm 2019): cho u1 n1 4u n 3.4 n , n * .Tìm số hạng tổng qt u n tính u n xác định sau n n1 n dãy số xác định lim n 3n un giới hạn Bên cạnh vấn đề dãy số hai câu đề học sinh giỏi bậc THPT mơn tốn tỉnh Thanh hóa hai năm 2018, 2019 không xuất đề thi THPT QG năm trước nên nhiều học sinh không hứng thú với nội dung Tài liệu tham khảo dãy số có chủ yếu viết cho học sinh theo chương trình THPT chun nên rộng, có vượt ngồi sở lý thuyết sách giáo Đại số giải tích 11 chương trình bản, học sinh có nhu cầu tìm hiểu sâu thêm dãy số học sinh ôn thi học sinh giỏi khó tìm cho tài liệu để đọc phù hợp Mục tiêu tổ mơn tốn trường THPT Thường Xuân phải xây dựng chuyên đề dãy số phù hợp với cấu trúc đề thi tỉnh nhà bám sát chương trình sách giáo khoa Đại số giải tích 11 chương trình Hiện chưa có nhiều tài liệu nghiên sâu vấn đề mà lại bám sát chương trình sách giáo khoa Đại số giải tích 11 chương trình bản, đồng nghiệp nhóm chun mơn chưa có nhiều kinh nghiệm để giải quyết, khắc phục Do vậy, lựa chọn đề tài “Sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát số dãy số truy hồi có quy luật đặc biệt” cấp thiết 1.2 Mục đích nghiên cứu: Những vấn đề tơi trình bày sáng kiến với mục đích sau Truyền đạt đến học sinh nhìn tồn diện dãy số theo quan điểm học sinh trung học phổ thông không chuyên Hệ thống phân tích tập dãy số cách logic từ dễ đến khó Qua việc luyện tập toán dãy số ta thấy phép tuyệt đẹp, phép quy nạp từ vấn đề đơn giản đến phức tạp tổng quát phép biến đổi điển hình đại số giải tích Hướng dẫn học sinh tìm lời giải cách tự nhiên cho toán dãy số chánh gượng ép máy móc 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Để hồn thành viết với đề tài nói phải nghiên cứu dãy số tính chất cấp số cộng, cấp số nhân Để qua hình thành cách tìm số hạng tổng qt số dãy số thường gặp dựa vào sử dụng cấp số cộng cấp số nhân 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp ghiên cứu xây dựng sở lý thuyết cho việc tìm số hạng tổng quát cho số dãy số thường gặp cách sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm: 2.1.1.Cấp số cộng u u * Dãy số n cấp số cộng công sai cấp số cộng u * Nếu dãy số n u * Nếu dãy số n u d n cấp số cộng u u u n n d cấp số cộng tổng S n u1 u u n 2.1.2.Cấp số nhân với n * , d số khơng đổi gọi n u n u1 u q un * cấp số nhân n n với n , * Dãy số khơng đổi gọi công bội cấp số nhân * Nếu dãy số un cấp số nhân u n u qn 1 u n * Nếu dãy số cấp số nhân vơi q 1, q tổng n S n u1 u u n u1 qn q số 1q 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Để thực đề tài tơi thực khảo sát thực tế sau: Trong năm học 2018– 2019 sau học sinh lớp 11 học hết chương II tức nghiên cứu đầy đủ dãy số theo chương trình sách giáo khoa Đại số giải tích 11 chương trình Tơi cho hai nhóm học sinh, nhóm 05 học sinh có lực học tương đương nhóm nhóm học sinh lớp 11B1 trường THPT Thường Xuân làm kiểm tra khảo sát 45 phút tiết buổi sáng thứ tuần học thứ 21 Nhóm Tên học sinh kiểm tra / điểm TB mơn tốn học kỳ 1( 2018-2019) Phong (8,3) C.Anh (7,5) Dũng (7,6) Sơn (6,5) H.Phương (5,8) Giang (8,2) Q Hoa (7,6) T.Anh (7,7) Q.Chi(6,6) Trang (5,9) (Bảng điểm học lực mơn tốn học sinh học kỳ năm học 2018-2019) Với đề kiểm tra sau: Câu (3 điểm) Tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy số xác định bởi: u u a) b) u n u n 2; n u n 3u n ; n Câu (4 điểm) Tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy số a) u u n; n un un 3n ; n Câu (3 điểm) Tìm số hạng tổng quát dãy số a) u 1 un 2un xác định bởi: n b) un un u b) 5n; n u xác định bởi: n u 1 un 2un (n 1).3n ; n Kết thu với mức điểm được làm tròn (theo số học sinh) Điểm Lớp Nhóm (số hs) Nhóm (số hs) 0–3 3,5–5 1 5,5 – 7,0 7,5 – 8,5 9-10 0 0 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề: Trước hết ta giải số toán để khai thác định nghĩa tính chất cấp số cộng cấp số nhân u1 n Bài Cho dãy số u u u 2;n xác định công thức: n1 n Hãy tìm số hạng tổng quát dãy số Giải Từ công thức truy hồi cho suy u u d nên số hạng tổng quát n Kết luận u u n cấp số cộng có n 1d u n n Vậy u n công sai n u1 u Để xác định số hạng tổng quát dãy số u Ta làm sau thứ u a u n n b u công sai b nên n n u thỏa mãn nên dãy số a ( n 1) b u n a u b; n n cấp số cộng với số hạng n u u Bài Cho dãy số u n1 xác định công thức: n u n ; n Hãy tìm số hạng tổng quát dãy số Giải un u Từ công thức truy hồi cho suy cấp số nhân có cơng bội q n1 nên số hạng tổng quát un u1 q un n1 Vậy un n Kết luận Để xác định số hạng tổng quát dãy số u n n u1 a ;n n u bu cấp số cộng với số hạng thứ u a công bội b nên thỏa mãn Ta thấy dãy số un n1 un a.b n u Bài Cho dãy số u n có u u n Tìm số hạng tổng quát Giải u n n, n n dãy số Theo đề suy u1 u u1 u3 u2 u n u n n Cộng n đẳng thức theo vế suy u n 1 n nn n Trong Vậy: un 1 n ( n 1) n n u u Bài Cho dãy số n xác định công thức: số hạng tổng quát dãy số u u 3n ; n n1 n Hãy tìm Giải Theo đề suy u1 u u1 31 u3 u2 32 u n un 3n Cộng n đẳng thức theo vế suy u n 31 31 u n 12 n 3n 3n Vậy số hạng tổng quát dãy số Bài Cho dãy số u un 3n u1 u n 3n 2.5 n ; n u n xác định cơng thức: n Hãy tìm số hạng tổng quát dãy số Giải Theo đề suy u1 u u1 3.1 2.51 u3 u2 3.2 2.5 u n u n n 1 2.5 n Cộng n đẳng thức theo vế suy u n 3 n 1n 51 52 53 n n n Trong 1n 2 n Và tổng a A 5 5q tổng n số hạng đầu cấp số nhân có số hạng thứ A S un , công bội a qn A n1 q n 1n n 2 5n n 5 5n 3n 5n n u n Vậy số hạng tổng quát dãy số 3n 5n n Trên sở cấp số cộng cấp số nhân cách tư tương tự ta giải số toán dãy số phức tạp mà thân khơng phải cấp số cộng cấp số nhân u1 n 6;n Bài Cho dãy số u u 5u xác định cơng thức: n n1 Hãy tìm số hạng tổng quát dãy số Giải u n a u n au n 5u n a Ta xét 4a a Kết hợp với đề un 5u n Vậy Đặt n Suy dãy số v v q n v n un v 5u n1 3v u v u n 2 2 5vn v n cấp số nhân có n q , cơng bội n v1 7.5 n u v n n n 2 u n Vậy số hạng tổng quát dãy số cho n 2 Kết luận: Theo cách giải toán ta tìm số hạng tổng qt u f n ;n u n qu n ,q f n số cho, đa thức theo biến số n q dãy số cho bới cơng thức truy hồi có dạng: Trong * Nếu * Nếu q ta tốn đơn giản trình bày phần I ta phải tìm đa thức phương trình u qu n1 f gn có bậc bậc n u n g n qu n1 Khi việc tìm u n trở thành tìm v g f n cho n n cấp số nhân n dãy số Bài Tìm số hạng tổng quát dãy số un u1 u u n1 6n cho công thức truy hồi 2n; n a)n u 1 b) u n 3u n c) u1 u 9u n n 2; n 8n 14 n 1; n n1 Giải a) Theo đề suy u1 u u1 6.2 2.2 u3 u2 6.32 2.3 u u3 6.4 2.4 … u n u n 6.n 2.n Cộng n đẳng thức theo vế ta u n 2 32 n u 12 22 n u n 2 n n 32 n n 2 n 2n n n 2n3 2n2 Vậy số hạng tổng quát dãy số cho u n n n f n n đa thức bậc ẩn n nên ta xét đa thức gn an b un g n u n g n cho u n a n b u n an b u n 3u n b) Từ đề suy an 2b a u 3u n Mà n n an 2b a n nên ta phải có 2a a 2b a b Do u n n u n v u 2n v Đặt n n Suy u1 3vn v , cơng bội q cấp số nhân có v1 q n 2n 3.3n 3n mà un Vậy số hạng tổng quát dãy số cho f n 2n un u 3n n 3n n n 8n 14 n c) Từ đề suy2 đa thức bậcn hai ẩn n nên ta xét đa n1 c u g n 9u g n a bn cho thức g n n n u a n b n c u an bn c n1 9u n an 8b a n 8c b a Mà nu2 n14 n1 nên ta phải có 8an 8b a n 8c b a 8n u 9u n n 14 n 8a 8b 2a n 8c b a 8n 14n 8b 2a 14 8c b a a 1; b 2;c suy g n n un1 Do v u Đặt n n n2 2n 1 2n n 2n 2 2n u n n 2 17 v u v 9v 11 n 2 n 17 q , công bội v v Suy nlà cấp số nhân có 17 17 n v1 q n n Mà un n 2n un 2 n 17 32 n n 2 2n u 17 n 2n n 2 Vậy số hạng tổng quát dãy số cho n Bài tập tương tự: Tìm số hạng tổng quát dãy số un cho công thức truy hồi u1 a) u u n1 4n n 6n; n n u b) u n 5u n c) u1 u n 2u n 8n 3; n 3n 4n 1;n 1 Bài Tìm số hạng tổng quát dãy số u1 un un1 u n cho bới công thức truy hồi n n ; n Giải Cách Theo đề suy u1 u2 u3 u4 … un u1 u2 u3 2 3 4 un1 n n Cộng n đẳng thức theo vế ta u n 2.2 3.33 n.3 n 2 n A 2 2 n Trong tổng tổng q a 224 tử thứ , công bội n A a q1 n A 4.1 q1 n1 số hạng đầu cấp số nhân có phần 2n Xét B 2.2 3.2 4.2 n.2 n B 2.2 3.2 4.2 n.2n Trừ theo vế hai đẳng thức suy B B 2.2 2 n n.2 n B A 2 n n n n n B n n un B 3A n 12n1 32n1 4n n Vậy số hạng tổng quát dãy số n Cách Xét hàm số g n an b cho un u u n n gn un1 gn n1 an b n u a n1 u a n b n Mà u n u n n 13 n n n b n 2n nên ta phải có un1 a a n b n a b g nn Do đo u 13 a b n n 2n1 u n n n n1 u n n n v1 u1 22 13 v v nn Suy cấp số nhân có v 13 , công bội q Đặt v1 q n 13 mà u nn n u n 13 n n Vậy số hạng tổng u quát dãy số Chú ý: Dãy số n thỏa mãn u n n 13 n 10 a 2; b ; c gn 6 vn v , công bội q v v q n n n Suy cấp số nhân có n n2 Do u n g n u n g n gn v1 u1 g 1 vu Đặt n3 u n g nu n n 5n mà 3 u n n3 n2 n Vậy số hạng tổng quát dãy số Chú ý: tập giải theo cách số 7a Bài 10 Tìm số hạng tổng quát dãy số un cho công thức truy hồi u1 2u un Giải Theo đề q 2, g n n n2 n2 n3 3n 1; n f n , bậc suy bậc c a b un g n u cho: Xét g n n n n u n a n bn c u an bn c u n 2u n an b 2a n c a n g Mà u 2u n n n a b 2a 3n nên ta phải có 3b a c gn n n un g n u n g n v u n g n v1 u1 g v 2v n n Đặt n v q2 v v1 q n Do cấp số nhân có cơng bội g n n n n n un nên n Vậy số hạng tổng quát dãy số cho Bài 11 Tìm số hạng tổng quát dãy số u1 u n u n n 3n ; n n a gn u n c 2.2 n 2n n n n u n cho công thức truy hồi Giải 12 q 1,3 f n Theo đề , bậc Xét hàm số g n an bn c gn suy bậc cho u n g n 3n u n g n 3n n n1 u an bn c uan bn c n1 n1 u Mà n u u u n1 2a 2b 6a an 2b 6a n2 n 3n n 2c 3b 3a n nên ta phải có n ; a b 2 ;c gn1 n23 n2 2 u n g n 3n u n g n 3n Đặt u n g n 3n v1 u1 g 31 vn Do cấp số nhân có cơng bội q gn un v v2 n n n un nên gn3 n 2 n n n un n n Vậy số hạng tổng quát dãy số cho 2 Bài 12 Tìm số hạng tổng quát dãy số un cho công thức truy hồi u 2u n un1 Giải n 3n ;n f n q 2,3;q Theo đề , bậc gn a b un g Xét hàm số cho n suy bậc u an n1 un1 2u n b 3n 2u n an n 3n n 3n n Đặt u n g n v n 3.2 n u n g n 3n an b 3a n g nn Do b 3n a Mà u n 2u n n 2u gn nên ta phải có g n 3n b 3a v1 u1 g 31 cấp số nhân có cơng bội un q 3.2 n a b nên v1 q 2vn n 3.2n n n Vậy số hạng tổng quát dãy số cho 3.2 n n u n 3n 13 Bài 13 Tìm số hạng tổng quát dãy số u1 u n 2u n n 2n ;n Giải q2 Theo đề fn , bậc gn Xét hàm số an un g n n u n cho công thức truy hồi suy bậc gn bn c cho g n 2n n un1 u an bn c 2n 2 un bn c n an n u n 2u n4 an 2b a 4a Mà u n 2u n gn4n n 2n nên ta phải có 2b a 1; b 4 n Và u a g n 12n1 2u g n1 n 2n n Đặt v u n n g n nv u g 1 21 v 2vn n 2.2 n 2n Do cấp số nhân có cơng bội q nên v v q n n 9n n u n gn2 n u n 2 n n 2n n n n 4 n Vậy số hạng tổng quát dãy số cho 2n n2 u n Bài 14 Tìm số hạng tổng quát dãy số u1 u n 3u n 2n n 3n ;n u n cho công thức truy hồi Giải q 3,3 , bậc n g n an b n cn Theo đề Xét u a bậc n d3 n1 n b n c u n d n 3n 3u n n 3ung g cho: u n 3u n an 2b a 6cn 3d 3c n Mà n n 3n n1 n n n an b n cn d n u 3u n1 n nên ta phải có : 14 2a 2b a 1 a 1;b 1;c 6c 1 ;d 3c 3d gn n 1 n 6n Đặt u n g n Do v n 3n u n g n u v1 u g cấp số nhân có cơng bội q gn n 3vn v1qn nên 2.3n 2.3n u n g nu n 2.3n g n Vậy số hạng tổng quát dãy số cho u n 2.3n n n n 3n Bài 15 (Đề thi HSG môn Tốn THPT tỉnh Thanh hóa năm 2019) cho dãy số u1 u4u xác định n 3.4 n , n * Tìm số hạng tổng quát u n n1 Giải Theo đề f n q4 , bậc suy bậc gn gn Xét hàm số an b, ( a 0) cho n1 u g n 14n1 4u ng n 4n n1 u a n b4n1 n 4u an b n u n 4u n4 a n u Mà n g n34 n 4u 3.4n n 3( n 1) u n1 Và Đặt u n Do nên ta phải có n1 n a b tùy ý, nên ta chọn n u 4 n 44 3n n 1 4 v1 u1 4 cấp số nhân có cơng bội q 4vn v v q n 1.4 n nên n 4n1 un n n un b n n n 3n 4n 4n 1 (3n 1).4n u n Vậy số hạng tổng quát dãy số cho u 2, u Bài 16 cho dãy số Giải Theo đề suy u n 2u n 3(u n v Đặt n u v1 u 2u1 2u n n (u ) n un xác định sau v u n 2u n 3n Đặt , n Tìm u n 2u a 3n a nên ta phải có n n 3.3 2un gn suy bậc n n 3n u g n 3n Xét hàm cho u n a 3n 2(u n a3n ) u n n 2u n ( a)3 g n3 n q cấp số nhân với công bội n Theo đề q 2,3;q, bậc f n gn a un g n1 5un 2u n ) 3n u n 2u n u 6u v 3v Mà Và n n nên dãy v1 q n 3n Vậy 1 w u n 3n n w Do n u n 33 un 2n 1 31 cấp số nhân có cơng bội 2n u n w q nên w w n w 2w n 1 q n n 2n 3n un 2n1 3n Vậy số hạng tổng quát dãy số cho Kết luận: Tìm số hạng tổng quát dãy số u1 a1 , u a2 sau: u n au n bu n ( x y )u n n cho công thức truy hồi c; n Cách làm sau: phân tích un u u xyu n c n xu n y (u n xu n ) c 16 x y a xy x, nên b y Giả sử phương trình có hai nghiệm u u (u u ) c Khi n n n n v Đặt n u u n1 v n X aX b hai nghiệm phương trình vv v , v u n n n1 n u n1 n n Bài toán giải trên, từ tìm u n Bài tập tương tự un Tìm số hạng tổng quát dãy số cho công thức truy hồi sau: u1 u u u1 n1 n2 2n; n 2u u a)n 3n 1; n b)n u u un n1 u1 10 3u n n n ;n u 1, u 2u ; n n f) n n ; n u 3u n 2n2 3u n1 u 1, u u n u d) c) e) n 2u n 4; n n Bây ta xét tốn tìm số hạng tổng quát dãy số cách quy cấp số nhân theo khía cạnh khác Bài 17 Tìm số hạng tổng quát dãy số un cho công thức truy hồi u u n u n1 2n Giải Từ giả thiết suy u n ;n un 1 n un un u n1 n 3; n un 1 Do u2 u3 u 1 2.1 u 2.2 u2 1 u 2.3 u 17 … u n u n n1 Cộng theo vế n đẳng thức ta 1 2 n n un n n 3n n 2n un un n2 2n Vậy số hạng tổng quát dãy số cho un n2 2n Bài 18 Tìm số hạng tổng quát dãy số un cho bới công thức truy hồi u1 u 2un n1 ;n 1 3n un 1 3n Giải u n Theo đề suy u n 1 v u v1 n Đặt n Xét g n an b 2u n cho u v n n1 n v gn n1 ; n 2u n ; n 2n 1v g n n a n b v n an b vn 1 an a b 1a v 2n a n1 nên ta phải có b 2b v gn 1v g n n g n3n n 1 xn xn x v g nx v g 13 n n 1 Đặt x x q n xn q Do cấp số nhân có công bội nên n Mà a 3.21 n 18 v x g n3.21 n n 3n u n 3.21 n n 3n Vậy số hạng tổng quát dãy số cho un 3.21 n 3n Theo cách tư tập nêu ta tìm số hạng tổng qt dãy số cho cơng thức truy hồi có dạng sau: u aun ;n u n n1 g n u b f n n f n gn Trong a , b, , số thực cho trước,0 ; đa thức theo biến số tự nhiên n Ví dụ: Tìm số hạng tổng quát dãy số un cho công thức truy hồi: u u a) u n1 ; n n u un c) n1 n n n 3n un ; n u 1 3un n2 n1 b) u u u un n un ; n un u d) n1 n n.un ; n u u n1 u 3 un n n e) ; n n1 u Bài 19 Tìm số hạng tổng quát dãy số n cho công thức truy hồi u1 u 2un n1 Giải 3n 1 ;n un Theo đề suy u n 1 Đặt u v1 v n n 1 3n un u 2u n v n1 n1 2n 2u n ; n n ; n 19 v g n an b cho gn 1v g n n n Xét 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường: Trong trình thực đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm số tập nắm tình hình tiếp thu học Nhưng để có kết luận tồn diện nên học kì II năm học 2018 – 2019 học sinh nhóm học song phần liên quan đến nội dung đề tài này, nhóm chưa học, sau tơi cho hai nhóm nhóm phần khảo sát ban đầu làm kiểm tra 45 phút Trong nhóm nhóm thực nghiệm q trình triển khai đề tài cịn nhóm nhóm đối chứng khơng tham gia việc triển khai đề tài Nội dung đề kiểm tra Câu (3 điểm) Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số xác định bởi: u u a) un1 un b) 1; n 1 u n 2u n ; n u Câu (4 điểm) Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số u1 a)u u u1 n 2n; n u b) u n1 n 2n ; n a) u n1 Câu (3 điểm) Tìm số hạng tổng quát dãy số u1 xác định bởi: n 3u u n xác định bởi: u1 n 4n; n 3u b) u n1 n (n 1).2n ; n n1 Nhóm thực nghiệm: Nhóm (05 học sinh) Nhóm đối chứng: Nhóm (05 học sinh) Kết thu với mức điểm được làm tròn (theo số học sinh) Điểm 0–3 3,5–5 5,5 – 7,0 7,5 – 8,5 9-10 Lớp Nhóm (số hs) Nhóm (số hs) 1 1 Căn vào kết kiểm tra đối chiếu so sánh kết làm nhóm thực nghiệm nhóm cịn lại khơng tham gia thực nghiệm ta thấy với nội dung trình bày đề tài giúp em học sinh nhóm giải vấn đề đặt đề kiểm tra, đồng thời học sinh nhóm tự tin làm kiểm tra lần 20 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận: Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh có học lực từ trung bình trở lên mơn tốn lớp 11 số dạy bồi dưỡng, chủ yếu hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung trình bày Tơi thấy em học sinh tự tin đứng trước toán dãy số phép biến đổi dãy số góp phần đáng kể nâng cao khả tư yêu cầu cần thiết người học Tốn nói riêng học mơn tự nhiên nói chung Trong nhiều năm gần bạn đồng nghiệp trường số trường tỉnh viết sáng kiến kinh nghiệm nhận thấy việc chấm sáng kiến kinh nghiệm khách quan, xác, việc phổ biến sáng kiến ngành đưa lên trang web ngành để giáo viên trường THPT tìm hiểu nghiên cứu góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy giáo viên nâng cao chất lượng học tập học sinh Với thời lượng hạn chế, chưa thể mở rộng đề tài sáng kiến được, tiếp tục phát triển đề tài năm Bên cạnh tơi mong góp ý thầy cô giáo bạn đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện 3.2 Kiến nghị: nhà trường xem đề tài tài liệu tham khảo cho bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn phần dãy số lưu thư viện nhà trường để đồng nghiệp học sinh tham khảo 3.3 Danh mục đề tài SKKN mà tác giả Hội đồng SKKN Ngành GD, huyện, tỉnh cấp cao đánh giá đạt từ loại C trở lên Họ tên tác giả: Đỗ Văn Hào Chức vụ đơn vị công tác: giáo viên trường THPT Thường Xuân Ngành GD Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) C 2006-2007 Ngành GD C 2012-2013 Ngành GD C 2015-2016 Cấp đánh T T Tên đề tài SKKN Hướng dẫn học sinh tìm tịi phát triển toán Hướng dẫn học sinh THPT Thường Xuân sử dụng máy giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Năm học đánh giá xếp loại tính Casio FX-570ES giải tốn Hướng dẫn học sinh THPT sử 21 dụng đường thẳng đường tròn mặt phẳng để giải biện luận số hệ phương trình hệ bất phương trình đại số Xác nhận Hiệu trưởng Thường Xuân, ngày 22 tháng năm 2019 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm tự viết chép Nếu sai xin chịu trách nhiệm! Tác giả Đỗ Văn Hào 22 ... ? ?Sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát số dãy số truy hồi có quy luật đặc biệt? ?? cấp thiết 1.2 Mục đích nghiên cứu: Những vấn đề tơi trình bày sáng kiến với mục đích sau Truy? ??n... tài nói phải nghiên cứu dãy số tính chất cấp số cộng, cấp số nhân Để qua hình thành cách tìm số hạng tổng quát số dãy số thường gặp dựa vào sử dụng cấp số cộng cấp số nhân 1.4 Phương pháp nghiên... tìm số hạng tổng quát cho số dãy số thường gặp cách sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm: 2.1.1 .Cấp số cộng u u * Dãy số n cấp