Sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của một số dãy số truy hồi có quy luật đặc biệt

1 MỤC LỤC Mở đầu…………………………………………………………… 1.1 Lý chọn đề tài………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu……………………………………………… 1.3 Đối tượng ngiên cứu……………………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu………………………………………… 2.1 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm………………………………… Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm………………………… 3 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm… 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề………………… 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, 3.1 với thân, đồng nghiệp nhà trường……………………… Kết luận, kiến nghị……………………………………………… Kết luận…………………………………………………………… 19 20 20 3.2 Kiến nghị………………………………………………………… 20 3.3 Danh mục đề tài SKKN mà tác giả hội đồng SKKN Ngành GD huyện, tỉnh cấp cao đánh giá đạt từ loại C trở lên…………………………………………………………… 20 1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài: Trong hai năm trở lại đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn bậc THPT tỉnh Thanh hóa ln có câu hỏi dãy số với mức độ khó so với tập sách giáo khoa hành khơng có tập sách giáo khoa tương tự làm cho nhiều học sinh khó khăn giải vấn đề Cụ thể: Câu III ý (Đề thi HSG mơn Tốn THPT tỉnh Thanh hóa năm 2018): cho u1 = 2, u2 =  ( u ) un+ = 5un+1 − 6un , ∀n ≥ Tính giới hạn n dãy số xác định sau u  lim  n ÷ n Câu III ý (Đề thi HSG mơn Tốn THPT tỉnh Thanh hóa năm 2019): cho u1 =  n * un+1 = 4un + 3.4 , n ∈ ¥ Tìm số hạng tổng qt dãy số xác định 2n + 3n + lim un tính giới hạn un Bên cạnh vấn đề dãy số hai câu đề học sinh giỏi bậc THPT mơn tốn tỉnh Thanh hóa hai năm 2018, 2019 khơng xuất đề thi THPT QG năm trước nên nhiều học sinh không hứng thú với nội dung Tài liệu tham khảo dãy số có chủ yếu viết cho học sinh theo chương trình THPT chun nên rộng, có vượt sở lý thuyết sách giáo Đại số giải tích 11 chương trình bản, học sinh có nhu cầu tìm hiểu sâu thêm dãy số học sinh ôn thi học sinh giỏi khó tìm cho tài liệu để đọc phù hợp Mục tiêu tổ mơn tốn trường THPT Thường Xn phải xây dựng chuyên đề dãy số phù hợp với cấu trúc đề thi tỉnh nhà bám sát chương trình sách giáo khoa Đại số giải tích 11 chương trình Hiện chưa có nhiều tài liệu nghiên sâu vấn đề mà lại bám sát chương trình sách giáo khoa Đại số giải tích 11 chương trình bản, đồng nghiệp nhóm chun mơn chưa có nhiều kinh nghiệm để giải quyết, khắc phục Do vậy, lựa chọn đề tài “Sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát số dãy số truy hồi có quy luật đặc biệt” cấp thiết 1.2 Mục đích nghiên cứu: Những vấn đề tơi trình bày sáng kiến với mục đích sau Truyền đạt đến học sinh nhìn tồn diện dãy số theo quan điểm học sinh trung học phổ thơng khơng chun Hệ thống phân tích tập dãy số cách logic từ dễ đến khó Qua việc luyện tập tốn dãy số ta thấy phép tuyệt đẹp, phép quy nạp từ vấn đề đơn giản đến phức tạp tổng quát phép biến đổi điển hình đại số giải tích Hướng dẫn học sinh tìm lời giải cách tự nhiên cho toán dãy số chánh gượng ép máy móc 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Để hồn thành viết với đề tài nói tơi phải nghiên cứu dãy số tính chất cấp số cộng, cấp số nhân Để qua hình thành cách tìm số hạng tổng quát số dãy số thường gặp dựa vào sử dụng cấp số cộng cấp số nhân 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp ghiên cứu xây dựng sở lý thuyết cho việc tìm số hạng tổng quát cho số dãy số thường gặp cách sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm: 2.1.1.Cấp số cộng ( un ) cấp số cộng ⇔ un+1 = un + d với ∀n ∈ ¥ * , * Dãy số d số không đổi gọi công sai cấp số cộng un = u1 + ( n − 1) d ( un ) cấp số cộng * Nếu dãy số * Nếu dãy số ( un ) cấp số cộng tổng n Sn = u1 + u2 + + un = ( u1 + un ) 2.1.2.Cấp số nhân ( un ) cấp số nhân ⇔ un+1 = un q với * Dãy số q số không đổi gọi công bội cấp số nhân * Nếu dãy số ( un ) ( un ) cấp số nhân ∀n ∈ ¥ * , un = u1.q n−1 q ≠ 1, q ≠ tổng − qn Sn = u1 + u2 + + un = u1 1− q 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Để thực đề tài tơi thực khảo sát thực tế sau: * Nếu dãy số cấp số nhân vơi Trong năm học 2018– 2019 sau học sinh lớp 11 học hết chương II tức nghiên cứu đầy đủ dãy số theo chương trình sách giáo khoa Đại số giải tích 11 chương trình Tơi cho hai nhóm học sinh, nhóm 05 học sinh có lực học tương đương nhóm nhóm học sinh lớp 11B1 trường THPT Thường Xuân làm kiểm tra khảo sát 45 phút tiết buổi sáng thứ tuần học thứ 21 Nhóm Tên học sinh kiểm tra / điểm TB mơn tốn học kỳ 1( 2018-2019) Phong (8,3) C.Anh (7,5) Dũng (7,6) Sơn (6,5) H.Phương (5,8) Giang (8,2) Q Hoa (7,6) T.Anh (7,7) Q.Chi(6,6) Trang (5,9) (Bảng điểm học lực mơn tốn học sinh học kỳ năm học 2018-2019) Với đề kiểm tra sau: Câu (3 điểm) Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số xác định bởi: u1 = u1 = a)  b)  un+1 = un + 2; n ≥ un+1 = 3un ; n ≥ ( Câu (4 điểm) Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số u1 = u = a)  b)  n un+1 = un + n; n ≥ un+1 = un + ; n ≥ bởi: un ) xác định ( un ) Câu (3 điểm) Tìm số hạng tổng quát dãy số u = a)  un+1 = 2un + 5n; n ≥ xác định bởi: u1 = b)  n un+1 = 2un + (n − 1).3 ; n ≥ Kết thu với mức điểm được làm tròn (theo số học sinh) Điểm Lớp Nhóm (số hs) Nhóm (số hs) 0–3 1 3,5 – 5,5 – 7,0 7,5 – 8,5 0 9-10 0 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề: Trước hết ta giải số toán để khai thác định nghĩa tính chất cấp số cộng cấp số nhân u1 =  u ( ) un = un −1 + 2; n ≥ n Bài Cho dãy số xác định cơng thức: Hãy tìm số hạng tổng quát dãy số Giải ( un ) cấp số cộng có Từ cơng thức truy hồi cho suy d = nên số hạng tổng quát công sai un = u1 + ( n − 1) d ⇒ un = 2n − Vậy un = 2n − Kết luận Để xác định số hạng tổng quát dãy số u1 = a  un = un −1 + b; n ≥ Ta làm sau số hạng thứ (u ) n u1 = thỏa mãn un +1 − un = b nên dãy số ( un ) cấp số cộng với u1 = a công sai b nên un = a + (n − 1)b u1 =   un+1 = un ; n ≥ ( un ) xác định công thức: Bài Cho dãy số Hãy tìm số hạng tổng quát dãy số Giải ( un ) cấp số nhân có Từ cơng thức truy hồi cho suy u1 = công bội q= nên số hạng tổng quát un = 23−n n −1 un = u1.q n −1 1 ⇒ un = 4. ÷ = 23−n 2 Vậy Kết luận ( un ) thỏa mãn Để xác định số hạng tổng quát dãy số u1 = a  u = bu ; n ≥  n n −1 ( un ) cấp số cộng với số hạng thứ u1 = a công Ta thấy dãy số bội b nên un = a.b n −1 Bài Cho dãy số Tìm số hạng tổng quát Giải ( u ) có n u1 =  u = u + n , ∀ n ≥ n −1  n un dãy số Theo đề suy u1 = u2 = u1 + u3 = u2 + un = un−1 + n n đẳng thức theo vế suy Cộng un = + [ + + + + n ] n ( n + 1) Trong n(n + 1) n + n + un = + = 2 Vậy: + + + + n = ( un ) xác định công thức: Bài Cho dãy số Hãy tìm số hạng tổng quát dãy số Giải Theo đề suy u1 = u2 = u1 + 31 u3 = u2 + 32 un +1 = un + 3n n đẳng thức theo vế suy Cộng un = − 31 + 31 + 32 + + 3n  3n − un = −2 + = −2 + ( 3n − 1) −1 u n = −2 + u1 =  n un +1 = un + ; n ≥ n ( − 1) Vậy số hạng tổng quát dãy số ( un ) xác định công thức: Bài Cho dãy số u1 =  n un+1 = un + 3n − − 2.5 ; n ≥ Hãy tìm số hạng tổng quát dãy số Giải Theo đề suy u1 = u2 = u1 + 3.1 − − 2.51 u3 = u2 + 3.2 − − 2.52 un = un −1 + 3.( n − 1) − − 2.5n−1 n đẳng thức theo vế suy Cộng un = + 1 + + + + ( n − 1)  − ( n − 1) − 51 + 52 + 53 + + 5n −1  Trong Và tổng + + + + ( n − 1) = ( n − 1) n A = 51 + 52 + + 5n−1 tổng a1 = , cơng bội có số hạng thứ n − số hạng đầu cấp số nhân q =5 − q n−1 − 5n−1 5n ⇒ A = S n −1 = a1 ⇒ A = =− + 1− q −4 4 n ( n − 1) n −  − +  = 3n − 5n + − 5n un = − n + )  4  2(   un = ( 3n − 5n + − 5n ) Vậy số hạng tổng quát dãy số Trên sở cấp số cộng cấp số nhân cách tư tương tự ta giải số toán dãy số phức tạp mà thân cấp số cộng cấp số nhân u1 =  u = u + 6; n ≥ u ( ) n n −  n xác định công thức: Bài Cho dãy số Hãy tìm số hạng tổng quát dãy số Giải un + a = ( un −1 + a ) ⇔ un = 5un −1 + 4a Ta xét ⇒ 4a = ⇔ a = Kết hợp với đề 3  un = 5un −1 + ⇔ un + =  un −1 + ÷ 2  Vậy Đặt = un + 3 ⇒ v1 = u1 + = 2 = 5vn−1 q = n , công bội Suy dãy số 7 ⇒ = v1.q n −1 ⇒ = 5n −1 ⇒ un = − = 5n−1 − 2 2 un = 5n−1 − 2 Vậy số hạng tổng quát dãy số cho Kết luận: Theo cách giải toán ta tìm số hạng tổng qt dãy số cho bới công thức truy hồi có dạng: u1 = α  un+1 = qun + f ( n ) ; n ≥ f ( n ) đa thức theo biến số n α , q số cho, Trong q = ta toán đơn giản trình bày phần I * Nếu ( v ) cấp số nhân có v1 = g ( n ) có bậc bậc q ≠ ta phải tìm đa thức * Nếu f ( n ) cho phương trình un +1 = qun + f ( n ) ⇔ un+1 + g ( n + 1) = q un + g ( n )  Khi việc tìm cấp số nhân un trở thành tìm Bài Tìm số hạng tổng quát dãy số u1 =  un = un −1 + 6n − 2n; n ≥ a) b) dãy số (v ) n ( u ) cho công thức truy hồi n u1 =  un+1 = 3un + 4n − 2; n ≥ u1 =  un+1 = 9un + 8n + 14n + 1; n ≥ c) Giải a) Theo đề suy u1 = u2 = u1 + 6.22 − 2.2 u3 = u2 + 6.32 − 2.3 u4 = u3 + 6.42 − 2.4 … un = un−1 + 6.n − 2.n n đẳng thức theo vế ta Cộng un = +  22 + 32 + + n  − [ + + + n ] ⇒ un = + 12 + 22 + 32 + + n  − [ + + + + n ] − ⇒ un = −1 + n ( n + 1) ( 2n + 1) − n ( n + 1) = 2n3 + 2n − un = 2n + 2n − Vậy số hạng tổng quát dãy số cho f ( n ) = 4n − đa thức bậc ẩn n nên ta xét b) Từ đề suy un+1 + g ( n + 1) = un + g ( n )  g ( n ) = an + b cho đa thức ⇒ un+1 + a ( n + 1) + b = 3[ un + an + b ] ⇒ un+1 = 3un + 2an + 2b − a un +1 = 3un + 4n − nên ta phải có Mà  2a = a = 2an + 2b − a = 4n − ⇒  ⇔ 2b − a = −2 b = Do Đặt Suy un+1 + ( n + 1) = 3[ un + 2n ] = un + 2n ⇒ v1 = u1 + = +1 = 3vn ( ) cấp số nhân có v1 = , cơng bội ⇒ = v1 q n −1 ⇒ = 3.3n −1 = 3n mà q = = un + 2n ⇒ un = 3n − 2n un = 3n − 2n Vậy số hạng tổng quát dãy số cho f ( n ) = 8n + 14n + đa thức bậc hai ẩn c) Từ đề suy n nên ta un +1 + g ( n + 1) = un + g ( n )  g n = an + bn + c cho ( ) xét đa thức ⇒ un+1 + a ( n + 1) + b ( n + 1) + c = un + an + bn + c  ⇒ un+1 = 9un + 8an + ( 8b − 2a ) n + 8c − b − a un+1 = 9un + 8n + 14n + nên ta phải có Mà 8an + ( 8b − 2a ) n + 8c − b − a = 8n + 14n + 8a =  8an + ( 8b − 2a ) n + 8c − b − a = 8n + 14n + ⇒ 8b − 2a = 14 8c − b − a =  1 ⇔ a = 1; b = 2; c = g ( n ) = n + 2n + suy 1  ⇒ un +1 + ( n + 1) + ( n + 1) + = un + n + 2n +  2  Do 17 = un + n + 2n + ⇒ v1 = u1 + = +1 = 9vn 2 Đặt 17 v = ( ) cấp số nhân có q =9 , công bội Suy 17 17 ⇒ = v1.q n−1 ⇒ = 9n −1 = 32 n− 2 1  17  = un + n + 2n + ⇒ un = −  n + 2n + ÷ = 32 n−2 − n − 2n − 2 2  Mà Vậy số hạng tổng quát dãy số cho 17 un = 32 n− − n − 2n − 2 Bài tập tương tự: ( un ) cho cơng thức truy hồi Tìm số hạng tổng quát dãy số a) u1 =  un = un −1 + 4n − 6n; n ≥ b) u1 =  un +1 = 5un − 8n + 3; n ≥ c) u1 =  un+1 = 2un + 3n − 4n − 1; n ≥ Bài Tìm số hạng tổng quát dãy số u1 =  n un = un−1 + ( n − 3) ; n ≥ ( u ) cho bới công thức truy hồi n Giải Cách Theo đề suy u1 = u2 = u1 + ( − 3) 22 u3 = u2 + ( − 3) 23 u4 = u3 + ( − 3) 24 … un = un−1 + ( n − 3) 2n n đẳng thức theo vế ta Cộng un = + 2.22 + 3.33 + + n.3n −  2 + 23 + + n  A = 22 + 23 + + 2n tổng n − số hạng đầu q = a1 = 22 = , công bội cấp số nhân có phần tử thứ Trong tổng − q n −1 − 2n −1 ⇒ A = a1 ⇒ A = = 2n +1 − 1− q −1 B = 2.2 + 3.2 + 4.2 + + n.2 n Xét ⇒ B = 2.23 + 3.24 + 4.25 + + n.2 n +1 Trừ theo vế hai đẳng thức suy B − B = 2.22 + 23 + 24 + + n − n.2n +1 ⇒ − B = A + 22 − n.2n+1 = 2n+1 − n.2n +1 ⇒ B = ( n − 1) 2n+1 ⇒ un = + B − A = + ( n − 1) n+1 − ( n+1 − ) = ( n − ) 2n +1 + 13 un = ( n − ) 2n +1 + 13 Vậy số hạng tổng quát dãy số g ( n ) = ( an + b ) 2n+1 cho Cách Xét hàm số un + g ( n ) = un −1 + g ( n − 1) ⇒ un + ( an + b ) 2n+1 = un−1 +  a ( n − 1) + b  2n ⇒ un = un−1 +  a ( − n − 1) − b  n 10 Mà un = un−1 + ( n − 3) 2n nên ta phải có − a =  a = −1 a ( − n − 1) − b = n − ⇒  ⇔ −a − b = −3 b = ⇒ Do đo Đặt g ( n ) = ( −n + ) 2n +1 un + ( −n + ) 2n+1 = un−1 +  − ( n − 1) +  n = un + ( − n + ) 2n+1 ⇒ v1 = u1 + ( −1 + ) 22 = 13 = −1 ( ) cấp số nhân có q = v1 = 13 , công bội Suy ⇒ = v1.q n−1 ⇒ = 13 mà = un + ( − n + ) 2n+1 ⇒ un = 13 + ( n − ) 2n+1 un = ( n − ) 2n +1 + 13 Vậy số hạng tổng quát dãy số ( n ) thỏa mãn Chú ý: Dãy số u1 = u1 = ⇔   n n +1 un = un−1 + ( n − 3) ; n ≥ un+1 = un + ( n − ) ; n ≥ u Tương tự cách giải tập ta tìm số hạng tổng qt dãy số cho bới công thức truy hôi sau: u1 = α  n un+1 = qun + f ( n ) β ; n ≥ Trong số n α , q, β số cho, f ( n ) đa thức theo biến Kết luận: g ( n ) có bậc bậc q = β = ta tìm đa thức * Nếu f ( n ) cộng với cho un+1 + g ( n + 1) = un + g ( n ) Khi ta đưa tốn tìm số hạng tổng quát cấp số nhân q ≠ , ta có đề với cách giải tương tự tập số β = * Nếu g ( n ) có bậc bậc q ≠ β , ta tìm đa thức β ≠1 , * Nếu un+1 + g ( n + 1) β n+1 = q un + g ( n ) β n  f ( n ) cho g ( n ) có bậc bậc q = β ≠ , ta tìm đa thức * Nếu un+1 + g ( n + 1) β n+1 = q un + g ( n ) β n  f ( n ) cộng với cho Vấn đề thể rõ ràng qua ví dụ sau theo thứ tự tương ứng 11 ( un ) cho công thức truy hồi Bài Tìm số hạng tổng quát dãy số u1 =  un+1 = un + 2n − n; n ≥ Giải g ( n) f ( n ) ⇒ q = β = , bậc ⇒ bậc Theo đề 3 g n = an + bn + cn + d cho ( ) Xét un +1 + g ( n + 1) = un + g ( n ) ⇒ un +1 + a ( n + 1) + b ( n + 1) + c ( n + 1) + d = u n + an + bn + cn + d ⇒ un +1 = un − 3an − ( 3a + 2b ) n − ( a + b + c ) un+1 = un + 2n − n nên ta phải có Mà −3a =  −3an − ( 3a + 2b ) n − ( a + b + c ) = 2n − n ⇒ 3a + 2b = a + b + c =  5 ⇔ a = − ;b = ;c = − ⇒ g ( n ) = − n3 + n − n 6 un +1 + g ( n + 1) = un + g ( n ) Do Đặt + − =1 +1 = q =1 v1 = , công bội = un + g ( n ) ⇒ v1 = u1 + g ( 1) = − ( ) cấp số nhân có Suy ⇒ = v1.q n−1 = = un + g ( n ) ⇒ un = − g ( n ) = n − n + n + mà un = n3 − n + n + Vậy số hạng tổng quát dãy số Chú ý: tập giải theo cách số 7a ( un ) cho cơng thức truy Bài 10 Tìm số hạng tổng quát dãy số hồi u1 =  un +1 = 2un + n − 3n + 1; n ≥ Giải f ( n ) suy bậc ⇒ q = 2, β = , bậc Theo đề g ( n ) 12 Xét g ( n ) = an + bn + c cho: un +1 + g ( n + 1) = un + g ( n )  ⇒ un+1 + a ( n + 1) + bn + c = un + an + bn + c  ⇒ un+1 = 2un + an + ( b − 2a ) n + c − a a = a =   b − 2a = −3 ⇔ b = −1 c − a = c =   un +1 = 2un + n − 3n + nên ta phải có un +1 + g ( n + 1) = un + g ( n )  ⇒ g ( n ) = n − n + = un + g ( n ) ⇒ v1 = u1 + g ( 1) = vn+1 = 2vn Đặt ( ) cấp số nhân có cơng bội q = nên Do = v1.q n −1 = 2.2n −1 = 2n ⇒ un = − g ( n ) = 2n − n + n − Mà Vậy số hạng tổng quát dãy số cho un = 2n − n + n − ( un ) cho công thức truy Bài 11 Tìm số hạng tổng quát dãy số hồi  u1 =  n  un+1 = un + ( n + 1) ; n ≥ Giải f ( n ) suy bậc ⇒ q = 1, β = , bậc Theo đề g ( n ) g ( n ) = an + bn + c cho Xét hàm số un+1 + g ( n + 1) 3n +1 = un + g ( n ) 3n ⇒ un+1 +  a ( n + 1) + b ( n + 1) + c  3n +1 = un +  an + bn + c  3n   ⇒ un+1 = un +  −2an + ( −2b − 6a ) n + −2c − 3b − 3a  3n Mà un +1 = un + ( n + 1) 3n nên ta phải có −2a = 1  ⇔ a = − ; b = ; c = −2 −2b − 6a = 2 −2c − 3b − 3a =  ⇒ g ( n ) = − n2 + n − un+1 + g ( n + 1) 3n +1 = un + g ( n ) 3n 2 n v = u + g n ⇒ v = u + g = −2 +1 = ( ) ( ) n n 1 Đặt ( ) cấp số nhân có cơng bội q = nên = v1 = −2 Do 13 1  ⇒ −2 = un + g ( n ) 3n ⇒ un = −2 − g ( n ) 3n = −2 +  n − n + ÷3n 2  Vậy số hạng tổng quát dãy số cho 1  un = −2 +  n − n + ÷3n 2  ( un ) cho công thức truy Bài 12 Tìm số hạng tổng quát dãy số hồi u1 =  n un+1 = 2un + ( n + 1) ; n ≥ Giải ⇒ q = 2, β = 3; q ≠ β , bậc Theo đề g ( n ) g ( n ) = an + b cho Xét hàm số f ( n ) suy bậc un+1 + g ( n + 1) 3n+1 = un + g ( n ) 3n  ⇒ un+1 +  a ( n + 1) + b  3n+1 = 2un + ( an + b ) 3n ⇒ un+1 = 2un + [ − an − b − 3a ] 3n −a = a = −1 ⇔  −b − 3a = b = un +1 = 2un + ( n + 1) 3n nên ta phải có ⇒ g ( n ) = −n + = un + g ( n ) 3n ⇒ v1 = u1 + g ( 1) 31 = +1 = 2vn Đặt ( ) cấp số nhân có cơng bội q = nên Do = v1.q n−1 = 3.2 n−1 ⇒ 3.2n −1 = un + g ( n ) 3n ⇒ un = 3.2n−1 + ( n − ) 3n un = 3.2 n−1 + ( n − ) 3n Vậy số hạng tổng quát dãy số cho Mà Bài 13 Tìm số hạng tổng quát dãy số hồi u1 =  n un+1 = 2un + ( n + ) ; n ≥ ( u ) cho công thức truy n Giải f ( n ) suy bậc ⇒ q = β = , bậc g n = an + bn + c cho ( ) Xét hàm số un+1 + g ( n + 1) 2n+1 = un + g ( n ) 2n  Theo đề g ( n ) 2 ⇒ un+1 +  a ( n + 1) + b ( n + 1) + c  n +1 = un + ( an + bn + c ) 2n    14 ⇒ un+1 = 2un + [ −4an − 2b − 2a ] 2n un +1 = 2un + ( n + ) 2n nên ta phải có Mà −4a = 1 9 ⇔ a = − ;b = −  ⇒ g n = − n − n ( ) 4 −2b − 2a = 4 n +1 n un +1 + g ( n + 1) = un + g ( n )  Và = un + g ( n ) 2n ⇒ v1 = u1 + g ( 1) 21 = −2 vn+1 = 2vn Đặt ( ) cấp số nhân có cơng bội Do = v1.q n −1 = −2.2n −1 = −2 n q = nên   ⇒ −2n = un + g ( n ) 2n ⇒ un = −2n −  − n − n ÷2n = −2 n + ( n2 + 9n ) n −2   un = −2n + ( n + 9n ) 2n−2 Vậy số hạng tổng quát dãy số cho Bài 14 Tìm số hạng tổng quát dãy số hồi u1 =  n un +1 = 3un + 2n + − ( n − 1) ; n ≥ Giải Theo đề Xét ⇒ q = 3, β = , bậc ( u ) cho công thức truy n 2n + bậc n − g ( n ) = an + b + n ( cn + d ) 3n cho: un +1 + g ( n + 1) = u n + g ( n )  un+1 + a ( n + 1) + b + ( n + 1) c ( n + 1) + d  3n+1 = u n + an + b + n ( cn + d ) 3n  ⇒ un+1 = 3u n +2an + 2b − a + ( −6cn − 3d − 3c ) 3n n u = u + n + − n − ( ) n + n Mà nên ta phải có :  2a =  2b − a = 1  ⇔ a = 1; b = 1; c = ; d = −   −6c = −1  −3d − 3c = 1 1 ⇒ g ( n ) = n + + n  n − ÷3n un +1 + g ( n + 1) = u n + g ( n )   6 = u n + g ( n ) ⇒ v1 = u + g ( 1) = +1 = 3vn Đặt 15 ( ) cấp số nhân có cơng bội q = nên Do ⇒ 2.3n−1 = u n + g ( n ) ⇒ un = 2.3n−1 − g ( n ) Vậy số hạng tổng quát dãy số cho 1 1 u n = 2.3n −1 − n − − n  n − ÷3n 2 6 = v1q n −1 = 2.3n −1 Bài 15 (Đề thi HSG mơn Tốn THPT tỉnh Thanh hóa năm 2019) cho dãy số xác định Giải u1 =  n * un+1 = 4un + 3.4 , n ∈ ¥ Tìm số hạng tổng quát ⇒ q = β = ≠ , bậc Theo đề f ( n ) suy bậc un g ( n) g ( n ) = an + b, (a ≠ 0) cho Xét hàm số un+1 + g ( n + 1) 4n+1 = un + g ( n ) 4n  ⇒ un+1 +  a ( n + 1) + b  4n+1 = un + ( an + b ) 4n  ⇒ un+1 = 4un + ( −4a ) 4n a = − n un+1 = 4un + 3.4 nên ta phải có b tùy ý, nên ta chọn Mà ⇒ g ( n ) = − n b=0 3(n + 1) n+1 3n   un +1 − = un − n  4   Và 3n = un − 4n ⇒ v1 = u1 − 41 = −1 +1 = 4vn 4 Đặt ( ) cấp số nhân có cơng bội q = nên Do = v1.q n−1 = −1.4n −1 = −4n −1 3n 3n ( 3n − 1) ⇒ −4 = un − 4n ⇒ un = −4n−1 + 4n = 4 (3n − 1).4n un = Vậy số hạng tổng quát dãy số cho n n −1 Bài 16 cho dãy số un Tìm (un ) xác định sau u1 = 2, u2 =  un+ = 5un+1 − 6un , ∀n ≥ 16 Giải Theo đề suy un + − 2un+1 = 3(un +1 − 2un ) = un +1 − 2un Đặt ⇒ v1 = u2 − 2u1 = +1 = 3vn nên dãy Và = v1.q n −1 = 3n−1 (v ) n cấp số nhân với công bội q=3 ⇒ 3n−1 = un+1 − 2un ⇒ un+1 = 2un + 3n−1 = 2un + 3n Vậy f ( n ) suy bậc ⇒ q = 2, β = 3; q ≠ β , bậc Theo đề g ( n ) un+1 + g ( n + 1) 3n+1 = un + g ( n ) 3n  g n = a ( ) Xét hàm cho n +1 ⇒ un+1 + a.3 = 2(un + a3n ) ⇒ un+1 = 2un + (−a )3n 1 −1 un+1 = 2un + 3n −a = ⇔ a = nên ta phải có 3 Mà −1 ⇒ g ( n) = 1 w n = un − 3n ⇒ w1 = u1 − 31 = w n+1 = 2w n 3 Đặt ( w n ) cấp số nhân có cơng bội q = nên Do w n = w 1.q n −1 = 2n−1 ⇒ 2n −1 = un − 3n ⇒ un = 2n−1 + 3n−1 Vậy số hạng tổng quát dãy số cho un = 2n −1 + 3n −1 ( un ) cho công thức truy Kết luận: Tìm số hạng tổng quát dãy số u1 = a1 , u2 = a2  un + = aun +1 + bun + c; n ≥ hồi sau: un + − xun +1 = y (un+1 − xun ) + c Cách làm sau: phân tích ⇔ un+ = ( x + y )un +1 − xyun + c x + y = a ⇒  xy = −b nên x, y hai nghiệm phương trình X − aX − b = Giả sử phương trình có hai nghiệm α, β 17 Khi Đặt un + − α un +1 = β (un +1 − α un ) + c +1 = u n+1 − α u n vn+1 = β ⇒ = v1β n−1 ⇒ un+1 = α un + v1β n−1 (un) Bài toán giải trên, từ tìm Bài tập tương tự ( un ) cho công thức truy hồi sau: Tìm số hạng tổng quát dãy số a) c) e) u1 =  un = un−1 + n − 2n; n ≥ u1 =  n un = un −1 + ( n + 1) ; n ≥  u1 = 10  n  un+1 = 3un − ( 2n + 1) ; n ≥ u1 = 1, u2 =  un+ = 3un +1 − 2un ; n ≥ b) u1 =  un+1 = −2un + 3n + 1; n ≥ d) f) u1 = 1, u2 =  un+ = 3un+1 − 2un + 4; n ≥ Bây ta xét tốn tìm số hạng tổng qt dãy số cách quy cấp số nhân theo khía cạnh khác ( un ) cho công thức truy Bài 17 Tìm số hạng tổng quát dãy số hồi Giải u1 =  un u = ; n ≥ n +  + n + u ( ) n  Từ giả thiết suy = u Do + ( 2n + ) un 1 = ⇒ = + 2n + 3; n ≥ un+1 un un +1 un 1 = + 2.1 + u2 u1 1 = + 2.2 + u3 u 1 = + 2.3 + u4 u3 … 18 1 = + 2.( n − 1) + un un−1 n đẳng thức ta Cộng theo vế = + 1 + + + + ( n − 1)  + ( n − 1) un 1 ⇒ = + ( n − 1) n + ( n − 1) = n + 2n − ⇒ un = un n + 2n − un = n + n − Vậy số hạng tổng quát dãy số cho Bài 18 Tìm số hạng tổng quát dãy số hồi u1 = −1  2un u = ; n ≥ n +  + n + u ( ) n  Giải n + ( 3n + ) un 1 = ⇒ = + n + ; n ≥ un+1 2un un+1 2un 2 Theo đề suy 1 = ⇒ v1 = = −1 u − n Đặt Xét ( u ) cho bới công thức truy vn+1 = + n + ; n ≥ 2 +1 + g ( n + 1) = vn + g ( n )  g ( n ) = an + b cho ⇒ vn+1 + a ( n + 1) + b = [ + an + b ] 1 ⇒ vn+1 = − an − a − b 2  − a =  a = −3 ⇔  b = 1  −a − b = vn+1 = + n +  2 2 nên ta phải có Mà v + g n + =  + g ( n )  ( ) n + ⇒ g ( n ) = −3n + 2 x = xn n + x = v + g n ⇒ x = v + g = − ( ) 1 ( ) n n Đặt q = ( xn ) cấp số nhân có cơng bội nên Do n −1 1− n xn = x1.q = −3.2 19 ⇒ = xn − g ( n ) = −3.21−n + 3n − ⇒ un = −3.2 + 3n − 1− n − 3.2 + n − Vậy số hạng tổng quát dãy số cho Theo cách tư tập nêu ta tìm số hạng tổng qt dãy số cho cơng thức truy hồi có dạng sau: u1 = α  aun u = ; n ≥  n+1 b +  f ( n ) + g ( n ) β n  u n    f ( n ) a, b,α , β số thực cho trước, α ≠0; Trong un = g ( n ) đa thức theo biến số tự nhiên a) n ( u ) cho cơng thức truy Ví dụ: Tìm số hạng tổng quát dãy số hồi: u1 =  un  un+1 = + 2n.u ; n ≥ n  1− n n b) u1 =  un−1 u = ; n ≥  n + ( n − n + 3n ) u n −1  c) u1 =  3un u = ; n ≥ n +1  + n − n + u ( ) n  e) u1 =  un −1 u = ; n ≥ n n  + n − u ( ) n −  d) Bài 19 Tìm số hạng tổng quát dãy số hồi u1 = −1  2un u = ; n ≥ n +  + n + u ( ) n  Giải u1 =  un u = ; n ≥ n +  + ( n + 1) 2n.un  ( u ) cho công thức truy n 20 + ( 3n + ) un 1 = ⇒ = + n + ; n ≥ un+1 2un un+1 2un 2 Theo đề suy 1 = ⇒ v1 = = −1 u − n Đặt Xét g ( n ) = an + b cho vn+1 = + n + ; n ≥ 2 +1 + g ( n + 1) = vn + g ( n )  2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường: Trong trình thực đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm số tập nắm tình hình tiếp thu học Nhưng để có kết luận tồn diện nên học kì II năm học 2018 – 2019 học sinh nhóm học song phần liên quan đến nội dung đề tài này, nhóm chưa học, sau tơi cho hai nhóm nhóm phần khảo sát ban đầu làm kiểm tra 45 phút Trong nhóm nhóm thực nghiệm q trình triển khai đề tài nhóm nhóm đối chứng khơng tham gia việc triển khai đề tài Nội dung đề kiểm tra Câu (3 điểm) Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số xác định bởi: u1 = u1 = a)  b)  un +1 = un + 1; n ≥ un+1 = 2un ; n ≥ ( n ) xác định Câu (4 điểm) Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số u1 = u1 = a)  b)  n un +1 = un + 2n; n ≥ un+1 = un + ; n ≥ bởi: u Câu (3 điểm) Tìm số hạng tổng quát dãy số u = a)  un+1 = 3un + 4n; n ≥ ( un ) xác định bởi: u1 = b)  n un+1 = 3un + ( n + 1).2 ; n ≥ Nhóm thực nghiệm: Nhóm (05 học sinh) Nhóm đối chứng: Nhóm (05 học sinh) Kết thu với mức điểm được làm tròn (theo số học sinh) Điểm 0–3 3,5 – 5,5 – 7,0 7,5 – 8,5 9-10 Lớp Nhóm (số hs) 1 Nhóm (số hs) 1 0 21 Căn vào kết kiểm tra đối chiếu so sánh kết làm nhóm thực nghiệm nhóm lại khơng tham gia thực nghiệm ta thấy với nội dung trình bày đề tài giúp em học sinh nhóm giải vấn đề đặt đề kiểm tra, đồng thời học sinh nhóm tự tin làm kiểm tra lần Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận: Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh có học lực từ trung bình trở lên mơn tốn lớp 11 số dạy bồi dưỡng, chủ yếu hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung trình bày Tơi thấy em học sinh tự tin đứng trước toán dãy số phép biến đổi dãy số góp phần đáng kể nâng cao khả tư yêu cầu cần thiết người học Tốn nói riêng học mơn tự nhiên nói chung Trong nhiều năm gần bạn đồng nghiệp trường số trường tỉnh viết sáng kiến kinh nghiệm nhận thấy việc chấm sáng kiến kinh nghiệm khách quan, xác, việc phổ biến sáng kiến ngành đưa lên trang web ngành để giáo viên trường THPT tìm hiểu nghiên cứu góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy giáo viên nâng cao chất lượng học tập học sinh Với thời lượng hạn chế, chưa thể mở rộng đề tài sáng kiến được, tiếp tục phát triển đề tài năm Bên cạnh tơi mong góp ý thầy giáo bạn đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện 3.2 Kiến nghị: nhà trường xem đề tài tài liệu tham khảo cho bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn phần dãy số lưu thư viện nhà trường để đồng nghiệp học sinh tham khảo 3.3 Danh mục đề tài SKKN mà tác giả Hội đồng SKKN Ngành GD, huyện, tỉnh cấp cao đánh giá đạt từ loại C trở lên Họ tên tác giả: Đỗ Văn Hào Chức vụ đơn vị công tác: giáo viên trường THPT Thường Xuân T T Tên đề tài SKKN Hướng dẫn học sinh tìm tòi phát triển toán Hướng dẫn học sinh THPT Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Ngành GD C 2006-2007 Ngành GD C 2012-2013 Năm học đánh giá xếp loại 22 Thường Xuân sử dụng máy tính Casio FX-570ES giải toán Hướng dẫn học sinh THPT sử dụng đường thẳng đường tròn mặt phẳng để giải biện luận số hệ Ngành GD C 2015-2016 phương trình hệ bất phương trình đại số Xác nhận Hiệu trưởng Thường Xuân, ngày 22 tháng năm 2019 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm tự viết chép Nếu sai xin chịu trách nhiệm! Tác giả Đỗ Văn Hào 23 ... Sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát số dãy số truy hồi có quy luật đặc biệt cấp thiết 1.2 Mục đích nghiên cứu: Những vấn đề tơi trình bày sáng kiến với mục đích sau Truy n... nói tơi phải nghiên cứu dãy số tính chất cấp số cộng, cấp số nhân Để qua hình thành cách tìm số hạng tổng quát số dãy số thường gặp dựa vào sử dụng cấp số cộng cấp số nhân 1.4 Phương pháp nghiên... việc tìm số hạng tổng quát cho số dãy số thường gặp cách sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm: 2.1.1 .Cấp số cộng ( un ) cấp số