SKKN sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của một số dãy số truy hồi có quy luật đặc biệt

1 MỤC LỤC Mở đầu…………………………………………………………… 1.1 Lý chọn đề tài………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu……………………………………………… 1.3 Đối tượng ngiên cứu……………………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu………………………………………… 2.1 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm………………………………… Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm………………………… 3 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm… 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề………………… 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, 3.1 với thân, đồng nghiệp nhà trường……………………… Kết luận, kiến nghị……………………………………………… Kết luận…………………………………………………………… 19 20 20 3.2 Kiến nghị………………………………………………………… 20 3.3 Danh mục đề tài SKKN mà tác giả hội đồng SKKN Ngành GD huyện, tỉnh cấp cao đánh giá đạt từ loại C trở lên…………………………………………………………… 20 1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài: Trong hai năm trở lại đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn bậc THPT tỉnh Thanh hóa ln có câu hỏi dãy số với mức độ khó so với tập sách giáo khoa hành khơng có tập sách giáo khoa tương tự làm cho nhiều học sinh khó khăn giải vấn đề Cụ thể: Câu III ý (Đề thi HSG mơn Tốn THPT tỉnh Thanh hóa năm 2018): cho u1  2, u2  � �u � lim � n � � un  5un1  6un , n �1 ( u ) n � � � n dãy số xác định sau Tính giới hạn Câu III ý (Đề thi HSG mơn Tốn THPT tỉnh Thanh hóa năm 2019): cho u1  � � u  4un  3.4 n , n ��* dãy số xác định �n1 Tìm số hạng tổng qt un tính 2n  3n  lim u n giới hạn Bên cạnh vấn đề dãy số hai câu đề học sinh giỏi bậc THPT mơn tốn tỉnh Thanh hóa hai năm 2018, 2019 không xuất đề thi THPT QG năm trước nên nhiều học sinh khơng hứng thú với nội dung Tài liệu tham khảo dãy số có chủ yếu viết cho học sinh theo chương trình THPT chuyên nên rộng, có vượt ngồi sở lý thuyết sách giáo Đại số giải tích 11 chương trình bản, học sinh có nhu cầu tìm hiểu sâu thêm dãy số học sinh ơn thi học sinh giỏi khó tìm cho tài liệu để đọc phù hợp Mục tiêu tổ mơn tốn trường THPT Thường Xn phải xây dựng chuyên đề dãy số phù hợp với cấu trúc đề thi tỉnh nhà bám sát chương trình sách giáo khoa Đại số giải tích 11 chương trình Hiện chưa có nhiều tài liệu nghiên sâu vấn đề mà lại bám sát chương trình sách giáo khoa Đại số giải tích 11 chương trình bản, đồng nghiệp nhóm chun mơn chưa có nhiều kinh nghiệm để giải quyết, khắc phục Do vậy, lựa chọn đề tài “Sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát số dãy số truy hồi có quy luật đặc biệt” cấp thiết 1.2 Mục đích nghiên cứu: Những vấn đề tơi trình bày sáng kiến với mục đích sau Truyền đạt đến học sinh nhìn toàn diện dãy số theo quan điểm học sinh trung học phổ thông không chuyên Hệ thống phân tích tập dãy số cách logic từ dễ đến khó Qua việc luyện tập tốn dãy số ta thấy phép tuyệt đẹp, phép quy nạp từ vấn đề đơn giản đến phức tạp tổng quát phép biến đổi điển hình đại số giải tích Hướng dẫn học sinh tìm lời giải cách tự nhiên cho toán dãy số chánh gượng ép máy móc 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Để hoàn thành viết với đề tài nói tơi phải nghiên cứu dãy số tính chất cấp số cộng, cấp số nhân Để qua hình thành cách tìm số hạng tổng quát số dãy số thường gặp dựa vào sử dụng cấp số cộng cấp số nhân 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp ghiên cứu xây dựng sở lý thuyết cho việc tìm số hạng tổng quát cho số dãy số thường gặp cách sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm: 2.1.1.Cấp số cộng * * Dãy số  un  cấp số cộng � un1  un  d với n �� , d số khơng đổi gọi công sai cấp số cộng * Nếu dãy số  un  cấp số cộng un  u1   n  1 d * Nếu dãy số  un  cấp số cộng tổng n Sn  u1  u2   un   u1  un  2.1.2.Cấp số nhân * * Dãy số  un  cấp số nhân � un1  un q với n �� , q số không đổi gọi công bội cấp số nhân n 1 * Nếu dãy số  un  cấp số nhân un  u1.q * Nếu dãy số  un  cấp số nhân vơi q �1, q �0 tổng  qn Sn  u1  u2   un  u1 1 q 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Để thực đề tài tơi thực khảo sát thực tế sau: Trong năm học 2018– 2019 sau học sinh lớp 11 học hết chương II tức nghiên cứu đầy đủ dãy số theo chương trình sách giáo khoa Đại số giải tích 11 chương trình Tơi cho hai nhóm học sinh, nhóm 05 học sinh có lực học tương đương nhóm nhóm học sinh lớp 11B1 trường THPT Thường Xuân làm kiểm tra khảo sát 45 phút tiết buổi sáng thứ tuần học thứ 21 Nhóm Tên học sinh kiểm tra / điểm TB mơn tốn học kỳ 1( 2018-2019) Phong (8,3) C.Anh (7,5) Dũng (7,6) Sơn (6,5) H.Phương (5,8) Giang (8,2) Q Hoa (7,6) T.Anh (7,7) Q.Chi(6,6) Trang (5,9) (Bảng điểm học lực mơn tốn học sinh học kỳ năm học 2018-2019) Với đề kiểm tra sau: Câu (3 điểm) Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số xác định bởi: u1  u1  � � a) � b) � un1  un  2; n �1 un1  3un ; n �1 � � Câu (4 điểm) Tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy số u1  u 2 � � a ) �1 b) � un 1  un  n; n �1 un1  un  3n ; n �1 � � Câu (3 điểm) Tìm số hạng tổng quát dãy số  un   un  xác định bởi: xác định bởi: u1  � b) � un1  2un  ( n  1).3n ; n �1 � u1  � a) � un1  2un  5n; n �1 � Kết thu với mức điểm được làm tròn (theo số học sinh) Điểm Lớp Nhóm (số hs) Nhóm (số hs) 0–3 1 3,5 – 5,5 – 7,0 7,5 – 8,5 0 9-10 0 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề: Trước hết ta giải số toán để khai thác định nghĩa tính chất cấp số cộng cấp số nhân u1  � � u  un 1  2; n �2 Bài Cho dãy số  un  xác định công thức: �n Hãy tìm số hạng tổng quát dãy số Giải Từ công thức truy hồi cho suy  un  cấp số cộng có u1  công sai d  nên số hạng tổng quát un  u1   n  1 d � un  2n  Vậy un  2n  Kết luận u1  a � � un  un 1  b; n �2 �  un  thỏa mãn Để xác định số hạng tổng quát dãy số Ta làm sau un 1  un  b nên dãy số  un  cấp số cộng với số hạng thứ u1  a công sai b nên un  a  (n  1)b u 4 � �1 � u  un ; n �1 n  � u   � n Bài Cho dãy số xác định công thức: Hãy tìm số hạng tổng quát dãy số Giải Từ công thức truy hồi cho suy  un  cấp số nhân có u1  công n 1 �1 � un  u1.q n1 � un  4.� �  23 n q �2 � nên số hạng tổng quát bội 3 n Vậy un  Kết luận u1  a � � un  bun 1 ; n �2 � Để xác định số hạng tổng quát dãy số  un  thỏa mãn Ta thấy dãy số  un  cấp số cộng với số hạng thứ u1  a công bội b nên un  a.b n 1 u1  � � u  u  n ,  n � n 1 �n Bài Cho dãy số  un  có Tìm số hạng tổng quát un dãy số Giải Theo đề suy u1  u2  u1  u3  u2  un  un1  n Cộng n đẳng thức theo vế suy un        n  n  n  1     n  Trong n( n  1) n  n  un    2 Vậy: u1  � � un1  un  3n ; n �1 Bài Cho dãy số  un  xác định công thức: � Hãy tìm số hạng tổng quát dãy số Giải Theo đề suy u1  u2  u1  31 u3  u2  32 un1  un  3n Cộng n đẳng thức theo vế suy un   31  � 31  32   3n � � � un  2  3n   2   3n  1 1 n   1 Vậy số hạng tổng quát dãy số u1  � � un1  un  3n   2.5n ; n �1 Bài Cho dãy số  un  xác định công thức: � Hãy tìm số hạng tổng quát dãy số Giải Theo đề suy u1  u2  u1  3.1   2.51 u3  u2  3.2   2.52 un  un 1  3. n  1   2.5n1 Cộng n đẳng thức theo vế suy un   �      n  1 � 51  52  53   5n1 � � � � �  n  1  � u n  2       n  1   n  1 n Trong n 1 Và tổng A     tổng n  số hạng đầu cấp số nhân có số hạng thứ a1  , công bội q   q n1  5n1 5n � A  S n 1  a1 � A    1 q 4 4 n  n  1 n  �  � 3n  5n   5n un   n   �4 � 2 � � Vậy số hạng tổng quát dãy số un  3n  5n   5n   Trên sở cấp số cộng cấp số nhân cách tư tương tự ta giải số toán dãy số phức tạp mà thân khơng phải cấp số cộng cấp số nhân u1  � � u  u  6; n � u   n 1 Bài Cho dãy số n xác định cơng thức: �n Hãy tìm số hạng tổng qt dãy số Giải Ta xét un  a   un 1  a  � un  5un 1  4a � 4a  � a  Kết hợp với đề 3� � un  5un 1  � un   � un1  � 2 � � Vậy 3 � v1  u1   2  5vn1 Đặt v  v , công bội q  Suy dãy số  n  cấp số nhân có 7 �  v1.q n 1 �  5n1 � un    5n1  2 2 un  5n1  2 Vậy số hạng tổng quát dãy số cho Kết luận: Theo cách giải toán ta tìm số hạng tổng qt u1   � � u  qun  f  n  ; n �1 dãy số cho bới cơng thức truy hồi có dạng: �n1 Trong  ,q số cho, f  n  đa thức theo biến số n * Nếu q  ta toán đơn giản trình bày phần I  un  * Nếu q �1 ta phải tìm đa thức g  n  có bậc bậc f  n  cho u  qun  f  n  � un1  g  n  1  q � un  g  n  � � � phương trình n1 Khi việc tìm un trở thành tìm dãy số   cấp số nhân Bài Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho công thức truy hồi u1  � � un  un1  6n  2n; n �2 a) � b) u1  � � un1  3un  4n  2; n �1 � u1  � � un1  9un  8n  14n  1; n �1 � c) Giải a) Theo đề suy u1  u2  u1  6.22  2.2 u3  u2  6.32  2.3 u4  u3  6.42  2.4 … un  un 1  6.n2  2.n Cộng n đẳng thức theo vế ta un   � 22  32   n � � �     n  � un   � 12  22  32   n � � �      n   � un  1  n  n  1  2n  1  n  n  1  2n3  2n  Vậy số hạng tổng quát dãy số cho un  2n  2n  b) Từ đề suy f  n   4n  đa thức bậc ẩn n nên ta xét đa thức un  g  n  � g  n   an  b cho un 1  g  n  1  � � � � un1  a  n  1  b  3 un  an  b  � un1  3un  2an  2b  a Mà un1  3un  n  nên ta phải có 2a  a2 � � 2an  2b  a  4n  � � �� 2b  a  2 � b  � Do un1   n  1  3 un  2n  Đặt  un  2n � v1  u1   vn1  3vn Suy   cấp số nhân có v1  , cơng bội q  �  v1 q n 1 �  3.3n 1  3n mà  un  2n � un  3n  2n n Vậy số hạng tổng quát dãy số cho un   2n c) Từ đề suy f  n   8n  14n  đa thức bậc hai ẩn n nên ta xét đa u  g  n  1  � un  g  n  � � � thức g  n   an  bn  c cho n 1 � un1  a  n  1  b  n  1  c  � un  an  bn  c � � � � un1  9un  8an   8b  2a  n  8c  b  a Mà un1  9un  8n  14n  nên ta phải có 8an   8b  2a  n  8c  b  a  8n  14n  8a  � � 8an   8b  2a  n  8c  b  a  8n  14n  � � 8b  2a  14 � 8c  b  a  � 1 � a  1; b  2; c  g  n   n  2n  suy 1� � � un 1   n  1   n  1   � un  n  2n  � 2� � Do 17  un  n  2n  � v1  u1   2 vn1  9vn Đặt 17 v  , công bội q  Suy   cấp số nhân có 17 17 �  v1.q n1 �  9n1  32 n 2 1 � 17 �2  un  n  2n  � un   � n  2n  � 32 n 2  n  2n  2� 2 � Mà 17 un  32 n   n  2n  2 Vậy số hạng tổng quát dãy số cho Bài tập tương tự: Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho công thức truy hồi b) u1  � � un  un1  4n3  6n; n �2 � u1  � � un 1  5un  8n  3; n �1 � c) u1  � � un1  2un  3n  4n  1; n �1 � a) Bài Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho bới công thức truy hồi u1  � � un  un1   n  3 2n ; n �2 � Giải Cách Theo đề suy u1  u2  u1    3 22 u3  u2    3 23 u4  u3    3 … un  un1   n  3 2n Cộng n đẳng thức theo vế ta un   2.22  3.33   n.3n  � 22  23   2n � � � n Trong tổng A     tổng n  số hạng đầu cấp số nhân có phần tử thứ a1   , công bội q   q n1  2n1 � A  a1 � A   2n 1  1 q 1 n Xét B  2.2  3.2  4.2   n.2 � B  2.23  3.24  4.25   n.2n 1 Trừ theo vế hai đẳng thức suy B  B  2.22  23  24   n  n.2n 1 �  B  A  2  n.2n1  2n 1  n.2n 1 � B   n  1 2n1 � un   B  A    n  1 2n1   2n1     n   n1  13 n 1 Vậy số hạng tổng quát dãy số un   n    13 n 1 Cách Xét hàm số g  n    an  b  cho un  g  n   un1  g  n  1 n � un   an  b  2n1  un1  � a  n  1  b � � �2 � un  un 1  � a  n  1  b � 2n � � n u  u  n    n n  Mà nên ta phải có a  a  1 � � a  n  1  b  n  � � �� a  b  3 � b4 � n 1 � g  n    n   n u    n   2n1  un 1  �   n  1  4� � �2 Do đo n n 1 Đặt  un    n   � v1  u1   1    13  1 Suy   cấp số nhân có v1  13 , cơng bội q  n 1 n 1 �  v1.q n1 �  13 mà  un    n   � un  13   n   n 1 Vậy số hạng tổng quát dãy số un   n    13 Chú ý: Dãy số u  n thỏa mãn 10 u1  u1  � � � � � un  un 1   n  3 2n ; n �2 � un1  un   n   n 1; n �1 � Tương tự cách giải tập ta tìm số hạng tổng quát dãy số cho bới công thức truy hôi sau: u1   � � un1  qun  f  n   n ; n �1 � Trong  , q,  số cho, f  n  đa thức theo biến số n Kết luận: * Nếu q    ta tìm đa thức g  n  có bậc bậc f  n  cộng với cho un 1  g  n  1  un  g  n  Khi ta đưa tốn tìm số hạng tổng qt cấp số nhân * Nếu   q �1 , ta có đề với cách giải tương tự tập số * Nếu  �1 , q � , ta tìm đa thức g  n  có bậc bậc f  n  cho un1  g  n  1  n1  q � un  g  n   n � � � g n * Nếu q   �1 , ta tìm đa thức   có bậc bậc f  n  cộng với un1  g  n  1  n1  q � un  g  n   n � � � cho Vấn đề thể rõ ràng qua ví dụ sau theo thứ tự tương ứng Bài Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho công thức truy hồi u1  � � un1  un  2n  n; n �1 � Giải Theo đề � q    , bậc f  n  � bậc g  n  3 g n  an  bn  cn  d cho   Xét un 1  g  n  1  un  g  n  � un1  a  n  1  b  n  1  c  n  1  d  un  an3  bn  cn  d � un1  un  3an   3a  2b  n   a  b  c  Mà un 1  un  2n  n nên ta phải có 3a  � � 3an   3a  2b  n   a  b  c   2n  n � � 3a  2b  � abc 0 � 11 5 � a   ; b  ; c   � g  n    n3  n  n 6 Do un1  g  n  1  un  g  n    1 Đặt vn1  n 1 Suy   cấp số nhân có v1  , cơng bội q  �  v1.q   un  g  n  � un   g  n   n  n  n  mà un  n3  n  n  Vậy số hạng tổng quát dãy số Chú ý: tập giải theo cách số 7a  un  g  n  � v1  u1  g  1   Bài 10 Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho công thức truy hồi u1  � � un 1  2un  n  3n  1; n �1 � Giải Theo đề � q  2,   , bậc f  n  suy bậc g  n  2 un  g  n  � g n  an  bn  c cho: un 1  g  n  1  �   � � Xét � un1  a  n  1  bn  c  � un  an  bn  c � � � � un 1  2un  an   b  2a  n  c  a a 1 a 1 � � � � b  2a  3 � � b  1 � � � c  a 1 c2 � Mà un 1  2un  n  3n  nên ta phải có � un  g  n  � � g  n   n  n  un1  g  n  1  � � � Đặt  un  g  n  � v1  u1  g  1  1  2vn n 1 n 1 n Do   cấp số nhân có cơng bội q  nên  v1.q  2.2  � un   g  n   2n  n  n  n Vậy số hạng tổng quát dãy số cho un   n  n  Bài 11 Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho công thức truy hồi u1  � � � un 1  un   n  1 3n ; n �1 � Giải 12 Theo đề � q  1,   , bậc f  n  suy bậc g  n  2 n 1 n Xét hàm số g  n   an  bn  c cho un1  g  n  1  un  g  n  � un 1  � a  n  1  b  n  1  c � 3n 1  un  � an  bn  c � 3n � � � � � un1  un  � 2an   2b  6a  n  2c  3b  3a � 3n � � un 1  un   n  1 3n Mà nên ta phải có �2a  1 � � a   ; b  ; c  2 �2b  6a  2 �2c  3b  3a  � n 1 n � g  n    n2  n  u  g n   u  g n     n  n 2 n Đặt  un  g  n  � v1  u1  g  1  2 vn1  Do   cấp số nhân có cơng bội q  nên  v1  2 �1 �n � 2  un  g  n  3n � un  2  g  n  3n  2  � n  n  � 2 � � �1 �n un  2  � n  n  � 2 � � Vậy số hạng tổng quát dãy số cho Bài 12 Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho công thức truy hồi u1  � � un1  2un   n  1 3n ; n �1 � Giải Theo đề � q  2,   3; q � , bậc f  n  suy bậc g  n  un1  g  n  1 3n1  � un  g  n  3n � g n  an  b   � � Xét hàm số cho � un1  � a  n  1  b � 3n 1  2un   an  b  3n � � � un1  2un   an  b  3a  3n a  a  1 � � � � � b  3a  � b2 � n u  u  n    n  n Mà nên ta phải có � g  n    n  n v  u  g n � v  u  g  vn1  2vn     n n 1 Đặt n 1 n 1 Do   cấp số nhân có cơng bội q  nên  v1.q  3.2 � 3.2n1  un  g  n  3n � un  3.2n 1   n   3n n 1 n Vậy số hạng tổng quát dãy số cho un  3.2   n   13 Bài 13 Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho công thức truy hồi u1  � � un1  2un   n  5 2n ; n �1 � Giải Theo đề � q    , bậc f  n  suy bậc g  n  2 Xét hàm số g  n   an  bn  c cho un 1  g  n  1 n1  � un  g  n  2n � � � � un 1  � a n   b  n  1  c � n1  � un   an  bn  c  n �   � � � � � un1  2un   4an  2b  2a  2n 4a  � � a   ;b   � 2b  2a  4 � n Mà un1  2un   n  5 nên ta phải có � g  n    n  n 4 u  g  n  1 2n1  � un  g  n  n � � � Và n1 n Đặt  un  g  n  � v1  u1  g  1  2 vn1  2vn n 1 n 1 n Do   cấp số nhân có công bội q  nên  v1.q  2.2  2 � �n � 2 n  u n  g  n  n � u n   n  �  n  n�  2 n   n2  9n  n 2 � �4 u  2n   n  9n  2n2 Vậy số hạng tổng quát dãy số cho n Bài 14 Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho công thức truy hồi u1  � � un1  3un  2n    n  1 3n ; n �1 � Giải Theo đề � q  3,   , bậc 2n  bậc n  n u  g  n  1  � u n  g  n � g n  an  b  n cn  d     � � Xét cho: n1 un1  a  n  1  b   n  1 � c  n  1  d � 3n1  � u n  an  b  n  cn  d  3n � � � � � � un1  3u n 2an  2b  a   6cn  3d  3c  3n n Mà un 1  3un  2n    n  1 nên ta phải có : 14 2a  � � 2b  a  1 � � a  1; b  1; c  ; d   � 6c  1 � � 3d  3c  � �n �1 � g  n  n   n� n  � u n g  n � � un 1  g  n  1  � �6 � � Đặt  u n  g  n  � v1  u  g  1  vn1  3vn n 1 n 1 Do   cấp số nhân có công bội q  nên  v1q  2.3 � 2.3n1  u n  g  n  � un  2.3n1  g  n  Vậy số hạng tổng quát dãy số cho �n �1 u n  2.3n 1  n   n � n  � � � Bài 15 (Đề thi HSG mơn Tốn THPT tỉnh Thanh hóa năm 2019) cho dãy số u1  � � u  4un  3.4n , n ��* xác định �n1 Tìm số hạng tổng quát un Giải Theo đề � q    �1 , bậc f  n  suy bậc g  n  Xét hàm số g  n   an  b, (a �0) cho un 1  g  n  1 4n1  � un  g  n  4n � � � � un1  � a  n  1  b � n1  � un   an  b  4n � � � � � � un1  4un   4a  4n a   n b tùy ý, nên ta chọn b  Mà un 1  4un  3.4 nên ta phải có � g  n    n 3(n  1) n1 � 3n n � un1   � un  � 4 � � Và 3n  un  n � v1  u1  41  1 4 Đặt vn1  4vn n 1 n 1 n 1 Do   cấp số nhân có cơng bội q  nên  v1.q  1.4  4 3n 3n  3n  1  un  4n � un  4n1  n  4 n � 4 n 1 15 un  (3n  1).4n Vậy số hạng tổng quát dãy số cho Bài 16 cho dãy số (un ) xác định sau Giải Theo đề suy un   2un 1  3(un 1  2un ) Đặt  un1  2un u1  2, u2  � � un  5un1  6un , n �1 � Tìm un � v1  u2  2u1  Và vn1  3vn nên dãy   cấp số nhân với công bội q   v1.q n 1  3n1 � 3n1  un1  2un � un1  2un  3n 1  2un  3n Vậy Theo đề � q  2,   3; q � , bậc f  n  suy bậc g  n  un1  g  n  1 3n1  � u n  g  n  3n � g n  a   � � Xét hàm cho � un 1  a.3n 1  2(un  a3n ) � un1  2un  ( a)3n 1 1 un1  2un  3n a  � a  nên ta phải có 3 Mà 1 � g  n  1 w n  un  3n � w1  u1  31  3 Đặt w n1  2w n n 1 n 1 Do  w n  cấp số nhân có cơng bội q  nên w n  w1.q  � 2n1  un  3n � un  2n1  3n1 un  2n 1  3n 1 Vậy số hạng tổng quát dãy số cho Kết luận: Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho công thức truy hồi u1  a1 , u2  a2 � � u  aun 1  bun  c; n �1 sau: �n  Cách làm sau: phân tích un   xun 1  y (un 1  xun )  c � un   ( x  y )un 1  xyun  c 16 �x  y  a �� �xy  b nên x, y hai nghiệm phương trình X  aX  b  Giả sử phương trình có hai nghiệm  ,  Khi un    un1   (un1   un )  c n 1 n 1 Đặt vn1  un 1   un vn1   �  v1 � un 1   un  v1 Bài toán giải trên, từ tìm  u n  Bài tập tương tự Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho công thức truy hồi sau: u1  u1  � � � � u  2un  3n  1; n �1 un  un 1  n  2n; n �2 a) � b) �n 1 u1  � � un  un 1   n  1 3n ; n �2 � c) u1  10 � � � un1  3un   2n  1 2n ; n �1 � d) u1  1, u2  � � un  3un 1  2un ; n �1 � u1  1, u2  � � un  3un1  2un  4; n �1 � e) f) Bây ta xét tốn tìm số hạng tổng quát dãy số cách quy cấp số nhân theo khía cạnh khác Bài 17 Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho công thức truy hồi u1  � � un � u  ; n �1 n  �  n  u   n � Giải   2n   u n 1  �   2n  3; n �1 un un1 un Từ giả thiết suy un1  u Do 1   2.1  u2 u1 1   2.2  u3 u 1   2.3  u4 u3 17 … 1   2. n  1  un un1 Cộng theo vế n đẳng thức ta 1 2�      n  1 � � �  n  1 un 1 �    n  1 n   n  1  n  2n  � un  un n  2n  un  n  2n  Vậy số hạng tổng quát dãy số cho Bài 18 Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho bới công thức truy hồi u1  1 � � 2un � u  ; n �1 n  �  n  u   n � Giải   3n   un 1  �   n  ; n �1 2un un1 2un 2 Theo đề suy un1 1  � v1   1 v  v  n  ; n �1 n  n un 1 2 Đặt vn1  g  n  1  Xét g  n   an  b cho � vn1  a  n  1  b    an  b  1 � vn1   an  a  b 2 �  g  n  � � 2� �1  a  � a  3 � �2 �� � b  1 � � a  b  vn1   n  2 2 nên ta phải có � Mà v  g n   �  g  n  �   n  � � g  n   3n  2� x  xn n  x  v  g n � x  v  g     1   Đặt n n q  n 1 1 n nên xn  x1.q  3.2 Do  xn  cấp số nhân có cơng bội 18 �  xn  g  n   3.21n  3n  � un  3.2  3n  1 n  3.2  n  Vậy số hạng tổng quát dãy số cho Theo cách tư tập nêu ta tìm số hạng tổng quát dãy số cho cơng thức truy hồi có dạng sau: u1   � � aun � un1  ; n �1 n � � � b  f n  g n  u     n � � � Trong a, b, ,  số thực cho trước,  �0 ; f  n  g  n  đa thức theo biến số tự nhiên n un  1 n Ví dụ: Tìm số hạng tổng qt dãy số  un  cho công thức truy hồi: a) u1  � � un � un1  ; n �1 �  2n.un � u1  � � 3un � un1  ; n �1 �  n  n  u   n c) � u1  � � un1 � un  ; n �2 �   n  n  3n  u n  b) � u1  � � un � u  ; n �1 n  n �  n  u   n d) � u1  � � un 1 � u  n �   2n  1 3n.u ; n �2 n 1 e) � Bài 19 Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  cho công thức truy hồi u1  1 � � 2un � u  ; n �1 n  �  n  u   n � Giải   3n   un 1  �   n  ; n �1 2un un1 2un 2 Theo đề suy un1 Đặt  1 � v1   1 v  v  n  ; n �1 n  n un 1 2 19 Xét g  n   an  b cho vn1  g  n  1   g  n  � � � 2� 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường: Trong trình thực đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm số tập nắm tình hình tiếp thu học Nhưng để có kết luận tồn diện nên học kì II năm học 2018 – 2019 học sinh nhóm học song phần liên quan đến nội dung đề tài này, nhóm chưa học, sau tơi cho hai nhóm nhóm phần khảo sát ban đầu làm kiểm tra 45 phút Trong nhóm nhóm thực nghiệm q trình triển khai đề tài nhóm nhóm đối chứng không tham gia việc triển khai đề tài Nội dung đề kiểm tra Câu (3 điểm) Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số xác định bởi: u1  u1  � � a) � b) � un 1  un  1; n �1 un1  2un ; n �1 � � Câu (4 điểm) Tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy số u1  u1  � � a) � b) � un1  un  2n; n �1 un1  un  2n ; n �1 � � Câu (3 điểm) Tìm số hạng tổng quát dãy số  un   un  xác định bởi: xác định bởi: u1  � b) � un1  3un  (n  1).2n ; n �1 � u1  � a) � un1  3un  4n; n �1 � Nhóm thực nghiệm: Nhóm (05 học sinh) Nhóm đối chứng: Nhóm (05 học sinh) Kết thu với mức điểm được làm tròn (theo số học sinh) Điểm 0–3 3,5 – 5,5 – 7,0 7,5 – 8,5 9-10 Lớp Nhóm (số hs) Nhóm (số hs) 1 1 Căn vào kết kiểm tra đối chiếu so sánh kết làm nhóm thực nghiệm nhóm lại khơng tham gia thực nghiệm ta thấy với nội dung trình bày đề tài giúp em học sinh nhóm giải vấn đề đặt đề kiểm tra, đồng thời học sinh nhóm tự tin làm kiểm tra lần 20 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận: Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh có học lực từ trung bình trở lên mơn tốn lớp 11 số dạy bồi dưỡng, chủ yếu hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung trình bày Tơi thấy em học sinh tự tin đứng trước toán dãy số phép biến đổi dãy số góp phần đáng kể nâng cao khả tư yêu cầu cần thiết người học Tốn nói riêng học mơn tự nhiên nói chung Trong nhiều năm gần bạn đồng nghiệp trường số trường tỉnh viết sáng kiến kinh nghiệm nhận thấy việc chấm sáng kiến kinh nghiệm khách quan, xác, việc phổ biến sáng kiến ngành đưa lên trang web ngành để giáo viên trường THPT tìm hiểu nghiên cứu góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy giáo viên nâng cao chất lượng học tập học sinh Với thời lượng hạn chế, chưa thể mở rộng đề tài sáng kiến được, tiếp tục phát triển đề tài năm Bên cạnh tơi mong góp ý thầy cô giáo bạn đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện 3.2 Kiến nghị: nhà trường xem đề tài tài liệu tham khảo cho bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn phần dãy số lưu thư viện nhà trường để đồng nghiệp học sinh tham khảo 3.3 Danh mục đề tài SKKN mà tác giả Hội đồng SKKN Ngành GD, huyện, tỉnh cấp cao đánh giá đạt từ loại C trở lên Họ tên tác giả: Đỗ Văn Hào Chức vụ đơn vị công tác: giáo viên trường THPT Thường Xuân T T Tên đề tài SKKN Hướng dẫn học sinh tìm tòi phát triển toán Hướng dẫn học sinh THPT Thường Xuân sử dụng máy tính Casio FX-570ES giải toán Hướng dẫn học sinh THPT sử Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Ngành GD C 2006-2007 Ngành GD C 2012-2013 Ngành GD C 2015-2016 Năm học đánh giá xếp loại 21 dụng đường thẳng đường tròn mặt phẳng để giải biện luận số hệ phương trình hệ bất phương trình đại số Xác nhận Hiệu trưởng Thường Xuân, ngày 22 tháng năm 2019 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm tự viết chép Nếu sai xin chịu trách nhiệm! Tác giả Đỗ Văn Hào 22 ... Sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát số dãy số truy hồi có quy luật đặc biệt cấp thiết 1.2 Mục đích nghiên cứu: Những vấn đề tơi trình bày sáng kiến với mục đích sau Truy n... nói tơi phải nghiên cứu dãy số tính chất cấp số cộng, cấp số nhân Để qua hình thành cách tìm số hạng tổng quát số dãy số thường gặp dựa vào sử dụng cấp số cộng cấp số nhân 1.4 Phương pháp nghiên... 2.1.2 .Cấp số nhân * * Dãy số  un  cấp số nhân � un1  un q với n �� , q số không đổi gọi công bội cấp số nhân n 1 * Nếu dãy số  un  cấp số nhân un  u1.q * Nếu dãy số  un  cấp số nhân