SKKN sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của một số dãy số truy hồi có quy luật đặc biệt

Lí do chọn đề tài: Trong hai năm trở lại đây đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán bậc THPTtỉnh Thanh hóa luôn có câu hỏi về dãy số với mức độ khó so với các bài tậptrong sách giáo khoa hi

Phương pháp nghiên cứu……… 3

2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm……… 3

Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,

với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường……… 19

Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được hội đồng SKKN

Ngành GD huyện, tỉnh và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài:

Trong hai năm trở lại đây đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán bậc THPTtỉnh Thanh hóa luôn có câu hỏi về dãy số với mức độ khó so với các bài tậptrong sách giáo khoa hiện hành và cũng không có bài tập nào trong sách giáokhoa tương tự như vậy làm cho nhiều học sinh khó khăn khi giải quyết vấn đề

Cụ thể:

Câu III ý 2 (Đề thi HSG môn Toán THPT tỉnh Thanh hóa năm 2018): cho

dãy số ( )u n xác định như sau

dãy số xác định bởi

1

* 1

sở lý thuyết của sách giáo Đại số và giải tích 11 chương trình cơ bản, do đónhững học sinh có nhu cầu tìm hiểu sâu thêm về dãy số hoặc những học sinh ônthi học sinh giỏi rất khó tìm cho mình một cuốn tài liệu để đọc phù hợp

Mục tiêu của tổ bộ môn toán trường THPT Thường Xuân 2 là phải xâydựng được chuyên đề về dãy số phù hợp với cấu trúc đề thi của tỉnh nhà và bámsát chương trình sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 chương trình cơ bản

Hiện tại chưa có nhiều tài liệu nghiên sâu vấn đề này mà lại bám sátchương trình sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 chương trình cơ bản, đồngnghiệp trong nhóm chuyên môn chưa có nhiều kinh nghiệm để giải quyết, khắcphục

Do vậy, tôi lựa chọn đề tài “Sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của một số dãy số truy hồi có quy luật đặc biệt” là cấp thiết 1.2 Mục đích nghiên cứu:

Những vấn đề tôi trình bày trong bản sáng kiến với mục đích sau

Truyền đạt đến học sinh một cái nhìn toàn diện về dãy số theo quan điểm củahọc sinh trung học phổ thông không chuyên Hệ thống và phân tích các bài tập

về dãy số một cách logic từ dễ đến khó

Qua việc luyện tập các bài toán về dãy số ta sẽ thấy nó là các phép thế tuyệt đẹp,

nó là phép quy nạp từ các vấn đề đơn giản đến phức tạp tổng quát và là phépbiến đổi điển hình của đại số và giải tích

Hướng dẫn học sinh tìm lời giải một cách tự nhiên cho các bài toán về dãy sốchánh sự gượng ép máy móc

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã phảinghiên cứu về dãy số và các tính chất của cấp số cộng, cấp số nhân Để qua đóhình thành cách tìm số hạng tổng quát của một số dãy số thường gặp dựa vào sửdụng cấp số cộng và cấp số nhân

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Phương pháp ghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết cho việc tìm số hạngtổng quát cho một số dãy số thường gặp bằng cách sử dụng cấp số cộng, cấp sốnhân

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:

2.1.1.Cấp số cộng

* Dãy số  u là cấp số cộng n  u n1u n d với    , trong đó d là số n *

không đổi gọi là công sai của cấp số cộng

* Dãy số  u là cấp số nhân n  u n1 u q n với    , trong đó q là số n *

không đổi gọi là công bội của cấp số nhân

* Nếu dãy số  u là cấp số nhân thì n 1

1 n n

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

Để thực hiện được đề tài của mình tôi đã thực hiện khảo sát thực tế nhưsau:

Trong năm học 2018– 2019 sau khi học sinh lớp 11 đã học hết chương II tức làkhi đã nghiên cứu khá đầy đủ về dãy số theo chương trình sách giáo khoa Đại

số và giải tích 11 chương trình cơ bản Tôi cho hai nhóm học sinh, mỗi nhóm 05

học sinh có lực học tương đương là nhóm 1 và nhóm 2 và đều là học sinh lớp11B1 trường THPT Thường Xuân 2 làm bài kiểm tra khảo sát 45 phút trong tiết

5 của buổi sáng thứ 2 tuần học thứ 21

Nhóm Tên học sinh được kiểm tra / điểm TB môn toán học kỳ 1( 2018-2019)

1 Phong (8,3) C.Anh (7,5) Dũng (7,6) Sơn (6,5) H.Phương (5,8)

2 Giang (8,2) Q Hoa (7,6) T.Anh (7,7) Q.Chi(6,6) Trang (5,9)

(Bảng điểm học lực môn toán các học sinh ở học kỳ 1 năm học 2018-2019)

Với đề kiểm tra như sau:

Câu 1 (3 điểm) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số xác định bởi:

2)

3 ; 1

u b

22

u u

11

u u

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:

Trước hết ta giải quyết một số bài toán rất cơ bản để khai thác định nghĩa

Để xác định số hạng tổng quát của dãy số  u thỏa mãn n

Ta làm như sau u n1 u n b nên dãy số  u là cấp số cộng với số hạng n

thứ nhất u1 avà công sai b nên u n  a (n 1) b

Bài 2 Cho dãy số  u xác định bởi công thức: n

1

1

41

Bài 4 Cho dãy số  u xác định bởi công thức: n

u      

Vậy số hạng tổng quát của dãy số là 2 33 1 

2

n n

u   n       n  n 

Vậy số hạng tổng quát của dãy số là 1 2 

2

n n

Trên cơ sở của cấp số cộng và cấp số nhân và cách tư duy tương tự các bàitrên ta sẽ giải quyết một số bài toán về dãy số khá phức tạp dưới đây mà bảnthân nó không phải cấp số cộng hoặc cấp số nhân

Bài 6 Cho dãy số  u xác định bởi công thức: n

Kết luận: Theo cách giải của bài toán trên ta có thể tìm được số hạng tổng quát

của các dãy số cho bới công thức truy hồi có dạng:  

Trong đó ,q là các hằng số đã cho, f n là đa thức theo biến số n 

* Nếu q  ta được bài toán rất đơn giản như đã trình bày trong phần I1

* Nếu q  ta phải tìm một đa thức 1 g n có bậc bằng bậc của   f n sao cho  

phương trình u n1 qu n  f n   u n1g n 1 q u n g n 

Khi đó việc tìm u n sẽ trở thành tìm v ntrong đó dãy số  v là một cấp số nhân n

Bài 7 Tìm số hạng tổng quát của các dãy số  u cho bởi công thức truy hồi n

a)

1

2 1

Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un  2 n3  2 n2  1.

b) Từ đề bài suy ra f n  4n 2. là đa thức bậc nhất ẩn n nên ta xét đa thức

Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là u n 3n  2 n

c) Từ đề bài suy ra f n  8n2 14n là đa thức bậc hai ẩn 1 n nên ta xét đa

Trong đó tổng A  22 23 2 n là tổng n  số hạng đầu của một cấp số 1

nhân có phần tử thứ nhất a  1 22 4, công bội q 2

1 1

Kết luận:

* Nếu q   ta sẽ tìm đa thức 1 g n có bậc bằng bậc của   f n cộng với 1 

sao cho u n1g n 1 u n g n  Khi đó ta sẽ đưa về bài toán tìm số hạngtổng quát của một cấp số nhân

* Nếu  1và q  , ta có đề bài với cách giải tương tự bài tập số 8.1

* Nếu  1 , q  , ta sẽ tìm đa thức g n có bậc bằng bậc của   f n sao cho 

Chú ý: bài tập này có thể giải theo cách của bài số 7a.

Bài 10 Tìm số hạng tổng quát của các dãy số  u cho bởi công thức truy hồi n

1

2 1

Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là u n 2n  n2  n 2.

Bài 11 Tìm số hạng tổng quát của các dãy số  u cho bởi công thức truy hồi n

1

2 1

Theo đề  q1,  , bậc của 3 f n bằng 2 suy ra bậc của   g n bằng 2 

Bài 13 Tìm số hạng tổng quát của các dãy số  u cho bởi công thức truy hồi n

Do đó  v là cấp số nhân có công bội n q  nên 3 1 1

1 n 2.3n n

Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là

(3 1).4

.4

n n

 nên ,x y là hai nghiệm phương trình X2  aX b 0.

Giả sử phương trình có hai nghiệm là , 

; 1.

n n

Trong đó , , ,a b   là các số thực cho trước,   ; 0 f n và   g n là các đa  

thức theo biến số tự nhiên n

Ví dụ: Tìm số hạng tổng quát của các dãy số  u cho bởi công thức truy hồi: n

; 1

n n

Trong quá trình thực hiện đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm một

số bài tập tôi đã nắm được tình hình tiếp thu bài học Nhưng để có được sự kếtluận toàn diện nên giữa học kì II năm học 2018 – 2019 khi học sinh nhóm 1 đãhọc song các phần liên quan đến nội dung của đề tài này, nhóm 2 chưa đượchọc, sau đó tôi đã cho cả hai nhóm 1 và nhóm 2 ở phần khảo sát ban đầu cùnglàm bài kiểm tra 45 phút Trong đó nhóm 1 là nhóm thực nghiệm trong quátrình triển khai đề tài còn nhóm 2 là nhóm đối chứng không tham gia trong việctriển khai đề tài

Nội dung đề kiểm tra

Câu 1 (3 điểm) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số xác định bởi:

3)

2 ; 1

u b

33

u u

12

u u

tự tin hơn khi làm bài kiểm tra ở lần 2 này

3 Kết luận, kiến nghị

3.1 Kết luận:

Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh có học lực từ trung bình khátrở lên ở môn toán lớp 11 trong một số giờ dạy bồi dưỡng, chủ yếu là hướngdẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung như đã trình bày Tôi thấy các em học sinh

đã tự tin hơn khi đứng trước bài toán về dãy số và các phép biến đổi trong dãy

số sẽ góp phần đáng kể nâng cao khả năng tư duy đó là một yêu cầu rất cần thiếtđối với người học Toán nói riêng và học môn tự nhiên nói chung

Trong nhiều năm gần đây tôi và các bạn đồng nghiệp trong trường và một

số trường trong tỉnh viết sáng kiến kinh nghiệm đều nhận thấy rằng việc chấmsáng kiến kinh nghiệm rất khách quan, chính xác, việc phổ biến sáng kiến trongngành được đưa lên trang web của ngành để các giáo viên trong các trườngTHPT có thể tìm hiểu và nghiên cứu đã góp phần nâng cao chất lượng giảng dạycủa giáo viên và nâng cao chất lượng học tập của học sinh

Với thời lượng hạn chế, tôi chưa thể mở rộng đề tài trong sáng kiến nàyđược, tôi sẽ tiếp tục phát triển đề tài này trong các năm tiếp theo Bên cạnh đótôi rất mong sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp để đề tàiđược hoàn thiện hơn

3.2 Kiến nghị: đối với nhà trường xem đề tài này là tài liệu tham khảo cho bồi

dưỡng học sinh giỏi môn toán phần dãy số và được lưu ở thư viện nhà trường đểcác đồng nghiệp và học sinh tham khảo

3.3 Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được Hội đồng SKKN Ngành

GD, huyện, tỉnh và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C trở lên.

Họ và tên tác giả: Đỗ Văn Hào

Chức vụ và đơn vị công tác: giáo viên trường THPT Thường Xuân 2

T

Cấp đánh giá xếp loại

(Ngành GDcấphuyện/tỉnh;

Tỉnh )

Kết quả đánh giá xếp loại

(A, B,hoặc C)

Năm học đánh giá xếp loại

1 Hướng dẫn học sinh tìm tòi và

phát triển một bài toán Ngành GD C 2006-2007

2

Hướng dẫn học sinh THPT

Thường Xuân 2 sử dụng máy

tính Casio FX-570ES trong

giải toán

3 Hướng dẫn học sinh THPT sử Ngành GD C 2015-2016

Xác nhận của Hiệu trưởng Thường Xuân, ngày 22 tháng 5 năm 2019

Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệmnày do tôi tự viết chứ không phải đi saochép Nếu sai tôi xin chịu mọi trách nhiệm!

Tác giả

Đỗ Văn Hào