SKKN phát huy tính chủ động, sáng tạo của học sinh thông qua bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Bài tốn tính giới hạn dãy số tốn khó học sinh trung học phổ thơng nói chung học sinh khối 11 nói riêng Bài toán thường xuất đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, đề thi Olympic 30 tháng 4, đề thi học sinh giỏi quốc gia Liên quan đến dạng tốn có nhiều sách giáo khoa, sách tham khảo đề cập đến, nhiên sách đề cập kỹ sở lý thuyết để dẫn đến phương pháp giải cụ thể phù hợp với kiến thức phổ thông chưa nhiều Đôi đưa cơng thức, quy trình giải cách áp đặt chưa logic Do đủ sở lý thuyết nên áp dụng kết học sinh thường thắc mắc “tại lại có vậy?” hay “Sao lại có kết đó?” ; Cũng khơng có đủ sở lý thuyết nên em học sinh khó nhớ cơng thức, khơng tìm mối liên hệ tốn, khơng tự xây dựng lớp tốn dạng quy trình để giải tốn đó; Điều làm ảnh hưởng đến khả tìm tịi sáng tạo tốn học sinh – yếu tố quan trọng người học tốn Để tính giới hạn dãy số ta có nhiều phương pháp, có phương pháp tìm số hạng tổng quát dãy số; để xác định số hạng tổng quát dãy số ta lại có nhiều phương pháp Vì lí thời lượng nên SKKN xin đề cập phương pháp xác định SHTQ số dạng dãy số có cơng thức truy hồi dạng đặc biệt cách sử dụng CSC-CSN.Vì tơi chọn sáng kiến kinh nghiệmlà:“Phát huy tính chủ động, sáng tạo học sinh thông qua tốn tìm số hạng tổng qt dãy số có công thức truy hồi đặc biệt cách sử dụng cấp số cộng-cấp số nhân” 1.2 Mục đích nghiên cứu Trong phạm vi đề tài tơi khơng có tham vọng đưa hệ thống kiến thức hoàn toàn mới, kết mặt toán học; tơi trình bày kết mà trình dạy học cấp số cộng, cấp số nhân, dãy số giới hạn tơi tích luỹ, tìm tịi; nhằm hướng tới mục đích giúp em học sinh chủ động, sáng tạo việc xác định SHTQ dãy số qua tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi Trên sở từ số toán điển hình tơi đưa phương pháp giải cho tốn nhóm tốn tương tự; đồng thời giúp học sinh khái quát hóa để toán đưa phương pháp giải tương ứng, qua giúp rèn luyện, phát triển tư giải toán cho học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu dãy số cho cơng thức truy hồi đặc biệt mà dùng tính chất CSC-CSN để tìm số hạng tổng quát áp dụng vào học sinh lớp 11A1 trường THPT Vĩnh Lộc - Vĩnh Lộc - Thanh Hoá 1.4 Phương pháp nghiên cứu + Nghiên cứu lý luận dạy học, tìm hiểu tài liệu liên quan + Thực hành qua dạy + Khảo sát thực tế, thu thập thông tin + Thống kê, xử lý số liệu NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Cấp số cộng Định nghĩa: Cấp số cộng dãy số (hữu hạn vô hạn) thoả mãn: u n u n d ( n N* ) [1], d số thực khơng đổi gọi “cơng sai” Tính chất: Số hạng tổng quát cấp số cộng: u u n n d [1] Tổng n số hạng đầu cấp số cộng: Sn u1 u un n 2u n 1d n u u n [1] 2.1.2 Cấp số nhân Định nghĩa: Cấp số nhân dãy số (hữu hạn hay vô hạn) thoả mãn: số không đổi gọi “công bội ”[1] u n u q n N * n ( ),q Tính chất: Số hạng tổng quát: u u qn n [1] Tổng n số hạng đầu cấp số nhân Sn u1 u un u qn q 1 (q 1)[1] (nếu q = hiển nhiên S = n.u1) 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Khi dạy chủ đề dãy số giới hạn dãy số ta bắt gặp số toán sách giáo khoa lớp 11 số đề thi học sinh giỏi sau: u1 10 u Bài tập Cho dãy số (un) xác định sau: v u a) Chứng minh dãy số b) Tính limun[1] (vn) xác định n u n1 un 3, n 15 n cấp số nhân Bài tập Cho dãy số ( u n ) xác định u un , n n u Tính lim n [2] Sau nghiên cứu Sách giáo khoa giải toán ta rút số nhận xét sau đây: Đây tốn tìm giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi, học sinh thường lúng túng việc tìm cách giải cho toán Nếu đề không cho câu a) mà yêu cầu giải câu b) tốn trở nên khó học sinh Việc đề yêu cầu thêm câu a) gợi ý giúp học sinh xác định hướng giải cho tốn Cụ thể xác định SHTQ (u n ) dãy số nhờ vào việc tìm cơng thức tổng qt CSC-CSN qua tìm giới hạn dãy số Với toán đề cập kỳ thi, đặc biệt kỳ thi chọn học sinh giỏi việc gợi mở cách cho câu a) khơng đưa Vấn đề học sinh biết cách nhận dạng, phân tích tốn để có hướng giải Đây vấn đề không dễ học sinh Vì giáo viên cần định hướng giúp cho học sinh chủ động sáng tạo việc giải vấn đề 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Trong trình tìm tịi, nghiên cứu, giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, tổng hợp đưa số dạng dãy số có cơng thức truy hồi đặc biệt xây dựng phương pháp xác định SHTQ dãy Trong khuôn khổ SKKN này, xin đưa số dạng sau đây: u Ví dụ 1.1 Cho dãy số SHTQ dãy số[2] (un) xác định sau u u n1 n n N* Hãy xác định Nhận xét:Để giải tốn học sinh giải theo cách sau: Cách 1: (Dùng phương pháp quy nạp) Từ giả thiết ta có: u1 = = 1+0.2 =1+(1-1).2 u2 = = 1+1.2 =1+(21).2 u3 =5 = 1+2.2 =1+(3-1).2 Dự đoán un = 1+(n-1).2 Ta chứng minh kết qủa phương pháp quy nạp tốn học Cách 2:(Sử dụng định nghĩa cấp số cộng) Từ giả thiết ta có: un+1 – un = n N* Nên theo định nghĩa cấp số cộng (un) lập thành cấp số cộng với u1=1, công sai d=2 Suy un=u1+(n-1).d = 1+(n-1).2 Vậy un = -1+2n u 10 1 u n1 un Ví dụ 1.2 Cho dãy số (un) xác định bởi: 3, n v u a) Chứng minh dãy số (vn) xác định b) Tính limun[1] Lời giải: v a) Ta có u n1 15 n1 1u u n 15 ) n 1v v v qn n3 n Do v1 25 1 b) Từ câu a) suy n n Nên (vn) CSN có cơng bội (v 5n q n 15 cấp số nhân 15 1n3 15 limun Do Nhận xét: Câu hỏi mà học sinh đặt lại nghĩ phép đổi biến v u 15 n n để dãy (vn) CSN? Từđó giáo viên gợi ý hướng giải ta cần tìm un1 b 1( n b) u n b b u n u n b 15 u số b cho 5 v v u 15 , n Do đặt n1 n n Ngồi đặt v n n nên (vn) cấp số nhân n.u , n n 15 (5 n 1) 35 u v Suy 15 5n v n , ta có v n 35 n n n n 54 v 3.5n , n n 11n3 15 Từ toán giáo viên dẫn dắt, gợi ý cho học sinh đến vấn đề mới: "đềxuất tốn tổng qt với quy trình để giải tốn đó" Bình luận: Thực chất toán dạng giải triệt để nhờ lý thuyết phương trình sai phân tuyến tính, nhiên đại đa số học sinh trung học phổ thơng kiến thức q tầm Trong phạm vi SKKN đưa hoạt động toán học nhằm phát triển tư cho học sinh cách giúp học sinh xây dựng tốn cách giải tốn kiến thức phổ thơng Ví dụ 1.3.Cho dãy số SHTQ dãy số u n xác định bởi: u 2, u 3u n 1, n n2 Hãy xác định Lời giải: u Trong tốn gặp khó khăn dãy ( n ) CSC hay CSN! u Ta thấy dãy ( n ) khơng phải CSN xuất số -1 VP Ta tìm cách làm -1 đưa dãy số CSN 13 2 nên viết công thức truy hồi dãy sau: Ta có ) u n 3u n 3(u n 2 (1) v u v v 3v ( ) n n n Dãy n 2 Đặt n CSN công bội q=3 v qn v n n1 u v Vậy n n 2 3n 1 n 1, 2, , Nhận xét: Mấu chốt cách làm ta phân tích 2 để chuyển cơng v thức truy hồi dãy (1), từ ta đặt dãy phụ để chuyển dãy n CSN Tuy nhiên việc làm khơng tự nhiên ! Làm ta biết phân tích 1 k 3k k ? Ta làm sau:Ta phân tích u Với cách làm ta xác định SHTQ dãy (u ) n : u x n au n b ; n Thật vậy: *Nếu a=1 dãy ( u1 a n n b a u u n *Nếu a ta viết sau: b a (u a n n1 ab a u ( n 1)b un u a n n1 b a a 1 n u ( n 1)b = b a Khi cơng thức truy hồi dãy viết b ) u a , từ ta có : n Hay Vậy ta có kết sau: u u Dạng 1:Dãy số ( n ): 1 u a b u ) CSC có cơng sai d=b nên x ,u au n n bn a n (u b ) a b a ( a , b số) có SHTQ là: a a Ví dụ 1.4.Xácđịnh SHTQ dãy ( u n ) xác định: u 2;u n 2u n 3n 1, n Lời giải: Để tìm SHTQ dãy số ta tìm cách làm 3n-1 để chuyển dãy số 3n 3n 2[3( n 1) 5] (2) CSN Muốn làm ta viết: Khi cơng thức u 3n 2[u 3(n 1) 5] truy hồi dãy viết sau: n n Đặt u n 3n 5, ta Vậy SHTQ dãy Nhận xét : có v1 10 (u ) u n : n v n 2v n 1, n 3n 5.2 v1 n 10.2n 3n n 1, 2,3, n 1) Để phân tích đẳng thức (2), ta làm sau: a b 3n an b 2[a ( n 1) b] cho n=1;n=2 ta có b u b a b n 2) Trong trường hợp tổng quát dãy (u ) u n : n au n f(n) , f (n) đa thức bậc k theo n , ta xác định SHTQ sau: phân tích f ( n ) = g ( n ) -a g ( n 1) (3)Với g ( n ) đa thức theo n Khi ta có: u n g ( n ) a[u n1 g ( n 1)]= =an 1[u g(1)] (Đề thi chọn HSG cấp tỉnh năm học 2018-2019 Sở GD&ĐT Thanh Hóa) Lời giải: Trường hợp ta phân tích n n.4 n 4( n 1)4n 3n.4 n 4(u n 3( n 1).4 n ) n (u1 3.4) u n un 3( n 1)4 n 2.4 n lim n 3n un Đến dễ dàng tìm giới hạn (u n ) : u n a.u n b Nhận xét: Trong trường hợp tổng quát dãy k n ak n Suy n n với ( a) Khi đó: u n n u a n (u n n n n ( n 1) u b ( n 1) bk ) kb n n1 u n a (u n kb n1 , ta phân tích ) a n (u1 bk) Trường hợp a , ta phân tích n n1 bn (u n b ( n 1) un n 1 kb n ) n1 (u1 b ) b n1 Vậy ta có kết sau: u1 Dạng 3: Để xác định SHTQ dãy (u n ) : u n1 a.u n , ta làm sau: n n Nếu au b ( n 1) n Nếu a , u n1 ta phân tích n n k ak n1 Khi đó: a n (u1 bk ) bk u n n k Ta tìm được: a u2 Ví dụ 1.7.Tìm SHTQ dãy (u n ) : u 5u n n 2.3n 6.7 12 n k n n k 5k n n l ;n=2,3,… 3 n1 5.7n cho n=1, ta l Hơn 12=-3+5.3 nên công thức truy hồi dãy viết lại sau: Lời giải:Ta có u n 3.3n 21.7 n 5(u n1 3.3 n 21.7 n 3) n 1( u 147 3) Vậyun 157.5 n 3n 3.7 n Ví dụ 1.8.Tìm SHTQ dãy u (un ) : u n 2u n 3n n; n n n Lời giải: Ta phân tích: 3.3n sau: u n Vậy u n 3n n1 2.3.3 3.3 n n [( n 1) 2] nên ta viết công thức truy hồi dãy n 2[u n 3.3n ( n 1) 2] n 1( u1 12) n 11.2n u1 p a.u (un ) : u Dạng 4: Để xác định SHTQ dãy n1 n b f(n) n , n f(n) đa thức bậc k n Nhận xét:Đây kết hợp dạng nên ta phân tích từ n f(n) cách phân tích dạng dạng Ví dụ 1.9 Xác định SHTQ dãy u : n u 1, u 3, u n 5u n 6u n ; n (u ) Lời giải:Để xác định SHTQ dãy số trên, ta thay dãy n dãy số khác CSN Ta viết lại công thức truy hồi dãy sau: x1 , x2 u x u n x (u n xu n 1 n ) , ta phải chọn phương trình : x x x 2; x Ta chọn u n 2u n1 3( u 2u n1 n 2u n 1 2; x2 Khi : 5.3n Ví dụ 1.10 x ) 3n ( u 2u ) 5.3n n u x x : x ,x xx nghiệm u Sử dụng kết dạng 3, ta tìm được: n u 2; u ; n N* Cho dãy số (u n ) : u 5u n 6un 5.3n 6.2n n lim un un Tìm SHTQ dãy n tính (Đề thi chọn HSG cấp tỉnh năm học 2017-2018 Sở GD&ĐT Thanh Hóa) Lời giải: Từ giả thiết ta có u 2u n2 Suy dãy 3n 1.v2 v n u 2u n n un1 2u n , n n cấp số nhân có cơng bội q 3n 2.2 3n (1) Cũng từ giả thiết ta có u n 3u n u n 2u n , n 10 w u Suy dãy wn1 n1 n 1.w 3u n n cấp số nhân n 3.22n có cơng bội (2) n1 2u u Từ (1) (2) ta có hệ phương trình n1 3u u n1 n n 2n un 3n 2n Nhận xét: Tương tự với cách làm ta xác định SHTQ dãy u a bởi: u a.u n (u ) xác n ;u định q b.u n n , n 2 4b sau: a,b số thực cho trước , x ,x x - ax + b = Gọi nghiệm phương trình: (phương trình gọi phương trình đặc trưng dãy) u x u x (u x u ) x n (u x u ) Khi đó: n n n 1 n 2 1 Sử dụng kết dạng 3, ta có trường hợp sau: u x x u u x.u xn xn n x x y x u n k x n l xn , k,l Nếu x1 x Hay 1 2 k l u0 nghiệm hệ: x k x lu u Nếu xx n1 u a (u n l nghiệm hệ: au0 )n hay u n ( kn l) , n1 , k, l u0 k lu Vậy ta có kết sau: u (un ) : ;u n , a,b,c Dạng 5: Để xác định SHTQ dãy u n a.u n b.un a 4b số thực khác không; ta làm sau: x ,x x -ax+b=0 Gọi nghiệm phương trình đặc trưng: 11 k l u0 Nếu x x u k.xn l.xn n , k , l nghiệm hệ: x k x l u l Nếu x x u n ( kn l) n1 Ví dụ 1.11 Cho dãy số (u ) n k l u , k , l nghiệm hệ: u 1; u xác định bởi: u n 4u n u n n u nk.x l.x un Vậy Vì 4x có nghiệm n n 12 5n 2 Phương trình đặc trưng: x nên ta có hệ: u (un ) : Ví dụ 1.13 Cho dãy 4x l k l k l 1; u 4u 4u n n1 ; n n un kn l 2n có nghiệm kép x=2 nên k 1; u u 5u6u2 n n u Ví dụ 1.12 Xác định SHTQ dãy: Lời giải: Vì u (un ) : u 1; u 5; x2 Hãy xác định nên ta có hệ : n k l (2 5) k (2 5)l u 1; u 2 x ; u SHTQ dãy ( n ) Lời giải: Phương trình x u0 n1 l Vậy un n 22 n1 2n n n Xác định SHTQ (u ) dãy n Lời giải: Với cách làm tương tự ví dụ 5, ta phân tích: 2n2 n kn ln t k n l ( n 1) t k ( n 2) l ( n 2) t (1) 12 19 k 7l 2t k k 5l 2t k Ở (5) cho n=0;n=1;n=2 ta có hệ: n 8n 19 v Đặt v u n n 3l 2t l 13 t 19 20; v25 v 5v n 6v n n 20 vn.3n n Ta 15.3n có hệ 35.2 n 15 22535 un 15.3 n 35.2 n n n 19 u ;u Nhận xét : Để xác định SHTQ dãy số f(n) đa thức bậc k theo n Ta phân tích đặt v n u f(n)g(n) (u ) u n : a 4b ag ( n n n bu n (trong n ) ta làm sau: 1) bg ( n (n) 2) g( n ) (2) n ( ) : Ta có dãy số vu g (0); v u g(1) v n au n bun n Đây dãy số mà ta xét dạng Do ta xác định SHTQ Vấn đề lại ta xác định g(n) v n u n để có (2)? g ( n ) ag ( n 1) bg ( n 2) cho k1 đa thức bậc k theo n.Khi ta cần thay giá trị n vào (2) ta xác định Vì f(n) au f đa thức bậc k nên ta phải chọn g(n) f(n) Giả sử g ( n ) amn m a n m a n a ( a m1 x m x m VP a (1 a b) 0) m đa thức bậc m Khi hệ số a 2b m.a m a b am m Do đó: 1ab0 i) x ax b Nếu PT: (3) có hai nghiệm phân biệt khác nên VP (2) đa thức bậc m x11ab0 a 2b ii) Nếu PT (3) có hai nghiệm phân biệt có nghiệm m.a a b a a 2b m.a m m1 m nên VP (2) đa thức bậc m 13 iii) Nếu PT (3) có nghiệm kép m Vậy để chọn x a 2; b nên VP (2) đa thức bậc g(n) ta cần ý sau: g(n) f( +) Nếu (3) có hai nghiệm phân biệt, đa thức bậc với n) +)Nếu (3) có hai nghiệm phân biệt, nghiệm ta g ( n ) n.h ( n ) h(n) f(n) chọn đa thức bậc với x1 g ( n ) n h ( n ) h(n) +)Nếu (1) có nghiệm kép ta chọn đa f(n) thức bậc với u ;u (un ) : Dạng 6: Để tìm SHTQ dãy u a.u n b.u n n f(n) (trong f ( n ) n n k b ac đa thức theo bậc ) ta làm sau: Xét g ( n ) đa thức bậc k: g ( n ) ak n k a1 k a0 Nếu phương trình : x2 ax b (1) có nghiệm phân biệt, ta phân tích f ( n ) g ( n ) ag ( n 1) bg ( n 2) đặt u n g ( n ) Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt nghiệm f ( n ) n g ( n ) a ( n 1) g ( n 1) b ( n 2) g ( n 2) Nếu (1) có nghiệm kép x đặt Ví dụ 1.14 Xác định SHTQ dãy Lời giải: Vì phương trình x kn l , ta phân tích u n n g ( n ) , ta phân tích f ( n ) n g ( n ) a ( n 1) g ( n 1) b ( n 2) g ( n 2) 2n n x u 1; u (un ) : 3u 2u u n n1 x có nghiệm x 1; x n kn l n 2kn l đặt n 2n l k n2.g(n) n nên ta phân tích , cho 5k l 3k l un n 0; n ta có hệ: Đặt u n n n v0 1; v1 11 v 3v n1 2v n n 14 vn.2 n 10.2 n 1 , : n 10 11 với u n 5.2 n n n n 0,1, 2, u u Ví dụ 1.15 Tìm SHTQ dãy số 1; u 4u 3u (u n ) : n1 n Lời giải: Ta phân tích n a n a n 3a.2n v Cho n ta có v 4v 3v n n1 vn.3 n n a 8a a Đặt n Vì phương trình x x , : n Với 4.3n 5.2 n Vậy un 19 12 343 7 5.2n n 5.4.2 n un v0 có hai nghiệm ; n 19; v1 43 x 1; x nên v 12.3n n n 1, 2, Nhận xét: Với ý tưởng cách giải trên, ta tìm SHTQ dãy số (u ) n xác định bởi: u (un ) : ;u u a.ub.uc n Ta phân tích k a b n n k n n1 n b.k ) sau: (1).Cho n (1) trở thành: k a b n , nghiệm phương trình: ax b (8) Khi đó, ta đặt v p x q x ( x n a.k Từ đây, ta tìm x2 (với a 4b n n n1 n n v u n , x n kc v u ( ) : ta có dãy nghiệm (2)) u n p x x Vậy nghiệm (2) , tức Nhìn lại cách giải dạng 3, ta phân tích: n kc; v u kc a.vn b.v n q x a n kc b n n ta xử lí nào? 15 n kn n a.k n n1 n bk n (3) k a2k ak a n ta có: Cho k có nghiệm nghiệm đơn phương trình (2) Khi đó:u p x n q x n kcn n n 2 kn nghiệm kép (2) Với tư tưởng n a.k n n bk n 2 (4) n Cho n u 4k p x n qx Khi đó: a n cn n 2 Vậy ta có kết sau: u ;u Dạng 7: Cho dãy số ak k ta có : (10) n ) a Cuối ta xét trường hợp trên, ta phân tích: ( x n a (u ) a.u u n1 xác định : n (u ) Để xác định SHTQ dãy n ta làm sau: n n b.u c ; n n 2 Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác un p x1n q x2n kc n với k 2 a b x Nếu phương trình (1) có nghiệm đơn u p x n q x n n kcn n k với a p qn un x Nếu nghiệm kép (1) thì: u (un ) : Ví dụ 1.16 Xác định SHTQ dãy Lời giải: n cn 1; u 5u n 6u n u n 5.2n n 16 Phương trình x x 2; x x có nghiệm 3, p.2 n u n q 3n 5kn.2n 2 k a p q p 3q 10 k k p 26 q 25 Với Vậy u n 26.2 n 25.3n 10 n.2 n 25.3n n n 13 u (un ) : Ví dụ 1.17 Tìm SHTQ dãy n 1, 2, 1; u 4u u 3.2n u n n1 n Lời giải: Phương trình x 4x có nghiệm kép p p q Dựa vào u ,u x p q u npqn 2n 3n 2n nên un Vậy 2n 2n n 1, 2, ta có hệ: Với cách xây dựng tương tự ta có kết sau: u Dạng 8:Cho dãy ; u ;u ; (un ) : u n a.u n b.u n cun Để xác định SHTQ dãy ta xét phương trình: Nếu (1) có nghiệm phân biệt , , tìm x ax bx c xn x , x , xu n 3 n xn xn u , u ,u x x xu Nếu (1) có nghiệm đơn, nghiệm kép: Dựa vào u0 , u1 ,u2 ta tìm , , Nếu (1) có nghiệm bội Dựa vào u0 , u1 ,u2 ta tìm , , 3 n Dựa vào (n ) x n xn ta (n n ) xn x x xu (1) n 17 Nhận xét: Thực tế đến dạng toán bắt đầu phức tạp thêm, ví dụ trình bày lời giải mang tính minh họa Dạng ta gặp đề thi u 0, u (un ) : 7u u n Ví dụ 1.18 Tìm SHTQ dãy Lời giải: Xét phương trình đặc trưng : 1, u n1 11u n 5u ; n n x x 11x x x 1, x n 5n Vậy a n Phương trình có nghiệm thực: n 1, n 2, n Cho giải hệ phương trình tạo thành, ta 16 ,3 , a 16 Vậy n n 16 16 n Bài tập vận dụng: Tơi xin trích số câu đề minh họa, giao lưu thi HSG cấp trường số trường địa bàn tỉnh thay cho đề minh họa cho dạng tốn hai lí do: thứ ví dụ minh họa cho dạng tốn tốt; thứ hai tơi muốn định hướng đến dạng toán mà kỳ thi HSG cấp tỉnh hay gặp (Đề giao lưu THPT Triệu Sơn 1) Cho dãy số xác định bởi: u1 u n1 nu u n 2u n , n N * Tính số hạng tổng quát dãy số (Đề giao lưu THPT Thạch Thàn h 1) Cho dãy số xác định bởi: u u n1 S2019 3u n n 1, n N * Tính số hạng tổng quát dãy số u n Từ tính tổng u1 u u2019 (Đề minh họa nhóm tốn THPT Thanh Hóa năm học 2018-2019) Cho dãy số xác u lim định : u 3u n n 4n, n N* Tính số hạng tổng quát dãy tìm un u n1 18 (Đề giao lưu trường THPT Dương Đình Nghệ) Cho dãy số xác định bởi: u1 2018, u2 2019 un un1 un1 N * , n Tính lim un 2u n u n 1, n (Đề minh họa lớp tập huấn tốn THPT Thanh Hóa năm học 2017-2018) Cho dãy số xác định : u au b, n N n n hạng tổng quát dãy theo u, * Với a, b số thực dương cho trước Tính số a, b n (Đề giao lưu trường THPT Vĩnh Lộc) Cho dãy số xác định bởi: u u n1 2, u 2u n u 1, n N * , n n1 lim un n2 Tính (Đề minh họa lớp tập huấn tốn THPT Thanh Hóa năm học 2017-2018) Cho dãy u 1 u n1 số xác định bởi: un un 8.(Đề giao lưu trườn g 2017 u * , n N Tính lim u u 2018n n THPT Đặng Thai Mai) Cho dãy số xác định bởi: u 1 u un n1 un , n N* Tính u n 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Đề tài giải vấn đề sau: Đề tài số vướng mắc cách khắc phục lớp đối tượng học sinh giải tốn tìm số hạng tổng qt tìm giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi Đề tài đưa dạng từ đơn giản đến phức tạp để tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi cở sở từ toán sách giáo khoa tốn khó đề thi học sinh giỏi 19 Đề tài áp dụng tiết luyện tập, tiết tự chọn lớp buổi dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trường Thông qua việc xuất phát từ toán bản, giáo viên gợi ý, dẫn dắt học sinh tổng quát toán, tạo toán mới, hình thành cho em khả làm việc độc lập, phát triển tư chủ động, sáng tạo, phát vấn đề giải vấn đề Phát huy tối đa tính tích cực học sinh theo tinh thần đổi Bộ Giáo dục Đào tạo Từ tạo cho em niềm tin, hứng thú học tập mơn Tốn Đề tài kiểm nghiệm năm học giảng dạy lớp 11,được học sinh nhiệt tình tham gia nâng cao chất lượng dạy học chuyên đề dãy số giới hạn dãy số Các em hứng thú học tập hơn, học sinh hướng dẫn phương pháp em học sinh với mức học trung bình trở lên có để giải tập khó Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt, chất lượng đội tuyển thi HSG cấp tỉnh tăng qua năm đảm bảo tiêu nhà trường giao Cụ thể nhóm học sinhthực nghiệm(II) nhóm đối chứng (I) tơi cho làm kiểm tra vaf thu kết sau : Năm Nhóm/ Lớp học 2018 2019 Điểm từ đến Số lượng Số lượng Tổng số HS I /11B1 II /11B1 Điểm trở lên 20 20 13 Tỷ lệ 20 % 65% 10 Tỷ lệ 50 % 30% Điểm Số lượng Tỷ lệ 30 % 5% PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Sáng kiến kinh nghiệm kết q trình tìm tịi, nghiên cứu đúc rút kinh nghiệm trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi Qua năm triển khai thực đề tài với cách xây dựng phát triển tốn, xây dựng quy trình giải tốn cách "tự nhiên” vậy, tơi nhận 20 thấy em nắm vấn đề, biết vận dụng kết vào giải tốn cách linh hoạt, sáng tạo Từ giúp cho em u thích mơn tốn hơn, chất lượng học nâng cao rõ rệt Trong năm học tới, tiếp tục nghiên cứu bổ sung để đề tài hoàn thiện hơn, đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng cho học sinh giỏi để em đạt kết cao kỳ thi chọn học sinh giỏi kỳ thi trung học phổ thơng Quốc giasau Trong q trìnhbiên soạn đề tài tơi có nhiều cố gắng, nhiên khơng tránh khỏi thiếu sót.Tơi mong thầy giáo, bạn đồng nghiệp góp ý, bổ sung để đề tài hoàn thiện Hy vọng tài liệu sử dụng làm tài liệu tham khảo cho học sinh thầy cô giáo trình học tập, giảng dạy Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 16 tháng năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người thực Trịnh Đình Hiểu 21 22 ... tượng học sinh giải tốn tìm số hạng tổng quát tìm giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi Đề tài đưa dạng từ đơn giản đến phức tạp để tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi cở sở từ toán. .. số nhân Định nghĩa: Cấp số nhân dãy số (hữu hạn hay vô hạn) thoả mãn: số không đổi gọi “công bội ”[1] u n u q n N * n ( ),q Tính chất: Số hạng tổng quát: u u qn n [1] Tổng n số hạng đầu cấp số. .. vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Khi dạy chủ đề dãy số giới hạn dãy số ta bắt gặp số toán sách giáo khoa lớp 11 số đề thi học sinh giỏi sau: u1 10 u Bài tập Cho dãy số (un) xác định sau: