(SKKN mới NHẤT) SKKN sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của một số dãy số truy hồi có quy luật đặc biệt

1 MỤC LỤC Mở đầu…………………………………………………………… 1.1 Lý chọn đề tài………………………………………………… Mục đích nghiên cứu……………………………………………… Đối tượng ngiên cứu……………………………………………… Phương pháp nghiên cứu………………………………………… Nội dung sáng kiến kinh nghiệm………………………………… 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm………………………… Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm… Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề………………… 1.2 1.3 1.4 2.2 2.3 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường……………………… 19 Kết luận, kiến nghị……………………………………………… 20 3.1 Kết luận…………………………………………………………… 20 Kiến nghị………………………………………………………… 20 3.2 3.3 Danh mục đề tài SKKN mà tác giả hội đồng SKKN Ngành GD huyện, tỉnh cấp cao đánh giá đạt từ loại C trở lên…………………………………………………………… 20 download by : skknchat@gmail.com Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài: Trong hai năm trở lại đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn bậc THPT tỉnh Thanh hóa ln có câu hỏi dãy số với mức độ khó so với tập sách giáo khoa hành khơng có tập sách giáo khoa tương tự làm cho nhiều học sinh khó khăn giải vấn đề Cụ thể: Câu III ý (Đề thi HSG môn Tốn THPT tỉnh Thanh hóa năm 2018): cho dãy số xác định sau Tính giới hạn Câu III ý (Đề thi HSG mơn Tốn THPT tỉnh Thanh hóa năm 2019): cho dãy số xác định Tìm số hạng tổng qt tính giới hạn Bên cạnh vấn đề dãy số hai câu đề học sinh giỏi bậc THPT mơn tốn tỉnh Thanh hóa hai năm 2018, 2019 khơng xuất đề thi THPT QG năm trước nên nhiều học sinh không hứng thú với nội dung Tài liệu tham khảo dãy số có chủ yếu viết cho học sinh theo chương trình THPT chun nên rộng, có vượt sở lý thuyết sách giáo Đại số giải tích 11 chương trình bản, học sinh có nhu cầu tìm hiểu sâu thêm dãy số học sinh ôn thi học sinh giỏi khó tìm cho tài liệu để đọc phù hợp Mục tiêu tổ mơn tốn trường THPT Thường Xn phải xây dựng chuyên đề dãy số phù hợp với cấu trúc đề thi tỉnh nhà bám sát chương trình sách giáo khoa Đại số giải tích 11 chương trình Hiện chưa có nhiều tài liệu nghiên sâu vấn đề mà lại bám sát chương trình sách giáo khoa Đại số giải tích 11 chương trình bản, đồng download by : skknchat@gmail.com nghiệp nhóm chun mơn chưa có nhiều kinh nghiệm để giải quyết, khắc phục Do vậy, lựa chọn đề tài “Sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát số dãy số truy hồi có quy luật đặc biệt” cấp thiết 1.2 Mục đích nghiên cứu: Những vấn đề tơi trình bày sáng kiến với mục đích sau Truyền đạt đến học sinh nhìn toàn diện dãy số theo quan điểm học sinh trung học phổ thông không chuyên Hệ thống phân tích tập dãy số cách logic từ dễ đến khó Qua việc luyện tập tốn dãy số ta thấy phép tuyệt đẹp, phép quy nạp từ vấn đề đơn giản đến phức tạp tổng quát phép biến đổi điển hình đại số giải tích Hướng dẫn học sinh tìm lời giải cách tự nhiên cho toán dãy số chánh gượng ép máy móc 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Để hoàn thành viết với đề tài nói tơi phải nghiên cứu dãy số tính chất cấp số cộng, cấp số nhân Để qua hình thành cách tìm số hạng tổng quát số dãy số thường gặp dựa vào sử dụng cấp số cộng cấp số nhân 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp ghiên cứu xây dựng sở lý thuyết cho việc tìm số hạng tổng quát cho số dãy số thường gặp cách sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm: 2.1.1.Cấp số cộng * Dãy số cấp số cộng không đổi gọi công sai cấp số cộng * Nếu dãy số cấp số cộng * Nếu dãy số cấp số cộng tổng với , số 2.1.2.Cấp số nhân * Dãy số cấp số nhân không đổi gọi công bội cấp số nhân * Nếu dãy số cấp số nhân * Nếu dãy số cấp số nhân vơi với , số tổng download by : skknchat@gmail.com 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Để thực đề tài tơi thực khảo sát thực tế sau: Trong năm học 2018– 2019 sau học sinh lớp 11 học hết chương II tức nghiên cứu đầy đủ dãy số theo chương trình sách giáo khoa Đại số giải tích 11 chương trình Tơi cho hai nhóm học sinh, nhóm 05 học sinh có lực học tương đương nhóm nhóm học sinh lớp 11B1 trường THPT Thường Xuân làm kiểm tra khảo sát 45 phút tiết buổi sáng thứ tuần học thứ 21 Nhóm Tên học sinh kiểm tra / điểm TB mơn tốn học kỳ 1( 2018-2019) Phong (8,3) C.Anh (7,5) Dũng (7,6) Sơn (6,5) H.Phương (5,8) Giang (8,2) Q Hoa (7,6) T.Anh (7,7) Q.Chi(6,6) Trang (5,9) (Bảng điểm học lực mơn tốn học sinh học kỳ năm học 2018-2019) Với đề kiểm tra sau: Câu (3 điểm) Tìm công thức số hạng tổng quát dãy số xác định bởi: Câu (4 điểm) Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số xác định bởi: Câu (3 điểm) Tìm số hạng tổng quát dãy số xác định bởi: Kết thu với mức điểm được làm tròn (theo số học sinh) Điểm Lớp Nhóm (số hs) Nhóm (số hs) 0–3 1 3,5 – 5,5 – 7,0 7,5 – 8,5 0 9-10 0 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề: Trước hết ta giải số toán để khai thác định nghĩa tính chất cấp số cộng cấp số nhân Bài Cho dãy số xác định cơng thức: download by : skknchat@gmail.com Hãy tìm số hạng tổng quát dãy số Giải Từ công thức truy hồi cho suy cấp số cộng có nên số hạng tổng quát Kết luận Vậy Để xác định số hạng tổng quát dãy số Ta làm sau thứ công sai thỏa mãn nên dãy số cấp số cộng với số hạng công sai b nên Bài Cho dãy số xác định cơng thức: Hãy tìm số hạng tổng quát dãy số Giải Từ công thức truy hồi cho suy bội cấp số nhân có cơng nên số hạng tổng quát Vậy Kết luận Để xác định số hạng tổng quát dãy số thỏa mãn cấp số cộng với số hạng thứ công bội b nên Ta thấy dãy số Bài Cho dãy số Tìm số hạng tổng qt Giải có dãy số Theo đề suy download by : skknchat@gmail.com Cộng đẳng thức theo vế suy Trong Vậy: Bài Cho dãy số xác định cơng thức: Hãy tìm số hạng tổng qt dãy số Giải Theo đề suy Cộng đẳng thức theo vế suy Vậy số hạng tổng quát dãy số Bài Cho dãy số xác định cơng thức: Hãy tìm số hạng tổng quát dãy số Giải Theo đề suy Cộng đẳng thức theo vế suy download by : skknchat@gmail.com Trong Và tổng tổng hạng thứ số hạng đầu cấp số nhân có số , cơng bội Vậy số hạng tổng quát dãy số Trên sở cấp số cộng cấp số nhân cách tư tương tự ta giải số toán dãy số phức tạp mà thân khơng phải cấp số cộng cấp số nhân Bài Cho dãy số xác định cơng thức: Hãy tìm số hạng tổng quát dãy số Giải Ta xét Kết hợp với đề Vậy Đặt Suy dãy số cấp số nhân có , cơng bội Vậy số hạng tổng quát dãy số cho Kết luận: Theo cách giải tốn ta tìm số hạng tổng quát dãy số cho bới cơng thức truy hồi có dạng: Trong * Nếu số cho, đa thức theo biến số n ta toán đơn giản trình bày phần I download by : skknchat@gmail.com * Nếu ta phải tìm đa thức có bậc bậc cho phương trình Khi việc tìm trở thành tìm dãy số Bài Tìm số hạng tổng qt dãy số cấp số nhân cho công thức truy hồi a) b) c) Giải a) Theo đề suy … Cộng đẳng thức theo vế ta Vậy số hạng tổng quát dãy số cho b) Từ đề suy đa thức bậc ẩn nên ta xét đa thức cho Mà nên ta phải có Do download by : skknchat@gmail.com Đặt Suy cấp số nhân có , cơng bội mà Vậy số hạng tổng quát dãy số cho c) Từ đề suy thức đa thức bậc hai ẩn nên ta xét đa cho Mà nên ta phải có suy Do Đặt Suy cấp số nhân có , cơng bội Mà Vậy số hạng tổng quát dãy số cho Bài tập tương tự: Tìm số hạng tổng quát dãy số cho công thức truy hồi a) b) download by : skknchat@gmail.com c) Bài Tìm số hạng tổng quát dãy số cho bới công thức truy hồi Giải Cách Theo đề suy … Cộng đẳng thức theo vế ta Trong tổng tổng nhân có phần tử thứ số hạng đầu cấp số , công bội Xét Trừ theo vế hai đẳng thức suy Vậy số hạng tổng quát dãy số Cách Xét hàm số Mà ta phải có 10 download by : skknchat@gmail.com Do đo Đặt Suy cấp số nhân có , cơng bội mà Vậy số hạng tổng quát dãy số Chú ý: Dãy số thỏa mãn Tương tự cách giải tập ta tìm số hạng tổng quát dãy số cho bới công thức truy sau: Trong số cho, đa thức theo biến số n Kết luận: * Nếu ta tìm đa thức có bậc bậc cộng với cho Khi ta đưa tốn tìm số hạng tổng quát cấp số nhân * Nếu , ta có đề với cách giải tương tự tập số * Nếu , * Nếu , ta tìm đa thức , ta tìm đa thức có bậc bậc có bậc bậc cho cộng với cho Vấn đề thể rõ ràng qua ví dụ sau theo thứ tự tương ứng Bài Tìm số hạng tổng quát dãy số cho công thức truy hồi Giải Theo đề , bậc bậc 11 download by : skknchat@gmail.com Xét Mà ta phải có Do Đặt Suy cấp số nhân có , công bội mà Vậy số hạng tổng quát dãy số Chú ý: tập giải theo cách số 7a Bài 10 Tìm số hạng tổng quát dãy số cho công thức truy hồi Giải Theo đề , bậc Xét suy bậc cho: Mà nên ta phải có Đặt 12 download by : skknchat@gmail.com Do cấp số nhân có cơng bội nên Vậy số hạng tổng qt dãy số cho Bài 11 Tìm số hạng tổng quát dãy số cho công thức truy hồi Giải Theo đề , bậc Xét hàm số Mà suy bậc ta phải có Đặt Do cấp số nhân có cơng bội nên Vậy số hạng tổng quát dãy số cho Bài 12 Tìm số hạng tổng quát dãy số cho công thức truy hồi Giải Theo đề Xét hàm số , bậc suy bậc cho 13 download by : skknchat@gmail.com Mà nên ta phải có Đặt Do cấp số nhân có cơng bội nên Vậy số hạng tổng quát dãy số cho Bài 13 Tìm số hạng tổng quát dãy số cho công thức truy hồi Giải Theo đề , bậc Xét hàm số Mà suy bậc ta phải có Và Đặt Do cấp số nhân có cơng bội nên Vậy số hạng tổng qt dãy số cho Bài 14 Tìm số hạng tổng quát dãy số cho công thức truy hồi 14 download by : skknchat@gmail.com Giải Theo đề , bậc bậc Xét cho: Mà nên ta phải có : Đặt Do cấp số nhân có cơng bội nên Vậy số hạng tổng quát dãy số cho Bài 15 (Đề thi HSG mơn Tốn THPT tỉnh Thanh hóa năm 2019) cho dãy số xác định Giải Theo đề Xét hàm số Mà Tìm số hạng tổng quát , bậc suy bậc ta phải có b tùy ý, nên ta chọn 15 download by : skknchat@gmail.com Và Đặt Do cấp số nhân có cơng bội nên Vậy số hạng tổng qt dãy số cho Bài 16 cho dãy số Giải Theo đề suy xác định sau Tìm Đặt Và nên dãy cấp số nhân với công bội Vậy Theo đề , bậc Xét hàm Mà ta phải có Đặt Do suy bậc cấp số nhân có cơng bội nên 16 download by : skknchat@gmail.com Vậy số hạng tổng quát dãy số cho : Tìm số hạng tổng quát dãy số cho công thức truy hồi Kết luận sau: Cách làm sau: phân tích nên hai nghiệm phương trình Giả sử phương trình có hai nghiệm Khi Đặt Bài toán giải trên, từ tìm Bài tập tương tự Tìm số hạng tổng quát dãy số cho công thức truy hồi sau: a) b) c) d) f) e) Bây ta xét tốn tìm số hạng tổng quát dãy số cách quy cấp số nhân theo khía cạnh khác Bài 17 Tìm số hạng tổng quát dãy số cho công thức truy hồi Giải 17 download by : skknchat@gmail.com Từ giả thiết suy Do … Cộng theo vế đẳng thức ta Vậy số hạng tổng quát dãy số cho Bài 18 Tìm số hạng tổng quát dãy số cho bới công thức truy hồi Giải Theo đề suy Đặt Xét cho 18 download by : skknchat@gmail.com Mà nên ta phải có Đặt Do cấp số nhân có cơng bội nên Vậy số hạng tổng quát dãy số cho Theo cách tư tập nêu ta tìm số hạng tổng qt dãy số cho cơng thức truy hồi có dạng sau: Trong số thực cho trước, thức theo biến số tự nhiên ; Ví dụ: Tìm số hạng tổng quát dãy số cho công thức truy hồi: a) c) đa b) d) e) 19 download by : skknchat@gmail.com Bài 19 Tìm số hạng tổng quát dãy số cho công thức truy hồi Giải Theo đề suy Đặt Xét cho 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường: Trong trình thực đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm số tập nắm tình hình tiếp thu học Nhưng để có kết luận tồn diện nên học kì II năm học 2018 – 2019 học sinh nhóm học song phần liên quan đến nội dung đề tài này, nhóm chưa học, sau tơi cho hai nhóm nhóm phần khảo sát ban đầu làm kiểm tra 45 phút Trong nhóm nhóm thực nghiệm q trình triển khai đề tài cịn nhóm nhóm đối chứng khơng tham gia việc triển khai đề tài Nội dung đề kiểm tra Câu (3 điểm) Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số xác định bởi: Câu (4 điểm) Tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy số xác định bởi: Câu (3 điểm) Tìm số hạng tổng quát dãy số xác định bởi: Nhóm thực nghiệm: Nhóm (05 học sinh) 20 download by : skknchat@gmail.com Nhóm đối chứng: Nhóm (05 học sinh) Kết thu với mức điểm được làm tròn (theo số học sinh) Điểm 0–3 3,5 – 5,5 – 7,0 7,5 – 8,5 9-10 Lớp Nhóm (số hs) 1 Nhóm (số hs) 1 0 Căn vào kết kiểm tra đối chiếu so sánh kết làm nhóm thực nghiệm nhóm cịn lại khơng tham gia thực nghiệm ta thấy với nội dung trình bày đề tài giúp em học sinh nhóm giải vấn đề đặt đề kiểm tra, đồng thời học sinh nhóm tự tin làm kiểm tra lần Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận: Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh có học lực từ trung bình trở lên mơn tốn lớp 11 số dạy bồi dưỡng, chủ yếu hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung trình bày Tơi thấy em học sinh tự tin đứng trước toán dãy số phép biến đổi dãy số góp phần đáng kể nâng cao khả tư yêu cầu cần thiết người học Tốn nói riêng học mơn tự nhiên nói chung Trong nhiều năm gần bạn đồng nghiệp trường số trường tỉnh viết sáng kiến kinh nghiệm nhận thấy việc chấm sáng kiến kinh nghiệm khách quan, xác, việc phổ biến sáng kiến ngành đưa lên trang web ngành để giáo viên trường THPT tìm hiểu nghiên cứu góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy giáo viên nâng cao chất lượng học tập học sinh Với thời lượng hạn chế, chưa thể mở rộng đề tài sáng kiến được, tiếp tục phát triển đề tài năm Bên cạnh tơi mong góp ý thầy giáo bạn đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện 3.2 Kiến nghị: nhà trường xem đề tài tài liệu tham khảo cho bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn phần dãy số lưu thư viện nhà trường để đồng nghiệp học sinh tham khảo 3.3 Danh mục đề tài SKKN mà tác giả Hội đồng SKKN Ngành GD, huyện, tỉnh cấp cao đánh giá đạt từ loại C trở lên Họ tên tác giả: Đỗ Văn Hào Chức vụ đơn vị công tác: giáo viên trường THPT Thường Xuân T T Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp Kết đánh giá xếp Năm học đánh giá 21 download by : skknchat@gmail.com huyện/tỉnh; Tỉnh ) loại (A, B, C) Ngành GD C 2006-2007 Ngành GD C 2012-2013 Ngành GD C 2015-2016 xếp loại Hướng dẫn học sinh tìm tịi phát triển toán Hướng dẫn học sinh THPT Thường Xuân sử dụng máy tính Casio FX-570ES giải toán Hướng dẫn học sinh THPT sử dụng đường thẳng đường tròn mặt phẳng để giải biện luận số hệ phương trình hệ bất phương trình đại số Xác nhận Hiệu trưởng Thường Xuân, ngày 22 tháng năm 2019 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm tự viết chép Nếu sai xin chịu trách nhiệm! Tác giả Đỗ Văn Hào 22 download by : skknchat@gmail.com ... có nhiều kinh nghiệm để giải quy? ??t, khắc phục Do vậy, lựa chọn đề tài ? ?Sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát số dãy số truy hồi có quy luật đặc biệt? ?? cấp thiết 1.2 Mục đích... nghiệm: 2.1.1 .Cấp số cộng * Dãy số cấp số cộng không đổi gọi công sai cấp số cộng * Nếu dãy số cấp số cộng * Nếu dãy số cấp số cộng tổng với , số 2.1.2 .Cấp số nhân * Dãy số cấp số nhân không đổi... : skknchat@gmail.com Trong Và tổng tổng hạng thứ số hạng đầu cấp số nhân có số , công bội Vậy số hạng tổng quát dãy số Trên sở cấp số cộng cấp số nhân cách tư tương tự ta giải số toán dãy số