(SKKN mới NHẤT) SKKN phương pháp tìm giới hạn của dãy số được cho bởi công thức truy hồi, qua việc tìm số hạng tổng quát của dãy

MỤC LỤC Nội dung I MỞ ĐẦU………………………………………………………… Trang Lý chọn đề tài……………………………………………… 2 Mục đích nghiên cứu…………………………………………… Đối tượng nghiên cứu…………………………………………… Phương pháp nghiên cứu……………………………………… II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM………………… II.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm……………………… II.2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm II.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề………………… 3.1.Dạng toán 1…………………………………………………… 3.2.Dạng toán 2 …………………………………………………… 3.2.Dạng toán 3…………………………………………………… 3.2.Dạng toán 4…………………………………………… 3.5.Dạng toán 5:………………………… 10 II.4 Hiệu sáng kiến họat động dạy học 13 III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ………………………… 14 Kết luận ………………………………………………………… 14 Kiến nghị ……………………………………………………… 14 download by : skknchat@gmail.com 4 I MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Đứng trước tốn, đặc biệt tốn khó người làm tốn đặt phương hướng giải Tuy nhiên người ham mê tốn cịn tìm cách giải quyểt khác nhau, tìm cách giải hay ngắn gọn lạ lại kích thích tính tị mị khám phá lịng say mê mơn học Trong chương trình tốn THPT thường gặp tốn dãy số có dạng tốn việc tìm giới hạn dãy số cho công thức truy hồi Đây dạng toán thường gặp đề thi học sinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh quốc gia Có nhiều phương pháp để giải dạng toán này, với học sinh phổ thông sử dụng kỹ thuật biến đổi để đưa dãy số quen thuộc chương trình toán trung học : Cấp số cộng, cấp số nhân để tìm giới hạn dễ hiểu thiết thực cho học sinh ứng dụng Nhằm phát triển tư sáng tạo giúp học sinh biết cách tìm tịi q trình học tốn đặc biệt với em học khá, giỏi Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh tơi ln hướng cho em tìm nhiều cách giải tốn, mục đích nhằm phát triển tư sáng tạo kỹ làm toán Với lí trên, từ thực tế giảng dạy, với kinh nghiệm thu được, tiến hành thực đề tài sáng kiến kinh nghiệm cho năm 2018 với nội dung “Phương pháp tìm giới hạn dãy số cho công thức truy hồi, qua việc tìm số hạng tổng quát dãy ” Mục đích nghiên cứu Với việc nghiên cứu đề tài “Phương pháp tìm giới hạn dãy số cho cơng thức truy hồi, qua việc tìm số hạng tổng quát dãy ”sẽ giúp học sinh, đặc biệt đối tượng học sinh học mức độ khá, giỏi tìm giới hạn dãy cách nhanh hơn, lạ sáng tạo Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu sáng kiến áp dụng cho học sinh mức độ trung bình trở lên lớp 11, 12 -THPT Trần Phú –Thanh Hóa Tất nhiên với đối tượng lớp mà có ví dụ minh họa toán áp dụng khác Phương pháp nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm trình bầy dạng toán tổng quát theo thứ tự từ đơn giản đến phức tạp có ví dụ minh hoạ điển hình số tập áp dụng Qua mong muốn khai thác thêm hay đẹp tốn học đồng thời góp phần tăng thêm kỹ giải toán cho học sinh II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM II.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Trong chương trình tốn lớp 11 học sinh học dãy số, giới hạn dãy số, có nhiều tốn tìm giới hạn dãy số, giới hạn dãy cho download by : skknchat@gmail.com công thức truy hồi, học sinh thường coi dạng tốn khó Tuy nhiên với dãy số mà cho dạng số hạng tổng quát hay đưa chúng số hạng tổng quát làm việc chúng đơn giản Sách giáo khoa Đại số Giải tích lớp 11 (cả nâng cao) dạy lý thuyết cho học sinh hai dãy số đặc biệt quan trọng cấp số cộng cấp số nhân, định nghĩa, định lí, tổng cấp số nhân lùi vơ hạn, dãy số có giới hạn vô cực Xin nhắc lại số hạng tổng quát cấp số cộng ( SGK Đại số & Giải tích NC lớp 11 trang 111 mục định lí 2) cấp số nhân (SGK Đại số & Giải tích NC lớp 11 trang 118 mục định lý 2) là lý thuyết để tìm số hạng tổng quát dãy, cốt lõi để từ tìm giới hạn dãy: - Nếu cấp số cộng có số hạng đầu cơng sai số hạng tổng quát xác định cơng thức sau : - Nếu cấp số nhân có số hạng đầu cơng bội xác định cơng thức sau : số hạng tổng qt II.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong đợt thi chọn đội tuyển học sinh thi học sinh giỏi cấp tỉnh trường THPT Trần Phú- Nga Sơn cho học sinh tốn sau: Bài tốn: Tìm giới hạn dãy số ( ) xác định : *Kết qủa thu Khi chấm em thấy nhiều em không làm này, số em làm song cách mò mẫm dài dịng khơng khoa học Thực tốn khơng khó, ta biết sử dụng phương pháp phù hợp mà cụ thể : “Phương pháp tìm giới hạn dãy số cho cơng thức truy hồi, qua việc tìm số hạng tổng quát dãy ” Cụ thể sau (Đây dạng toán đề cập đây) Gọi dãy số xác định : Khi : Vậy cấp số nhân có cơng bội Từ ta suy Vậy số hạng tổng quát dãy là : download by : skknchat@gmail.com (với Do đó: ) Vậy Như phương pháp tìm số hạng tổng quát dãy số thông qua số hạng tổng quát cấp số nhân để tìm giới hạn dãy ta có cách giải ngắn gọn tự nhiên rõ ràng Sau năm trực tiếp giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh dự thi học sinh giỏi trường, giỏi tỉnh tìm tịi cách giải phù hợp “Phương pháp tìm giới hạn dãy số cho cơng thức truy hồi, qua việc tìm số hạng tổng quát dãy ” phương pháp mạnh dạn cải tiến phương pháp đồng thời áp dụng sáng kiến năm học từ 2005- 2006 đến trường THPT Trần Phú Thanh Hoá II.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Để làm sáng tỏ điều tơi xin đưa dạng tốn bản, ví dụ điển hình tập áp dụng cho loại sau : 3.1.Dạng toán 1: Tìm giới hạn dãy số với : PHƯƠNG PHÁP GIẢI Trường hợp 1 : Nếu Trường hợp 2 : Nếu bội sau : Đặt dãy cấp số cộng, công sai ,ta quy dãy thành dãy cấp số nhân ,cơng Khi cấp số nhân Thật vậy : Nên : cấp số nhân cơng bội Từ suy số hạng Suy ra : Vậy số hạng tổng quát dãy số là : với Từ ta giới hạn dãy download by : skknchat@gmail.com Ví dụ 1 :Tìm giới hạn dãy số Giải Ta có xác định bởi : quy nạp ta có Từ giả thiết suy ra : Đặt ta được : với (*) Đặt (*) trở thành : với Như cấp số nhân có cơng bội Suy Vậy dãy số nên có số hạng tổng quát là : Do đó : Vậy BÀI TẬP ÁP DỤNG Tìm giới hạn dãy số dãy số cho a b Tìm giới hạn dãy số xác định bởi : 3.2.Dạng tốn 2 : Tìm giới hạn dãy số dãy số với với : đa thức theo PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Trường hợp 1 : Cho ta có nhận giá trị Trong ta được : tính thơng qua tổng : download by : skknchat@gmail.com Trường hợp 2 : Đặt bậc g(n) bậc f(n) g(n) xác định thông qua phương pháp hệ số bất định đồng thời thoả mãn : Ta quy dãy thành dãy thành cấp số nhân có cơng bội Ví dụ 2 : Tìm giới hạn dãy số xác định bởi : Giải Theo đề ta có : Thay Vậy cộng đẳng thức ta được : Do Vậy BÀI TẬP ÁP DỤNG Xác định giới hạn dãy số xác định cơng thức sau : 3.3.Dạng tốn 3 : Tìm giới hạn dãy số xác định bởi  > PHƯƠNG PHÁP GIẢI Trường hợp 1 : Cho ta có nhận giá trị Trong ta được : tính thơng qua tổng cấp số nhân có số hạng đầu công bội download by : skknchat@gmail.com Trường hơp 2 : Ta quy toán dạng toán cách đặt với đồng thời g(n) hàm số thảo mãn : + Nếu + Nếu Trong xác định thơng qua phương pháp hế số bất định Dãy xác định theo cấp số nhân từ suy giới hạn dãy Ví dụ Tìm giới hạn dãy số xác định bởi : Giải Theo đề ta có : Thay Vậy ta được : cộng Khi đó : Ví dụ Tìm giới hạn dãy Giải Ta thấy Khi đẳng thức ta được : xác định bởi : nên ta đặt với Suy : Ta : Khi Áp dụng cơng thức tính số hạng tổng qt cấp số nhân ta Ta được: Vậy BÀI TẬP ÁP DỤNG download by : skknchat@gmail.com Tìm giới hạn dãy số xác định bởi : Tìm giới hạn dãy số xác định bởi : 3.4.Dạng toán 4: Tìm giới hạn dãy số xác định bởi : theo Giải Xét phương trình : Trường hợp 1: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt : số ta : Thật : Nên : ( với Ta đặt Từ áp dụng cấp số nhân ,tìm được giới hạn dãy Trường hợp : Phương trình (*) có nghiệm kép : Tương tự ta tìm Ta đặt : , suy để có : Áp dụng cấp số cộng ta tính suy giới hạn dãy Ví dụ Tìm giới hạn dãy số xác định bởi : Giải download by : skknchat@gmail.com Ta có : Nên Đặt có Áp dụng cấp số nhân ta có Từ suy : Vậy số hạng tổng quát dãy : Từ ta có : Vậy Ví dụ Tìm giới hạn dãy số xác định : Giải Ta có Nên Đặt ta có Áp dụng cấp số cộng Suy hay Ta số hạng tổng quát dãy số : với download by : skknchat@gmail.com Vì BÀI TẬP ÁP DỤNG Tìm giới hạn dãy số xác định bởi : Tìm giới hạn dãy số xác định bởi : 3.5.Dạng tốn 5: Tìm giới hạn dãy số xác định bởi : PHƯƠNG PHÁP GIẢI Ta có : Đặt với Ta : cấp số nhân công bội b với Từ (*) ta : : ( đẳng thức ) Cộng đẳng thức cho ta : download by : skknchat@gmail.com 10 Suy : Nêu : với Nếu Từ ta tìm giới hạn dãy Ví dụ Tìm giới hạn dãy số với xác định bởi : Giải (Áp dụng tốn với Ta có Đặt với Ta : ) ; cấp số nhân công bội với Suy : Vậy số hạng tổng quát dãy số : Do giới hạn dãy : Ví dụ Tìm giới hạn dãy số với xác định bởi : Giải Đặt với Ta : ; Thay n Ta : cấp số nhân công bội với vào (*) download by : skknchat@gmail.com 11 đẳng thức Cộng đẳng thức suy : Nên ta : Ta có Là tổng cấp số nhân với bội nên Vậy ta có : Do : Ví dụ Tìm giới hạn dãy số xác định bởi : Giải (áp dụng cách giải dạng toán với Ta có Đặt Ta : ; ) cấp số nhân công bội với Vậy số hạng tổng quát dãy : với Do : BÀI TẬP ÁP DỤNG Cho dãy số : Hãy tìm giới hạn dãy download by : skknchat@gmail.com 12 2.Cho dãy số : Hãy tìm giới hạn dãy Cho dãy số thoả mãn điều kiện : Hãy tính theo Tìm Cho hai số cho trước với xác định hệ thức : Hãy biểu diễn qua Tìm số hạng dãy với II.4.Hiệu sáng kiến hoạt động dạy học Nội dung sáng kiến trình bày tùy theo đối tượng khối lớp chủ yếu dành cho em học sinh đội tuyển học sinh giỏi Toán 11, 12 Sự hứng thú tự tin học sinh việc học Toán, đặc biệt loại toán dãy số, thật cải thiện góp phần vào thành tích chung kì thi nhà trường năm học qua Sau mười năm phân công trực tiếp giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi trường THPT Trần Phú –Thanh Hóa, tơi áp dụng sáng kiến việc giảng dạy đại trà lớp, bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn luyện đội tuyển rút kết luận sau : * Kết kiểm nghiệm trình giảng dạy cho nhóm lớp: ( Lớp 11A ,11C,11G trường THPT Trần Phú Thanh Hoá) Lớp 11A 11C 11G Sĩ số Số học sinh làm dạng (theo chưa dạy phương pháp nhóm) Số lượng Phần trăm 14 14 % 15 20 % 17 23 % Số học sinh làm dạng dạy phương pháp Số lưọng Phần trăm 10 71 % 12 80 % 14 82 % * Kết kiểm nghiệm tính hiệu cho học sinh dạy sử dụng phương pháp: - Giúp học sinh rèn luyện kỹ phân tích tốn để tìm mối liên hệ với kiến thức học, từ áp dụng để giải tốn tương tự, có liên quan - Làm cho học sinh u thích gây thích thú tị mị khám phá mơn học - Có cách giải hợp lí, hay, ngắn gọn đồng thời khai thác dạng tổng quát toán để áp dụng làm toán cụ thể download by : skknchat@gmail.com 13 - Sau sử dụng phương pháp vào việc giảng dạy nhận thấy số học sinh giỏi ngày tăng lên năm học sinh khơng cịn ‘‘ e ngại’’ gặp toán dạng * Bài học kinh nghiệm rút ra: Sau thời gian đưa vào sử dụng , bồi dưỡng học sinh rút số kinh nghiệm sau: - Giáo viên phải nghiên cứu kỹ kiến thức sách giáo khoa, tài liệu tham khảo - Lựa chọn phương pháp giảng dạy môn phù hợp với đối tượng học sinh - Để áp dụng làm tốt tập cần cho học sinh nắm vững sở lý thuyết vấn đề tránh thiếu sót khơng chặt chẽ trình giải tập học sinh - Khi cho tập cần nâng cao dần mức độ khó - Sau tập cần chốt lại vấn đề nhận xét nhằm lôi học sinh có lịng say mê học tốn III.KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 1.Kết luận Trên sáng kiến tơi q trình trực tiếp giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Sau nhiều năm hệ thống thành chuyên đề : “Phương pháp tìm giới hạn dãy số cho công thức truy hồi, qua việc tìm số hạng tổng quát dãy ” Đây phương pháp hữu ích giúp học sinh biết chuyển từ toán phức tạp thành toán đơn giản để giải đặc biệt làm cho học sinh khơng cịn “ngại” học loại toán dãy số Dạng toán chuyên đề quan trọng giúp cho giáo viên bồi dưỡng kỳ thi học sinh giỏi hàng năm Kiến nghị Mặc dù thân dành thời gian nghiên, thời gian nghiên cứu hạn chế , thân kinh nghiệm chưa nhiều nên viết không tránh khỏi thiếu sót Mong góp ý chân thành quý Thầy Cô giáo Tôi xin chân thành cảm ơn ! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh hóa,ngày 24 tháng năm 2018 Tơi xin cam đoan SKKN mình, khơng chép nội dung người khác Trịnh Văn Hoan TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách giáo khao Đại số giải tích 11 nâng cao – Đồn Quỳnh (Tổng chủ biên) –NXB Giáo dục Việt Nam-Năm 2007 download by : skknchat@gmail.com 14 - Sách giáo khao Đại số giải tích 11 – Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) –NXB Giáo dục Việt Nam-Năm 2007 - Toán Đại số bồi dưỡng học sinh phổ thông trung học – Hàn Liên Hải (Chủ biên) –NXB Hà Nội -Năm 2002 - Giải tốn đại số giải tích – Trần Thành Minh (Chủ biên) –NXB Giáo Dục Năm 2003 - Báo toán học tuổi trẻ năm 2007 - Báo toán học tuổi trẻ năm 2008 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SKKN ĐÃ ĐƯỢC SỞ GD&ĐT ĐÁNH GIÁ Tên đề tài - Phương pháp lượng giác hóa để giải phương trình vơ tỷ - Phương pháp tọa độ để giải biện luận phương trình chứa tham số - Sử dụng phương pháp tọa độ, để giải toán bất đẳng thức giá trị lớn nhất, nhỏ - Phương pháp tọa độ để tính khoảng cách tốn hình học khơng gian download by : skknchat@gmail.com Loại C B C C 15 ... dung ? ?Phương pháp tìm giới hạn dãy số cho công thức truy hồi, qua việc tìm số hạng tổng quát dãy ” Mục đích nghiên cứu Với việc nghiên cứu đề tài ? ?Phương pháp tìm giới hạn dãy số cho cơng thức truy. .. cấp số nhân công bội với Vậy số hạng tổng quát dãy : với Do : BÀI TẬP ÁP DỤNG Cho dãy số : Hãy tìm giới hạn dãy download by : skknchat@gmail.com 12 2 .Cho dãy số : Hãy tìm giới hạn dãy Cho dãy số. .. tơi tìm tịi cách giải phù hợp ? ?Phương pháp tìm giới hạn dãy số cho công thức truy hồi, qua việc tìm số hạng tổng quát dãy ” phương pháp mạnh dạn cải tiến phương pháp đồng thời áp dụng sáng kiến