cách tìm công thức tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi

GV: Phạm Thị Thu Huyền CÁC TÌM CƠNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI Dạng 1: Tìm số hạng tổng quát dãy số (dạng đa thức) biết số hạng Ví dụ 1.1: Cho dãy số  un  có dạng khai triển sau: 1; 1; 1;1;5;11;19; 29; 41;55; Hãy tìm cơng thức số hạng tổng qt tìm số tiếp theo? Bài giải: Nhận xét: Với 10 số hạng đầu này, để tìm quy luật biểu diễn khó Với cách cho ta thường làm phương pháp sau: Đặt: uk  uk 1  uk  2uk  uk 1  uk  3uk   2uk 1   2uk …… Ta lập bảng giá trị uk ,  2uk , 3uk đến hàng có giá trị khơng đổi dừng lại, sau kết luận un đa thức bậc 1, 2, 3,… ta tìm đa thức Lời giải: Bảng giá trị ban đầu: uk uk  uk -1 -2 -1 2 11 19 29 10 41 12 55 14 Ta thấy hàng  2uk không đổi nên dãy số dãy giá trị đa thức bậc hai: un  an  bn  c  a   (1) n số thứ tự số hạng dãy Tìm a, b, c sau: Cho n  1; 2;3 thay vào công thức (1) ta hệ phương trình sau: a  b  c  a    4a  2b  c  1  b  5  un  n  5n  9a  3b  c  1 c    Số hạng u11  71 Ví dụ 1.2: Cho dãy số  un  có dạng khai triển sau: 5; 3;11; 43;99;185;307; 471; GV: Phạm Thị Thu Huyền Hãy tìm công thức số hạng tổng quát số hạng Bài giải: Bảng giá trị ban đầu -5 uk uk  uk -3 11 14 12  3uk 43 99 32 18 56 24 185 86 30 6 307 122 36 471 164 42 Ta thấy hàng 3uk không đổi nên dãy số dãy giá trị đa thức bậc ba: un  an3  bn  cn  d  a   (2) n số thứ tự số hạng dãy Tìm a, b, c, d sau: Cho n  1; 2;3; thay vào công thức (2) ta hệ phương trình sau: a  b  c  d  5 a  b  c  d  5 a  8a  4b  2c  d  3 7a  3b  c  b        27 a  9b  3c  d  11 26a  8b  2c  16 c  5 64a  16b  4c  d  43 63a  15b  3c  48 d  1  un  n3  5n  Hai số hạng là: u9  683 ; u10  949 Lời bình: Cơng thức tìm khơng hiển nhiên số hạng cho thỏa mãn, chẳng hạn dãy số sau: un  n  5n   P  n   n  1 n   n  3 (Của ví dụ 1.1) un  n3  5n   P  n  n  1 n   n  3 n   (của ví dụ 1.2) Với P  n  đa thức Vậy cách tìm tìm dạng mà dãy số cho thỏa mãn mà không tìm tất dạng mà dãy số cho thỏa mãn Bài tập tương tự: Với dãy số sau đây, tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số (Đs: un  6n  ) 1) 8;14; 20; 26;32; 15 n7) 2 (Đs: un  3n  4n  ) 2) 1; 2; 2;1;7;16; 28; 43;61; (Đs: un  n  3) 1;6;17;34;57;86;121; GV: Phạm Thị Thu Huyền 2 (Đs: un  n  n  ) 2 17 (Đs: un  n  n  ) 2 (Đs: un  n  3n  2n  ) (Đs: un  n  n  ) 4) 2;3;7;14; 24;37; 5) 3;5;10;18; 29; 6) 2;1;5;14; 28; 47;71;100;134;173; 217; 7) 2; 2;8; 26;62;122; 212;338; u1  a un 1  qun  d , n  DẠNG 2: Dạng sở: Cho dãy  un  biết  Với q, d số thực GIẢI: u1  a un 1  d , n   Trường hợp 1: Nếu q     u1  a , un  d , n  * , n  u1  a un 1  un  d , n   Trường hợp 2: Nếu q      un  cấp số cộng với số hạng đầu u1  a công sai d  un  a   n  1 d u1  a un 1  qun , n   Trường hợp 3: Nếu d      un  cấp số nhân với số hạng đầu u1  a công bội q  un  a.q n 1  Trường hợp 4: Nếu q  0, q  1, d  Đặt dãy   cho un   d (1) 1 q Thay ct(1) vào cơng thức truy hồi ta có:  d d   q   d 1 q 1 q    1  qvn , n  1     cấp số nhân với số hạng đầu v1  u1  q  d  n 1    a  q ,n 1 1 q   d d a công bội 1 q 1 q GV: Phạm Thị Thu Huyền  un    d d  n 1 d  a  q  1 q  1 q  1 q Ví dụ 2.1: Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy  un  biết: u1  1 un 1  un  3, n  (Đs: un  3n  ) u1  un 1  2un  3, n  (Đs: un  4.2n 1  ) 1)  2)  Giải: u1  1 un 1  un  3, n  1)  Vì un 1  un  , n    un  cấp số cộng với số hạng đầu u1  1 công sai d   un  u1   n  1 d  1   n  1  3n  u1  un 1  2un  3, n  2)  Nhận xét: Dãy số có dạng với q  1, d  Đặt dãy   cho: un   d   (1) 1 q Thay (1) vào công thức truy hồi ta 1     3   1  2vn    cấp số nhân với số hạng đầu v1  u1     công bội q    4.2n 1  2n 1  un    2n 1  u1  1 Còn có cách sau: un 1  un  3, n  Nhận xét: Câu 1:  Cách 2: Ta có: u1  1 u2  u1  u3  u2  GV: Phạm Thị Thu Huyền …… un  un 1  Cộng vế với vế hệ thức ta được: u1  u2  u3   un  1  u1  u2  u3   u n 1 3(n  1)  un  1   n  1  un  3n  Cách 3: Dựa vào cơng thức truy hồi ta tính dạng khai triển dãy  un  là: 1; 2;;5;8;11;14;17; uk uk -1 11 3 14 17  un  an  b,  a   (1) a  b  1 a    2a  b  b  4 Thay n  n  thay vào (1) ta được:   un  3n  Bài tập tương tự: Tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy  un  biết: u1  un 1  un  7, n  (Đs: un  7n  ) u1  un 1  2un , n  (Đs: un  2n 1.3 ) u1  1 un 1  2un  1, n  (Đs: un  1 ) 1)  2)  3)   u1  4)  u  2u  , n  n  n 1 u1   5)  un 1  2un  , n  (Đs: u n  2n  ) (Đs: u n  2n  ) Lời bình: Dạng gọi dạng sở vì: - Với trường hợp 1, 2, 3, dãy số trở thành dãy đặc biệt là: dãy số hằng, cấp số cộng cấp số nhân Các dãy số ta tìm cơng thức số hạng tổng quát GV: Phạm Thị Thu Huyền - Trên sở dãy này, để giải trường hợp 4: phương pháp đặt dãy số   liên hệ với dãy số  un  biểu thức để đưa dãy số   mà   dãy số cấp cộng cấp số nhân - Vấn đề đặt là: Mối liên hệ  un    biểu thức đưa dãy số   thành dãy số cấp số cộng cấp số nhân trường hợp Qua q trình tìm tòi, tơi tìm số dạng sau: u1  a với q, c, d  R q, c  un 1  qun  cn  d , n  LOẠI 2.1:  GIẢI: u1  a un 1  un  cn  d  Trường hợp 1: Nếu q    Cách 1: Ta có: u1  a u2  u1  c.1  d u3  u2  c.2  d u4  u3  c.3  d ………… un  un 1  c  n  1  d Cộng vế với vế hệ thức trên, ta được: un  a  c.1  c.2  c.3   c  n  1   n  1 d  a  cn  n  1   n  1 d Cách 2: Dùng công thức DẠNG (Viết dãy số theo dạng khai triền)  Trường hợp 2: Nếu q  Đặt dãy   cho: un   c  n  1 cn , thay vào công thức truy hồi ta 1 q  cn   q     cn  d 1 q 1 q   c  1  qvn  d  1 q c  v1  u1   q  Khi dãy   lại Từ ta có dãy   với  c n  v  qv  d   qvn  d ', n  n 1 1 q 1  có DẠNG GV: Phạm Thị Thu Huyền Ví dụ 2.2: Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy  un  biết: u  1)  un 1  un  3n  2, n  3n  7n  14 (Đs: un  ) u1  11 un 1  10un   9n, n  (Đs: un  10n  n ) u1  un 1  3un  6n  (Đs: un  3n   3n ) 2)  3)  Bài giải: u  1)  un 1  un  3n  2, n  Cách 1: Ta có: u1  u2  u1  3.1  u3  u2  3.2  u4  u3  3.3  u5  u4  3.4  ………… un  un 1   n  1  Cộng vế với vế ta được:  un   3.1  3.2  3.3    n  1   n  1    n  1 n   n  1  3n  7n  14 Cách 2: Ta có dạng khai triển dãy số  un  là: 5;6;10;17; 27; 40;56;75; uk uk  uk 10 17 27 10  un  an  bn  c (*) Thay n  1, n  2, n  vào (*) ta được: 40 13 56 16 75 19 GV: Phạm Thị Thu Huyền  a  a  b  c     4a  2b  c   b   9a  3b  c  10   c    3n  7n  14  un  n  n   2 u1  11 un 1  10un   9n, n  2)  Đặt dãy   cho: un   n, n  Thay vào công thức truy hồi ta được: 1  n   10   n    9n  1  10vn    cấp số nhân với số hạng đầu v1  u1   10 công bội q  10   10.10n 1  10n  un  10n  n u1  un 1  3un  6n  3)  Đặt dãy   cho: un   3n , thay vào công thức truy hồi dãy  un  ta được: 1   n  1    3n   6n   1  3vn  v1  u1   2    xác định bởi:  vn 1  3vn  2, n  Đặt dãy  yn  cho  yn  1, n  , thay vào công thức truy hồi dãy   ta yn 1    yn  1   yn 1  yn   yn  cấp số nhân với số hạng đầu y1  v1   2   3 công bội q  yn  3.3n 1  3n   3n  Vây: un  3n   3n Bài tập tương tự: Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy  un  biết: GV: Phạm Thị Thu Huyền u1  99 un 1  un  2n  1, n  (Đs: un  100  n ) 1)   n  n  1  (Đs: un       n  1    )   u1  2)  un 1  un  n , n  u1  un 1  un  2n , n  3)  3   (Đs: un   12  22  32    n  1    n  1 n  2n  1 u1  a với q  n un 1  qun  rc , n  LOẠI 2.2: Cho dãy  un  xác định bởi:  GIẢI: u1  a n un 1  un  rc ,  Trường hợp 1: Nếu q    n 1 ta làm phương pháp sau: u1  a Ta có: u2  u1  rc1 u3  u2  rc u4  u3  rc3 ……………… un  un 1  rc n 1 Cộng vế với vế ta được: un  a  (c  c  c   c n 1 )r  a    c c n 1  r c 1 u1  a n un 1  qun  rc , n   Trường hợp 2: Nếu c  q   Đặt dãy   cho: un   rc n , thay vào công thức truy hồi ta cq  rc n 1 rc n  n  q     rc  cq c q    1  qvn 1  GV: Phạm Thị Thu Huyền    cấp số nhân với số hạng đầu v1  u1  rc rc công bội a cq cq q  rc  n 1    a  q cq  rc n  rc  n 1 rc n  un    a  q  cq  cq cq u1  a n un  qvn  rq , n   Trường hợp 3: Nếu c  q   Đặt dãy số   cho: un  q n , thay vào công thức truy hồi dãy  un  ta   q n 1vn 1  q q n  rq n  1   r q    cấp số cộng với số hạng đầu v1  Ví dụ 2.3: Cho dãy u n  u1   * n biết    với n  N u n 1  u n    2  Xác định số hạng tổng quát dãy u n  Bài giải: Cách 1: Ta có: u1  u2  u1  1 u3  u2    2 1 u4  u3    2 ………… 1 un  un 1    2 u1 a r  công sai d  q q q n 1 10 1 (Đs: un     2 n 1 ) GV: Phạm Thị Thu Huyền Cộng vế với vế ta được: n 1 1   n 1 n 1 1 2 1 1   2  un           2 2 2 1 Cách 2: n Đặt dãy số   1 n   2 1  cho: un       thay vào công thức truy hồi ta 2  được: 1 1    2  1  n 1  dãy   n 1 1        2 2 n  1 v1  u1       xác định bởi:  2 v  v  n 1 v   v1  2, n  n 1 1 Vậy: un         2 2 n 1 Ví dụ 2.4: Viết công thức số hạng tổng quát dãy số  un  với: u1  n un 1  2un  , n  (Đs: un  5.2n1  3n ) u1  n un 1  5un  , n  (Đs: un  u1  101 n 1 un 1  7un  , n  (Đs: un  n.7 n  94.7 n 1 ) 4)  u1  n un 1  2un  6.2 , n  (Đs: un  3n.2n  5.2n 1 ) u1  5)  n un 1  un  2n.3 , n   3n 1  n.3n ) (Đs: un  1)  2)  3)  Bài giải: 11 n n 1 5 )   GV: Phạm Thị Thu Huyền u1  n un 1  2un  , n  1)  Đặt un   3n , n  thay vào công thức truy hội dãy  un  ta được: 1  3n 1    3n   3n  1  2vn    cấp số nhân với số hạng đầu v1  u1   công bội q    5.2n 1  un  5.2n 1  3n u1  n un 1  5un  , n  2)  3n thay vào công thức truy hồi ta  3n 1 3n  n 1       2   1  5vn    cấp số nhân với số hạng đầu v1  u1    công bội q  2    5n 1 1  un   5n 1  3n  3n  5n 1 2 u1  101 3)  n 1 un 1  7un  , n  Đặt un     Đặt un  n thay vào công thức truy hồi ta n 1 1  7.7 n  n 1  1      cấp số cộng với số hạng đầu v1  101 94  n 1  n  7 n n 1  un  n.7  94.7   12 u1 101 công sai d   7 GV: Phạm Thị Thu Huyền u1  n un 1  2un  6.2 , n  4)  Đặt un  2n , n  thay vào công thức truy hồi ta 2n 1 1  2.2n  6.2n  1      cấp số cộng với số hạng đầu v1  u1  công sai d  2   n  1  3n  2    un   3n   2n  3n.2n  5.2n 1 2    u1  n un 1  un  2n.3 , n  5)  Đặt un  3n , n  thay vào biểu thức truy hồi dãy  un  ta 3n 1 1  3n  2n.3n  1   n 3 u1  v1    dãy   xác định  v  v  n, n   n 1 n Đặt  yn  n thay vào công thức truy hồi dãy   ta yn 1  n    yn 1   yn  n   n 3 yn   y1  v1   1    yn  xác định   yn 1  yn  1, n  Đặt yn  tn  thay vào công thức truy hồi dãy  yn  ta 1 3 tn 1    tn    3 2  tn 1  tn 13 GV: Phạm Thị Thu Huyền   tn  cấp số nhân với số hạng đầu t1  y1  3 1  1   công bội q  2 …………………  3n 1  n.3n  un  LOẠI 2.3: Cho dãy số  un  u1  a  xác định bởi:  cun un 1  q  du , n  n  GIẢI: Đặt dãy số   cho: un  1 c  q 1 thay vào công thức truy hồi dãy  un  ta đươc d c 1 qvn  d q d  1   c c  v1  a quay DẠNG    :  q d v  v  , n   n 1 c n c   LOẠI 2.4: Cho dãy số  un  u1  a  xác định bởi:  b  cun un 1  p  ru , n  n  GIẢI: Đặt un    , n  thay vào công thức truy hồi dãy  un  ta b  c     1    p  r      1  b  c  cvn   p   rvn   p  r     14 GV: Phạm Thị Thu Huyền      p  c    b    c  r   1   p  r   rvn   trở loại 2.3, ta chọn    r  c    b  Để dãy  nghiệm phương trình Ví dụ 2.5: Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy  un  sau, biết: u1`   1)  un un 1   u , n  n  (Đs: un  u1   2)  un u , n 1   n   un  (Đs: un   u1  3)  un 1   un  u1   4)   4un un 1   6u , n  n  (Đs: un  (Đs: un  Bài giải: u1`   1)  un un 1   u , n  n  thay vào công thức truy hồi dãy  un  ta được: v  n 1  Đặt un  15 ) n 3.2 n2 1 ) n ) n 1 n 6  ) GV: Phạm Thị Thu Huyền 1   1     Dãy   cấp số cộng có số hạng đầu v1    v1   n  1 d   n   n  un   , công sai d  u1 n u1   2)  un un 1   u , n  n  Đặt un  thay vào công thức truy hồi dãy  un  ta được: vn  1  1   1 2vn   1  2vn  Đặt  yn  thay vào dãy   ta được: yn 1    yn  1   yn 1  yn   yn  cấp số nhân với số hạng đầu y1  v1     công bội q  u1  yn  2n 1  3.2n  2   yn   3.2n 2  1  un  n2 3.2  1  u1  3)  un 1   un  Đặt dãy số   cho: un    thay vào dãy  un  ta được: 1       16 GV: Phạm Thị Thu Huyền   2       Chọn  nghiệm phương trình:   2       1   un   1   Đặt dãy số  yn  cho:  thay vào dãy   ta được: yn yn  yn 1  yn 1   yn 1 yn   yn 1  yn    yn  cấp số cộng có số hạng đầu y1   yn  2   n  1 1   n    1   2 công sai d  1 v1 u1  1  yn n 1  un     n  n 1 n 1 u1   4)   4un un 1   6u , n  n  Đặt dãy   cho un    , thay vào công thức truy hồi ta 1     1            6    5    6        nghiệm phương trình 6  5    v1    Khi un   dãy số   xác định  vn 1   6vn  Đặt dãy số  yn  cho  thay vào công thức truy hồi dãy   ta được: yn => chọn   17 GV: Phạm Thị Thu Huyền yn  yn 1  yn 1   yn 1 yn   yn 1  yn   y1    yn 1  yn  6, n  cho yn  xn  thay vào công thức truy hồi dãy  yn  ta  yn  xác định Đặt dãy số  xn  xn 1    xn     xn 1  xn   xn  cấp số nhân với x1  y1   công bội q   xn  8.2n 1  2n   yn  n     n  2 6 1  un  n   6 Bài tập tương tự: Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy  un  sau, biết: u1  1  1)  2un  un 1  3u  , n  n  u1   2)  un un 1  2u  , n  n  2.3 Sử dụng máy tính casio để tìm số hạng dãy số cho công thức truy hồi: Theo dự án Bộ Giáo Dục Đào Tạo, từ năm học 2016 – 2017 kỳ thi THPT Quốc gia, mơn Tốn thi phương pháp trắc nghiệm Vậy, với tốn dãy số mà dãy số cho cơng thức truy hồi phải giải nào? Có phải tìm cơng thức số hạng tổng qt hay khơng? Sau tơi xin giới thiệu quy trình bấm máy tính casio để tìm giá trị uk dãy số cho biểu thức truy hồi 18 GV: Phạm Thị Thu Huyền u1  Tính u8 ? un 1  un  3, n  Ví dụ 3.1: Cho dãy số  un  xác định  Bài giải: + Gán giá trị u1  vào biến A: SHIFT STO A + Dùng biến D làm biến đếm, công thức truy hồi bắt đầu tính từ u2 , nên ta gán cho biến đếm D giá trị khởi đầu 1: SHIFT STO D + Biểu thức lặp: Khi biến đếm D tăng lên đơn vị u2  u1   A  ta lại gán giá trị u2 vào biến A, biều thức lặp lại Nên ta có biểu thức lặp sau: D  D  1: A  A  + Sau bấm phím CACL liên tiếp dấu “=” giá trị D  D   tính u8 Tóm lại quy trình bấm máy sau: SHIFT STO A SHIFT STO D D  D  1: A  A  CACL = = = ……= Cho đến hình có D  D   bấm tiếp dấu “=” ta A  u8  22 Chú ý: Các ký hiệu “=” “:” biểu thức lặp D  D  1: A  A  phím màu đỏ bàn phím máy tính casio, nên ta phải bấm tổ hợp phím ALPHA dấu “=”, dấu “:” màu đỏ Còn dấu “=” sau gọi phím CACL = = = ……= dấu “=” màu đen phím máy tính casio Ví dụ 3.2: Cho dãy số  un  u1   xác định bởi: u2  1 Tính u7 ? u  u  2u , n  n n 1  n Bài giải: Vì cơng thức truy hồi tính theo số hạng đứng trước nó, nên ta cần dùng đến biến A B cho số hạng phải dùng tới lần lặp Quy trình bấm máy sau: SHIFT STO A -1 SHIFT STO B SHIFT STO D D  D  1: A  B  A : D  D  1: B  A  B CACL = = = ….= Cho đến D  D   bấm tiếp dấu “=” ta u7  23 19 GV: Phạm Thị Thu Huyền Lời bình: Với quy trình học sinh khơng phải dùng nháp tính bước từ cơng thức truy hồi khơng phải tìm cơng thức số hạng tổng qt đồng thời có lợi tốn yêu cầu tìm uk với k lớn (VD: u40 , u45 ) Bài tập áp dụng: u1   Bài 1: Cho dãy số  un  xác định bởi:  Số hạng u4 dãy số là: un  u  , n   n 1 A B C D 8 Bài 2: Cho dãy số hữu hạn  un  có dạng khai triển là: 1; 1; 1; 1; 5; 11; 19; 29; 41; 55; Khi cơng thức tổng qt dãy số là: B un  n  3n  A un  n  3n  C un  n  5n  D un  n  2n Bài 3: Cho dãy số  un  u1   n xác định  Công thức số hạng tổng 1 un 1  un    , n  2  quát un là: 2n 1  2n 2n 1  D un  n 1 2n  2n 1 2n  C un  n A un  B un  Với số 2: Ta sử dụng MODE để kiểm tra đáp án Quy trình bấm sau: MODE F  x   x  3x  START END 10 STEP Sau dò cột f  x  Nếu cột trùng với giá trị số hạng dãy số ta chọn biểu thức Chú ý: Với máy casio fx – 570 VN PLUS ta kiểm tra lúc đáp án qua hàm f  x  g  x  phím chuyển đổi: SHIFT MODE ▼ 2.4 Các toán thi học sinh giỏi cấp: 20 GV: Phạm Thị Thu Huyền Bài 1: (Đề thi chọn HSG mơn tốn lớp 11 trường THPT Vũng Tàu năm học 2014 – 2015) u1   n Cho dãy số  un  xác định bởi:   1 un 1  un     , n   2  n 2  1  Chứng minh un  1      , n  *     Bài giải: Cách 1: Ta có: u1   1 u2  u1      2  1 u3  u2      2  1 u4  u3      2 ………………  1 un  un 1      2 n 1 Cộng vế với vế đẳng thức ta được: n  1 1    n 1 n 2  1  2  1  1  1   1      un                       2  2  2 1     2 Cách 2: n Đặt dãy số    1 n   2 1 cho un          thay vào biểu thức truy hồi ta 3 2  1 2 1 1     3 2  1  n 1 n 2 1  1          3 2  2 n    dãy số 2 1   v1  u1        3 2 3 21 GV: Phạm Thị Thu Huyền n n 2 1 2  1   un       1      3 2     Cách 3: Chứng minh quy nạp Bài 2: (Đề thi Olympic 27/4 mơn Tốn – lớp 11 Sở GD ĐT Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm học 2012 – 2013) Cho dãy số  un  u1   xác định  Tính u2013 un   u , n    n    un    Bài giải: Đặt dãy số   cho un  tan , thay vào công thức truy hồi ta được:  tan 1  tan  tan  tan  tan    tan 1  tan    8  => chọn 1       cấp số cộng với số hạng đầu      n  1  tan v1  v1      un  tan    n  1  8 3   2012   u2013  tan     3 22  công sai d   GV: Phạm Thị Thu Huyền 23 ...  (của ví dụ 1.2) Với P  n  đa thức Vậy cách tìm tìm dạng mà dãy số cho thỏa mãn mà khơng tìm tất dạng mà dãy số cho thỏa mãn Bài tập tương tự: Với dãy số sau đây, tìm cơng thức số hạng tổng. .. đặt dãy số   liên hệ với dãy số  un  biểu thức để đưa dãy số   mà   dãy số cấp cộng cấp số nhân - Vấn đề đặt là: Mối liên hệ  un    biểu thức đưa dãy số   thành dãy số cấp số cộng... trường hợp 1, 2, 3, dãy số trở thành dãy đặc biệt là: dãy số hằng, cấp số cộng cấp số nhân Các dãy số ta tìm cơng thức số hạng tổng quát GV: Phạm Thị Thu Huyền - Trên sở dãy này, để giải trường