Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng

Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy số là một phần quan trọng. Học sinh thường gặp phải nhiều bài toán liên quan đến dãy số và gặp khó khăn trong vấn đề xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số. Đặc biệt ở một số lớp bài toán khi đã xác định được công thức tổng quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần như được giải quyết. Tuy vậy trong chương trình SGK được ban hành chưa cung cấp được một công cụ đủ mạnh để giúp học sinh giải quyết được vấn đề này. Các tài liệu của các tác giả khác khi đề cập đến vấn đề này đều sử dụng kiến thức về phương trình sai phân là kiến thức của toán học cao cấp, do đó học sinh rất khó lĩnh hội. Với mong muốn cung cấp một công cụ gần gũi hơn cho học sinh, đề tài “Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng” sẽ cho ta một phương pháp để giải quyết được một phần nào đó vấn đề đặt ra đối với các dãy số cho bởi hệ thức truy hồi. Đây cũng là đề tài và bài giảng mà tác giả đã dạy cho học sinh đại trà cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi trong quá trình giảng dạy phần dãy số và các ứng dụng của dãy số. Tư tưởng chung của phương pháp là từ nội dung bài toán ban đầu ta tìm cách đưa hệ thức truy hồi về một hệ thức mới bằng cách đặt dãy phụ. Sử dụng các kiến thức về cấp số cộng hoặc cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của dãy số mới từ đó suy ra số hạng tổng quát của dãy số đã cho. Giới hạn của đề tài chỉ dừng lại ở việc xác định công thức tổng quát của một số dãy số cho bởi hệ thức truy hồi, từ đó có áp dụng vào một số bài toán cụ thể. Qua đó, người đọc có thể trang bị thêm cho mình phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và ứng dụng vào giải các bài toán liên quan. Ngoài ra qua đề tài này giáo viên cũng như học sinh có thể xây dựng các lớp bài toán về dãy số dưới dạng hệ thức truy hồi. Một số kết quả của đề tài này đã có trong các tài liệu cùng nội dung. Tuy nhiên do đối tượng học sinh của nhà trường chưa đủ khả năng để lĩnh hội, nên trong đề tài này tôi đã chọn lọc và sắp xếp lại theo thứ tự từ dễ đến khó theo logic, giúp học sinh tiếp cận một cách tự nhiên và dễ tiếp thu hơn. Qua đó giúp học sinh phát triển tư duy, hệ thống hóa các kiến thức một cách trình tự hợp lí.

TRƯỜNG THPT KỲ SƠN

Đề tài:

TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY

SỐ CHO BỞI HỆ THỨC TRUY HỒI

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

Phần 1: ĐẶT VẤN ĐỀ 2

Phần 2: NỘI DUNG 3

A CƠ SỞ LÝ THUYẾT 3

I DÃY SỐ 3

II CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN 5

B NỘI DUNG CHÍNH 7

I XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ CHO BỞI HỆ THỨC TRUY HỒI 7

II ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ 14

C BÀI TẬP ÁP DỤNG 25

Phần 3: KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 28

TÀI LIỆU THAM KHẢO 31

Phần 1 ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy số làmột phần quan trọng Học sinh thường gặp phải nhiều bài toán liên quan đếndãy số và gặp khó khăn trong vấn đề xác định công thức số hạng tổng quát củadãy số Đặc biệt ở một số lớp bài toán khi đã xác định được công thức tổng quátcủa dãy số thì nội dung của bài toán gần như được giải quyết Tuy vậy trongchương trình SGK được ban hành chưa cung cấp được một công cụ đủ mạnh đểgiúp học sinh giải quyết được vấn đề này Các tài liệu của các tác giả khác khi

đề cập đến vấn đề này đều sử dụng kiến thức về phương trình sai phân là kiếnthức của toán học cao cấp, do đó học sinh rất khó lĩnh hội

Với mong muốn cung cấp một công cụ gần gũi hơn cho học sinh, đề tài

“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi và ứng dụng” sẽ

cho ta một phương pháp để giải quyết được một phần nào đó vấn đề đặt ra đốivới các dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Đây cũng là đề tài và bài giảng mà tácgiả đã dạy cho học sinh đại trà cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi trong quá trìnhgiảng dạy phần dãy số và các ứng dụng của dãy số

Tư tưởng chung của phương pháp là từ nội dung bài toán ban đầu ta tìmcách đưa hệ thức truy hồi về một hệ thức mới bằng cách đặt dãy phụ Sử dụngcác kiến thức về cấp số cộng hoặc cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của dãy

số mới từ đó suy ra số hạng tổng quát của dãy số đã cho

Giới hạn của đề tài chỉ dừng lại ở việc xác định công thức tổng quát củamột số dãy số cho bởi hệ thức truy hồi, từ đó có áp dụng vào một số bài toán cụthể Qua đó, người đọc có thể trang bị thêm cho mình phương pháp xác địnhcông thức tổng quát của dãy số và ứng dụng vào giải các bài toán liên quan.Ngoài ra qua đề tài này giáo viên cũng như học sinh có thể xây dựng các lớp bàitoán về dãy số dưới dạng hệ thức truy hồi

Một số kết quả của đề tài này đã có trong các tài liệu cùng nội dung Tuynhiên do đối tượng học sinh của nhà trường chưa đủ khả năng để lĩnh hội, nêntrong đề tài này tôi đã chọn lọc và sắp xếp lại theo thứ tự từ dễ đến khó theologic, giúp học sinh tiếp cận một cách tự nhiên và dễ tiếp thu hơn Qua đó giúphọc sinh phát triển tư duy, hệ thống hóa các kiến thức một cách trình tự hợp lí

Phần 2 NỘI DUNG

Đặt u(n) = u n và gọi nó là số hạng tổng quát của dãy số (u n ).

b) Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3, …,m}, với m ∈ N¿, được gọi làdãy số hữu hạn

2 Cách cho một dãy số.

a) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát u n

Khi đó u n = f(n), trong đó f là một hàm số xác định trên N¿

dưới dạng khai triển ta được 3, 5, 7, 9, …, 2n + 1, …

b) Dãy số cho bằng phương pháp mô tả.

π , khi đó ta có dãy số: u 1 = 3; u 2 = 1; u 3 = 4; u 4 = 1; u 5 = 5; …

trong trường hợp này ta không tìm được công thức biểu thị số hạng u n qua n

c) Dãy số cho bằng công thức truy hồi.

- Cho số hạng đầu u1(hoặc một vài số hạng đầu)

- Với n ≥ 2, cho một công thức tính u n nếu biết u n-1 (hoặc một vài số hạng đứngtrước nó) Các công thức có thể là:

u n=f(u n−1)với n ≥ 2 hoặc{ u1 =a ,u2=b

u n=f(u n−1 , u n−2)với n ≥ 3

{ F1 =F2=1

F n=F n−1+F n−2 , với n≥ 3

Dãy số này được gọi là dãy số Phibônaxi

3 Tính chất của dãy số.

- Dãy số (u n ) được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có u n < u n+1

- Dãy số (u n ) được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có un> un+1

dưới, nghĩa là tồn tại số M và m sao cho : ∀ n ∈ N¿, m≤ u n ≤ M

Chú ý : - Dãy số (u n ) tăng ⟺ u n +1−u n>0 ,∀ n

- Dãy số (u n ) giảm ⟺ u n +1−u n<0 ,∀ n

4 Giới hạn của dãy số.

a Dãy số có giới hạn 0.

trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trịtuyệt đối nhỏ hơn số dương đó

Khi đó ta viết : lim(u n ) = 0 hoặc limu n = 0 hoặc u n ⟶ 0

limu n = 0 ⟺ ε>0, ∀ n0∈ N¿: n>n0⟹|u n|<ε

- Định lí 1: Cho hai dãy số (u n ) và (v n )

Nếu |u n|≤ v n với mọi n và limvn = 0 thì limun = 0

- Định lí 2: Nếu |q| < 1 thì limqn = 0

b Dãy số có giới hạn hữu hạn.

- Ta nói rằng dãy số (u n ) có giới hạn là số thực L nếu lim(u n – L) = 0.

Khi đó ta viết : lim(u n ) = L hoặc limu n = L hoặc u n ⟶ L Dãy số có giới hạn làmột số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn

- Định lí 3: Giả sử limu n = A, limv n = B và c là một hằng số Khi đó :

lim(u n + v n ) = A + B ; lim(u n – v n ) = A – B,

lim(u v ) = A.B; lim(cu ) = cA ;

lim u n

v n =

A

B ( nếu B ≠ 0)

- Định lí 4:(Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn)

Cấp số nhân vô hạn u1, u1q, u1q2, …, u1.qn, … có công bội q với |q| <1gọi là mộtcấp số nhân lùi vô hạn

S = u1 + u1q + u1q2 + … + u1.qn + … = u1

1−q

c Dãy số có giới hạn vô cực.

- Ta nói rằng dãy số (u n ) có giới hạn là −∞ nếu với mỗi số dương tùy ý chotrước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn sốdương đó Khi đó ta viết :

lim(u n ) = +∞ hoặc limu n = +∞ hoặc u n ⟶+∞

- Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là −∞ nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước,mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều bé hơn số âm đó.Khi đó ta viết:

lim(u n ) = −∞ hoặc limu n = −∞ hoặc u n ⟶−∞

- Định lí 5: Nếu lim|u n|=+∞thìlim 1

Đặc biệt khi d = 0 thì (u n ) là dãy số trong đó tất cả các số hạng đều bằng nhau và

gọi là dãy số không đổi

Định lí 3: Tổng của n số hạng đầu tiên (kí hiệu là Sn ) của cấp số cộng (u n ) được

cho bởi công thức :

Đặc biệt khi q = 1 thì (u n ) là dãy số trong đó tất cả các số hạng đều bằng nhau và

gọi là dãy số không đổi

Định lí 3: Tổng của n số hạng đầu tiên (kí hiệu là Sn ) của cấp số nhân (u n ) được

cho bởi công thức :

S n=u1+u2+u3+…+u n=u1. q

n

−1

q−1 .(6)

Vì vậy, phần này sẽ xây dựng cách xác định công thức tổng quát của một

số dãy số cho bởi hệ thức truy hồi đặc biệt (các bài toán về dãy số chủ yếu được

cho bởi hệ thức truy hồi dạng này) dựa vào các kiến thức đã biết về cấp số cộng,

cấp số nhân và đặc biệt là cách lựa chọn các dãy số phụ thích hợp

2 Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi.

Ở phần 1 ta thấy việc xác định số hạng tổng quát của các dãy số đã cho làkhá đơn giản khi áp dụng trực tiếp các kết quả đã có về cấp số cộng và cấp số

nhân Tuy nhiên thực tế các bài toán chúng ta gặp hầu hết đều không đơn giảnnhư thế, chẳng hạn dãy số :

u n=3 un −1+2 ( ¿ ), ∀ n≥ 2 .

Ở đây ta nhận thấy trong hệ thức truy hồi thì hệ số đi kèm un-1 khác 1 do

đó nó không phải là cấp số cộng, đồng thời hệ số đi kèm khác 0 nên nó không làcấp số nhân ddơn thuần

Khi đó ta làm thế nào để xác định số hạng tổng quát của dãy số đã cho?Sau đây ta sẽ nghiên cứu cách tìm số hạng tổng quát của dãy số trên

Ví dụ 3: Xác định số hạng tổng quát của dãy số ( u n) cho bởi:

u n=3 un −1+2 ( ¿ ),∀ n≥ 2 .

Giải

Với bài toán này thì công việc không còn đơn giản, vì dãy số đã cho không phải

là cấp số cộng hay cấp số nhân, ta sẽ giải bài toán này với tư tưởng cố gắng đưadãy số đã cho về dạng một cấp số nhân

Gọi (vn) là một dãy số sao cho un = vn – 1 (1) Suy ra v 1 = 3

Nhận xét: Mấu chốt của cách làm trên là ta đặt un = vn – 1, và thay vào hệ

thức truy hồi của (u n ) ta dễ dàng suy ra (v n ) là một cấp số nhân Từ đó suy ra kết

quả bài toán

Vậy câu hỏi đặt ra là «tại sao lại đặt u n =v n – 1?», « con số -1 từ đâu mà

có ? » Quay lại ví dụ trên ta thấy nếu không có số « 2 » trong hệ thức truy hồi

u n=3un−1+ 2 thì dãy số đã cho là một cấp số nhân, do đó việc xác định số hạng

tổng quát của dãy số này là đơn giản Vì vậy ta tìm cách « loại bỏ » số « 2 » để đưa dãy số đã cho trở thành một cấp số nhân bằng cách đặt u n = v n + c, thay vào

hệ thức truy hồi (*) ta có v n = 3v n-1 + 2c + 2 Ta chọn c sao cho 2c + 2 = 0, suy

ra c = -1 Do đó mà ta có cách đặt như trên

Tổng quát : Với cách làm như trên ta xác định được số hạng tổng quát của dãy

số (u n ) cho bởi:

{ u1 =α

u n=au n−1+b , n≥ 2 .

- Nếu a = 1 thì (u n ) là cấp số cộng với công sai d = b, nên ta có u n = α + (n-1)b.

- Nếu a ≠ 1 , ta gọi (v n ) là dãy số có các số hạng thỏa mãn u n = v n + c, thay vào hệ

thức truy hồi ta có v n = av n-1 + (a-1)c + b.

Vậy ta có kết quả sau:

Như vậy ta đã giải quyết xong trường hợp b trong biểu thức truy hồi đi kèm là hằng số, sau đây ta sẽ xét một dãy số mà b là một biểu thức f(n).

Ví dụ 4: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) cho bởi:

u n=2 un−1+3 n−2, n ≥ 2.

Giải

Với tư tưởng như ở ví dụ 3 Để tìm số hạng tổng quát của dãy số trên ta sẽ tìm

cách làm mất đi « 3n-2 », và đưa dãy số đã cho về cấp số nhân

Muốn vậy ta gọi (v n ) là dãy số thỏa mãn u n = v n + an + b

Với f(n) đa là một đa thức bậc k, ta làm như sau:

Gọi (v n ) là dãy số thỏa mãn u n = v n + g(n).

Vấn đề ở đây là ta chọn g(n) như thế nào cho thích hợp?

chọn g(n) là một đa thức bậc k+1, và để đơn giản ta chọn hệ số tự do bằng

không Để xác định các hệ số của g(n) từ (*) ta cho các hệ số của đa thứcbằng 0

- Nếu a ≠ 1 thì g (n)−ag(n−1) có bậc k cùng bậc với f(n), do đó ta chọn g(n)

là một đa thức bậc k Để xác định các hệ số của g(n) từ (*) ta cho các hệ

số của đa thức bằng 0

*) Vậy ta có kết quả sau:

Ta vận dụng kết quả trên để tìm số hạng tổng quát của dãy số sau đây.

Ví dụ 5: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) cho bởi:

Tiếp theo ta sẽ xét trường hợp f(n) = b α n

Ví dụ 6: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) cho bởi:

Gọi (v n ) là dãy số thỏa mãn, u n = v n + g(n), từ đó suy ra

Từ đó (v n ) là dãy số xác định bởi { v1 =3

v n=3 v n−1 Như vậy (vn) là một cấp số nhân với v1=3 và công bội q = 3.

Từ Dạng 3 ta có thể xây dựng cách tìm số hạng tổng quát của dãy số ở dạng sau:

Dạng 4 : Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi :

u n=au n−1+b α n

+c β n , n ≥2 . Với a, b, c, x 0 , α và β là hằng số

Dạng 3 : Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un ) cho bởi:

Ở trên ta đã nghiên cứu cách xác định số hạng tổng quát của một số dãy số cho bởi hệ thức truy hồi ở dạng u n = f(u n-1 ) Sau đây ta sẽ nghiên cứu phương pháp

để tìm số hạng tổng quát của một vài dạng dãy số mà u n = f(u n-1 , u n-2 )

Ví dụ 7: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) cho bởi:

Do đó v n−1=3.2n, thay vào (*) ta có u n=2un−1+3 2n

Như vậy ta có (u n ) là một dãy số xác định bởi :

u n=2 un−1+3 2n

Đến đây đưa bài toán về dạng 3 ở trên và ta dễ dàng tìm được

u n=(3 n−1) 2n

Từ ví dụ trên suy ra cách xác định số hạng tổng quát của dãy số sau:

Ví dụ 8: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) cho bởi:

Đặt v n−1=u n−3 un−1( ¿ )⟹ (v n ) là dãy số xác định bởi { v1 =−3

v n=4 v n−1 là một cấp số nhân, do đó v n=−3 4n−1

Chú ý : Với cách làm tương tự kết hợp cả Dạng 3, 4, 5 ta sẽ xây dựng được

phương pháp tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho ở dạng sau :

Dạng 6 : Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un ) cho bởi:

Các Dạng toán trên ta đã tìm được số hạng tổng quát của các dãy số mà hệ thức

truy hồi là một biểu thức tuyến tính Sau đây ta sẽ tìm số hạng tổng quát của dãy

số mà hệ thức truy hồi ở dạng phi tuyến với hệ số hằng đơn giản

Ta xét một vài ví dụ như sau :

Ví dụ 9: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) cho bởi:

Việc tìm số hạng tổng quát của dãy số này lại không đơn giản như ví dụ trên nữa

vì ta thấy ở tử số có cả hệ số tự do Vì vậy ta tìm cách làm mất đi hệ số tự do của

tử bằng cách, đặt u n=v n+t (1) , với t là hằng số Thay vào (*) ta có :

Từ hai ví dụ trên ta có kết quả sau :

II ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ.

Trong phần này chúng ta sẽ cùng nhau xem xét một số ứng dụng rất hiệuquả của bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số như: Tính giới hạn của dãy số,chứng minh tính bị chặn, tính đơn điệu của dãy số, tính tổng của một dãy số, …

Dạng 8: Để tìm số hạng tổng quát của dãy số (un ) cho bởi:

- Từ đây đặt x n= 1

v n , tìm được (x n ) suy ra (v n ) và có được (u n ) ∎

là một cấp số nhân do đó số hạng tổng quát cảu nó là v n=2n−1.

Khi đó dãy số (u¿¿n)¿ xác định bởi:

Vậy 16385 là số hạng thứ 15 của dãy số (u¿¿n).∎¿

Ví dụ 5: Cho dãy số (un ) xác định bởi:

Do đó số hạng tổng quát v n=1+(n−1)3=3 n−2

Như vậy dãy số (un) xác định bởi:

{ u1 =2013

u n=u n−1+3 n−5

Suy ra u n=u1−g (1)+g(n), với g (n)=a n2+bn v ớ ia ,b ∈ R

Sao cho 3 n−5=a n2

n (n+1 )(2 n+1)

7 2

y n= −1

3 (−1 )

n−15n−1

− 1 3

4 4 1 29

Bài 6: Cho dãy số  x n

Bài 7: Cho dãy số  u thoả mãn điều kiện n

Hãy xác định công thức số hạng tổng quát un

Bài 9: (Đề thi HSG Hà Nam 2011 – 2012)

Cho dãy số (un) xác định bởi:

{ u1= 1

6

u n+1= 3u n

2 u n+1

a) Chứng minh dãy số trên có giới hạn, tìm giới hạn đó

b) Tìm số hạng tổng quát của dãy số trên

Phần 3 KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ

1 Kết quả của việc ứng dụng SKKN

a Một số kết quả thực tế.

Trong quá trình giảng dạy tôi đã cố gắng đưa một phần nội dung đề tài

(Dạng 1 và Dạng 2) vào giảng dạy ở các lớp 11A, 11E trong hai tiết tự chọn của

chương Dãy số Sau khi thực hiện giảng dạy đại trà cho hai lớp tôi tiến hành cholàm bài kiểm tra 15 phút với nội dung như sau:

“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi

1

* 1

Kết quả thu được như sau:

b Một số kết luận.

Trải qua thực tiễn giảng dạy, nội dung các bài giảng liên quan đến đề tài

và có sự tham gia góp ý của đồng nghiệp, vận dụng đề tài vào giảng dạy đã thuđược một số kết quả tích cực như sau:

1) Học sinh trung bình trở lên nắm vững được một số phương pháp vàbiết vận dụng ở các bài toán cơ bản xác định được công thức số hạngtổng quát của dãy số

2) Một số đề thi học sinh giỏi, học sinh lớp chọn có thể sử dụng phươngpháp trình bày trong đề tài để giải bài toán

3) Là một phương pháp tham khảo cho học sinh và các thầy cô giáo.4) Qua nội dung đề tài, đồng nghiệp có thể xây dựng thêm các bài toán vềdãy số theo các dạng đã có

5) Khi sử dụng đề tài giảng dạy đã tạo được hứng thú học tập cho các emhọc sinh.

Tuy vậy, do thời gian thực hiện gấp rút, sự chuẩn bị về thời gian chưa thậtđầy đủ nên đề tài cũng bộc lộ một số hạn chế nhất định

1) Đề tài chỉ dừng lại ở các dãy số cho dưới dạng truy hồi đơn giản

2) Đề tài chưa áp dụng các phương pháp liên quan đến toán cao cấp.3) Các bài toán ứng dụng của đề tài chưa đa dạng và phong phú

Vì vậy, tôi rất mong các bạn đồng nghiệp, các em học sinh góp ý để đề tàiđược hoàn thiện hơn

2 Kiến nghị, đề xuất.

Kính mong hội đồng xét duyệt đề tài có những góp ý thiết thực để đề tàiđược hoàn thiện hơn và có thể phổ biến rộng rãi cho bạn bè đồng nghiệp, các emhọc sinh Qua đó góp phần thúc đẩy chất lượng dạy và học của nhà trường nóiriêng và của nghành giáo dục nói chung

Kỳ Sơn, tháng 4 năm 2015

Người viết đề tài

Trần Thanh Vân

NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG THẨM DUYỆT

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Đại số & Giải tích 11 Cơ bản – NXB Giáo dục

[2] Bài tập Đại số & Giải tích 11 Cơ bản – NXB Giáo dục.

[3] Bài giảng trọng tâm chương trình chuẩn toán 11 – Nhóm Cự môn – NXBĐHQG Hà Nội

[4] Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số và Giải tích 11 – Lê Hoành Phò – NXBĐHQG Hà Nội

[5] 500 bài toán chọn lọc Đại số và Giải tích 11 – Lê Hoành Phò – NXB ĐHQG

Hà Nội

[6] Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4 khối 11 – NXB Giáo dục

[7] Các Website Mathvn.com, Violet.vn ……