Một số phương pháp tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

I MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Bài toán tính giới hạn dãy số cho công thức truy hồi toán khó học sinh trung học phổ thông nói chung học sinh khối 11 nói riêng Bài toán thường xuất đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, đề thi Olympic 30 tháng 4, đề thi quốc gia Liên quan đến dạng toán có nhiều sách giáo khoa, sách tham khảo đề cập đến, nhiên sách đề cập kỹ sở lý thuyết để dẫn đến phương pháp giải cụ thể phù hợp với kiến thức phổ thông chưa nhiều Đôi đưa công thức, quy trình giải cách áp đặt, “thiếu tự nhiên” Do đủ sở lý thuyết nên áp dụng kết học sinh thường thắc mắc “tại lại có vậy?” hay “Sao lại có kết đó?” ; Cũng đủ sơ lý thuyết nên em học sinh khó nhớ công thức, không tìm mối liên hệ toán, không tự xây dựng lớp toán dạng quy trình để giải toán đó; Điều làm ảnh hưởng đến khả tìm tòi sáng tạo toán học sinh – yếu tố quan trọng người học toán Trong trình giảng dạy chương trình toán lớp 11 bồi dưỡng học sinh giỏi, tìm tòi đúc kết rút số phương pháp để tìm giới hạn toán dạng Vì chọn đề tài làm sáng kiến kinh nghiệm : “Một số phương pháp tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi” 1.2 Mục đích nghiên cứu Trong phạm vi đề tài tham vọng đưa hệ thống kiến thức hoàn toàn mới, kết mặt toán học; trình bày kết mà trình dạy học dãy số giới hạn tích luỹ, tìm tòi; nhằm hướng tới mục đích giúp em học sinh nắm số phương pháp để tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi Trên sở từ số toán điển hình đưa phương pháp giải cho toán nhóm toán tương tự; đồng thời giúp học sinh khái quát hóa để toán đưa phương pháp giải cho toán đó, qua giúp rèn luyện, phát triển tư giải toán cho học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Học sinh lớp 11A2 11A8 trường THPT Lê Hoàn - Thọ Xuân - Thanh Hoá 1.4 Phương pháp nghiên cứu + Nghiên cứu lý luận dạy học, tìm hiểu tài liệu liên quan + Thực hành qua dạy + Tổng kết, đánh giá qua năm học 2016-2017 đối tượng học sinh lớp 11A2 11A8 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm Theo quan điểm cá nhân đề tài có số điểm sau: Trang + Hệ thống lại cho học sinh ba phương pháp để tìm giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi + Xuất phát từ số toán trình bày sách giáo khoa, hướng dẫn học sinh giải Trên sở cho học sinh nhận dạng loại tập đưa phương pháp giải tương ứng; đồng thời gợi ý để học sinh tự tìm số kết giải toán tổng quát hơn, phức tạp II NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Một số định nghĩa liên quan đến dãy số Định nghĩa 1.1 Dãy số hàm số xác định tập số nguyên dương Ký hiệu u : ¥* → ¡ n a u ( n) Định nghĩa 1.2 Cho dãy (un ) • Dãy (un ) gọi dãy số tăng (đơn điệu tăng) un < un+1 ∀n ∈ ¥ * • Dãy (un ) gọi dãy số giảm (đơn điệu giảm) un > un+1 ∀n ∈ ¥ * [4] Định nghĩa 1.3 Cho dãy số (un ) • Dãy (un ) gọi bị chặn tồn số M cho un ≤ M ∀n ∈ ¥ * • Dãy (un ) gọi bị chặn tồn số m cho un ≥ m ∀n ∈ ¥ * • Dãy (un ) vừa bị chặn vừa bị chặn gọi bị chặn [4] 2.1.2 Cấp số cộng 2.1 Định nghĩa Cấp số cộng dãy số (hữu hạn vô hạn) thoả mãn: un+1=un+d ( * n ∈ N ), d số thực không đổi gọi “công sai” 2.2 Tính chất • Số hạng tổng quát cấp số cộng: un = ( u1 + ( n − 1) d ) • Tổng n số hạng đầu cấp số cộng: n n Sn=u1+ u2+ u3+ + un = ( 2u1 + ( n − 1) d ) = ( u1 + u n ) [4] 2 2.1.3 Cấp số nhân 3.1 Định nghĩa Cấp số nhân dãy số (hữu hạn hay vô hạn) thoả mãn: un+1 = un q ( n ∈ N * ); q số không đổi gọi “công bội ” 3.2 Tính chất • Số hạng tổng quát:un = u1 qn-1 • Tổng n số hạng đầu cấp số nhân qn −1 Sn=u1+ u2+ u3+ + un = u1 , (q ≠ 1) q −1 (Nếu q = hiển nhiên S = n.u1)[4] 2.1.4.Giới hạn dãy số Trang Định nghĩa 4.1 Dãy số (un ) gọi có giới hạn với số dương nhỏ tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở có trị tuyệt đối nhỏ số dương Kí hiệu lim un = un → Định nghĩa 4.2 Dãy số (un ) gọi có giới hạn số thực L lim(un − L) = Kí hiệu lim un = L un → L [5] Một số giới hạn c=c lim n →∞ n =0 lim n →∞ q n = với q < lim n →∞ Định lí 4.1 (Định lý giới hạn kẹp giữa) Cho hai dãy số ( xn ), ( yn ) Nếu xn ≤ yn ∀n lim yn = lim xn = [5] Định lý mở rộng: Cho ba dãy số ( xn ), ( yn ), ( zn ) thỏa mãn • ∃n0 ∈ ¥ : ∀n ≥ n0 ⇒ zn ≤ xn ≤ yn • lim yn = lim zn = L Khi lim xn = L [5] Định lý 4.2 • Dãy số tăng bị chặn có giới hạn hữu hạn • Dãy số giảm bị chặn có giới hạn hữu hạn”[1] un = lim un+1 Nhận xét: Giả sử dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn nlim →+∞ n→+∞ 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Khi dạy chủ đề dãy số giới hạn dãy số ta bắt gặp số toán sách giáo khoa lớp 11 số đề thi học sinh giỏi sau: u1 = 10  Bài tập Cho dãy số (un) xác định sau:  u = un + 3, ∀n ≥ n +  15 a) Chứng minh dãy số (vn) xác định = un − cấp số nhân b) Tính limun”[1] u1 = u Bài tập Cho dãy số ( n ) xác định  Tính lim un [2] un+1 = + un , ∀n ≥ 1  u =  Bài tập Cho dãy số (un) xác định  u = u + un , ∀n ≥ n  n+1 a) CMR: ≤ un ≤ , ∀n u n +1 b) CMR: u ≤ , ∀n Tính limun [1] n Trang u1 = 30 Bài tập Cho dãy số ( un ) xác định  un+1 = 30un + 3un + 2011, ∀n ≥ un+1 Tính lim [8] ( Đề thi HSG khối 11 tỉnh Quảng Bình năm 2010 – 2011) un Sau nghiên cứu Sách giáo khoa giải toán ta rút số nhận xét sau đây: • Đây toán tìm giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi, học sinh thường lúng túng việc tìm giải cho toán • Nếu đề không cho câu a) mà yêu cầu giải câu b) toán trở nên khó học sinh Việc đề yêu cầu thêm câu a) gợi ý giúp học sinh xác định hướng giải cho toán Cụ thể xác định công thức tổng quát dãy số (un) nhờ vào việc tìm công thức tổng quát cấp số cộng, cấp số nhân; sử dụng định lý giới hạn dãy số nguyên lý kẹp, định lý tồn dãy số để tìm giới hạn dãy số • Với toán đề cập kỳ thi, đặc biệt kỳ thi chọn học sinh giỏi việc gợi mở cách cho câu a) không đưa Vấn đề học sinh biết cách nhận dạng, phân tích toán để có hướng giải Đây vấn đề không dễ học sinh Vì giáo viên cần định hướng giúp học sinh giải vấn đề 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề Trong trình tìm tòi, nghiên cứu, giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, tổng hợp đưa số phương pháp để tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi Trong khuôn khổ đề tài này, xin đưa phương pháp để tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi sau Phương pháp 1: Tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi cách xác định số hạng tổng quát dãy số Phương pháp 2: Tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi cách sử dụng tính đơn điệu bị chặn dãy số Phương pháp 3: Tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi cách sử dụng nguyên lí kẹp 2.3.1 Phương pháp tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi cách xác định số hạng tổng quát dãy số Phương pháp xác định số hạng tổng quátcủa dãy số cho hệ thức truy hồi phong phú đa dạng, phạm vi đề tài trình bày phương pháp tìm số hạng tổng quát dãy số dãy số cách biến đổi công thức truy hồi, sau sử dụng đổi biến để đưa dãy số cấp số cộng cấp số nhân Trên sở tìm số hạng tổng quát dãy số ta tính giới hạn dãy số cho Trang u1 = ∀n ∈ N * Hãy xác định số un+1 = un + Ví dụ 1.1 Cho dãy số (un) xác định sau  hạng tổng quát dãy số Nhận xét: Để giải toán học sinh giải theo cách sau : Cách 1: (Dùng phương pháp quy nạp) Từ giả thiết ta có: u1 = = 1+ 0.2 = 1+(1-1).2 u2 = = 1+2 =1+(2-1).2 u3 =5 = 1+2+2 =1+(3-1).2 Dự đoán un = 1+(n-1).2 Ta chứng minh kết qủa phương pháp quy nạp toán học Cách 2:(Sử dụng định nghĩa cấp số cộng) Từ giả thiết ta có: un+1 – un = ∀ n∈ N* Nên theo định nghĩa cấp số cộng (un) lập thành cấp số cộng với u1=1, công sai d=2 Suy un=u1+(n-1).d = 1+(n-1).2 u1 = 10  Ví dụ 1.2 Cho dãy số (un) xác định  u = u + 3, ∀ n ≥  n+1 n 15 a) Chứng minh dãy số (vn) xác định = un − cấp số nhân b) Tính limun[1] Giải a) Ta có vn+1 = un+1 − 15 15 15 = un + − = (vn + ) − = 5 4 n −3 25 1 Nên (vn) CSN có công bội q = v1 = Do = v1.q n−1 =  ÷ 4 5 n −3 15   b) Từ câu a) suy un = + =  ÷ 4 5 + 15 15 Do lim un = 4 Nhận xét Câu hỏi mà học sinh đặt lại nghĩ phép đổi biến 15 = un − để dãy (vn) CSN? Từ giáo viên gợi ý hướng giải ta cần tìm 1 1 15 số b cho un+1 − b = (un − b) ⇒ un+1 = b − b + un = un + ⇒ b = 5 5 15 Do đặt = un − vn+1 = , ∀n ≥ nên (vn) cấp số nhân n Ngoài đặt = un , ∀n ≥ , ta có vn+1 − = 3.5n+1 , ∀n ≥ n −3 15 n 15 5n − 35   Suy = (5 − 1) + 35 ⇒ un = n = n + n =  ÷ 5 45 Trang + 15 Từ toán giáo viên dẫn dắt, gợi ý cho học sinh đến vấn đề : " đề xuất toán tổng quát với quy trình để giải toán đó" Bình luận: Thực chất toán dạng giải triệt để nhờ lý thuyết phương trình sai phân tuyến tính, nhiên đại đa số học sinh trung học phổ thông kiến thức tầm Trong phạm vi đề tài tác giả đưa hoạt động toán học nhằm phát triển tư cho học sinh cách giúp học sinh xây dựng toán cách giải toán kiến thức phổ thông Từ cách đặt vấn đề giáo viên học sinh đưa toán tổng quát sau :  u1 = a Bài toán 1.1 Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) xác định u = u + b ∀n ≥ n  n+1 Từ tính giới hạn dãy số Bài toán có khái quát ví dụ 1.1, cách giải toán tương tự Trên sở giáo viên gợi ý để giúp học sinh phát triển toán theo hai hướng: Hướng 1: Ta thấy hệ số un toán Nếu ta thay hệ số số thực k việc giải có thay đổi  u1 = a Bài toán 1.2 Cho dãy số (un) xác định u = ku + b ∀n ≥ 1, k ≠ Xác định số n  n +1 hạng tổng quát dãy số Từ tính giới hạn dãy số Hướng 2: Thay b biểu thức phụ thuộc n sao? u1 = a ∀n ∈ N * , k ∈ N * Trong un +1 = k un + f (n) Bài toán 1.3 Cho dãy số (un) xác định  f(n) biểu thức phụ thuộc n Hãy xác định số hạng tổng quát dãy ? Từ tính giới hạn dãy số Rõ ràng toán tổng quát hơn, cách giải toán đòi hỏi tư sáng tạo học sinh Qua thực tế giảng dạy thấy : Đối với toán số học sinh thường giải theo cách (phương pháp quy nạp) em gặp khó khăn đoán tìm số hạng tổng quát un Liệu giải toán theo cách ? Với toán 1.2 Từ giả thiết toán ta tìm cách biến đổi b dạng: un+1 - b′ = k(un – b′ ) với b′ = 1− k Đến nhiều học sinh chưa nhìn nhận vấn đề, giáo viên gợi ý cho học sinh : "Nếu ta đặt vn+1 = un+1 - b′ (vn) lập thành cấp số nhân với công bội k, từ ta có cách giải sau : Đặt = un - b′ ∀ n∈ N* lúc (vn) lập thành cấp số nhân với công bội k, v1=a + b k −1 Theo công thức số hạng tổng quát cấp số nhân : = v1.kn-1= k n−1 − Khi đó: un =a.k +b k −1 Với toán 1.3 ta định hướng sau: n-1 Trang a (k − 1) + b n−1 k k −1 u1 = a ∀n ∈ N * Trong un +1 = un + f (n) Trường hợp Với k =1 dãy số (un) xác định  f(n) biểu thức phụ thuộc n Khi ta biến đổi sau: un =(un - un-1)+(un-1 – un-2)+(un-2 – un-3)+ …+(u2 – u1)+ u1 = f(n-1)+f(n-2)+ + f(1)+a Trong f(n-1) + f(n-2) + + f(1) tính u1 =  Ví dụ minh hoạ 1: Cho dãy số (un) xác định sau  n un +1 = un + ( ) xác định số hạng tổng quát dãy ? Từ tính lim un ∀n ∈ ¥ * Hãy Giải Ta có: un=(un - un-1 )+(un-1 – un-2)+(un-2 – un-3)+ …+(u2 – u1)+ u1 n −1 n−2 1 1 1 =  ÷ +  ÷ + +  ÷+ 2 2 2 n  1  = = 1 −  ÷ ÷÷ Do limun =  2  Trường hợp Với k ≠ Giáo viên gợi ý: "Theo cách cho dãy số ta có: un+1 – kun = f(n), từ biểu diễn un tương tự cách làm trên" Ta có: un = (un - kun-1 ) +k (un-1 – kun-2) +k2 (un-2 – kun-3) + …+kn-2 (u2 – ku1) +kn-1 u1 = f(n-1) + k.f(n-2) + k2f(n-3) + +kn-2f(1) + kn-1u1 (Tổng tính tùy theo k f(n) toán cho) u1 = ∀n ∈ N * Hãy xác un +1 = 2un + n Ví dụ minh hoạ 2: Cho dãy số (un) xác định sau  định số hạng tổng quát dãy ? Hướng dẫn Áp dụng kết với f(n) = n, k = ta un= 2n+1 – n – Đến giáo viên đặt vấn đề: toán ta thay f(n) biểu u1 = a , u2 = b ∀n ∈ N * , n > un+1 = pun − qun−1 thức chứa un-1 sao? Cụ thể hệ thức truy hồi cho  Thì việc tìm số hạng tổng quát tính giới hạn dãy số giải nào? Giáo viên định hướng cho học sinh giải toán theo hướng giải Bài toán 1.2, muốn ta cần tìm số α β cho: un+1 - α un = β (un - α un-1) α + β = p α β = q Do un+1 = pun – qun-1 nên ta có :  (**) (ta giả thiết β ≠ 0, β = q = 0, toán giải (u n ) cấp số nhân) Đặt vn=un+1 - α un ta có vn= β vn-1 (vn) lập thành cấp số nhân với công bội β , v1= u2 – α u1=b– α a vn= β n-1v1 hay un+1 - α un = β n-1(u2 – α u1) (1) Ta lại có un+1 - α un= β (un - α un-1) ⇒ un+1 - β un = α (un - β un-1) Trang Nên tương tự ta có un+1 - β un = α n-1(u2 – β u1) (2) Trường hợp 1: Nếu α ≠ β trừ vế theo vế (2) cho (1) ta có u2 − β u1 n−1 α u1 − u2 n−1 α + β ( α - β )un = α n-1(u2 – β u1) - β n-1(u2 – α u1) ⇒ un = α −β α −β Trường hợp 2: Nếu α = β ta có: un = (un - α un-1)+ α (un-1– α un-2)+ α 2(un-2 – α un-3) + …+ α n-2 (u2 – α u1) + α n-1u1 = vn-1 + α vn-2 + α 2vn-3 + …+ α n-2v1 + α n-1u1 = β n-2v1 + α β n-3v1 + α β n-4v1 + …+ α n-2v1 + α n-1u1 = ( α n-2 + α n-2 + …+ α n-2)v1 + α n-1u1 (n-1) số hạng = (n – 1) α n-2 (b – α a ) + α n-1u1 = (n – 1) α n-2 (b – α a ) + α n-1.a = (n – 1)b α n-1 + (n – 2)a α n-1 Vậy số hạng tổng quát dãy số (un) u − β u1 n−1 α u1 − u2 n−1 un = α + β (nếu α ≠ β ) α −β α −β un = (n – 1)b α n-1 + (n – 2)a α n-1 (nếu α = β ) α + β = p với α , β xác định  α β = q Bài toán giải u1 = , u2 = 6, ∀n ∈ N , n ≥ un +1 = 6un − 2un −1 Ví dụ minh hoạ 3: Cho dãy số (un) xác định  Hãy xác định số hạng tổng quát dãy số suy limun [2] Áp dụng kết ta có số hạng tổng quát u n = ( + ) n −1 ( + 3− ) n −1 ∀n ∈ ¥ * Do lim un = +∞ Ví dụ minh hoạ 4: Tìm số hạng tổng quát dãy Fibonaci u1 = u2 = ∀n ∈ N , n ≥ [3]  un +1 = un + un −1 1+  1−    Ta có số hạng tổng quát dãy Fibonaci : un= ÷ − ÷÷      ÷  Nhận xét: Như với cách làm ta hướng dẫn học sinh tự xây dựng toán quy trình giải toán cách tự nhiên, sử dụng đến kiến thức vượt chương trình lý thuyết phương trình sai phân tuyến tính, phương trình đặc trưng hay phương trình hàm sinh Điều việc giúp học sinh nhớ giải toán mà điều quan trọng giúp học sinh phát vấn đề, giải vấn đề phát triển tư sáng tạo Thực tế qua theo dõi đề thi HSG tỉnh nhiều năm qua thấy có nhiều toán tương tự Ta tiếp tục xét thêm số ví dụ: Thực tế giải toán cho thấy, có nhiều toán phức tạp hơn, linh hoạt biến đổi theo cách ta giải cách dễ dàng Ví dụ sau cho thấy rõ điều n Trang n u1 = 1; u2 = Ví dụ 1.3 Cho dãy số (un) thỏa mãn:  với n ∈ N , n > Hãy tìm u − u + u =  n +1 n n −1 lim u số hạng tổng quát dãy số đó? Từ tìm n [6] Hướng dẫn Theo giả thiết ta có: (un+1 – un)=(un – un-1) +1 Đặt vn=(un+1 –un) ta có vn+1 - =1 nên (vn) lập thành cấp số cộng với v1 = công sai d = 1, đó: Sn-1 = v1+ v2 + + vn-1 = (n − 1) v1 + −1 (n − 1)(2v1 + n − 2) (n − 1)(n − 2) = = 2 Mặt khác ta có: un = (un – un-1) + (un-1 – un-2) + + (u2 – u1) + u1 = vn-1+ vn-1 + + v1 + u1 = Sn-1 + u1 = Vậy un = n(n − 3) n − 3n u1 = Ví dụ 1.4.Cho dãy số (un) xác định sau:  với n ∈ N * un +1 = 3un + 8un + Hãy xác định số hạng tổng quát dãy số [7] Hướng dẫn Từ giả thiết ta có: un+1 – 3un = 8un2 + ⇔ (un+1 – 3un)2 = 8un + ⇔ un2+1 + un2 = 6un un +1 + (1) Do ta có un2 + un2−1 = 6un −1.un + (2) Trừ (1) cho (2) vế theo vế ta được: un2+1 − un2−1 = 6un (un +1 − un −1 ) ⇔ un+1 + un-1 = 6un (vì un +1 > 3un = 9un −1 + 8un −1 + > un −1 suy un+1 - un-1 >0) u1 = 1; u2 = Do toán cho trở thành: Cho dãy số (un) xác định  với un +1 = 6un − un−1 n ∈ N , n > Hãy xác định số hạng tổng quát dãy số đó? (3 + 8) n − (3 − 8) n Đs: un= Bài tập vận dụng u1 = Bài 1.1.Cho dãy số (un) xác định  Đặt Sn= u1+u2+… +un, 2un+1 = un + 1, ∀n ≥ a) CMR dãy số (vn) với = un –1 , n ≥ cấp số nhân lùi vô hạn Trang b) Tính limSn [1] ĐS: limSn = +∞ u1 =  un − Bài 1.2 Cho dãy số (un) xác định  u =  n+1 u + , ∀n ≥ n  a) CMR un ≠ −4, ∀n ≥ un + b) CMR dãy (vn) với = cấp số nhân Tính limun [1] un + ĐS: lim un = −1 u1 = u Bài 1.3 Cho dãy số (un) xác định  Tính lim 2nn [6] un+1 = 4un − 1, ∀n ≥ ĐS: lim un = 22 n u1 =  Bài 1.4 Cho dãy số (un) xác định  Tính limun [8] un+1 = un + n(n + 1) , ∀n ≥  ĐS: limun = u1 = , u2 = 2,  ∀n ∈ N , n ≥ Tính limun Bài 1.5.Cho dãy số (un) xác định sau  un +1 = (un + 2un −1 ) [8](Đề thi HSG tỉnh Lạng sơn năm 1999) 14 ĐS: lim un = u1 = 1; u2 =  Bài 1.6.Cho dãy số (un) xác định sau  ∀n ∈ N * Tính limun [7] un +1 = (un + un −1 ) ĐS limu n =  a1 =   Bài 1.7 Cho dãy số ( an ) xác định a =  a + a +  , ∀n ∈ N * Tính lim an n  n +1  n n  ĐS: lim an = π Trang 10 u1.u2 un + Bài 1.8 Cho dãy số (un) xác định un = 124+ 4422+ n 4 43 Tính lim ndaucan (Đề thi HSG Quảng Ngãi năm 2001 – 2002) HD: un = cos u u u π , ∀n lim n n = n +1 2 π 2.3.2 Phương pháp tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi cách sử dụng tính đơn điệu bị chặn *Nhận xét: Phương pháp tỏ hiệu với toán mà việc tìm công thức tổng quát dãy số gặp khó khăn Sau ta xét số ví dụ u1 = u Ví dụ 2.1 Cho dãy số ( n ) xác định  Tính lim un u = + u , ∀ n ≥  n+1 n Giải * Chứng minh ( un ) dãy số tăng quy nạp, tức un+1 > un , ∀n ≥ Khi n = ta có u2 = + u1 = + > = u1 Giả sử uk +1 > uk , uk + = + uk +1 > + uk = uk +1 Vậy un+1 > un , ∀n ≥ * Ta chứng minh dãy ( un ) bị chặn quy nạp, Khi n = ta có u1 = < Giả sử uk < 2, ∀k ≥ , uk +1 = + uk < + = Vậy dãy số (un) bị chặn Do dãy số (un) có giới hạn hữu hạn, giả sử limun = a, a ≥ * Từ hệ thức truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có lim un+1 = lim + un  a = −1 Hay a = + a ⇔ a = a + ⇔  Vì a ≥ nên a = Vậy lim un = a = Nhận xét: Với ví dụ này, ta tìm số hạng tổng quát dãy (un) π un = 2cos n+1 , ∀n ≥ , nhiên việc xác định số hạng tổng quát (un) đơn giản nhiều thời gian Với phương pháp tính giới hạn giải trên, toán giải tương đối gọn nhẹ Ví dụ 2.2 Cho dãy số ( xn ), ( yn ) xác định sau xn + yn , ∀n ∈ ¥ * ( x ), ( y ) Chứng minh dãy số n n có giới hạn lim xn = lim yn [5] x1 = a > 0, y1 = b > 0, xn+1 = xn yn , yn+1 = Nhận xét: Dựa vào kiện đề tìm số hạng tổng quát hai dãy số ( xn ), ( yn ) khó khăn Giải Trang 11 Ta xét hai trường hợp sau: (i) Nếu a ≥ b quy nạp ta dãy ( xn ) dãy giảm bị chặn a , dãy ( yn ) dãy tăng bị chặn a Do theo định lý tồn lim xn , lim yn từ giả thiết chuyển qua giới hạn ta lim xn = lim yn (ii) Nếu a ≤ b tương tự trường hợp (i) Ví dụ 2.3 Cho dãy số ( xn ) xác định x1 = 1, x2 = 2, xn+2 = xn+1 + xn , ∀n ∈ ¥ * Chứng minh dãy số cho có giới hạn tìm giới hạn [5] Hướng dẫn Dễ thấy quy nạp ta ( xn ) dãy số tăng bị chặn Do theo định lý ta có tồn lim xn = a Từ đẳng thức xn+ = xn+1 + xn chuyển qua giới hạn ta a = a a > nên lấy a = Vậy lim an = u1 = 2017 u Ví dụ 2.4 Cho dãy số ( n ) xác định  Chứng un − 2un un+1 + 2018 = , ∀n ≥ minh dãy (un) có giới hạn tính giới hạn (Sáng tác dựa Đề thi HSG Quảng Ngãi năm học 2010 – 2011) Giải Trước hết ta nhận xét un > 0, với n, Thật vậy, ta có u1 = 2017 >0 Giả sử uk > 0, ∀k ≥ , ta chứng minh uk +1 > uk + 2018 >0 Từ hệ thức truy hồi suy 2uk uk +1 = uk + 2018 > ⇒ uk +1 = 2uk 2018 un + 2018 2018 = 2018, ∀n ≥ = (un + ) ≥ un Do ta có un+1 = un 2un un un+1 un + 2018 2018 1 = = + ≤ + =1 Mặt khác ta có un 2un 2 2un 2 2018 2018 ≤ = ) (vì un ≥ 2018, ∀n ≥ ⇒ 2un 2.2018 Nên (un) dãy số giảm bị chặn hạn Giả sử limun = a, < a ≤ 2017 2018 , dãy (un) có giới hạn hữu un + 2018 un + 2018 a + 2018 ⇒ lim un+1 = lim ⇒a= Và ta có un+1 = 2un 2un 2a ⇒ a = 2018 ⇒ a = 2018 Vậy lim un = 2018 u1 = 30 un+1 Ví dụ 2.5 Cho dãy số ( un )xác định  Tính lim un un+1 = 30un + 3un + 2011, ∀n ≥ ( Đề thi HSG Quảng Bình năm 2010 – 2011)[8] Hướng dẫn Trang 12 * Nhận xét un > 0, ∀n ( kiểm tra chứng minh quy nạp) * Dãy số ( un ) dãy tăng * Giả sử dãy ( un ) bị chặn trên, ( un ) có giới hạn hữu hạn lim un = a (a > 0) Ta có lim un+1 = lim 30un + 3un + 2011 ⇒ a = 30 a + 3a + 2011 ⇒ a = 30a + 3a + 2011 ⇒ 29a + 3a + 2011 = Phương trình vô nghiệm Vậy dãy (un) không bị chặn hay lim un = +∞ un+1 un+1 30un + 3un + 2011 2011 = 30 = = 30 + + Do lim * Ta có un un un un un u1 =  Ví dụ 2.6 Cho dãy số ( un ) xác định  Tính lim un u = + un , ∀n ≥  n+1 2017  u u u ( + + + n ) (Sáng tác từ Đề thi HSG Quảng Bình năm 2010 – 2011) u2 u un+1 Hướng dẫn un * Ta có un+1 − un = > 0, ∀n ≥ 1(*) ⇒ un+1 > un , ∀n ≥ , dãy (un) dãy số 2017 tăng * Giả sử (un) bị chặn trên, dãy (un) có giới hạn hữu hạn, giả sử limun = a ( a ≥ ) u2 a2 Từ hệ thức truy hồi suy lim un+1 = lim( n + un ) Hay a = + a ⇒ a = (vô 2017 2017 lý) Vậy: lim un = +∞ un 1 un+1 − un un = 2017( − ) 2017 = * Từ (*) suy hay un+1 un un+1 un+1.un un +1.un u u u 1 ⇒ + + + n = 2017( − ) = 2017(1 − ) u2 u2 un+1 u1 un +1 un+1 u1 u1 un ) = lim 2017.(1 − ) Do lim ( + + + u2 u2 un+1 un+1 Vậy: lim ( u1 u1 u + + + n ) = 2017 u2 u2 un+1 Bài tập vận dụng Bài 2.1 Cho dãy số ( xn ) thỏa mãn < xn < 1, xn +1 ( − xn ) > Chứng minh dãy số có giới hạn tìm giới hạn [6] Trang 13 ĐS: lim un = u1 >  a Bài 2.2 Cho dãy ( un ) xác định  (với a >0) Tính lim un u = (2 u + ), ∀ n ≥  n+1 n u n  ĐS: lim un = a  u =  Bài 2.3 Cho dãy ( un ) xác định  Chứng minh u + u + u u = n n n , ∀n ≥  n+1 n dãy số yn = nlim ∑ có giới hạn hữu hạn tính giới hạn đó[8] →+∞ k =1 uk ĐS: limyn= u1 >  a Bài 2.4 Cho dãy số ( un ) xác định  (a > 0).Tính limun u = ( u + ), ∀ n ≥ n + n  un  ĐS: limun = a [8] n u1 = 1 Bài 2.5 Cho dãy số ( un ) xác định  Đặt S n = ∑ Tính k =1 uk un+1 = + u1.u2 un , ∀n ≥ limSn [6] ĐS:limSn = u1 = a > n  un + un − Bài 2.6 Cho dãy ( un ) xác định  Tính nlim ∑ →+∞ , ∀n ≥ k =1 uk − un+1 = u n  (Tạp chí THTT tháng 10/2010) [5] n u1 = 2016 Bài 2.7 Cho dãy ( un ) xác định  Tính nlim [4] ∑ →+∞ u + u = u ( u + 1) , ∀ n ≥ k = k  n+1 n n n ĐS: nlim ∑ →+∞ k =1 uk + = 2016 Bài 2.8 Cho dãy số thực ( xn ) xác định x1 = a xn+1 = 3xn3 − xn2 + xn ∀n ∈ ¥ *  4 a số thực thuộc đoạn 0,  Chứng minh dãy số ( xn ) có giới hạn  3 hữu hạn tìm giới hạn đó[8] Trang 14 Bài 2.9 Cho số thực a Cho dãy số ( xn ), n ∈ ¥ * xác định bởi: x0 = a xn +1 = xn + sin xn Chứng minh dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn n → +∞ tính giới hạn [8] u1 = ui2016 Bài 2.10 Cho dãy số ( un ) xác định  Tính lim ∑ 2017 ui +1 un+1 = un + un , ∀n ≥ ui2016 ĐS: lim ∑ =1 ui +1 2.3.3 Phương pháp tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi cách sử dụng định lý nguyên lý kẹp Ta xét số ví dụ  u =  Ví dụ 3.1 Cho dãy số (un) xác định  u = u + un , ∀n ≥ n  n+1 a) Chứng minh ≤ un ≤ , ∀n u n +1 b) Chứng minh u ≤ , ∀n Tính limun [1] n Giải a) Bằng quy nạp ta chứng minh ≤ un , ∀n Ta chứng minh un ≤ , ∀n Với n = u1 = 4 1 Thật vậy, ta có uk ≤ ⇒ uk ≤ uk 4 3 1 3 1 uk ≤ = Do uk +1 ≤ uk + uk = uk ≤ < Vậy ≤ un ≤ , ∀n 4 16 4 16 4 un +1 1 b) Từ câu a) suy u = un + ≤ + = , ∀n n Giả sử uk ≤ , ∀k ≥ , ta chứng minh uk +1 ≤ n −1 u u u 3 3 Do ta có < un = n n −1 u1 ≤ .u1 =  ÷ , ∀n un −1 un− u1 4 4 4 n −1 3 Mà lim  ÷ =0, nên theo nguyên lí kẹp limun = 4 Nhận xét: Với ví dụ việc xác định số hạng tổng quát sử dụng tính đơn điệu dãy số để tìm giới hạn gặp nhiều khó khăn Bên cạnh đề cho câu a) Đây gợi ý để ta giải toán theo nguyên lý kẹp Trang 15 Ví dụ 3.2 Dãy số ( xn ) thỏa mãn điều kiện < x1 < xn+1 = + xn − xn2 , ∀n ∈ ¥ * xn [8] Chứng minh dãy số cho hội tụ Tìm lim n →∞ Giải , ∀n ≥ 2n Thật vậy: ta kiểm tra bất đẳng thức với n = Giả sử bất đẳng thức với n ≥ , tức xn − < n Khi ta có 1 1 1 xn+1 − = xn − 2 − − xn ≤ xn − 2 − xn + − 2 < xn − < = n+1 n 2 22 n + Do bất đẳng thức đến Mặt khác lim n = nên từ bất đẳng thức nguyên lý kẹp ta có lim xn = Ta chứng minh quy nạp bất đẳng thức sau: xn − < ( )  u1 = Ví dụ 3.3 Cho dãy số (un) xác định  u = un , ∀n ≥  n+1 n + u n +1 a) Chứng minh un > u ≤ , ∀n n b) Tính limun [1] Hướng dẫn a) Dễ dàng chứng minh quy nạp un > 0, ∀n u 1 n +1 Từ hệ thức truy hồi ta có u = n + ≤ , ∀n ≥ n n u u u 1 1 1 b) Từ câu a) ta có < un = n n −1 u1 ≤ =  ÷ , ∀n ≥ un −1 un − u1 2 2 2 n 1 Mà lim  ÷ = Nên theo nguyên lí kẹp ta có limun = 2 u1 = a  Ví dụ 3.4 Cho dãy số (un) xác định u = un + − 1, ∀n ≥ (– < a < 0)  n+1 un +  (un + 1), ∀n ≥ a) Chứng minh < un+1 + ≤ a +1 b) Tính limun [1] Hướng dẫn Nhận xét – < un < 0, với n (kiểm tra chứng minh quy nap) Từ suy < un + < un + > un + u = − < (un + 1) − = un , ∀n ≥ , nên dãy (un ) dãy giảm n + Suy un + Do −1 < un ≤ un−1 ≤ ≤ u1 = a < 0, ∀n ≥ Trang 16 ⇒ un ≥ a ⇒ un + ≥ a + ⇒ Nên < un+1 + = un + un + ≤ a2 + 1 un + ≤ a2 + (un + 1), ∀n ≥ n −1 n −1     ⇒ < un + ≤ ≤  (u1 + 1), ∀n ≥ Hay −1 < un ≤  ÷ ÷ (a + 1) − 2  a +1   a +1  n −1      = −1 Suy limun = -1 < ⇒ lim (a + 1)  − Vì < ÷   a2 + a +   Bài tập vận dụng un > Bài 3.1 Cho dãy số (un) xác định  un ≤ un − un +1 , ∀n ≥ 1 a) Chứng minh un < , ∀n ≥ n b) Tính lim un (Đề thi HSG Quảng Ngãi năm học 2007 – 2008)[8] ĐS: lim un =0 u1 =  Bài 3.2 Cho dãy số (un) xác định  u = u + , ∀ n ≥  n+1 n 2n  a) Chứng minh un+1 − un < n+1 , ∀n ≥ b) Tính lim un (Đề thi HSG Hà Tĩnh năm học 2009 – 2010) [8] ĐS: lim un =2  u0 = Bài 3.3 Cho dãy số (un) xác định  u = u + u , ∀k = 0, n − k k  k +1 n a) Chứng minh − < un < n b) Tính lim un ĐS: lim un =1 Bài 3.4 Cho dãy hàm số { Pn ( x)} xác định sau x − Pn2 ( x) Pn ( x ) P0 ( x) = 0, Pn +1 ( x) = Pn ( x) + , ∀n ≥ 0; x ∈ ¡ Tìm lim n →∞ Trang 17 ĐS: lim Pn ( x) = x , với x ∈ [0,1] [6]  u =  Bài 3.5 Cho dãy số (un) xác định  Tìm lim un [7] u = u − 1, ∀n ≥  n+1 n ĐS: lim un =1 − Bài 3.6 Chứng minh lim n n = 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Đề tài giải vấn đề sau: • Đề tài số vướng mắc cách khắc phục lớp đối tượng học sinh giải toán tìm số hạng tổng quát tìm giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi • Đề tài đưa ba phương pháp để tìm giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi cở sở từ toán sách giáo khoa toán khó đề thi học sinh giỏi • Đề tài áp dụng tiết luyện tập, tiết tự chọn lớp buổi dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trường • Thông qua việc xuất phát từ toán bản, giáo viên gợi ý, dẫn dắt học sinh tổng quát toán, tạo toán mới, hình thành cho em khả làm việc độc lập, phát triển tư sáng tạo, phát vấn đề giải vấn đề Phát huy tối đa tính tích cực học sinh theo tinh thần đổi Bộ Giáo dục Đào tạo Từ tạo cho em niềm tin, hứng thú học tập môn Toán • Đề tài kiểm nghiệm năm học giảng dạy lớp 11 ,được học sinh nhiệt tình tham gia nâng cao chất lượng dạy học chuyên đề dãy số giới hạn dãy số Các em hứng thú học tập hơn, lớp có hướng dẫn phương pháp em học sinh với mức học trung bình trở lên có để giải tập khó Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Cụ thể lớp sau áp dụng sáng kiến vào giảng dạy, đánh giá qua kiểm tra thu kết sau : Lớp Năm Tổng số HS Điểm trở lên Điểm từ đến Số Tỷ lệ Số Tỷ lệ Trang 18 Điểm Số Tỷ lệ học 2016 2017 lượng 11A8 (Ban bản) 11A2(Ban nâng cao) lượng lượng 41 17,1 % 22 53,6 % 12 29,3 % 44 31 70,4% 18,2% 11,4 % III PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Sáng kiến kinh nghiệm kết trình tìm tòi, nghiên cứu đúc rút kinh nghiệm trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi Qua năm triển khai thực đề tài với cách xây dựng phát triển toán, xây dựng quy trình giải toán cách "tự nhiên” vậy, nhận thấy em nắm vấn đề, biết vận dụng kết vào giải toán cách linh hoạt, sáng tạo Từ giúp cho em yêu thích môn toán hơn, chất lượng học nâng cao rõ rệt Trong năm học tới, tiếp tục nghiên cứu bổ sung để đề tài hoàn thiện hơn, đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng cho học sinh giỏi để em đạt kết cao kỳ thi chọn học sinh giỏi kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông sau Trong trình biên soạn đề tài có nhiều cố gắng, nhiên không tránh khỏi thiếu sót.Tôi mong thầy cô giáo, bạn đồng nghiệp góp ý, bổ sung để đề tài hoàn thiện Hy vọng tài liệu sử dụng làm tài liệu tham khảo cho học sinh thầy cô giáo trình học tập, giảng dạy Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 16 tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Trịnh Công Hải Trang 19 ... phương pháp để tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi sau Phương pháp 1: Tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi cách xác định số hạng tổng quát dãy số Phương pháp 2: Tính giới hạn dãy số. .. số cho hệ thức truy hồi cách sử dụng tính đơn điệu bị chặn dãy số Phương pháp 3: Tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi cách sử dụng nguyên lí kẹp 2.3.1 Phương pháp tính giới hạn dãy cho hệ thức. .. thức truy hồi cách xác định số hạng tổng quát dãy số Phương pháp xác định số hạng tổng quátcủa dãy số cho hệ thức truy hồi phong phú đa dạng, phạm vi đề tài trình bày phương pháp tìm số hạng