Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11BÁO CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN: “Mét sè kÜ thuËt tÝnh giíi h¹n cña d·y sè cho bëi hÖ thøc truy håi” Bài toán tìm giới hạn của mộ

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11

BÁO CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN:

“Mét sè kÜ thuËt tÝnh giíi h¹n cña d·y sè cho bëi hÖ

thøc truy håi”

Bài toán tìm giới hạn của một dãy số cho bởi hệ thức truy hồi là một dạng bài toánkhó, đòi hỏi nhiều kĩ thuật biến đổi – tính toán Bài toán này thường xuất hiện trongcác đề thi HSG cấp tỉnh, đề thi Olympic 30 tháng 4, đề thi quốc gia và quốc tế Các tàiliệu chuyên sâu về chuyên đề giới hạn của dãy số vẫn còn rất hạn chế; Và hôm nay,với mong muốn nâng cao chất lượng giảng dạy BDHSG, cung cấp cho các em họcsinh, đặc biệt là các em học sinh khá - giỏi toán và yêu thích toán có thêm một tài liệutham khảo về giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi, tôi đã nghiên cứu và hoàn

thành SK nho nhỏ của mình với tựa đề: “Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi”.

Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

- Họ và tên: Nguyễn Thị Thanh Lan

- Địa chỉ: Trường THPT Triệu Thái

- Số điện thoại: 0978 205 898

- Email: nguyentthanhlan.gvtrieuthai@vinhphuc.edu.vn

IV CHỦ ĐẦU TƢ TẠO RA SÁNG KIẾN: Nguyễn Thị Thanh Lan

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11

Giới hạn của dãy số - Dạng bài toán tìm giới hạn của dãy số cho bởi công thứctruy hồi - Đại số & giải tích 11

VI NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG: 08/12/2018

VII MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN:

SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI.

Trong quá trình tìm tòi, nghiên cứu, giảng dạy và BDHSG, tôi đã tổng hợp vàđúc kết thành một số kĩ thuật để tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truyhồi Trong khuôn khổ của đề tài này, tôi sẽ trình 4 kĩ thuật cơ bản sau đây:

A- Kĩ thuật 1: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách xácđịnh CTSHTQ của dãy số

B - Kĩ thuật 2: Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sửdụng phương pháp đánh giá và nguyên lí kẹp

C - Kĩ thuật 3: Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sửtiêu chuẩn (định lí) Weierstrass

HỒI BẰNG CÁCH XÁC ĐỊNH CTSHTQ CỦA DÃY SỐ:

1 Mục đích: Tìm giới hạn của CTSHTQun của dãy số

2 Phương pháp:

Bước 1: Tìm đặc trưng của các số hạng của dãy số (thông thường là ta xét các

số hạng đầu của dãy số), từ đó suy ra CTSHTQ un

Bước 2: Tính giới hạn của dãy số  un bằng cách tính lim un ?

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 3

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11

* Chứng minh u n  n  8 (HS tựchứng minh bằng phương pháp quy nạp)

* Tính giới hạn của dãy số u n: Ta có: limun = lim n  8  

 4 * Tính giới hạn của dãy số u n: Ta có: lim un = lim 3n  4  

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 4

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11

u n

 15 là một CSN4

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 5

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11

- Ngoài ra, có thể đặt v  5 n u , n 1, khi đó ta có

có thể giải quyết bài toán này một cách dễ dàng.

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 6

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11

- Có: un 1  2un 1 (1), ta cần tìm số b để un 1  b  2(un  b)  un 1  2un  b (2) Từ (1) và (2) suy ra: b 1 Vậy ta sẽ đặt v n  u n 1 để giải quyết bài toán trên

 u n  v n  1  2 n1 1 Do đó lim u n  lim v n  1  lim 2 n1  1  

Cho dãy số  u  xác định bởi: u1  3

Nhận xét: Có thể tìm CTSHTQ của dãy u n bằng phép đổi biến: v n  2 n u n , n 1

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 7

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11

giải quyết bài toán này

Để ý rằng: Từ u n1  u n  1  u n1  u n  1 nên suy ra:

 

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 9

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11

Bài 4: (Đề thi HSG cấp tỉnh tỉnh Quảng Ngãi năm 2001 – 2002)

Cho dãy số u n xác định bởi công thức: u n  2  2   2

(n dấu căn ; n 1 ) Tính lim u1 u2 u n

2n

n  2

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11

HỒI BẰNG CÁCH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ & NGUYÊN LÍ KẸP

1 Mục đích:

Tìm giới hạn của dãy số Vn  bằng cách sử dụng nguyên lí kẹp giữa

Nội dung nguyên lí kẹp giữa (nguyên lí kẹp) (Định lí 1/SGK Đại số & Giải tíchNC/Trang 153/NXBGD2007)

U  V  W ;n  limV n

a

 a

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 12

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11

2 Phương pháp:

Bước 1: Chứng minh: v n  u n  w n , n  n0 ; n, n0  bằng phương pháp quynạp, hoặc sử dụng các bất đẳng thức hoặc phương pháp đánh giá – nhận xét

Bước 2: Chỉ ra : lim v n  lim w n  a , kết hợp với nguyên lí kẹp, ta đi tính giới

hạn của dãy số vn cho bởi hệ thức truy hồi

3 Một số ví dụ:

Biết dãy số u n thỏa mãn un  1  n 13 ;n Chứng minh rằng lim un 1

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11

u

1

Phân tích: Với ví dụ này, việc xác định CTSHTQ của dãy u n  sẽ gặp nhiều khó

khăn, nhưng nếu sử dụng bất đẳng thức để đánh giá và nguyên lí kẹp thì bài toán đượcgiải quyết rất đơn giản



1 ; k 1 cũng đúng

44

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11

Hướng dẫn:

Dễ ràng chứng minh được u n  1;n bằng phương pháp quy nạp toán học.

Hơn nữa theo bất đẳng thức Cosi, ta có u n1   1 

 1 u n 1 , (với – 1 < a < 0)

u n1

u n

2

1

a) CMR: 0  un1  1

 1 (u n  1),n

1

a21b) Tính limun

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 16

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11

b) Tính lim un (ĐS: lim un  0 )

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 17

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11

Bài 3: (Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2006 – 2007)

u  1

b) Tính lim un (ĐS: lim un 1)

TRUY HỒI BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TIÊU CHUẨN (ĐỊNH LÍ) WEIERSTASS

1 Mục đích:

Tìm giới hạn của dãy số  un bằng cách sử dụng tiêu chuẩn Weierstass

Nội dung tiêu chuẩn Weierstass (Định lí 4/SGK Đại số & Giải tích

NC/Trang 154/NXBGD2007) :

“ a) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn

b) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn”

2 Phương pháp:

Bước 1: Chỉ ra dãy số tăng và bị chặn trên, hoặc giảm và bị chặn dưới

Bước 2: Tính giới hạn của dãy số

Việc tính giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi bằng cách sử dụng tiêuchuẩn (định lí) Weierstass còn cần thêm một số kiến thức bổ sung sau:

-Nếu dãy số ( u n ) thõa mãn điều kiện u n M ,n và tồn tại giới hạn limu n và tồn tại giới hạn limu  M ,n và tồn tại giới hạn limu n và tồn tại giới hạn limu n thì limu n M ; nếu dãy số ( u  M ,n và tồn tại giới hạn limu n ) thõa mãn điều kiện u n m,n và tồn tại giới hạn limu n và tồn tại giới hạn limu  m, n và tồn tại giới hạn limu n và tồn tại giới hạn limu n

thì limu n m  m, n và tồn tại giới hạn limu

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 18

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11

- Giả sử dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn thì lim un  lim un1

u



Phân tích: Ta có thể tìm được CTSHTQ của dãy (un) là un 2cos2 n 1,n1 , tuy

nhiên việc xác định CTSHTQ của (un) không phải là đơn giản Ta có thể sử dụng phần

C - Kĩ thuật 3 để giải bài toán này.

Lời giải:

*Chứng minh dãy số ( un ) tăng bằng phương pháp quy nạp  CM : u n1  u n , n 1Với n = 1 ta có u2  2  u1  2  2  2  u1 Đúng

Giả sử uk1 uk , khi đó uk 2  2  uk1  2  uk  uk1

Vậy un1 > un n 1 nên dãy số ( un ) tăng và bị chặn dưới bởi u1 2

* Chứng minh dãy ( un ) bị chặn trên bởi 2 bằng quy nạp :

Khi n = 1 ta có u1 2  2

Giả sử uk 2,k 1, khi đó uk1 2  uk  2  2  2

Vậy dãy số (un) tăng và bị chặn trên bởi 2 nên dãy số (un) có giới hạn hữu hạn

* Tìm giới hạn của dãy số (un) :

Giả sử limun = a, thì 2  a  2 Ta có limu n1  lim 2  u n

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 19

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11

* HS chứng minh u n  0,n bằng phương pháp quy nạp

* Xét tính tăng – giảm của dãy số un :

Vậy dãy số un  giảm và bị chặn dưới nên dãy un  có giới hạn hữu hạn

* Tìm giới hạn của dãy số  un:

Giả sử limun  a , chuyển qua giới hạn của hệ thức un1  u n ta có phương trình:

u2 1 n

a  a2a

1  a  0 Vậylim un  0

Ví dụ 3:

u  u

2

1

 1 Cho dãy số ( u n ) xác định bởi  Tính lim u n

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11

Ta thấy u1  u2 1, u3  1  1  2  u2 ; u4  u3  u2  2  1  u3

Dự đoán dãy số (un) là dãy dương và tăng

Ta chứng minh dự đoán này bằng phương pháp quy nạp, tức là u n1  u n , n

 2 Rõ ràng un  0, n 1 Khi n = 2 ta có u3  2  u2 1

Giả sử u k1  u k , k  2 Ta có u k 2  u k1  u k  u k  u k1  u k

1,k  2 Nên dãy (un) là dãy số dương tăng  u n  u1  1, n 1

Hơn nữa, ta thấy n  3, un

Do đó dãy số (un) tăng và bị chặn trên nên dãy số (un) có giới hạn hữu hạn

Giả sử limun = a, khi đó a 1 Chuyển qua giới hạn của hệ thức hệ thức truy hồi

a 

0

a  4

Do a 1> 0 nên a = 4 Vậy lim u n  4

Nhận xét: Ta có thể gặp những bài toán có dạng tương tự, ví dụ như trong quyển

u  2011  0 , n 1

u n n1

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 21

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11

Lời giải:

 0, k 1, ta chứng minh uk1  0Trước hết ta nhận thấy: u1 = 2010 > 0 Giả sử u k

Vậy dãy số (un) giảm và bị chặn dưới bởi 2011 nên dãy (un) có giới hạn hữu hạn

Giả sử limun = a, khi đó 0  a  2010 , chuyển qua hệ thức truy hồi un1  u n22011

dãy (un) là dãy số tăng  u n  u1  1  0, n

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 22

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11

Giả sử (un) bị chặn trên, khi đó dãy (un) có giới hạn hữu hạn, giả sử limun = a

Vì u  1, n  1  a 1 Chuyển qua hệ thức truy hồi

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 23

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11

Vậy dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn Giả sử lim un = L, khi đó L > 0 Chuyển qua hệ

thức truy hồi u n1  1 (u n  a ) ta có phương trình: L  1 (L  a )L ado L > 0

Vậy limun = a

Nhận xét: Bài toán trên là một bài toán tổng quát, có thể áp dụng rộng rãi Trong Giáo

Chứng minh rằng dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn khi n   Tìm giới hạn

đó? Đáp số: Dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn khi n   và limun = 2011

  3

u

12

Cho dãy số ( u n ) xác định bởi 

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11

(ĐS: 0  un  3,n , dãy tăng, lim un  3 )

Bài 2: (Đề thi chọn HSG Quốc gia khối 12 tỉnh Quảng Bình năm 2009 – 2010)

  1

u

12

n k1 u

k

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 25

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11

(ĐS: Dãy số un giảm và bị chặn dưới, lim u  3  5 )

Với số ít bài tập nhỏ này, hy vọng các bạn sẽ có một tài liệu hữu ích để có thể áp dụng vào bài toán tìm giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi Đặc biệt, khi đọc phần C – Kĩ thuật 3 chắc chắn sẽ có nhiều bạn thắc mắc rằng làm sao tác giả lại tìm được giá trị bị chặn của mỗi dãy số? Câu trả lời của tôi như sau:

- Bước 1: Căn cứ vào đề bài để tôi có thể suy đoán dãy đã cho tăng hay giảm (thử một vài giá trị đầu của dãy là biết ngay)

- Bước 2: Nên giải phương trình chuyển qua giới hạn trước các bạn nhé, việc này vô cùng quan trọng vì đó là căn cứ quyết định giúp chúng ta suy đoán ra giá trị bị chặn của dãy số cho bởi công thức truy hồi đó ạ

- Lưu ý rằng: Một dãy số tăng luôn bị chặn dưới bởi u1 nên limu n  u1 , và

dãy số giảm luôn bị chặn trên bởi u1 nên limu n  u1

- Các em học sinh khá, giỏi

- Các em học sinh Ôn thi ĐH-CĐ cũng có thể ôn tập thông qua sáng kiến này

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 26

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11

- Các giáo viên và bạn đọc yêu thích Toán học có thể tham khảo sáng kiến này

- Nguồn tư liệu phong phú:

VIII NHỮNG THÔNG TIN CẦN ĐƢỢC BẢO MẬT (Nếu có):

Giáo án điện tử, phòng học máy chiếu và đối tượng học sinh phù hợp

- Với sáng kiến này Tôi đã giảng dạy cho đội tuyển học sinh khá, giỏi lớp 11Trường THPT Triệu Thái, và thấy rằng các em hiểu một bài toán tìm giới hạn củadãy số cho bởi công thức truy hồi nên áp dụng kĩ thuật nào vào tìm giới hạn là hợp

lí với nó

- Các em có tri thức, có kỹ năng và rất tích cực, hào hứng giải quyết với loạitoán khó này Thực tế đã nhiều em đã giải quyết tốt dạng toán này ở các đề thiĐH-CĐ và thậm chí là khó hơn

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 27

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11

Từ những vấn đề đã trình bày, tác giả có thể rút ra một số kết luận và kiến nghị sau:

1 Một điều chắc chắn là không phải mọi bài toán tìm giới hạn của dãy số cho

bởi công thức truy hồi nào cũng có thể áp dụng được ngay một trong ba kĩ thuật cơbản trên để giải quyết, có những bài ta phải vận dụng thêm kiến thức của phần HÀM

SỐ mới có thể chứng minh được tính đơn điệu của dãy số đó

2 Bản SKKN của Tôi đã tổng kết và xây dựng được một số kĩ thuật tính giới

hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi tương đối rõ ràng và có hệ thống

3 Với sự thay đổi mang tính chất tích cực của ngành giáo dục, Tôi đề xuất các

Thầy cô nên rèn luyện kỹ năng cho học sinh nhiều hơn để các thế hệ học sinh có thểthành thạo trong việc giải toán nói chung, và tìm giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi nói riêng

4 Hy vọng bản SKKN này sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho những học sinh,

và thầy (cô) giáo và các bạn đọc quan tâm đến việc dạy học, bồi dưỡng môn Toán ởbậc THPT

Do mặt hạn chế về thời gian nên SKKN của Tôi vẫn còn nhiều thiếu sót, mongcác quí thầy cô cũng như ai đang quan tâm tới SKKN này chân thành đóng góp ý kiếnvới tôi Tôi xin chân thành cảm ơn sự đóng góp nhiệt tình của bạn đọc!

Lập thạch, ngày 27 tháng 01 năm 2019

TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Nguyễn Thị Thanh Lan

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 28

Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11

TÀI LIỆU THAM KHẢO:

 Tạp chí toán học tuổi trẻ

 Sách giáo khoa, sách Bài tập Đại số & Giải tích 11

 Sách giáo khoa, sách Bài tập Đại số & Giải tích NC 11

 Các bài toán về dãy số - PHAN HUY KHẢI – NXBGD 2007

 Nguồn Internet

 Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi THPT –NGUYỄN VĂN MẬU, NGUYỄN VĂN TIẾN – NXBGD 2007

 Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 lần thứ XV – 2009

 Tuyển tập đề thi VYOLYMPIC 30/4 – 2008

 Giải tích những bài tập nâng cao – TÔ VĂN BAN – NXBGD 2005

 Giáo trình giải tích 1 – JEAN, MARIA MONIER – NXBGD 1999

 Bài tập giải tích I – Số thực – Dãy số và chuỗi số - W.J.KACZKOR,M.T.NOWAW – NXBĐHSP 2003 – Đoàn Chi (biên dịch) –

GS.TSKH Nguyễn Duy Tiến (hiệu đính)

 C¸c d¹ng to¸n vµ ph-¬ng ph¸p gi¶i §¹i sè & Gi¶i tÝch – NGUYÔN H÷U NGäC – NXBGD 2008

Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 29