SKKN một số kinh nghiệm trong việc dạy dãy số viết theo quy luật

1 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Tốn học mơn khoa học tự nhiên có tính thực tiễn cao Từ lâu, người vận dụng kiến thức Tốn học để tính tốn, giải vấn đề tự nhiên thực tiễn sống Có thể khẳng định rằng: Tất môn khoa học khác liên quan mật thiết với Tốn học Vì vậy, việc giảng dạy Tốn học phải hướng tới mục đích lớn hơn, thơng qua việc dạy học Tốn để phát triển trí tuệ, phát huy trí thơng minh, sáng tạo đồng thời góp phần giáo dục phẩm chất, đạo đức, lối sống rèn luyện kĩ sống cho học sinh Tri thức khoa học nhân loại vô phong phú mẻ Mục tiêu giáo dục thay đổi, yêu cầu phải đổi phương pháp dạy học cách phù hợp Để giúp cho giáo viên tháo gỡ khó khăn q trình đổi phương pháp dạy học, có nhiều giáo sư tiến sỹ, nhà khoa học chuyên tâm nghiên cứu, thí điểm triển khai đại trà đổi phương pháp dạy học Để đáp ứng yêu cầu đổi toàn diện giáo dục đào tạo theo tinh thần Nghị 29 BCH Trung ương Đảng khóa XI, vấn đề đổi phương pháp dạy học tất môn học phải theo hướng tích cực hố hoạt động học tập học sinh, tổ chức hướng dẫn, đạo giáo viên Học sinh tự giác, chủ động tìm tòi, phát giải vấn đề để lĩnh hội tri thức, từ học sinh tích cực, chủ động sáng tạo, có ý thức vận dụng linh hoạt kiến thức học vào vào thực tiễn Đối với mơn tốn trường phổ thơng, dạy tốn dạy hoạt động tốn học Đối với học sinh xem việc giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động tốn học Q trình giải tốn trình rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp tìm tòi vận dụng kiến thức vào thực tế Thơng qua việc giải tốn để củng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kĩ mơn Tốn Từ đó, rút nhiều phương pháp dạy học hay, tiết lên lớp có hiệu nhằm phát huy hứng thú học tập học sinh, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục tồn diện Nhưng q trình học Tốn nói chung, đặc biệt phần Số học nói riêng, việc nắm bắt vận dụng kiến thức, tìm phương pháp giải học sinh khó khăn Vì vậy, giáo viên dạy Tốn phải có nhiệm vụ trang bị kiến thức phương pháp giải dạng toán cho học sinh Là giáo viên dạy mơn Tốn học, sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy học sinh học hỏi, trao đổi với đồng nghiệp, nhận thấy việc giảng dạy phần Số học nhiều mảng kiến thức mà học sinh chưa có phương pháp giải cụ thể như: Các toán chia hết, toán cấu tạo số, dạng toán biểu thức, Đặc biệt dạng toán “Dãy số viết theo quy luật”, dạng toán tương đối khó học sinh THCS, dạng tốn chưa đề cập nhiều sách giáo khoa, chủ yếu đưa vài tốn sách nâng cao, khơng đưa phương pháp giải cụ thể, bắt buộc học sinh tự vận dụng kiến thức, suy nghĩ để giải quyết, em lúng túng, chưa định phương pháp giải tập (chưa tìm quy luật dãy số) Xuất phát từ thực tế đó, tơi mạnh dạn chọn đề tài “ Một số kinh nghiệm việc dạy dãy số viết theo quy luật” để giúp em tháo gỡ khó khăn 1.2 Những điểm đề tài Nội dung “Dãy số viết theo quy luật” có nhiều người nghiên cứu, giáo viên giảng dạy trường THCS Tuy qua tìm hiểu nắm bắt trường trường bạn, thầy cô giáo chủ yếu tập trung vào việc nghiên cứu dạng tập nhỏ dãy số viết theo quy luật Điểm đề tài thân thực tập trung hệ thống hóa dạng tập liên quan đến dạng dãy số viết theo quy luật, vận dụng dạng tốn để chuyển thành dạng tốn với phương pháp cụ thể tập mở rộng, nâng cao dạng cho học sinh giỏi 1.3 Phạm vi áp dụng đề tài Đề tài thực dạy tiết Tốn chương trình khóa day bồi dưỡng học sinh giỏi cho em đội tuyển học sinh giỏi trường nơi trực cơng tác áp dụng để bồi dưỡng HSG toàn huyện 2 PHẦN NỘI DUNG 2.1 Thực trạng vấn đề Qua thực tế giảng dạy môn Tốn trường THCS, tơi nhận thấy nội dung lượng kiến thức mơn Tốn nhiều, nhiều dạng tập Mỗi tiết dạy đại trà lớp, giáo viên hướng dẫn học sinh tiếp nhận kiến thức dạng Toán cho nhiều đối tượng Như khơng có đủ lượng thời gian để giáo viên mở rộng nâng cao kiến thức rèn luyện kỹ giải tập cho học sinh Biện pháp tốt để rèn luyện kỹ giải tập cho học sinh để học sinh thường xuyên luyện giải nhiều dạng tập khác nhau, tiếp xúc với dạng tập có tính chất mở rộng nâng cao, để từ học sinh vận dụng cách linh hoạt cách giải dạng tập hướng dẫn học nhà.Việc học sinh tự học nhà có ý nghĩa lớn lao mặt giáo dục giáo dưỡng Nếu việc học nhà học sinh tổ chức tốt giúp em rèn luyện thói quen làm việc tự lực, giúp em nắm vững tri thức, có kỹ năng, kỹ xảo Ngược lại việc học tập nhà học sinh không quan tâm tốt làm cho em quen thói cẩu thả, thái độ lơ việc thực nhiệm vụ dẫn đến nhiều thói quen xấu làm cản trở đến việc học tập Vì chất lượng chưa đáp ứng Trước thực đề tài tiến hành kiểm tra khảo sát 15 học sinh khá, giỏi lớp đơn vị số tập nâng cao Kết thu sau: 0- b, a < b Tính chất: - Tính chất bắc cầu: Nếu a > b, b > c a > c - Tính chất đơn điệu phép cộng: Nếu a > b a + c > b + c - Tính chất đơn điệu phép nhân: Nếu a > b a c > b c (c > 0) - Cộng vế bất đẳng thức chiều: Nếu a > b, c > d a + c > b + d 2.2.1.6 Dãy số cách a Định nghĩa: Dãy số cách dãy số số hạng đứng sau số hạng đứng trước cộng với số d khơng đổi - Dãy số cách hữu hạn vơ hạn - Các số hạng dãy số cách thường kí hiệu U1; U2; U3 Un - Dãy số cách gọi cấp số cộng, số d không đổi nói tới định nghĩa gọi cơng sai cấp số cộng b Tìm số hạng thứ n dãy số cách Công thức Un = U1 + (n-1)d Tìm số số hạng dãy số cách hữu hạn: Công thức n= U n − U1 +1 d d Tính tổng số hạng dãy số cách Công thức: Sn= n(U + U n ) 2.2.2 Trang bị dạng toán dãy số viết theo quy luật phương pháp giải: 2.2.2.1 Dạng 1: Tính tổng, tính số số hạng dãy Phương pháp giải a Công thức tính số hạng thứ n dãy số cộng (khi biết n d) Xét dãy số cộng a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , , an a2 = a1 + d Ta có: a3 = a1 + 2d ; a4 = a1 + 3d ; Tổng quát: an = a1 + (n − 1)d (I) Trong đó: n gọi số số hạng dãy cộng d hiệu hai số hạng liên tiếp Từ (I) ta có: n = an − a1 + (II) d Công thức (II) giúp ta tính số số hạng dãy cộng biết: Số hạng đầu a1 , số hạng cuối an hiệu d hai số hạng liên tiếp b Để tính tổng S số hạng dãy cộng: a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , , an Ta viết: S = a1 + a2 + L + an −1 + an S = an + an −1 + L + a2 + a1 Nên 2S = (a1 + an ) + ( a2 + an −1 ) + L + ( an −1 + a2 ) + ( an + a1 ) = ( a1 + an ) n Do đó: S = (a1 + an ) (III) c Để tìm số số hạng dãy số mà số hạng liên tiếp dãy cách số đơn vị, ta dùng công thức: Số số hạng = (số cuối – số đầu):(khoảng cách hai số hạng liên tiếp) +1 d Để tính tổng số hạng dãy số mà số hạng liên tiếp cách số đơn vị, ta dùng công thức: Tổng = (Số đầu + số cuối).(số số hạng):2 * Bài tập áp dụng Bài Tìm chữ số thứ 100 viết liên tiếp liền số hạng dãy số lẻ 1; 3; 5; 7; Bài Có số hạng dãy sau tận hay không? 1;1 + 2;1 + + 3;1 + + + 4; Hướng dẫn: Số hạng thứ n dãy bằng: n(n + 1) Nếu số hạng thứ n dãy có chữ số tận n(n + 1) tận Điều vơ lí n(n + 1) tận 0, 2, Bài Khi phân tích thừa số nguyên tố, số 100! chứa thừa số nguyên tố với số mũ bao nhiêu? Bài Tính số hạng thứ 50 dãy sau: a 1.6; 2.7; 3.8; b 1.4; 4.7; 7.10; Bài Tính tổng 100 số hạng dãy sau: 1 1 1 1 ; ; ; ; ; ; , a b ; 1.2 2.3 3.4 4.5 66 176 336 Hướng dẫn: b Ta thấy = 1.6; 66 = 6.11; 176 = 11.16; 336 = 16.21,… Do số hạng thứ n dãy có dạng (5n – 4)(5n + 1) Bài Tìm tích 98 số hạng dãy: 1 1 1 ; ; ; ; ; 15 24 35 Hướng dẫn: số hạng dãy viết dạng: 16 25 36 22 32 42 52 62 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Hay 1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 15 24 35 Do số hạng thứ 98 có dạng Ta cần tính: A= 992 98.100 22 32 42 52 62 992 × × × × L 1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 98.100 Kết A = 99 50 2.2.2.2 Dạng 2: Tính tổng lũy thừa với số số tự nhiên * Bài tốn tổng qt: - Tính tổng: S = + a + a2 + a3 + … + an-1 + an ( a > 1; n ∈ N ) a n +1 − a −1 ( a > 1; n ∈ N ) Ta nhân vế S với a Rồi trừ vế với vế ta S= - Tính tổng: P = – a + a2 - a3 + … + a2n a n +1 + a +1 * Khai thác tốn: Vì S, P số nguyên nên (a n+1 − 1) ( a − 1) Ta nhân vế P với a Rồi cộng vế với vế ta P= (a n +1 + 1) ( a + 1) Ví dụ 1: Tính tổng sau: a A = + + 52 + 53 + … + 599 + 5100 b B = – 10 + 102 – 103 + 104 – … – 1099 + 10100 Giải: a Ta có: 5A = + 52 + 53 + … + 599 + 5100 + 5101 => 5A - A= 5101 - => A= 5101 − b 10B = 10 – 102 + 103 - 104 + 105 - … - 10100 + 10101 => 10B + B = 10101 + => 11B = 10101 + => B= 10101 + 11 Ví dụ 2: Chứng minh a 10941 − 1M108 b 109109 + 1M110 Giải: a Xét tổng S = + 109 + 1092 + 1093 + … + 10939 + 10940 (S ∈ N) => 109.S = 109 + 1092 + 1093 + … + 10940 + 10941 => 109.S - S= 10941 - 10941 − ∈ N ⇒ 10941 − 1M 108 => S = 108 b S = – 109 + 1092 - 1093 + … + 109108 (S∈ N) => 109.S = 109 - 1092 + 1093 - … - 109108 + 109109 => 109.S + S = 109109 + => S = 109109 + ∈ N ⇒ 109109 + 1M 110 110 * Bài toán tổng quát: - Tính tổng: S = + ad + a2d + a3d + … + and ( a > 1; n ∈ N ) a ( n +1) d − Ta nhân vế S với a Rồi trừ vế với vế ta S = ad −1 - Tính tổng: P = - ad + a2d - a3d + … + a2nd ( a > 1; n ∈ N ) d a ( 2n+2 ) d + Ta nhân vế P với a Rồi cộng vế với vế ta P= d a +1 d ( n +1) d − 1)M( a d − 1) * Khai thác tốn: Vì S, P số nguyên nên (a (a (2 n + 2) d + 1) M( a d + 1) Ví dụ 3: Tính tổng a A = + 42 + 44 + … + 498 + 4100 b B = – 53 + 56 - 59 + … + 596 - 599 Giải: a Ta thấy số mũ hai số liền cách đơn vị nên ta nhân hai vế với 2, trừ cho A, ta được: 42.A - A = (42 + 44 + … + 498 + 4100 + 4102) - (1 + 42 + 44 + … + 498 + 4100) 15.A = 4102 - => A = 4102 − 15 b Tương tự câu a, ta nhân hai vế B với 53 cộng vế với vế cho B ta được: 53.B + B = (53 - 56 + 59 - … + 599 - 5102) + (1 – 53 + 56 - 59 + … + 596 - 599) 126.B = - 5102 + 1 B = −5102 + 126 * Bài tập áp dụng: Bài 1.Tính tổng: a A = + 33 + 35 + … + 399 + 3101 b B = - 73 + 76 - 79 + … + 796 - 799 Bài Chứng minh rằng: a 300209 − 1M 209 b 30000 2009 + 1M 30001 2.2.2.3 Dạng 3: Tính tổng tích: Phương pháp giải 1: n * Tổng tích hai thừa số ∑ n(n + k ) n =1 Nhân biểu thức với lần khoảng cách thừa số số hạng Sau tách n(n + k)k = n(n + k)(n + 2k) – (n - k) n(n + k) Xuất hạng tử đối tổng, ta gộp hạng tử với Ví dụ 1: Tính tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 98.99 + 99.100 + 100.101 Giải: 3A = (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 98.99 + 99.100+ 100.101) = 1.2(3 - 0) + 2.3(4 - 1) + … + 99.100(101 - 98) + 100.101(102 - 99) = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + … + 99.100.101 - 98.99.100 + 100.101.102 – 99.100.101 = 100.101.102 => A = 100.101.102 = 343 400 Ta ý tới đáp số 100.101.102 tích số, 100.101 số hạng cuối A 102 số tự nhiên liền sau 101, tạo thành tích số tự nhiên liên tiếp Ta có kết tổng quát sau: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + (n - 1)n = 2 ( n − 1) n( n + 1) Vận dụng 1: Tính tổng + + + + 100 Giải: 12 + 22 + 32 + + 1002 = 1.1 + 2.2 + 3.3 + + 100.100 = 1.(2 – 1) + 2.(3 – 1) + 3.(4 – 1) + + 100.(101 - 1) = 1.2 – 1.1 + 2.3 – 2.1 + 3.4 – 3.1 + … + 100.101 – 100.1 = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 100.101 – 1.1 – 2.1 – 3.1 – – 100.1 = (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 100.101) – (1 + + + + 100) = 343 400 - (1 + 100) 100:2 = 343 400 - 5050 = 338 350 *Bài toán tổng quát: 12 + 22 + 32 + + n2 = (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n ( n + 1)  – (1 + + + + n) = = n ( n + 1) ( n + ) n ( n + 1) n ( n + 1) ( n + ) − n ( n + 1) − = n ( n + 1) ( n + ) − 3 = n ( n + 1) ( 2n + 1) Vận dụng 2: Tính tổng 22 + 42 + 62 + + 2002 Hướng dẫn: 22 + 42 + 62 + + 2002 = (1.2)2 + (2.2)2 + (2.3)2 + + (2.100)2 = 22 (12 + 22 + 32 + + 1002 ) *Bài toán tổng quát: 22 + 42 + 62 + + (2n)2 = 22(12 + 22 + 32 + … + n2) = 22 n ( n + 1) ( 2n + 1) 2n.( 2n + 1)( 2n + 2) = 6 Vận dụng 3: Tính tổng 12 + 32 + 52 + + 992 Hướng dẫn: + 32 + 52 + + 992 = (12 + 22 + 32 + + 1002) – (22 + 42 + 62 + + 1002 ) *Bài toán tổng quát: 12 + 32 + 52 + + (2n + 1)2 2 2 2 2 = 1 + + + + ( 2n + )   −  + + + + ( 2n + )   (2n + 2).(2 n + 3).(2(2n + 2) + 1) (2n + 2).(2n + 3).(2 n + 4) − 6 (2n + 2).(2 n + 3).(2(2n + 2) + 1) − (2n + 2).(2n + 3).(2 n + 4) = (2n + 2).(2 n + 3).[ 2(2n + 2) + − (2 n + 4) ] (2n + 2).(2 n + 3) ( 4n + + − n − ) = = 6 = = ( 2n + 1).( 2n + 2).( 2n + 3) Ví dụ 2: Tính: A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + + 97.99 Giải: 6A = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + +97.99.6 = 1.3(5 + 1) + 3.5(7 - 1) + 5.7(9 - 3) + + 97.99(101 - 95) = + 97.99.101 A = + 97.33.101 = 161651 n * Tổng tích ba thừa số ∑ n(n + k )(n + 2k ) n =1 Nhân biểu thức với lần khoảng cách thừa số số hạng Sau tách 4kn(n + k)(n + 2k) = n(n + k)(n + 2k)(n + 3k) - (n - k)(n + k)n(n +2k) Xuất hạng tử đối tổng, ta gộp hạng tử với Ví dụ 3: Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + … + 98.99.100 Giải: 4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 + … + 98.99.100.4 = 1.2.3.4 + 2.3.4(5 - 1) + 3.4.5(6 - 2) + … + 98.99.100(101 - 97) = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + 3.4.5.6 - 2.3.4.5 + … + 98.99.100.101 97.98.99.100 = 98.99.100.101 98.99.100.101 ⇒A = = 24 497 550 * Bài toán tổng quát: A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + (n - 1)n(n + 1) = ( n − 1) n( n + 1)( n + 2) 10 Ví dụ 4: Tính: A = 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 95.97.99 Giải: 8A = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + … + 95.97.99.8 = 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) + …+ 95.97.99(101 - 93) = 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 + … + 95.97.99.101 93.95.97.99 = 15 + 95.97.99.101 ⇒ A= 15 + 95.97.99.101 = 11 517 600 Thay đổi lặp lại thừa số tốn ta có tốn: Phương pháp giải 2: Tách thừa số tích làm xuất dãy số mà ta biết cách tính dễ dàng tính Ví dụ 5: Tính: A = 1.2 + 3.4 + 5.6 + …+ 99.100 Lời giải 1: A = + (2 + 1)4 + (4 + 1)6 + … + (98 + 1).100 = + 2.4 + 4+ 4.6 + + … + 98.100+100 = (2.4 + 4.6 + … + 98.100) + (2 + + + + + 100) = 98.100.102:6 + 102.50:2 = 166600 + 2550 = 169150 Lời giải 2: A = 1(3 - 1) + 3(5 - 1) + 5(7 - 1) + … + 99(101 - 1) = 1.3 - + 3.5 – + 5.7 – + … + 99.101 - 99 = (1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 99.101) - (1 + + + + + 99) = 171650 - 2500 = 169150 Ví dụ 6: Tính: A = 1.2.3 + 3.4.5 + 5.6.7 + … + 99.100.101 Giải: A = 1.3(5 - 3) + 3.5(7 - 3) + 5.7(9 - 3) + … + 99.101(103 - 3) = (1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + + 99.101.103) - (1.3.3 + 3.5.3 + + 99.101.3) = (15 + 99.101.103.105):8 - 3(1.3 + 3.5 + 5.7 + + 99.101) = 13517400 - 3.171650 = 13002450 Vận dụng 1: Tính: A = 13 + 23 + 33 + + 1003 Giải: Sử dụng: (n - 1)n(n + 1) = n3 - n ⇒ n3 = n + (n-1)n(n+1) ⇒ A = + + 1.2.3 + + 2.3.4 + + 100 + 99.100.101 = (1 + + + + 100) + (1.2.3 + 2.3.4 + + 99.100.101) = 5050 + 101989800 = 101994850 11 Vận dụng 2: Tính: A= 13 + 33 +53 + +993 Giải: Sử dụng (n - 2)n(n + 2) = n3 - 4n ⇒ n3 = (n - 2)n(n + 2) + 4n ⇒ A = + 1.3.5 + 4.3 + 3.5.7 + 4.5 + + 97.99.101 + 4.99 = + (1.3.5 + 3.5.7 + + 97.99.101) + 4(3 + + + + 99) = + 12487503 + 9996 = 12497500 Với khoảng cách a ta tách: (n - a)n(n + a) = n3- a2n Thay đổi số mũ thừa số tốn ta có: Vận dụng 3: Tính: A = 1.22 + 2.32 + 3.42 + + 99.1002 Giải: A = 1.2(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 1) + + 99.100(101 - 1) = 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 + + 99.100.101 - 99.100 = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100) = 25497450 - 333300 = 25164150 * Bài tập áp dụng: Bài Tính A = 1.79 + 2.78 + 3.77 + + 39.41 + 40.40 Bài Tính B = 1.99 + 3.97 + 5.95 + + 49.51 Bài Tính C = 1.3 + 5.7 + 9.11 + + 97.101 Bài Tính D = 1.3.5 - 3.5.7 + 5.7.9 - 7.9.11 + - 97.99.101 Bài Tính E = 1.33 + 3.53 + 5.73 + + 49.513 Bài Tính F = 1.992 + 2.982 + 3.972 + + 49.512 2.2.2.4 Dạng 4: Dãy phân số Phương pháp giải: Sử dụng công thức tổng quát sau, áp dụng vào toán cụ thể Các kiến thức 1 1) n(n + 1) = n − n + 2) k  1 = k ì ữ n( n + 1) n n +1 3) 1 1  = × − ÷ n( n + k ) k  n n + k  4) k  1 = − ÷ n( n + k )  n n + k  5) 1  1 1 = = ì ữ = ì ữ 2n(2n + 2) 4n(n + 1)  2n 2n +   n n +  6) 1  1 = ì ữ (2n + 1)(2n + 3)  2n + 2n +  12 1 7) n.(n + 1) < n < ( n − 1).n (Trong đó: n, k ∈ N∗ , n > ) Mở rộng với tích nhiều thừa số: 2n 1 = − a (a + n)(a + 2n) a (a + n) ( a + n)(a + 2n) Ví dụ 1: Tính tổng: A = 1 1 + + + + + 1.2 2.3 3.4 43.44 44.45 Giải: 1 1 1 1 A = − + − + + − + − 2 43 44 44 45 44 A = 1− = 45 45 1 1 Ví dụ 2: Chứng minh rằng: + + + + < 100 * Hướng dẫn tìm cách giải Ta thấy phân số tổng vế trái phân số có tử mẫu bình phương số tự nhiên n (n ≥ ) 1 1 1 1 1 1 = − ; < = − ; < = − ; < 1.2 2.3 3.4 1 1 = − < 99.100 99 100 100 a < b Sau áp dụng tính chất:  => a+c < b+d c < d 1 1 Từ ta có điều phải chứng minh: + + + + < 100 1 1 1 1 = − ; 2< = − < 1.2 2.3 1 1 1 1 = − ; = − < < 3.4 99.100 99 100 100 1 1 1 1 Vậy + + + + < + + + + 99.100 100 1.2 2.3 3.4 1 1 1 1 1 1 − + − + − + + − + + + + < 2 3 99 100 100 1 1 99 − = S > + + = < = 40 50 60 60 60 15 1 n  với n tự nhiên a  2.2.2.5 Dạng 5: Dãy luỹ thừa  * Bài tốn tổng qt: a - Tính tổng: S = + 1 1 + + + L + n −1 + n ; ( n ∈ N ∗ ; a ≠ 0) Ta nhân vế S a a a a a Rồi trừ vế với vế, sau ta rút S a 1 1 1 - Tính tổng: P = + + + + L + n−1 + n ; ( n ∈ N ∗ ; a ≠ 0) Ta nhân vế P a a a a a a với với Rồi cộng vế với vế, sau ta rút P a Ví dụ 1: Tính nhanh: 1 1 + + +L + + 5 5 1 1 b − + − − 99 + 100 10 10 10 10 10 a A = + Giải: 1 1 1 + + +L + + 5 5 5 1 1 1 A = + + +L + + 5 5 5 1 1 1 1 1 1 1 A − A =  + + + + L + + ÷−  + + + L + + ÷ 5  5 5 5  5 5 a A = + 1  1 A = − = 1 − ÷ 5 5    1 1 − ÷ 1 1 ⇒ A =   = 1 − ÷ = 1 − ÷     1 1 b − + − − 99 + 100 10 10 10 10 10 1 1 1 B = − + − + − 100 + 101 10 10 10 10 10 10 10 B+ 1 1 1   1 1 1  1 B =  − + − + − 99 + 100 ÷+  − + − + − 100 + 101 ÷ 10 10 10   10 10 10 10 10 10   10 10 10 10 11 1   B = + 101 = 1 + 100 ÷ 10 10 10 10  10  B=   11   1 − 100 ÷: = 1 − 100 ÷ 10  10  10  10  11 Ví dụ 2: Tính: D = − 1 1 + − 10 + − 58 2 2 * Bài tập áp dụng Bài Tính nhanh: 16 1 1 + + + L + 2007 4 4 1 1 1 b C = + + + + L + n−1 + n ; n ∈ N ∗ 3 3 3 1 1 1 c S = + + + + L + n −1 + n ; ( n ∈ N ∗ ; a ≠ 0) a a a a a a 1 1 Bài 2: Tính: C = + + + + 99 2 2 a B = + 26 3n − Bài 3: Cho A = + + + + n Chứng minh A > n − 27 Bài 4: Cho B = 10 28 398 + + + + + 98 Chứng minh B < 100 27 2.2.2.6 Dạng 6: Dãy dạng tích phân số viết theo quy luật Phương pháp giải: Viết biểu thức thành tích phân số nhỏ hơn, đơn giản Tách nhóm thừa số (phân số) tìm nhân tử chung tử mẫu để giản ước       + 1÷ Ví dụ 1: Tính: E =  + 1÷ + 1÷ + 1÷       100  Giải: 1 1 101 101       E =  + 1÷ + 1÷ + 1÷  + 1÷ = = 100      100        − ÷ Ví dụ 2: Tính: F =  − 1÷ − 1÷ − 1÷  100       Giải: 1 1 −99 −1       −1 −2 −3 F =  − 1÷ − 1÷ − 1÷  − 1÷ = = 100 100      100  15 24 2499 Ví dụ 3: Tính: A = 16 25 2500 Giải: 15 24 2499 2.4 3.5 4.6 49.51 ( 2.3.4 .49 ) ( 4.5.6 51) 2.51 102 A = = = = = 16 25 2500 3.4 4.4 5.5 50.50 ( 3.4.5 50 ) ( 3.4.5 50 ) 50.3 150 * Bài tập áp dụng −1       Bài Cho K =  − 1 − 1 − 1  − 1 So sánh K với 2     100  HD Giải: Kết hợp ví dụ ví dụ 99 1 Chứng minh: < D < 100 15 10 30 31 Bài 3: Tính: H = 10 62 64 1   11     với Bài 4: So sánh M = 1 − 1 − 1 −  1 − 19    16   100  Bài 2: Cho D = 17      10  Bài 5: Tính P = 1 − 1 − 1 −  1 −     7  7        Bài 6: Tính: Q = 1 − 1 − 1 −  1 −    7  2007   1  1  1   1  Bài 7: Tính: T =  −  −  −   −  2   7 2 99    1     B = 1 + 1 + 1 + .1 +  1 + n  với n ∈ N         2.2.2.7 Dạng 7: Tính hợp lí biểu thức có nội dung phức tạp Phương pháp giải: Hầu hết biểu thức có nội dung phức tạp có dạng M , ta biến đổi M N N, hai dạng biểu thức lại dạng biểu thức đơn giản Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức: 1 1 1+ + +L + + 97 99 a A = 1 1 + + +L + + 1.99 3.97 5.95 97.3 99.1 1 1 + + +L + + b B = 299 984 97 99 100 + + +L + 99 Giải: a Biến đổi số bị chia: (1 + 1 1 1 100 100 100 100 ) + ( + ) + ( + ) +L + ( + ) = + + +L 99 97 95 49 51 1.99 3.97 5.95 49.51 Biểu thức gấp 50 lần số chia Vậy A = 50 b Biến đổi số chia: 100 − 100 − 100 − 100 − 99 + + +L + = 99 100   99   100 100 100 = + + +L + ÷−  + + + L + ÷ = 99   99   1  1  1 1 = 100 + 100  + + L + ÷− 99 = 100  + + L + + ÷ 99  99 100  2 2 Biểu thức 100 lần số bị chia Vậy B = 100 * Bài tập áp dụng:   1 100 − 1 + + + +  100   Bài 1: Tính: D = 99 + + + + 100 18 Hướng dẫn: Tách 100 tử thức thành + + + …… + gộp số hạng với số hạng ngoặc 98 99 92 + + + + + 92 − − − − − 99 98 97 : 10 11 100 Bài 2: Tính H = 1 1 1 1 + + + + + + + + 100 45 50 55 500 Hướng dẫn: Biểu thức bị chia: Tách 99 tử thức thành + + + …… + gộp số hạng với số hạng lại Biểu thức chia: Tách 92 tử thức thành + + + …… + gộp số hạng với số hạng lại Mẫu thức đưa nhân tử chung dấu ngoặc 2 4 + − 4− + − 19 43 1943 : 29 41 2941 Bài 3: Tính I = 3 5 3− + − 5− + − 19 43 1943 29 41 2941 2− Hướng dẫn: Đưa nhân tử chung dấu ngoặc Bài 4: Tính L = 1.2 + 2.4 + 3.6 + 4.8 + 5.10 3.4 + 6.8 + 9.12 + 12.16 + 15.20 Hướng dẫn: Đưa nhân tử chung dấu ngoặc 2.2.2.8 Dạng 8: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh đẳng thức chứa dãy số Phương pháp giải: Bài tốn tính tổng hữu hạn: S = S1 + S2 + S3 + … + Sn Ta biết kết (bằng cách dự đoán, toán chứng minh được) Ví dụ 1: Tính tổng: Sn = + + + + (2n - 1) Thử trực tiếp ta thấy: S1 = S2 = + = 2 S1 = + + = = 32 Ta dự đoán: S = n2 Với n = 1, 2, ta thấy kết Giả sử toán với n = k( k ≥ ) ta có: Sk = k (2) 19 Ta cần chứng minh Sk + = ( k + 1) (3) Thật cộng với vế (2) với 2k + ta có: + + + … + (2k - 1) + (2k + 1) = k + (2k + 1) Vì k + ( 2k + 1) = ( k + 1) nên ta có (3) tức Sk +1 = ( k + 1) 2 Theo nguyên lý quy nạp toán chứng minh: Vậy S n = + = + + ( 2n − 1) = n Tương tự ta chứng minh kết sau phương pháp quy nạp toán học: n ( n + 1) a + + + + n = n ( n + 1) ( 2n + 1) b 12 + 22 + + n =  n ( n + 1)  c.1 + + + n =     d 15 + 25 + + n5 = n ( n + 1) 2n + n − 12 2.3 Kết đạt Sau áp dụng đề tài tiến hành khảo sát với nội dung kiến thức liên quan đến Dãy số viết theo quy luật 15 học sinh khối Kết đạt sau: 0-