SKKN cách tính tổng một số dãy số, dãy phân số viết theo quy luật

SKKN Cách tính tổng số dãy số, dãy phân số viết theo quy luật I Lời giới thiệu: Toán học môn khoa học tự nhiên, điều quan trọng nhà tr ường c ần trang bị cho học sinh tiềm lực kiến thức khoa học, phương pháp tự nghiên cứu để chiếm lĩnh lấy tri thức Mỗi thầy giáo, giáo làm cho học sinh có hứng thú h ọc t ập b ộ môn rèn cho em có kỹ giải tập tốn thành th ạo, hi ệu nh ất Để đạt mục đích trên, giáo viên ngồi việc đổi ph ương pháp dạy học theo đặc trưng mơn, cần tìm hiểu thêm v ề d ạng t ập toán, cách giải dạng tập việc h ướng dẫn cho h ọc sinh n ắm cách giải dạng tập Ở trường THCS (trung học sở) số học sinh khơng có ý thức tự giác học tập, chưa say mê học mơn tốn Th ực tế tốn h ọc mơn học khó, lượng kiến thức tương đối nhiều m ột gi lên lớp, mà trình giải tập nhà học sinh lại khó khăn Chúng ta thấy nhiều kiểu dạng tập có cách giải khác song đến đáp số Mặt khác có nh ững h ọc sinh khơng ch ịu đào sâu suy nghĩ theo lối học vẹt, học qua lý thuyết b ước vào gi ải t ập nên kết đáp số tốn sai Vì dẫn đến em có t t ưởng chán nản, ngại học toán Hơn số em lại thiếu sách giáo khoa, nh ất sách tập sách tham khảo nên trình th ực hành giải t ập tốn em đạt hiệu chưa cao so với yêu cầu môn nh yêu cầu giáo viên đề Trong chương trình tốn xuất nhiều tốn có liên quan đ ến tính tổng dãy số viết theo quy luật mà học sinh trung bình khó làm Khi gặp toán học sinh thường lúng túng cách giải nên ngại học, lười suy nghĩ em ch ưa có ph ương pháp giải thích hợp Chính giáo viên cần đưa nh ững d ạng toán t đơn giản đến phức tạp phương pháp giải phù h ợp v ới t ừng dạng tốn Trong chương trình giảng dạy tơi tìm cách giải tốn tính tổng dãy số viết theo qui luật giúp học sinh có ph ương pháp gi ải m ột cách nhanh chóng, thích hợp.Từ giúp học sinh có hứng thú h ọc tốn Chính tơi viết sáng kiến kinh nghiệm “ Cách tính tổng số dãy số, dãy phân số viết theo quy luật” mong đồng nghiệp tham khảo góp ý II.Nội dung Đa số học sinh nhận thức tầm quan trọng mơn Tốn nên r ất say sưa hứng thú học dạng tốn tính tổng dãy s ố viết theo quy lu ật Một vài học sinh tự nghiên cứa tìm cách giải tốn đ ơn giản dạng tốn Bên cạnh số học sinh lười học, nhận thức chậm ch ưa bi ết cách làm nên dễ mắc sai lầm như: - Khơng tìm quy luật dãy số, dãy phân số - Tìm sai quy luật dãy số, dãy phân số có ch ứa luỹ th ừa v ới số mũ tự nhiên - Thực tính tổng dãy số theo thứ tự thực phép tính Nhiều giáo viên u nghề, nhiệt tình, có tinh thần trách nghiệm cao công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Trong trình giảng dạy giáo viên hệ thống m ột số d ạng toán cách tính tổng dãy số viết theo quy luật Giáo viên truyền đạt cách làm dạng toán t ới h ọc sinh Tuy nhiên, q trình giảng dạy giáo viên ch ưa quan tâm hết tới đối tượng học sinh học sinh trung bình Giáo viên chưa dạy kĩ cách làm dạng toán mà l ại cho h ọc sinh làm tập áp dụng nên nhiều học sinh ki ểm tra đánh giá không đạt yêu cầu đề Cách tính tổng dãy số viết theo quy luật: Như ta biết có nhiều dạng dãy số viết theo quy lu ật, đ ể tính t dãy số viết theo quy luật có nhiều cách giải Dưới m ột s ố tốn tínhtổng dãy số viết theo quy luật 1.1.Dạng 1: Bài 1: Tính tổng sau A = + + 22 + 23 + … + 210 B = + + 32 + … + 3100 Giải Nhân vế A với ta được: 2A = + 22 + … + 211 Khi đó: 2A - A = A = 211 - Nhân vế B với ta được: 3B = + 32 + … + 3101 Khi đó: 3B - B = 2B = 3101 - Vậy B = (3101 - 1) : Tổng quát: Tính tổng S = + a + a + … + an, với a > a, n thuộc Z +( tập hợp số nguyên dương) Nhân hai vế S với a ta có a S = a + a2 + … + an+1 trừ cho S ta được: a.S - S = ( a - )S = an+1 - Vậy: + a + a2 + … + an = (an+1 - 1) : Từ ta có cơng thức: an+1 - = ( a - )( + a + a2 + … + an ) Bài tập áp dụng: Tính tổng sau: A = + + … + 72013 B = + + … + 4100 Chứng minh rằng: a 1414 - chia hết cho 13 b 20122013 - chia hết cho 2012 Bài 2: Tính tổng sau: A= + 32 + 34 + … + 3100 B = + 73 + + 799 Giải A= + 32 + … + 3100 Vấn đề đăt nhân hai vế A với số để trừ cho A loạt luỹ thừa bị triệt tiêu? Ta thấy số mũ liền cách đơn vị nên ta nhân vế với trừ cho A ta được: 32.A – A= 3102 - hay A ( 32 - 1) = 3102 - Vậy A =( 3102 - 1) : Từ kết ta suy ra: 3102 - chia hết cho Tương tự ta nhân hai vế B với 72 trừ cho B ta được: B = ( 7101 - ) : 48 Tương tự ta suy ra: 7101 – chia hết cho 48 Tổng quát: Tính S1 = + a2 + a4 + … + a2n = (a2n + - 1) : (a2 - 1) S2 = a + a3 + a5 + … + a2n+1 = (a2n + - a) : (a2 - 1) Bài tập áp dụng: Tính tổng sau: A = + 23 + 25 + … + 22010 B = + 22 + 24 + … + 22010 C = 13 + 133 + … + 1399 Bài tập khác: Chứng minh rằng: A = + 22 + … + 260 chia hết cho 31 15 B = + 52 + … + 512 chia hết cho 30 31 1.2.Dạng 2: Bài Tính tổng A = 1.2 + 2.3 + … + 9.10 Lời giải Nhận xét: Khoảng cách hai thừa số số hạng Nhân hai vế A với lần khoảng cách ta được: 3A = 3.(1.2+2.3+…+9.10) = 1.2.(3-0)+2.3.(4-1)+…+9.10.(11-8) = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + … + 9.10.11 = 9.10.11 = 990 A = 990: =330 Ta ý tới đáp số 990 = 9.10.11 9.10 số h ạng cu ối c A 11 số tự nhiên liền sau 10, tạo thành tích số tự nhiên liên tiếp Ta có kết tổng quát sau: A = 1.2 + 2.3 + … + ( n - 1).n = ( n - 1).n.(n + 1): Lời giải 3A = 3.(1.2 + 2.3 + … + 9.10) = 3.(0.1 + 1.2 + … + 9.10 = [1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + 7.(6 + 8) + 9.(8 + 10)].3 = 3.(1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 + 9.9.2) = (12 + 32 + 52 + … + 92).2.3 = (12 + 32 + … + 92).6 = 990 = 9.10.11 Ta chưa biết cách tính tổng bình phương số lẻ liên tiếp bắt đ ầu t 1,nhưng liên hệ với lời giải 1,ta có: (12 + 32 + … + 92).6 = 9.10.11 hay (12 + 32 + … + 92) = 9.10.11 : Ta có kết tổng quát: P = 12 + 32 + … + (2n+1)2 = (2n+1)(2n+2)(2n+3) : Bài tập áp dụng: Tính tổng sau: P = 12 + 32 + … + 992 Q = 112 + 132 + … + 20112 M = 1.2 + 2.3 + … + 99.100 Bài 2: Cho A = 1.2 + 2.3 + … + 9.10 C = A + 10.11.Tính giá trị C Giải Theo cách tính A toán ta kết là: C = 10.11.12: Theo cách giải toán ta lại có : C = ( 1.2 + 2.3) + … + ( 9.10+10.11) = 2.(1 + 3) + 4.(3 + 5) + … + 10(9 + 11) = 2.4 + 4.8 + 6.12 + 8.16 + 10.20 = 2.2 + 2.4.4 + … + 2.10.10 = 2.( 22 + 42 + … + 102) Vậy C = 10.11.12: Từ ta có: 22 + 42 + … + 102 = 10.11.12: Ta có kết tổng quát là: 22 + 42 + … + ( 2n )2 = 2n.( 2n+1 ).(2n+2): Bài tập áp dụng: Tính tổng: 202 + 222 + … + 502 Cho n số tự nhiên.Tính tổng: n2 + ( n+2 )2 + ( n+4)2 + … + (n+100)2 Tính tổng: 1.2 + 2.3 + +999.1000 Bài Tính: A = 1.3 + 3.5 + … + 97.99 Giải Nhận xét: Khoảng cách hai thừa số số hạng 2, ta nhân vế A với lần khoảng cách ta được: 6A = 1.3.6 + 3.5.6 + … + 97.99.6 = 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) + 5.7.(9 - 3) + … + 97.99.(101 - 95) = 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + … + 97.99.101 - 95.97.99 = + 97.99.101 A = (1 + 97.33.101): = 161651 1.3.Dạng 3: Bài 1:Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + … + 8.9.10 Giải Ta nhân hai vế A với số lần khoảng cách 4A = 1.2.3.4 + 2.3.4 + … + 8.9.10.4 = 1.2.3.(4 - 0) + 2.3.4.(5 - 1) + … + 8.9.10.(11 - 7) = 1.2.3.4 - 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 2.3.4.5 + … + 8.9.10.11 A = 8.9.10.11:4 = 1980 Từ ta có kết tổng quát: A = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n-1).n.(n+1) = (n-1).n.(n+1).(n+2): Bài 2: Tính: A = 1.3.5 + 3.5.7 + … + 95.97.99 Giải 8A = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + … + 95.97.99.8 = 1.3.5.(7 + 1) + 3.5.7.(9 - 1) + … + 95.97.99.(101 - 93) = 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + … + 95.97.99.101 - 93.95.97.99 = 15 + 95.97.99.101 A = 11517600 1.4 Dạng 4: Tính tổng S = 13 + 23 + 33 + … + n3 Giải Trước hết ta chứng minh kết sau đây: Với n số t ự nhiên ta có: n3 - n = (n - 1)n(n + 1) Thật vậy: n3 - n = n(n2 - 1) = (n - 1)n(n + 1) Áp dụng kết để tính S: S = 13 - + 23 - + … + n3 - n + (1 + + + … + n) = + 2.(22 - 1) + 3(32 - 1) + … + n.(n2 - 1) + (1 + + + … + n) = + 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1) + (1 + + + … + n) S = (n - 1)n(n + 1)(n + 2): + n(n + 1) : = [n(n + 1) : 2]2 Nhận xét:Vì n(n + 1) : = + + + … + n nên ta có k ết qu ả r ất quan trọng sau đây: 13 + 23 + 33 + … + n3 = (1 + + + … + n)2 1.5.Dạng 5: Trong dạng toán ta không nhân A với số mà tách thừa số số hạng làm xuất dãy số mà ta bi ết cách tính dễ dàng tính Bài 1: Tính A = 1.2.3 + 3.4.5 +…+ 99.100.101 Giải A = 1.3 (5 - 3) + 3.5 (7 - 3) + … + 99.101, (103 - 3) = (1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + … + 99.101.103 ) – ( 1.3.3 + 3.5.3 +…+ 99.101.3 ) = ( 15 + 99.101.103.105 ) : - 3.(1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 99.101) = 13517400 – 3.171650 = 13002450 Bài : Tính A = 1.22 + 2.32 + 3.42 +…+ 99.1002 Giải A = 1.2.(3 - 1) + 2.3 (4 - 1) + … + 99.100 (101 - 1) = 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + … + 99.100.101 - 99.100 = ( 1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100 101) – ( 1.2 + 2.3 + … + 99.100) = 25497450- 333300 = 25164150 Bài tập áp dụng: Bài 1: Tính A = 1.32 + 3.52 + 5.72 + … + 97.992 Bài 2: Tính B = 1.3.5 - 3.5.7 + 5.7.9 - 7.9.11 + … - 97.99.101 Cách tính tổng dãy phân số viết theo quy luật 2.1.Dạng 1: Bài 1: Tính nhanh: A= Giải: Nhân hai vế với Ta có: 2A = 1+ (1) A= (2) Lấy (1) trừ (2) ta A = 1- = Bài 2: Tính nhanh: B= Giải : Nhân hai vế với Ta có: 3B = 1+ (1) B= (2) Lấy (1) trừ (2) ta B = (1- :2= Tổng quát : Tính nhanh: A= (n ,a ) Nhân hai vế với a ta a.A = 1+ (1) A= (2) Lấy (1) trừ (2) ta A = (1- Bài tập áp dụng : Bài 1:Tính nhanh: a) A = b) B = Bài 2: Bài tập mở rộng Chứng minh rằng: a) A = b) A > Giải: a) Tách A thành nhóm, nhóm có 50 phân số, r ồi thay m ỗi phân s ố nhóm phân số nhỏ nhóm ấy, ta được: A= > b) Tách A thành nhóm làm trên, ta được: A> > Bài 2: Cho A = Chứng minh rằng: A < Giải: Giữ ngun phân số hơn, ta có: , phân số sau thay phân số lớn A< Dễ dàng tính được: B= Do đó: A < < Bài tập áp dụng: Bài 1: Chứng minh rằng: < Bài 2: Chứng minh rằng: ... lầm như: - Khơng tìm quy luật dãy số, dãy phân số - Tìm sai quy luật dãy số, dãy phân số có ch ứa luỹ th ừa v ới số mũ tự nhiên - Thực tính tổng dãy số theo thứ tự thực phép tính Nhiều giáo viên... nhiều dạng dãy số viết theo quy lu ật, đ ể tính t dãy số viết theo quy luật có nhiều cách giải Dưới m ột s ố tốn tínhtổng dãy số viết theo quy luật 1.1.Dạng 1: Bài 1: Tính tổng sau A = + + 22... Cách tính tổng số dãy số, dãy phân số viết theo quy luật mong đồng nghiệp tham khảo góp ý II.Nội dung Đa số học sinh nhận thức tầm quan trọng mơn Tốn nên r ất say sưa hứng thú học dạng tốn tính