M ơ vớ io là điểm cực của ơ và < r < R được tính theo công thức
x au sau một thời gian nào đó Từ giả thiết, ta có v () > 0, vớ
X nào đó, do đó PooSfi 7^ 1, sn Ỷ 1 và n là dày (2a) (2) Hiển
(2) =>- (2a) Cho íỉ là tập dày thực sự, điều này có được từ giả thiết, và cho ri' là mặt ngoài của một tập compact nào đó. Ta cần chứng tỏ rằng íỉ' là D-dày. Cho u là tập mở tiền compact trong M mà không giao với Ũ. Đặt fỉ7/ = M\ũ. Do fi7/ D íỉ, tập Q," là tập dày, từ mệnh đề
2.2.2
íĩ' cũng dày vì íỉ" và íỉ' khác nhau bởi một tập compact. Cuối cùng, từ ÍỈ' là mặt ngoài của một tập compact nào đó, nhờ hệ quả| 2. 2. 1| tính dày của nó suy ra tính D-tính dày của íỉ'.
(2a) =>- (la) Ta phải chứng minh rằng, với xác suất px là 1, quỹ đạo Brown Xị rời xa bất kì một tập tiền compact u sau một thời gian nào đó, tức là h ụ ( x ) = 0. Nhờ mệnh đề
h ụ ( x) = 0 tương đương với
POCSỊI = 0 trong đó íl := M\u. Theo mệnh đề2.2.5, PooSíì — 0 tương đương với tính dày của íỉ, điều này có 2.2.5, PooSíì — 0 tương đương với tính dày của íỉ, điều này có được nhờ giả thiết.
(2a) (6) Đây là phần (b) của Hệ quả
2.2.1
(6) (2) Chocap(U) > 0, với tập mở tiền compact u. Ta có thể giả
tập := M\ữ là tập dày.
2.2.1
(2) (3) Từ íĩ mở rộng, ta có thể giả sử íĩ có biên trơn. Vì íỉ là tập dày và M\fì Ỷ sn là hàm điều hòa trên bị chặn
2.2.4
không tầm thường trên M.
(3) (2) Cho V > 0 là hàm điều hòa trên khác hằng số trên M. Với
bất kì c G (infv, supv), tập Í2 = < c} là tập dày khác rỗng vì (c — v)+
là hàm điều hòa dưới chấp nhận được đối với Q.
(6) <=> (4) Cho u là một tập mở tiền compact trong M. Với một điểm
y e u, từ 2.2.13 ta CÓ
inf G ( x , y) < cap(u) 1 < sup G ( x:y ) .
X € d u x €gư
Do đó, tính hữu hạn của G tương đương với cap(U) > 0.
(4) =>■ (3) Nếu hàm Green G ( x , y ) là hữu hạn thì luôn có một hàm điều hòa trên dương theo X ngay cả khi G lấy giá trị +oo tại X = y . Hàm chặt cụt min(ơ(-, y), c) là hữu hạn, dương và điều hòa trên.
(7) =>- (3) Nếu u là một nghiệm bị chặn khác không của Am — q u = 0 với hàm q e C ™ , q Ỷ 0 thì u+ hoặc không đồng nhất không. Giả sử rằng u+ ^ 0. Ta khẳng định u+ là hàm điều hòa dưới bị chặn khác hằng số. Hàm u+ là điều hòa dưới trong íì := {u > 0} vì Au+ =
qu+ > 0. Vì u+ được mở rộng bằng 0 bên ngoài ri, hàm
u+ là điều hòa dưới trong M . Cuối cùng u+ là bị chặnvà khác hằng số nếu u+ = c thì u = c điều này chỉ có thể và khác hằng số nếu u+ = c thì u = c điều này chỉ có thể xảy ra nếu q = 0 hoặc c = 0.
(3) (8) Ánh xạ bảo giác trong không gian hai chiều bảo toàn các hàm điều hòa trên được. Vì H2 có hàm điều hòa trên dương khác hằng số trong khi M2 không có, tính hyperbolic của M tương đương với sự bảo toàn của các hàm điều hòa trên dương khác hằng.
(4) ^ (5) Vì 1 z*00
G { x , y ) = p i t , X , y ) d t .
Điều kiện G ( x , y ) < o o kéo theo,
p ( t , x , y ) d t < 00.
Nhờ bất đẳng thức Harnack parabolic địa phương, cho x',y' € M, ta có,
vdi moi t du 16n,
V { t , x ' , y ' ) P ( t , x , y)
Dac biet, (2.2.24) dung vdi moi cap x,y tit do ta cung co (2.2.22) dung
vdi moi cap x , y . NgUdc lai, neu (2.2.22) dung vdi x € M nao do thi (2.2.24) cung dung nhd (2.2.25) vdi moi x , y £ M . Vi vdi x ^ y: ta co p ( t:x:y) — > 0 khi t —>• 0, tich phan trong (2.2.23) cung hoi tu tdi 0, va G ( x , y ) < oo. (4) (7) Cho {e^} la mot day vet can va G\. la nhan Green trong Ek• Ki hieu U k va
v& la nghiem cua bai
toan Dirichlet sau
trong e&
Auk -
(2.2.25)< const. < const.
quk = 0 trong ek I Avk = -q trong ek va < uk\dek = 1 [ vk\dsk = 0 Day {w*;} giam va hoi tu den ham u, ham nay la nghiem bi chan cua Aw — qu = 0. Vi 0 < uk < 1, ta
cung co 0 < u < 1, tif dieu nay suy ra supu > 0. Ham vk cho bcii
vk=
Gk{ - , y ) q ( y ) d f i ( y ) , .
J e k
Tif do ta thay vk tang va hoi tu tdi v : = [ G { - , y ) q ( y ) d f i { y ) . J M Ham uk + vk la dieu hoa tren vi A(uk + vk) = quk — q < 0.
dung nguyen ly cUc tieu ta co uk + vk > 1
va do do uk > 1 — vk
trong ek.
Nhu vay, u > 1 — v. Ta khang dinh inf v = 0, supw > 0, v la nghiem khong am nho nhat cua phuong trinh Av = — q. Neu ta gia sii rang
inf V > 0 thì hàm V —
inf V cũng là một nghiệm không âm của phương trình này, điều này mâu thuẫn với tính cực tiểu của V do đó ta thu được inf V = 0 và
sup u > 0. Kết luận chương 2
Trong chương này ta đã trình bày giới thiệu cơ sở phân loại các đa tạp Riemann dựa trên sự tồn tại nhân nhiệt p ( t , X , y) (quá trình khuếch tán). Ta thấy rằng phần lớn các đa tạp được chia thành 2 loại, theo tính chất luân chuyển của quá trình Brown trên đa tạp này. Đa tạp dạng
parabolic tương ứng với tính không luân chuyển (chuyển động Brown có xu hướng tập trung tại một khu vực trong miền) hay là mọi hàm điều hòa trên, dương, xác định trên M phải là hằng. Tính chất parabolic cũng tương ứng với tính không khả tổng của nhân nhiệt p ( t,
x , y ) , hay là tính suy biến của hàm Green tại một số giá trị
( x , y ) .
Ngược lại với tính chất parabolic ta gọi đa tạp là không parabolic. Trường hợp đa tạp là mặt Riemann, tính không parabolic của mặt
tương ứng với các mặt hyperbolic (đẳng giác với mô hình hyperbolic thông thường). Ngoài tính chất parabolic, người ta còn phân loại đa tạp theo tính chất đầy đủ ngẫu nhiên (tổng cộng xác suất bằng 1, hay tính không bùng phát của chuyển động Brown. ) Người ta đã chứng minh được ([Yau] ), rằng mọi đa tạp có độ cong Ricci bị chặn dưới đều là đầy đủ ngẫu nhiên. Như vậy ta có hình dung trực quan về sự liên hệ giữa tính chất của nhân nhiệt và độ cong của đa tạp. Công thức
(2.2.12) cho ta liên hệ dung lượng của một hình miền vành khuyên và tích phân của diện tích xung quanh mặt cầu. Từ công thức đó ta thấy nếu r ° ° d r J a W ) ~ 00 đa tạp M sẽ parabolic, trong đó S ( r) là diện tích của mặt cầu bán kính r trên M . Tuy các kết quả phát biểu trong chương 1 dành cho các đa tạp ( đa tạp trơn), ta thấy các nghiên cứu đều áp dụng cho các đa tạp có chứa điểm cực ( điểm kì dị) có nghĩa
là các tính toán đối với M \ { 0 } . Ta có thể đưa vào tọa độ cực trên M \ { 0 } và sử dụng metric d s2 = d r24- Ơ2( r ) d 6 ị d ỡ j trong lân cận gần o . Với các hàm cr2(r) thích hợp, ta có thể đặt bài toán nghiên cứu tính giải được duy nhất của các bài toán Dirichlet cho các phương trình elliptic với những tính chất suy biến khác nhau tại điểm kì dị. Thông thường, các bài toán biên elliptic trong trường hợp hệ số dao động có thể quy về bài toán với toán tử Laplace dạng tổng
quát trên một đa tạp