ứng, điểm suy biến của hệ số sẽ được đặt tương ứng với điểm cực của đa tạp mới. Đồng thời cơ sở lý thuyết về quá trình “xấp xỉ biên” một miền bởi một dãy các miền vét cạn cũng được trình bày trên quan điểm xác xuất và phương pháp nghiệm “trên” của
Perron. Trong
chương tiếp theo, ta sẽ thấy một số phương trình đạo hàm riêng với hệ số biến thiên trong không gian Euclide thông thường có thể đưa về một bài toán
khảo sát độ cong của một mặt.
Kết luận
Luận văn đã trình bày được:
Vai trò của một phương trình parabolic quyết định đến sự tồn tại của hàm Green đối với phương trình elliptic đã cho và phân loại hình dáng của miền theo các yếu tố về diện tích và chu vi của các miền con.
Luận văn đã giới thiệu sự liên hệ tính chất của một quá trình nhiệt (nghiệm của phương trình parabolic) với hình dạng của các đa tạp nói chung hay với các mặt cong cụ thể. Ta thấy được hình dung trực quan của độ cong tới sự luân chuyển của quá trình Brown hay tính bùng nổ của chuyển động đó. Ví dụ trong những miền “quá cong”, chuyển động Brown không thể di chuyển toàn bộ hết miền. Hoặc trong những miền có nếp gấp (có chứa kì dị) chuyển động ngẫu nhiên của các phân tử hòa tan có thể dừng lại tại chính điểm gấp (tính không đầy đủ ngẫu nhiên hay còn gọi là tính bùng phát). Do đó, việc tìm hiểu tính chất của các quá trình khuếch tán trên mặt cong cho phép ta tìm hiểu ảnh hưởng của các điểm cực tới sự tồn tại nghiệm của các bài toán biên cho các phương trình elliptic thông thường nhất.
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Mạnh Hùng, Phương trình vi phân đạo hàm riêng submitted NXB Đại học Sư phạm (2009).
[2] Phạm Triều Dương, On the asymptotic behavior of generalized so-
lution of parabolic systems in neighborhood of conical point, Acta
63 3
Mathematica Vietnamica, 2005, V. 30, N. 2, pp. 123-136.
[3] Pham Trieu Duong, Boundary Value Problem for a Parabolic System
in a Domain with a Conical Point on the Boundary, Differential Equations, 2010, Vol. 46, No. 2, pp. 294-298. Pleiades Publishing, Ltd., 2010. (Original Russian Text Pham Trieu Duong, 2010, published in Differentsial’nye Uravneniya, 2010, Vol. 46, No. 2, pp. 290-294.)
[4] Nguyen Manh Hung, Nguyen Thanh Anh, Regularity of solutions of
initial-boundary value problem for parabolic equations in domains with conical points, J. Differential Equations 245 (2008), 1808 - 1818.
[5] A. Grigor’yan, Analytic and geometric background of recurrence and
non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds,
Lecture notes.
64 4