M ơ vớ io là điểm cực của ơ và < r < R được tính theo công thức
2. Px là xác suất mà chuyển động Brown XT va chạm F tại chuỗi thời gian lớn tùy ý Định nghĩa bởi hp := Px, 3 t k
2.2.6. Miền ngoài của một tập compact
Nếu ri là miền ngoài của một tập compact F trên M thì một số tiêu chuẩn bổ sung với tính dày của sau được thỏa mãn.
Mệnh đề 2.2.5. Cho Q c M là một tập mở với biên trơn khác
rỗng và cho F := M\íỉ là compact.
(a) Theo phép loại trừ ta có, hoặc ri không dày Sn = 1 và Pn = 1, hoặc íỉ dày, S o , ^ 1 và Pq, = 0.
(b) Ta có
r\
Sn dụ! = cap(F) (2.2.20)
trong đó, V là vectơ pháp tuyến ngoài tại díì và
Ị » ,
dữ
\ V sn\2d f i = c a p ( F ) . (2.2.21)
Hệ quả 2.2.1. Cho Q c M là một tập mở với biên trơn khác
rỗng và cho F := M\íì ỉà compact. Khi đó
(a) Q là tập dày nếu và chỉ nếu ri là D - d à y . (b) là tập d à y nếu và chỉ nếu cap(F) > 0.
(c) Tính dày của íĩ là tương đương với ep 7^ 1 và với hp
= 0.
Chứng minh.
(a) Nếu ri dày khi đó, từ (2.2.21), SQ có tích phân Dirichlet hữu hạn. Do đó, Q là D-dày. Điều ngược lại được suy ra từ định nghĩa của tính dày và D-tính dày.
(b) Tính dày của ri tương đương với Sn Ỷ lj hay tương
đương với
cap(F) > 0 bởi (2.2.20) hoặc (2.2.21).
(c) Được suy ra từ mệnh đề (2.2.4) và mệnh đề (2.2.5)(a). Định lí 2.2.2. Các khẳng định sau là tương đương:
(1) Chuyển động Brown trên M là tạm thời, nghĩa là
với một tập
mở
u và với một điểm X £ M, quá trình Xị qua u với một
xác suất
dương, PX{ 3 T : Ví > T X t ệ U } > 0.
(la) Với mọi tập u c M tiền compact và mỗi điểm X € M,
quá trình Xị qua u với xác suất 1, nghĩa là PX{ 3 T : Ví > T X t ệ U } = 1.
(2) Tồn tại một tập dày thực sự íỉ trên M.
(2a) Miền ngoài của tập compact bất kì trên M là D - d à y .
(3) Tồn tại một hàm điều hòa trên dương khác hằng số trên M (tồn tại một hàm điều hòa dưới bị chặn khác hằng số trên M)
(ị) Hàm Green G ( x , y) trên M là hữu hạn với một vài
hoặc tất cả X ỹ é y .
(5) Với mọi X G -M,
J^ p ( t , X , x ) d t < 00.
(6) Dung lượng của tập compact nào đó hoặc tiền compact mở bất kì là dương.
(7) Tồn tại một nghiệm bị chặn khác không trên M của phương trình
Au — q { x ) u = 0,
với mỗi hoặc mọi hàm q ( x ) G c(M) là không ăm và không
đồng nhất.
(8) Nếu M là một mặt Riemann liên thông đơn thì tất cả các khẳng định trên đều tương đương với M là loại hyperbolic tức là M là tương đương bảo giác tới H2.
Chứng minh.
(1) =>■ (2) Ta kí hiệu íĩ = M\ữ và xét hàm V:= 1 — PoosíĨ5
sử dụng
kết quả của mệnh đề 2.2.4, V:= 1 — h ụlà xác suất Px của Xị rời