M ơ vớ io là điểm cực của ơ và < r < R được tính theo công thức
Q tM ta chứng minh (2.2.14) Ta đặt
ta chứng minh (2.2.14). Ta đặt a := max G n ( x , y ) và b := min G n ( x , y ) . XGÕU XGÕU Với số c bất kì, ta định nghĩa Fc := {x e Í Ì : G n { x , y ) > c } . Ta có c a p ( B ( o , r ) , B ( o , R ) ) = (2.2.12) (2.2.13)
Fa c u c Fb.
Do hàm G o , { - , y) là điều hòa trong fì \ u và bằng nguyên lí cực đại, cận trên đúng của GỊ I( - , y) trong íì\u đạt được trên
Do Gfi triệt tiêu trên d í } , nên ta có
sup Gn( x , y) = max Gn( x , y ) = a , x e ĩ l \ ữ x € d u
trong đó Fa c u . Tương tự, hàm Gíi(-, y) là điều hòa trên trong £/, bằng nguyên lí cực tiểu
inf Gn( x , y) = min GQ(X, y ) = b .
x & u x £ d u
Từ (Ị2.2.15D suy ra
cap(Fa,íì) < cap(U,íì) < cap(Fb, íỉ),
Khi đó từ (2.2.14) cho ta thấy với mọi c > 0 ( nói riêng với c = a và c = 6 ),
cap(Fc, fl) = 1
Thật vậy, hàm w := —Gn(-, ỳ) là thế vị cân bằng của dung lượng (Fc, íỉ). c Do đó, ta được 1 1 cap(Fc, ri) = — f l u x u = — - f l u x G í i ( - , ỳ ) = d n c d n c □ 2.2.4. Tập dày
Định nghĩa 2.2.4. Tập mở íỉ được gọi là tập dày nếu có ít
hàm điều hòa dưới chấp nhận được đối với fỉ. Hoặc nếu tồn tại một hàm
điều hòa trên chấp nhận được u đối với íĩ, tức là tồn tại
hàm điều hòa
trên bị chặn u > 0 trên M sao cho lí — 1 bên ngoài íỉ và inf u = 0. Tập
íì mở íì là một D - d à y nếu có một hàm điều hòa dưới chấp nhận được V đối với ri (hoặc một hàm điều hòa trên chấp
nhăn được u) có tích phẫn Dirichlet hữu hạn J \ A v \2d f i < 00.
M
Mệnh đề 2.2.2. Tính dày ( D - d à y ) được bảo toàn khi ta mở
rộng ri hoặc loại một tập compact ra khỏi íì (trường hợp thứ hai, ta giả thiết íỉ là tập mở khác rỗng).
Chứng minh. Nếu íỉ' D Q khi đó mỗi hàm điều hòa dưới chấp nhận được V trong íỉ thì cũng là hàm điều hòa dưới chấp nhận được trong Q1. Nếu íỉ' = n\K, với К là một compact khi đó v' := (V — c)+, với с := s u pKv , là điều hòa dưới chấp nhận được trong íỉ;. Ta chỉ cần chứng tỏ rằng sup-ỉ/ > 0. Do Q Ỷ 0, nên V
Ỷ const. Do đó, từ nguyên lí cực trị mạnh, с < supnf do đó supt>' >0.
(i) Giả sứ Q có biên khác rỗng. Khi đó, hàm bçi = lim bk trong ri
k—>00
là hàm liên tục, điều hòa dưới trên M và điều hòa trong íỉ. Tương tự, hàm Sn là liên tục, điều hòa trên trên M và điều hòa trong íỉ.
(ii) Với tập mở thực sự bất kì íỉ, ta có bn = supòn', íì'
trong đó, cận trên đúng được lấy trên toàn miền íỉ' với biên trơn mà bao đóng bị giới hạn trong íỉ.
(%%%) Theo phép loại trừ, ta có, hoặc íĩ là không d à y ,
bçi=0 và =1 hoặc ri l à d à y , sup b n = 1 v à inf S n = 0. 2.2.5. Xác suất va chạm
1. Ta gọi Px là xác suất mà chuyển động Brown Xị đạt đếnmột tập F С M xác định bởi