Khai thác một số bài toán dãy số viết theo quy luật

Làm cho các em được tìm tòi, khám phá, pháthiện, luyện tập, khai thác và xử lý thông tin, đem lại niềm vui, hứng thú… Với việc dạy học môn Toán ở bậc THCS, người giáo viên cần hình thành

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm 2

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 3

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

19

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Định hướng về đổi mới phương pháp dạy học hiện nay là phải phát huytính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng nănglực tự học, lòng say mê học tập Làm cho các em được tìm tòi, khám phá, pháthiện, luyện tập, khai thác và xử lý thông tin, đem lại niềm vui, hứng thú…

Với việc dạy học môn Toán ở bậc THCS, người giáo viên cần hình thành

và rèn luyện cho các em khả năng tư duy sáng tạo từ một vấn đề có thể hìnhthành và phát triển thành các vấn đề khác sáng tạo hơn mở rộng hơn Để làmđược điều đó đòi hỏi vào sự linh hoạt, sáng tạo của giáo viên trong cách dạy,cách khai thác bài toán

Ở trường THCS chúng tôi nói riêng và các trường THCS nói chung, hầuhết các giáo viên trong quá trình giảng dạy chưa hình thành được cho học sinh

có các thói quen trên một cách thường xuyên Phần lớn chúng ta chưa khai thácđược nhiều ứng dụng từ một bài toán ở sách giáo khoa, sách bài tập để phát triểnthành một chuỗi các dạng bài toán có liên quan Trong giải Toán đang chủ yếudừng lại ở việc tìm ra kết quả bài toán Điều đó dẫn đến học sinh khó tìm được

sự liên kết và mối quan hệ giữa các kiến thức đã học Dẫn đến khi học sinh bắtđầu giải một bài toán dạng khác có liên quan thì khả năng phân tích, liên hệ tìmkiếm phương pháp để giải quyết vấn đề là còn nhiều hạn chế

Để giúp học sinh hình thành được các kỹ năng và vốn kiến thức cần thiết

để giải quyết được vấn đề trên, tôi đã suy nghĩ, trăn trở cùng với sự tư vấn giúp

đỡ nhiệt tình của các đồng nghiệp Tôi đã mạnh dạn nghiên cứu và áp dụng đề

tài: “Khai thác các bài toán dãy số viết theo quy luật” vào giải toán .

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài này để mở rộng kiến thức, nâng cao trình

độ chuyên môn nghiệp vụ cho bản thân

1.3 Đối tương nghiên cứu

*Đối tượng nghiên cứu:Toán học là môn đòi hỏi có sự tư duy và sáng tạo,song bài viết này tôi chủ yếu tập trung nghiên cứu các bài toán tính tổng theoquy luật Các bài toán được đưa ra trong đề tài là những bài của SGK, SBT, sáchnâng cao, các bài trong các đề thi học sinh giỏi

*Phạm vi áp dụng: Học sinh các lớp 6,7,8,9 trường THCS chúng tôi

*Thời gian nghiên cứu và hoàn thành đề tài: Từ tháng 10/2017 đến hết tháng 02/2019

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu qua quá trình giảng dạy, ôn thi học sinh giỏi ôn thi vào 10,dựa vào các đề thi của các tỉnh thành

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm

Với đề tài “Khai thác các bài toán dãy số viết theo quy luật” nhiều

sáng kiến đã làm nhưng điểm mới của sáng kiến này là phân loại các dạng bàitập đưa ra các bài tập từ dễ đến khó giáo viên và học sinh dễ học

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến khinh nghiệm

Theo quan điểm lí luận chung thì một trong những mục đích cần thiết và

cơ bản của phương pháp dạy học tích cực là hình thành thói quen luôn tìm tòi,suy nghĩ khám phá nhằm phát triển tư duy, phát triển khả năng tự học, tự nghiêncứu của người học Từ lí luận và những kiến thức mang tính chất lí thuyết ngườihọc có thể liên hệ và có khả năng vận dụng vào thực tiễn cuộc sống một cách cóhiệu quả

Đối với quá trình dạy học bộ môn toán thì các vấn đề trên lại càng đượcthể hiện rõ nét Để phát huy tính tích cực suy nghĩ, tìm tòi, sáng tạo, đòi hỏingười học phải nhìn nhận vấn đề theo nhiều góc độ, nhiều khía cạnh khác nhau

Từ phân tích tổng hợp đến tư duy khái quát các vấn đề để từ đó tìm tòi cái riêngtrong cái chung và ngược lại Do đó trong quá trình giảng dạy bộ môn Toánngười giáo viên phải cố gắng phát huy tối đa khả năng vận dụng, khả năng sángtạo của học sinh Một trong những phương pháp tốt để phát huy được các vấn đề

đó trong quá trình dạy học bộ môn Toán đó là rèn cho học sinh khai thác các bàitập điển hình ở sách giáo khoa, sách bài tập sách nâng cao để từ đó vận dụnggiải các bài toán khó hơn, phức tạp hơn ở nhiều dạng Toán khác nhau

Các bài toán dãy số viết theo quy luật được trình bày dưới dạng như mộtcông thức toán học có rất nhiều ứng dụng trong các bài toán liên quan đến tínhdãy số theo quy luật Mặt khác các bài toán dãy số viết theo quy luậtcũng mở rahướng giải quyết khác cho các bài toán chứng minh bất đẳng thức, giải phươngtrình Chính vì thế các bài toán dãy số viết theo quy luật đã làm giàu các dạngbài tập, làm phong phú thêm các cách giải cho một bài toán, gây được hứng thúcho học sinh trong việc giải toán, hình thành cho học sinh những ý tưởng hay,trau dồi tư duy và đầu óc sáng tạo cho học sinh Các bài toán dãy số viết theo

quy luật tạo cơ hội cho giáo viên dạy toán một phong cách nghiên cứu khoa học

có hiệu quả, góp phần đổi mới phương pháp dạy học trong thời kỳ mới

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trong nhiều năm dạy học và dạy toán, dạy thêm, ôn thi vào 10, ôn thi họcsinh giỏi các lớp, bản thân tôi cũng thấy lúng túng khi găp các bài tập dãy sốtính theo quy luật không phân rõ được các dạng bài tập và phương pháp giải do

đó nên trong quá trình giảng dạy không gây được hứng thú học tập cho họcsinh

2.3 Cỏc sỏng kiến kinh nghiệm hoạc cỏc giải phỏp đó sử dụng để giải quyết vấn đề.

A KHAI THÁC BÀI TOÁN TỐNG CÁC LŨY THỪA CỦA

n

a a

Suy ra A = 211 – 1

2 3B = 3 + 32 + 33 + + 3100 + 3101

Khi đó :

3B – B =(3 + 32 + 33 + + 3100 + 3101 ) – ( 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 3100) 2B = 3101 – 1

S =

4

1 ) 3 ( 2005

hai tổng để triệt tiêu

Dạng 2: Bài tập tính tổng các lũy thừa với số mũ cách đều

Khi dãy số tính tổng mà lũy thừa với số mũ cách đều ta có cách tính sau

Tổng B ta thấy quy luật là cộng rồi trừ các số ,các số mũ cũng cách nhau

3 đơn vị để triệt tiêu ta nhân B với 23 rồi cộng cho B

Từ bài tập 5 ta rút ra tổng quát như sau

+ −

− (2)

Công thức (2) cũng được vận dụng cách tính như công thức (1) là nhân

một số thích hợp rồi cộng hai tổng để triệt tiêu

Dựa vào công thức (1) ta có thể làm được nhiều dạng bài tập có các nội sau

Bài 6 : Cho S = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + + 29

Hãy so sánh S với 5 22

Muốn só sách được S với 5 22 Ta cần tính tổng S áp dụng vào công

thức (1) sau đó dùng phép so sánh của lũy thừa để đánh giá

Đê tính được số tự nhiên n trước hết ta đi tính tổng A theo công thức (1)

rồi dựa vào lũy thừa cùng cơ số để tính

Giải: Ta có 3A = 32 + 33 + 34 + + 399 + 3100

3A –A= (32 + 33 + 34 + + 399 + 3100)- (3 + 32 + 33 + 34 + + 399)

Với công thức (1) và mở rộng sang công thức (2) ta có thể khai thác được rất

nhiều tính tổng các lũy thừa

B KHAI THÁC BÀI TOÁN TỐNG CÁC PHÂN SỐ TÍNH THEO

QUY LUẬT

I LÝ THUYẾT

Bài tập dạng tổng quát

Cho hai phân số: ( , 0 )

1

1 1

>

∈ + n Z n

n

và n

Chứng tỏ rằng tích của hai phân số này bằng hiệu của chúng

Giải:Ta cần chứng tỏ

1

1 1 1

1

1 )

1 (

1 )

1 (

) 1 (

1 1

1 1

+

= +

= +

− +

= +

− +

+

= +

−

n n n

n n

n

n n n

n

n n

n

n n

n

1

1 1 1

1

>

∈ +

Như vậy: Hai tổng A và B là hai cách viết khác nhau ⇒ cách tính là như nhau.Giải

+

−

= +

1 1 ) (

Để viết mỗi phân số thành hiệu của hai phân số Số trừ của nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm sau rồi khử liên tiếp, Còn lại số bị trừ đầu tiên và số trừ cuối cùng, lúc đó phép tính được thực hiện dễ dàng

Câu b, c, d thực hiện tương tự câu a

* Khi tử của các phân số trong tổng vẫn không thay đổi nhưng không

bằng hiệu hai thừa số trong mẫu, các hiệu hai thừa số ở mẫu bằng nhau, thừa sốcuối mẫu trước bằng thừa số đầu ở mẫu tiếp theo, chẳng hạnta có bài toán sau

Bài 3 Tính tổng

a A =

50 49

5

13 12

5 12 11

b C =

203 200

3

17 14

3 14 11

+ + +

c D =

150 146

13

102 98

13 98

94

13 94 90

Hướng dẫn: Dùng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng và đưa

về dạng bài 1, bài 2

a A =

50 49

5

13 12

5 12 11

50 49

1

13 12

1 12 11

b B =

203 200

3

17 14

3 14 11

+ +

203 200

1

17 14

1 14 11

c C =

150 146

13

102 98

13 98

94

13 94 90

150 146

1

98 94

1 94 90

1 ( 4

Nhận thấy các số hạng trong tổng đều có tử bằng 1 nhưng mẫu không phải

là tích hai thừa số có hiệu bằng 1 ( 10 = 2.5; 15 = 3.5; 21 = 3.7; ) Vì vậy ta phải

áp dụng tính chất cơ bản của phân số, nhân cả tử và mẫu của phân số với 2 tađược các mẫu mới là 20; 30; 42; ;240 Ta thấy 20 = 4.5; 30 = 5.6; 42 = 6.7; Theo đúng quy luật của bài toán 2 và 3 ở trên

13 15 2

1 2 11

3 11 1

4 1 2

c/ C =

57 23

11 43 23

3 43 19

5 31 19

Với bài toán này thoạt nhìn thì không thấy quy luật như bài tập 1, bài tập

2 Với tư duy của bài tập 2 tử của phân số là 4 chính là hiệu 2 thừa số ở mẫu, vậy thừa số ở mẫu phải là 35 và 31 Tương tự với các phân số còn lại thừa số ở mẫu lần lượt là 35và 41, 41 và 50, 50 và 57

Khi đó ta nhân cả tử và mẫu với 5 ta được mẫu mới lần lượt là: 35 31; 35 41,

Câu b, c tương tự câu a.

* Với cách suy nghĩ theo quy luật của dạng bài toán như ở trên, bây giờ ta xét bài toán khó hơn

1 4

1

n n

B = 6(2n n n+(1)(2+2)n+3)

* Tương tự ta có bài toán:

Bài 8 Tính tổng

* Cũng với cách suy luận như trên, ta thấy mẫu số của mỗi phân số là tích của 4

số tự nhiên liên tiếp thì tử số của mỗi phân số phải là 3 lần khoảng cách các số ởmẫu

Nếu thay n bởi x thì ta có x x( 1+1)= −1x x1+1 ( với x ≠ 0,x≠ − 1) Điều này sẽ

giúp học sinh giải quyết một số bài toán nhằm rèn luyện phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 10 Rút gọn biểu thức: (với giả thiết các phân thức đều có nghĩa)

thức với mẫu là các bình phương

Áp dung công này ta có thể làm được bài tập sau

Bài 12 Rút gọn( Sách nâng cao phát triển toán 8)

thức với mẫu là các căn bậc hai

Từ đó ta có thể giải quyết bài toán sau:

Bài 13: Rút gọn(Bài tập sách 23 chuyên đề toán sơ cấp)

+ + ta giải các bài toán có nội dung khác nhưng khó

hơn như chứng minh đẳng thức

) 0 , 0 ( 1

ab

a b b a

Việc áp dụng công thức trên trong giải toán được sử dụng rất nhiều Chẳnghạn bài toán sau:

Bài 16 Cho biết a,b,c là các số nguyên đôi một khác nhau Chứng minh rằng:

2 2

1 1

1 1

1

1

1 1

1 1

1 1

) )(

( ) )(

( ) )(

(

đpcm VP a c c b b a b a c b a c b a c

b

a

c

a b c b c a b a b c a c a b c b

a c c

a b a

c b b

−

−

− +

Hướng dẫn: Tổng A và tổng B không theo quy luật n n( 1+1) do đó ta tìm cách sosách với một dãy số theo quy luật của phân số Ta nhận thấy như tổng A thì 2

n A

Hướng dẫn : Các tổng trên mẫu là những giai thừa, đưa mẫu về tích của các số

tự nhiên rồi cũng so sánh như bài tập 18

Dạng 5 Dạng toán giải phương trình.

Bài 21: Tìm số tự nhiên x, biết:

+ + + +…… + = (*)

Bài toán là yêu cầu tìm số tự nhiên x từ một đẳng thức, vế trái của đẳngthức là dãy cộng các phân số có tử là 1 và mẫu là các số tự nhiên khác nhau,phân số cuối cùng của dãy có mẫu là dạng tích của hai số tự nhiên liên tiếpgiống như ở tổng B của bài toán 1; vế phải của đẳng thức là một phân số có tửnhỏ hơn mẫu một đơn vị.

Trước hết hãy để ý các mẫu số: 6 = 2.3; 12 = 3.4 ; 20 = 4.5 ;………nhưvậy mẫu của mỗi phân số ở vế trái của đẳng thức đã cho là tích của hai số tựnhiên liên tiếp Dãy cộng trên chính là tổng B ở bài toán1 Từ đó suy ra cáchgiải

Bài 22: Tìm số tự nhiên x, bi ết:

+ + + + …… + = (**)

Giống như bài toán 23 , bài toán 24 cũng yêu cầu ta tìm x, nhưng vế trái của (**)khác vế trái của (*) ở chỗ phân số cuối cùng lại có tử bằng 2 còn mẫu số vẫn làdạng tích của hai số tự nhiên liên tiếp Vấn đề là làm thế nào để đưa được cácphân số ở vế trái của (**) thành các phân số như vế trái của (*)?

Ta giải như sau:

Xét phân số Ta có : = 2 = 2( - )

Như vậy ta cũng phải biến đổi các phân số ; ; ; ; … thành các phân số cũng có

tử bằng 2 và mẫu của mỗi phân số vẫn là tích của hai số tự nhiên liên tiếp

Để ý, ta có: = ; = = ; = = ; = = ;….(Áp dụng tính chất cơ bản của phânsố) Đến đây ta dễ dàng suy ra cách giải như bài toán 23

Bài 23 Giải các phương trình

⇔ + (x 2) 2 = ⇔ = − 0 x 2 ( không thoả mãn điều kiện)

Vậy phương trình (1) vô nghiệm

⇔ x2− 10x+ 21 0 =

x1 = 7 (thoả mãn điều kiện )

x2=3 (không thoả mãn điều kiện)

Vậy phương trình (2) có nghiệm x = 7

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Sáng kiến kinh nghiệm này chủ yếu được áp dụng trong quá trình dạy cácgiờ luyện tập, giờ tự chọn, bồi dưỡng học sinh và chấm chữa bài cho học sinh đểkịp rèn luyện kỹ năng làm bài cho học sinh Trong năm học vừa qua tôi áp dụng

đề tài này cho ôn thi học sinh giỏi lớp 6 và dạy thêm toán 6 và dạy học toán 6,toán 8, tôi đã nhận thấy có những hiệu quả nhất định

Trong quá trình nỗ lực nghiên cứu và hoàn thiện đề tài, với những nộidung mà tôi đã triển khai áp dụng tôi nghĩ rằng, vận dụng và khai thác các ứngdụng từ một bài toán ở SGK, SBT là vấn đề rất bổ ích và cần thiết Qua đó giúphọc sinh phát huy được tính tích cực, chủ động, tìm tòi, sáng tạo trong học tập,đồng thời tạo cho các em yêu thích và say mê bộ môn Toán

Để kiểm chứng tính hiệu quả của đề tài khi áp dụng vào thực tiễn, tôi tiếnhành tổ chức khảo sát đối với 22 học sinh lớp 6 trường THCS chúng tôi năm học2017-2018 trước khi áp dụng đề tài vào sau khi áp dụng xong đề tài Bài tậpđược ra theo các mức độ của học sinh Kết quả thu được như sau

1 Việc cung cấp cho học sinh một cách hệ thống nội dung và phươngpháp ứng dụng các dạng bài tập trên, hình thành cho học sinh thói quen học mộtbài toán dạng tổng quát từ đó biết áp dụng và khai thác bài toán dưới các dạngbài tập

2 Nhiều bài toán sau khi vận dụng hai bài toán tổng quát trên có một lờigiải đẹp đã tạo cho học sinh sự hứng thú khi giải toán, giúp các em tìm thấyniềm vui trong học toán, thấy được cái mới, cái hay trong toán

3 Với những học sinh trước đây rất sợ học toán thì đã tự tin hơn, chủ động,tích cực hơn trong những giờ học toán, nhất là các buổi ôn thi học sinh giỏi, dạythêm các em rất thích thú khi gặp các đề có liên quan đến các bài toán tính theoquy luật,góp phần nâng cao chất lượng dạy học theo hướng phát huy tính tíchcực của học sinh

Qua trao đổi với các đồng nghiệp ở trường, dạy thử nghiệm chuyên đề này

ở các tiết dạy thêm các lớp và các buổi ôn thi học sinh giỏi ở các lớp, học sinhtiếp thu tốt, 100% học sinh vận dụng thành thạo các dạng bài tập theo từng trình

Trong quá trình giảng dạy rất mong có những chuyên đề của phòng GD

mở về bồi dưỡng học sinh giỏi để các giáo viên được học hỏi nhau và nâng caotrình độ chuyên môn nghiệp vụ

Tôi xin chân thành cảm ơn !

XÁC NHẬN

CỦA HIỆU TRƯỞNG

Lê Trọng San

Cẩm Sơn, ngày 16 tháng 2 năm 2019

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mìnhviết, không sao chép nội dung của ngườikhác

Người viết

Hoàng Thị Huệ

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sáchgiáo khoa, sách bài tập Toán 6 tập 2

2 Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 6

3 Toán nâng cao và các chuyên đề toán 6

4 Nâng cao và phát triển toán 7

5 Nâng cao và phát triển toán 8

7 Đề thi học sinh giỏi các khối 6,7,8,9 của các tỉnh thành

DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC

CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

TT Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh )

Kết quả đánh giá xếp loại (A,

B, hoặc C)

Năm học đánh giá xếp loại 1

Các phương pháp giải bài

toán bằng cách lập hệ

phương trình

Phòng GD &

ĐT huyệnCẩm Thủy

2 Ứng dụng định lý Vi ét

Phòng GD &

ĐT huyệnCẩm Thủy