Khai thác một số bài toán dãy số viết theo quy luật

MỤC LỤC TT Nội dung MỞ ĐẦU Trang 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 19 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 20 3.1 Kết luận 20 3.2 Kiến nghị 20 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Định hướng đổi phương pháp dạy học phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo người học, bồi dưỡng lực tự học, lòng say mê học tập Làm cho em tìm tòi, khám phá, phát hiện, luyện tập, khai thác xử lý thông tin, đem lại niềm vui, hứng thú… Với việc dạy học mơn Tốn bậc THCS, người giáo viên cần hình thành rèn luyện cho em khả tư sáng tạo từ vấn đề hình thành phát triển thành vấn đề khác sáng tạo mở rộng Để làm điều đòi hỏi vào linh hoạt, sáng tạo giáo viên cách dạy, cách khai thác toán Ở trường THCS chúng tơi nói riêng trường THCS nói chung, hầu hết giáo viên trình giảng dạy chưa hình thành cho học sinh có thói quen cách thường xuyên Phần lớn chưa khai thác nhiều ứng dụng từ toán sách giáo khoa, sách tập để phát triển thành chuỗi dạng tốn có liên quan Trong giải Toán chủ yếu dừng lại việc tìm kết tốn Điều dẫn đến học sinh khó tìm liên kết mối quan hệ kiến thức học Dẫn đến học sinh bắt đầu giải toán dạng khác có liên quan khả phân tích, liên hệ tìm kiếm phương pháp để giải vấn đề nhiều hạn chế Để giúp học sinh hình thành kỹ vốn kiến thức cần thiết để giải vấn đề trên, suy nghĩ, trăn trở với tư vấn giúp đỡ nhiệt tình đồng nghiệp Tơi mạnh dạn nghiên cứu áp dụng đề tài: “Khai thác toán dãy số viết theo quy luật” vào giải tốn 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài để mở rộng kiến thức, nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ cho thân 1.3 Đối tương nghiên cứu *Đối tượng nghiên cứu:Tốn học mơn đòi hỏi có tư sáng tạo, song viết chủ yếu tập trung nghiên cứu tốn tính tổng theo quy luật Các toán đưa đề tài SGK, SBT, sách nâng cao, đề thi học sinh giỏi *Phạm vi áp dụng: Học sinh lớp 6,7,8,9 trường THCS chúng tơi *Thời gian nghiên cứu hồn thành đề tài: Từ tháng 10/2017 đến hết tháng 02/2019 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu qua trình giảng dạy, ôn thi học sinh giỏi ôn thi vào 10, dựa vào đề thi tỉnh thành 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm Với đề tài “Khai thác toán dãy số viết theo quy luật” nhiều sáng kiến làm điểm sáng kiến phân loại dạng tập đưa tập từ dễ đến khó giáo viên học sinh dễ học NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến khinh nghiệm Theo quan điểm lí luận chung mục đích cần thiết phương pháp dạy học tích cực hình thành thói quen ln tìm tòi, suy nghĩ khám phá nhằm phát triển tư duy, phát triển khả tự học, tự nghiên cứu người học Từ lí luận kiến thức mang tính chất lí thuyết người học liên hệ có khả vận dụng vào thực tiễn sống cách có hiệu Đối với q trình dạy học mơn tốn vấn đề lại thể rõ nét Để phát huy tính tích cực suy nghĩ, tìm tòi, sáng tạo, đòi hỏi người học phải nhìn nhận vấn đề theo nhiều góc độ, nhiều khía cạnh khác Từ phân tích tổng hợp đến tư khái qt vấn đề để từ tìm tòi riêng chung ngược lại Do q trình giảng dạy mơn Tốn người giáo viên phải cố gắng phát huy tối đa khả vận dụng, khả sáng tạo học sinh Một phương pháp tốt để phát huy vấn đề q trình dạy học mơn Tốn rèn cho học sinh khai thác tập điển hình sách giáo khoa, sách tập sách nâng cao để từ vận dụng giải tốn khó hơn, phức tạp nhiều dạng Toán khác Các toán dãy số viết theo quy luật trình bày dạng cơng thức tốn học có nhiều ứng dụng tốn liên quan đến tính dãy số theo quy luật Mặt khác toán dãy số viết theo quy luậtcũng mở hướng giải khác cho toán chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình Chính tốn dãy số viết theo quy luật làm giàu dạng tập, làm phong phú thêm cách giải cho toán, gây hứng thú cho học sinh việc giải tốn, hình thành cho học sinh ý tưởng hay, trau dồi tư đầu óc sáng tạo cho học sinh Các toán dãy số viết theo quy luật tạo hội cho giáo viên dạy tốn phong cách nghiên cứu khoa học có hiệu quả, góp phần đổi phương pháp dạy học thời kỳ 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong nhiều năm dạy học dạy tốn, dạy thêm, ơn thi vào 10, ôn thi học sinh giỏi lớp, thân thấy lúng túng găp tập dãy số tính theo quy luật khơng phân rõ dạng tập phương pháp giải nên q trình giảng dạy khơng gây hứng thú học tập cho học sinh 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoạc giải pháp sử dụng để giải vấn đề A KHAI THÁC BÀI TOÁN TỐNG CÁC LŨY THỪA CỦA CÁC SỐ TỰ NHIÊN I LÝ THUYẾT Bài tập dạng tổng quát Chứng minh a n +1 − 1 + a + a + a + + a = với a, n ∈ N ;a > a −1 n Giải: Nhân vế S với a ta có aS = a + a2 + a3 + a4 + + an + an+1 Rồi trừ S ta : aS – S =(a + a2 + a3 + a4 + + an + an+1) –( + a + a2 + a3 + + an ) ( a – 1)S = an+1 – VËy : + a + a2 + a3 + + an = II BÀI TẬP ỨNG DỤNG a n +1 − (1) a −1 Dạng 1: Bài tập tính tổng lũy thừa tăng dần Bài : TÝnh c¸c tỉng sau A = + + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210 B = + + 32 + 33 + 34 + + 3100 Gi¶i : Ta có 2A = + + + + 210 + 211 Khi ®ã : 2A – A = (2 + 22 + 23 + + 210 + 211 ) – (1 + + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210 ) Suy A = 211 – 3B = + 32 + 33 + + 3100 + 3101 Khi ®ã : 3B – B =(3 + 32 + 33 + + 3100 + 3101 ) – ( + + 32 + 33 + 34 + + 3100) 2B = 3101 – a 301 − VËy B = Bài 2: TÝnh tæng S = (-3)0 + (-3)1+ (-3)2 + .+ (-3)2004 Giải : S = (-3)0+(-3)1 + (-3)2+(-3)3+ + (-3)2004 -3S = (-3).[(-3)0+(-3)1+(-3)2 + +(-3)2004] = (-3)1+ (-3)2+ +(-3)2005] -3S-S=[(-3)1 + (-3)2+ +(-3)2005]-(3)0-(-3)1- -(-3)2005 -4S = (-3)2005 -1 S = (−3) 2005 − 2005 + = −4 Qua tập tập ta áp dụng cơng thức tập tổng qt để tính tổng ta nhân tổng với số thực phép trừ hai tổng để triệt tiêu Bài tập áp dụng Bài 3: Tính tổng sau a ) A = + + + + + 2007 b) B = + + 42 + 43 + + 4100 Giải: Giải tương tự hai tập Bài 4: Tính nhanh: A= 1 1 + + + + 10 2 2 ( Bài tập 443 trang 21 sách Nâng cao phát triển toán 6) Giải: 1 1 + + + + 2 2 1 1 1 1 1 1023 2A –A = 1+ + + + + -( + + + + 10 ) =1- 10 = 1= 2 2 2 2 1024 1024 2023 A= 2024 2A = 1+ Dạng 2: Bài tập tính tổng lũy thừa với số mũ cách Khi dãy số tính tổng mà lũy thừa với số mũ cách ta có cách tính sau Bài 5: Tính tổng sau: 1) A = + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 2) B = + 73 + 75 + 77 + 79 + + 799 Giải: 1) A = + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 Vấn đề đặt nhân hai vế A với số để trừ A loạt lũy thừa bị triệt tiêu?.Ta thấy số mũ liền cách hai đơn vị nên ta nhân A với 32, trừ cho A ta được: 32A = 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 + 3102 A = + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 32A – A = 3102 – A( 32 – 1) = 3102 – Vậy A = ( 3102 – 1): ) Tơng tự nh ta nhân hai vế B với 72 trừ cho B , ta đợc : 72B = 73 + 75 + 77 + 79 + + 799 + 7101 B = + 73 + 75 + 77 + 79 + + 799 72B – B = 7101 – , B( 72 – 1) = 7101 – VËy B = ( 7101 – 7) : 48 Bài 5: Tính tổng B= – 23 + 26 – 29 + + 296 - 299 Tổng B ta thấy quy luật cộng trừ số ,các số mũ cách đơn vị để triệt tiêu ta nhân B với 23 cộng cho B Từ tập ta rút tổng quát sau P = - ad + a2d – a3d + a2nd với a, n ∈ N ;a > Ta nhân hai vế P với ad Rồi cộng vế với vế ta P = a (2n +1)d − (2) ad −1 Công thức (2) vận dụng cách tính cơng thức (1) nhân số thích hợp cộng hai tổng để triệt tiêu Dựa vào cơng thức (1) ta làm nhiều dạng tập có nội sau Bài : Cho S = + + 22 + 23 + 24 + + 29 Hãy so sánh S với 22 Muốn só sách S với 22 Ta cần tính tổng S áp dụng vào cơng thức (1) sau dùng phép so sánh lũy thừa để đánh giá Giải: Ta có 2A = + 22 + 23 + + 210 Khi ®ã : 2A – A = (2 + 22 + 23 + + 210 ) – (1 + + 22 + + 29 ) Suy A = 210 – Mà 210 – < 210 = 22 28 = 28 < 5.28 Bài 7: Cho A = + 32 + 33 + 34 + + 399 Tìm số tự nhiên n biết 2A +3 = 3n Đê tính số tự nhiên n trước hết ta tính tổng A theo công thức (1) dựa vào lũy thừa số để tính Giải: Ta có 3A = 32 + 33 + 34 + + 399 + 3100 3A –A= (32 + 33 + 34 + + 399 + 3100)- (3 + 32 + 33 + 34 + + 399) Suy 2A = 3100 – Mà 2A +3 = 3n Hay 3100 – + = 3n ⇒ 3100 = 3n ⇒ n = 100 Với công thức (1) mở rộng sang cơng thức (2) ta khai thác nhiều tính tổng lũy thừa B KHAI THÁC BÀI TỐN TỐNG CÁC PHÂN SỐ TÍNH THEO QUY LUẬT I LÝ THUYẾT Bài tập dạng tổng quát Cho hai phân số: 1 ( n ∈ Z , n > 0) n n +1 Chứng tỏ tích hai phân số hiệu chúng Giải:Ta cần chứng tỏ 1 1 = − ( n ∈ Z , n > 0) n n +1 n n +1 (1) Biến đổi vế phải đẳng thức ta có: Vậy 1 n +1 n n +1− n 1 − = − = = = n n + n.(n + 1) n.(n + 1) n.( n + 1) n.( n + 1) n n + 1 1 = − (n ∈ Z , n > 0) n n +1 n n +1 Cách phát biểu khác toán: Chứng minh rằng: 1 = − (n ∈ Z , n > 0) n.( n + 1) n n + Phương pháp giải tập dạng khử liên tiếp II BÀI TẬP ỨNG DỤNG Dạng Tính tổng Bài Tính tổng sau phương pháp hợp lý 1 1 + + + + ( n ∈ Z , n > 0) 1.2 2.3 3.4 n.( n + 1) 1 1 B = + + + + (Đề thi kì II tốn ) 30 42 56 132 A= Trong tổng A: Mỗi tích phân số có tử mẫu chúng số tự nhiên liên tiếp có dạng: n n + Như tích có dạng Trong tổng B: Mỗi phân số có tử giống (bằng 1) mẫu phân số khác nhau, mẫu viết dạng n.(n+1) Như phân số có dạng Như vậy: Hai tổng A B hai cách viết khác ⇒ cách tính Giải A= 1 1 + + + + ( n ∈ Z , n > 0) 1.2 2.3 3.4 n.( n + 1) 1 1 1 = − + − + − + + − 2 3 n n +1 n = 1− = n +1 n +1 1 1 + + + + 30 42 56 132 1 1 = + + + + 5.6 6.7 7.8 11.12 1 1 1 1 = − + − + − + − 6 7 11 12 1 12 − = − = = 12 60 60 B= Bây ta xét toán tương tự sau: Bài Tính 2 2 + + + + + 3.5 5.7 7.9 9.11 37.39 3 3 + + + + + b, B = 4.7 7.10 10.13 13.16 73.76 4 4 + + + + + c, C = 3.7 7.11 11.15 15.19 107.111 5 5 + + + + + d, D = 3.8 8.13 13.18 18.23 103.108 a, A= Nhận xét: Phương pháp giải dùng công thức: m 1 = − b.(b + m) b b + m Để viết phân số thành hiệu hai phân số Số trừ nhóm trước số bị trừ nhóm sau khử liên tiếp, Còn lại số bị trừ số trừ cuối cùng, lúc phép tính thực dễ dàng Giải: a 2 2 + + + + + 3.5 5.7 7.9 9.11 37.39 1 1 1 1 1 A = − + − + − + − + + − 5 7 9 11 37 39 1 13 12 A= − = − = = 39 39 39 39 13 A= Câu b, c, d thực tương tự câu a * Khi tử phân số tổng không thay đổi không hiệu hai thừa số mẫu, hiệu hai thừa số mẫu nhau, thừa số cuối mẫu trước thừa số đầu mẫu tiếp theo, chẳng hạnta có tốn sau Bài Tính tổng 5 + + + 11 12 12.13 49.50 2 3 32 + + + b C = 11 14 14.17 200.203 13 13 13 13 + + + + c D = 90.94 94.98 98.102 146.150 a A = Hướng dẫn: Dùng tính chất phân phối phép nhân phép cộng đưa dạng 1, a A = 5 1 + + + + + + ) = 5( 11 12 12.13 49.50 11 12 12.13 49.50 b B = 1 32 32 32 + + + ) + + + = 3( 11 14 14.17 200.203 11 14 14.17 200.203 c C = 13 13 13 13 13 1 + + + + + + + ) = ( 90.94 94.98 98.102 146.150 90.94 94.98 146.150 Bài Tính tổng A= 1 1 + + + + 10 15 21 120 Nhận thấy số hạng tổng có tử mẫu khơng phải tích hai thừa số có hiệu ( 10 = 2.5; 15 = 3.5; 21 = 3.7; ) Vì ta phải áp dụng tính chất phân số, nhân tử mẫu phân số với ta mẫu 20; 30; 42; ;240 Ta thấy 20 = 4.5; 30 = 5.6; 42 = 6.7; Theo quy luật toán 1 1 2 2 + + + + = + + + + 10 15 21 120 20 30 42 240 1   A =  + + + + ÷ 15.16   4.5 5.6 6.7 A= 3 1  A =  − ÷ = = 16  16  Các tập tương tự: Bài Tính tổng a/ A = + + + 7.31 7.41 10.41 10.57 b/ B = 13 + + + + 2.1 1.11 11 2.15 15.4 c/ C = 11 + + + 19.31 19.43 23.43 23.57 ( Tập đề thi HSG lớp ) Với toán nhìn khơng thấy quy luật tập 1, tập Với tư tập tử phân hiệu thừa số mẫu, thừa số mẫu phải 35 31 Tương tự với phân số lại thừa số mẫu 35và 41, 41 50, 50 57 Khi ta nhân tử mẫu với ta mẫu là: 35 31; 35 41, 41 50, 50 57 Giải A = 9 + + + + + + = 5( ) 7.31 7.41 10.41 10.57 35.31 35.41 50.41 50.57 = 5( 1 1 1 1 22 − + − + − ) = 5( − ) = 35 41 41 50 50 57 35 57 49 Câu b, c tương tự câu a * Với cách suy nghĩ theo quy luật dạng toán trên, ta xét tốn khó Bài Tính tổng A= 1 1 + + + + với n∈ N, n > 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( n − 1).n.(n + 1) Hướng dẫn: Giải tương tự toán trên, viết hạng tử dạng hiệu Nhận xét: 1 = − (n − 1).n.(n + 1) (n − 1).n n(n + 1) với n∈ N, n > (Mẫu số phân số tích số tự nhiên liên tiếp, tử số phải lần khoảng cách số mẫu) Do ta có: A= 1 1 + + + + với n∈ N* 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( n − 1).n.(n + 1)   1 1 1 A =  − + − + + − ÷  1.2 2.3 2.3 3.4 ( n − 1).n n.(n + 1)  1  (n − 1)(n + 2) A =  − ÷=  n(n + 1)  4n(n + 1) * Với cách làm ta có tốn: Bài Tính tổng B= 1 1 + + + + với n ∈ N, n ≥ 1.3.5 3.5.7 5.7.9 (2n − 1).(2n + 1).(2n + 3) Nhận xét: 1 = − với n ∈ N, n ≥ (2n − 1)(2n + 1)(2n + 3) (2n − 1)(2n + 1) (2n + 1)(2n + 3) (Mẫu số phân số tích số tự nhiên lẻ liên tiếp, tử số phải lần khoảng cách số mẫu) Do ta có B= 1 1 + + + + với n ∈ N, n ≥ 1.3.5 3.5.7 5.7.9 (2n − 1).(2n + 1).(2n + 3)  1 1 1 1 1 B=  − + − + − + + − ÷  1.3 3.5 3.5 5.7 5.7 7.9 (2n − 1)(2n + 1) (2n + 1)(2n + 3)  B= n(n + 2)  1  =  − 6(2n + 1)(2n + 3)  (2n + 1)(2n + 3)  * Tương tự ta có tốn: Bài Tính tổng 10 1 1 = ( x + 1)( x + 2)( x + 3) + ( x + 2)( x + 3)( x + 4) + ( x + 3)( x + 4)( x + 5) + 2( x + 4)( x + 5) 1 1 1 ( − + − + ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 3)( x + 4) 1 − + ) ( x + 4)( x + 5) ( x + 4)( x + 5) 1 *Từ công thức n(n + 1) = n − n + (n ∈ Z , n > 0) tương tự ta xây dựng cơng = thức với mẫu bình phương 2k + 1 Ta có k − (k + 1)2 = k (k + 1)2 (k ∈ N * ) Chứng minh công thức sau: 2k + k + 2k + − k ( k + 1) − k 1 = = = 2− 2 2 2 k (k + 1) k (k + 1) k (k + 1) k (k + 1) 2 Áp dung công ta làm tập sau Bài 12 Rút gọn( Sách nâng cao phát triển toán 8) 2n + + + + + 2 2 B = (1.2) (2.3) (3.4) [ n(n + 1)] Hướng dẫn (n∈ N * ) 2n + B= (1.2)2 + (2.3)2 + (3.4)2 + + n(n + 1) [ ] 1 1 1 1 B= 12 − 22 + 22 − 32 + 32 − 42 + + n2 − (n + 1) n(n + 2) B=1- (n + 1)2 = (n + 1) 1 *Từ công thức n(n + 1) = n − n + (n ∈ Z , n > 0) tương tự ta xây dựng công thức với mẫu bậc hai Ta có: 1 − = (k ∈ N * ) k k + (k + 1) k + k k + Chứng minh công thức (k + 1) k − k k + (k + 1) k − k k + 1 = = = − 2 k ( k + 1) (k + 1) k + k k + (k + 1) k − k k + k k +1 Từ ta giải toán sau: Bài 13: Rút gọn(Bài tập sách 23 chuyên đề toán sơ cấp) A= 1 + + + +1 + 2000 1999 + 1999 2000 Hướng dẫn: A= 1 + + + +1 + 2000 1999 + 1999 2000 13 A= 1 1 1 − + − + + − 2 1999 2000 A= − 2000 − 20 − = = 2000 2000 20 Ngồi tốn tính tổng rút gọn áp dụng công thức 1 = − (n ∈ Z , n > 0) ta giải toán có nội dung khác khó n(n + 1) n n + chứng minh đẳng thức Dạng Chứng minh đẳng thức Bài 14 Chứng minh với n ∈ N ta ln có: 1 1 n +1 + + + + = 1.6 6.11 11.16 (5n + 1)(5n + 6) 5n + 4 4 2n + + + + + = 2.5 5.8 8.11 (3n + 2)(3n + 5) 3n + a, b, Hướng dẫn: Vế trái đẳng thức ta làm giống tính tổng, sau tính tổng vế phải Giải  1 1  5 5 + + + + =  + + + + ÷ 1.6 6.11 11.16 (5n + 1)(5n + 6)  1.6 6.11 11.16 (5n + 1)(5n + 6)   1 1 1  1  5n + n + =  − + − + − + + − = ÷ = 1 − ÷=  6 11 11 16 5n + 5n +   n +  5 n + n + = VPđpcm ( ) a )VT = Câu b giải tương tự Bài 15: Chứng minh 1 1 1 1 + + + + = + + + + 30 42 56 210 15 35 63 195 Hướng dẫn: Với cần biến đổi hai vế dựa vào công thức 1 = − (n ∈ Z , n > 0) n(n + 1) n n + Giải: 1 1 1 1 + + + + = + + + + = 30 42 56 210 5.6 6.7 7.8 14.15 1 1 1 1 1 = − + − + − + + − = − = 6 7 14 15 15 15 1 1 1 1 1 1 VP = + + + + + = + + + + + = 15 35 63 99 143 195 3.5 5.7 7.9 9.11 11.13 13.15 1 1 1  1  =  − + − + + − ÷ =  − ÷ = = 3 5 13 15   15  15 15 VT = Vậy VT = VP ( đpcm) 1 Từ công thức n(n + 1) = n − n + (n ∈ Z , n > 0) ta có công thức tổng quát hơn: 14 1 b−a − = (a ≠ 0, b ≠ 0) a b ab Việc áp dụng cơng thức giải tốn sử dụng nhiều Chẳng hạn toán sau: Bài 16 Cho biết a,b,c số nguyên đôi khác Chứng minh rằng: a −b b−c c−a 2 + + = + + (c − a )(c − b) ( a − b)(a − c) (b − c)(b − a ) a − b b − c c − a Nhận xét: a - b = (c - b) - (c - a) b - c = (a - c) - (a - b) c - a = (b - a) - (b - c) a −b b−c c−a 1 1 1 + + = − + − + − (c − a )(c − b) (a − b)(a − c) (b − c)(b − a ) c − a c − b a − b a − c b − c b − a 1 1 1 2 = + + + + + = + + = VP(đpcm) c −a b−c a −b c −a b−c a −b a −b b−c c −a VT = Dạng Chứng minh bất đẳng thức Ta giải tập khía cạch khác Bài 17: Chứng minh: A = + + +………… + < B = + + +……….+ < • Trước hết ta nhận xét: Hai biểu thức trường hợp cụ thể tốn tính tổng Như từ cách giải tốn tính tổng ta tính nhanh chóng giá trị biểu thứcA Đối với tổng B, tử phân số 36, mà 36 = 9.4, cách tính tổng B cho khơng khác cách tính tổng tập Từ nhận xét trên, ta có: A = (- + - + + ……+ - ) = ( - ) = = Do < = suy A < • B = 9( + + + ……+ ) = 9( - + - + - + ……+ - ) = 9( - ) = = Do < = Từ suy B < Bài 18 Chứng minh rằng: 1 1 1 a A = 32 + 52 + + 92 + + (2n + 1)2 < 1 1 + + + + < ∀n ∈ N * 2 n 1 1 c C = 42 + 62 + 82 + + 2n < ∀n ∈ N * ( ) b B = 15 Hướng dẫn: Tổng A tổng B khơng theo quy luật n(n + 1) ta tìm cách so sách với dãy số theo quy luật phân số Ta nhận thấy tổng A < 32 1 , 2< tương tự so sanh ta rút dãy số theo quy luật 2.4 4.6 Tổng B làm tương tự Giải: a, A = 1 1 1 1 1 + + + + + < + + + + 2 (2n + 1) 2.4 4.6 6.8 8.10 2n(2 n − 2) 11 1 1 1 1  A <  − + − + − + + + − ÷ 22 4 6 8 2n n +  11  A<  − ÷<  2n +  => A < 1 1 1 1 + + + + < + + + + 2 n 1.2 2.3 3.4 (n − 1).n 1 1 1 B < − + − + − + + − 2 3 n −1 n B < 1− < n => B <   1 1   1 1 c, C =  + + + + ÷ <  + + + + ÷ 2 n   1.2 2.3 3.4 (n − 1).n  b, B =  1 1 1 1 − + − + − + + − ÷   2 3 n −1 n  1 C < < 4 => C < C< Bài 19 Chứng minh 2! 2! 2! 2! + + + + < 3! 4! 5! n! 9 9 b, B = + + + + + < 10! 11! 12! 13! 1000! 9! a, A = Hướng dẫn : Các tổng mẫu giai thừa, đưa mẫu tích số tự nhiên so sánh tập 18 16 2! 2! 2! 2! + + + + 3! 4! 5! n! 1   A = 2! + + + + ÷ 1.2.3 1.2.3.4 1.2.3.4.5 1.2.3 100   a, A = 1   A < 2 + + + + ÷ 99.100   2.3 3.4 4.5 1  1 1 A <  − + − + + − ÷ 99 100  2 3 1 1 A <  − ÷< 2 n ⇒ Ađpcm < 1( ) 9 9 + + + + + 10! 11! 12! 13! 1000! 10 − 11 − 12 − 13 − 1000 − B< + + + + + 10! 11! 12! 13! 1000! 1000   1 1   10 11 12 B x+1 = 4010 hay x = 4010 – = 4009 Nhận xét: Cách giải tốn tìm x khơng khác so với cách giải toán giải trước Nếu tiếp tục sử dụng kết tốn trước em lại có tốn tương tự khác.Để giải tốn có mẫu đa thức cách biến đổi tập 11 Bài 23 Giải phương trình 1 1 + + + = −1 x + x x + 3x + x + x + x + x + 12 + + =− b, x − x + x − x + 15 x − 13 x + 40 a, (1) (2) Hướng dẫn: Phân tích mẫu thức thành nhân tử 1 1 + + + = −1 (1) x + x x + 3x + x + x + x + x + 12  x2 + x ≠  x ≠ 0; x ≠ −1   x ≠ −1; x ≠ −2  x + 3x + ≠  ⇔ ⇔ x ≠ { 0; −1; −2; −3; −4} Điều kiện:   x ≠ − 2; x ≠ − x + x + ≠    x + x + 12 ≠  x ≠ −3; x ≠ −4  a, 1 1 + + + = −1 x ( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) 1 1 1 1 ⇔ − + − + − + − = −1 x x +1 x +1 x + x + x + x + x + 1 ⇔ − = −1 ⇔ x + x = −4 ⇔ x + x + = x x+4 ⇔ ( x + 2) = ⇔ x = −2 ( không thoả mãn điều kiện) ⇔ (1) Vậy phương trình (1) vơ nghiệm b, + + =− x − x + x − x + 15 x − 13 x + 40  x − 5x + ≠  x ≠ 2; x ≠    x − x + 15 ≠ ⇔  x ≠ 3; x ≠ ⇔ x ≠ { 2;3;5;8}  x − 13x + 40 ≠  x ≠ 5; x ≠   Điều kiện : (2) ⇔ −6 + + = ( x − 2)( x − 3) ( x − 3)( x − 5) ( x − 5)( x − 8) 1 1  −6  − − + − + − ÷= ⇔  x − x −3 x −3 x −5 x −5 x −8  1 − = ⇔ x − x −8 19 ⇔ x − 10 x + 21 = x1 = (thoả mãn điều kiện ) x2=3 (không thoả mãn điều kiện) Vậy phương trình (2) có nghiệm x = 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm chủ yếu áp dụng trình dạy luyện tập, tự chọn, bồi dưỡng học sinh chấm chữa cho học sinh để kịp rèn luyện kỹ làm cho học sinh Trong năm học vừa qua áp dụng đề tài cho ôn thi học sinh giỏi lớp dạy thêm toán dạy học toán 6, toán 8, tơi nhận thấy có hiệu định Trong q trình nỗ lực nghiên cứu hồn thiện đề tài, với nội dung mà triển khai áp dụng nghĩ rằng, vận dụng khai thác ứng dụng từ toán SGK, SBT vấn đề bổ ích cần thiết Qua giúp học sinh phát huy tính tích cực, chủ động, tìm tòi, sáng tạo học tập, đồng thời tạo cho em yêu thích say mê mơn Tốn Để kiểm chứng tính hiệu đề tài áp dụng vào thực tiễn, tiến hành tổ chức khảo sát 22 học sinh lớp trường THCS năm học 2017-2018 trước áp dụng đề tài vào sau áp dụng xong đề tài Bài tập theo mức độ học sinh Kết thu sau Thời gian Giỏi Khá TB Yếu Trước áp dung 4,54% 18,18% 36,38% 40,9% Sau áp dụng 13,63% 27,27% 53,99% 13,63% 9.03% 9.09% 17,61% 27,27 % Tăng Giảm KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Những kinh nghiệm rút trình giảng dạy việc ứng dụng tốn theo trình tự trình bày năm gần tơi nhận thấy hiệu dạy học nâng lên rõ rệt so với năm trước là: Việc cung cấp cho học sinh cách hệ thống nội dung phương pháp ứng dụng dạng tập trên, hình thành cho học sinh thói quen học tốn dạng tổng qt từ biết áp dụng khai thác toán dạng tập 20 Nhiều toán sau vận dụng hai tốn tổng qt có lời giải đẹp tạo cho học sinh hứng thú giải tốn, giúp em tìm thấy niềm vui học toán, thấy mới, hay toán Với học sinh trước sợ học tốn tự tin hơn, chủ động, tích cực học toán, buổi ôn thi học sinh giỏi, dạy thêm em thích thú gặp đề có liên quan đến tốn tính theo quy luật,góp phần nâng cao chất lượng dạy học theo hướng phát huy tính tích cực học sinh Qua trao đổi với đồng nghiệp trường, dạy thử nghiệm chuyên đề tiết dạy thêm lớp buổi ôn thi học sinh giỏi lớp, học sinh tiếp thu tốt, 100% học sinh vận dụng thành thạo dạng tập theo trình độ học sinh 3.2 Kiến nghị Tuy nhiên trình độ chun mơn nhiều hạn chế kiến thức nâng cao, sáng kiên thiếu nhiều dạng tập cố gắng nhiều khơng tránh khỏi có phần thiếu sót Tơi kính mong góp ý hội đồng khoa học đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện Trong q trình giảng dạy mong có chuyên đề phòng GD mở bồi dưỡng học sinh giỏi để giáo viên học hỏi nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ Tơi xin chân thành cảm ơn ! XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Lê Trọng San Cẩm Sơn, ngày 16 tháng năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Hoàng Thị Huệ TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa, sách tập Toán tập 2 Bài tập nâng cao số chuyên đề toán Toán nâng cao chuyên đề toán Nâng cao phát triển toán Nâng cao phát triển toán Nâng cao phát triển toán 21 Đề thi học sinh giỏi khối 6,7,8,9 tỉnh thành 22 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Cấp đánh giá Kết xếp loại đánh giá (Phòng, Sở, xếp loại (A, Tỉnh ) B, C) Năm học đánh giá xếp loại TT Tên đề tài SKKN Các phương pháp giải tốn cách lập hệ phương trình Phòng GD & ĐT huyện Cẩm Thủy C 2009 – 2010 Ứng dụng định lý Vi ét Phòng GD & ĐT huyện Cẩm Thủy C 2016 - 2017 23 ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SKKN CỦA HĐKH NHÀ TRƯỜNG Xếp loại: TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG Chủ tịch 24 ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SKKN CỦA HĐKH PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN CẨM THỦY Xếp loại: TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC PHÒNG GD&ĐT Chủ tịch 25 ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SKKN CỦA HĐKH SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TỈNH THANH HÓA Xếp loại: TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC SỞ GD&ĐT Chủ tịch 26 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO CẨM THỦY SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHAI THÁC CÁC BÀI TOÁN DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Người thực hiện: Hoàng Thị Huệ Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Cẩm Sơn SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HĨA NĂM 2019 27 ... nhiều dạng Toán khác Các toán dãy số viết theo quy luật trình bày dạng cơng thức tốn học có nhiều ứng dụng tốn liên quan đến tính dãy số theo quy luật Mặt khác toán dãy số viết theo quy luậtcũng... tích theo chiều hướng đó, học sinh nắm cách làm tổng quát dạng tập có quy luật, mà mẫu số phân số tích 2;3; … hay nhiều số tự nhiên viết theo quy luật đó, mà xuất phát phân tích khai thác từ toán. .. Tổng A tổng B không theo quy luật n(n + 1) ta tìm cách so sách với dãy số theo quy luật phân số Ta nhận thấy tổng A < 32 1 , 2< tương tự so sanh ta rút dãy số theo quy luật 2.4 4.6 Tổng B làm tương