sáng kiến kinh nghiệm cấp thành phố phát hiện quy luật dãy phân số để hình thành lời giải

Trong phạm vi bài viết về tính giá trị của dãy phân số có quy luật tôi chia làm 2 dạng điển hình : Dạng 1 : Dãy các phân số mà mỗi phân số có mẫu là tích của hai số tự nhiên phân biệt kh

Céng hoµ x· héi chñ nghÜa ViÖt Nam §éc lËp - Tù do - H¹nh phóc

§¬n vÞ c«ng t¸c : Trêng THCS Cao Viªn - Thanh oai

Khen thëng : Giải ba hội thi giáo viên giỏi cấp thành phố n¨m häc 2008 - 2009

đồng nghiệp tôi tự đúc rút ra kinh nghiệm và mạnh dạn viết đề tài này

* Một điều chắc chắn rằng việc tỡm ra quy luật của mỗi bài toỏn sẽ kớch thớch hứng thỳ học tập , úc sỏng tạo của cỏc em , làm cho cỏc em khụng cảm thấy e ngại trước cỏc bài toỏn dạng này nữa Từ đú giỳp HS cú cơ sở khoa học khi phõn tớch , định hướng lời giải cho cỏc bài toỏn về dóy cỏc phõn số cú quy luật, Giỳp cỏc em củng cố được niềm tin và yờu mụn toỏn học hơn

Trong phạm vi bài viết về tính giá trị của dãy phân số có quy luật tôi chia làm 2 dạng điển hình :

Dạng 1 : Dãy các phân số mà mỗi phân số có mẫu là tích của hai số tự nhiên phân biệt khác 0

Dạng 2 : Dãy các phân số mà mỗi phân số có mẫu là luỹ thừa của một số tự nhiên khác 0 , khác 1

3- Đối tợng nghiên cứu và phạm vi áp dụng :

+ Đề tài này của tôi đợc thực hiện trong quá trình giảng dạy và bồi dỡng HS khá , giỏi lớp 6 bao gồm

Năm học 2007 - 2008 : 50 học sinh

Năm học 2008 - 2009 : 45 học sinh

+ phạm vi áp dụng : chơng trình lớp 6 phần phân số

4- Thời gian nghiên cứu :

Đợc chia làm 3 giai đoạn chính :

1 Giai đoạn 1 :

Bắt đầu từ ngày 20 tháng 3 năm 2008 đến ngày 25 tháng 4 năm 2008

2 Giai đoạn 2 :

Bắt đầu từ ngày 15 tháng 3 năm 2009 đến ngày 01 tháng 4 năm 2009

3 Giai đoạn 3 : Hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm ngày 3 tháng 4 năm 2009

5- Phơng pháp nghiên cứu :

- Đọc sách, tham khảo tài liệu

- Thực tế chuyên đề, thảo luận cùng đồng nghiệp

- Dạy học thực tiễn trên lớp để rút ra kinh nghiệm

- Thông qua học tập BDTX các chu kỳ

Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy bộ môn toán của các giáo viên có kinh nghiệm của ờng trong những năm học trớc và vốn kinh nghiệm của bản thân đã rút ra đợc một số vấn đề

tr-có liên quan đến nội dung của sáng kiến

Trong những năm học vừa qua chúng tôi đã quan tâm đến những vấn đề mà học sinh mắc phải Qua những giờ học sinh làm bài tập tại lớp, qua các bài kiểm tra dới các hình thức khác nhau, bớc đầu tôi đã nắm đợc khó khăn khi phải giải bài tập dạng này Sau đó tôi tổng hợp lại, phân loại thành hai nhóm cơ bản

Trong quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã sử dụng những phơng pháp sau :

- Quan sát trực tiếp các đối tợng học sinh để phát hiện ra những vấn đề mà học sinh thấy lúng túng, khó khăn khi giáo viên yêu cầu giải quyết vấn đề đó

- Điều tra toàn diện các đối tợng học sinh với tổng số 95 học sinh để thống kê học lực của học sinh Tìm hiểu tâm lý của các em khi học môn toán, quan điểm của các em khi tìm hiểu những vấn đề về giải toán có liên quan đến tính giá trị của các biểu thức là dãy các phân số có quy luật

- Nghiên cứu sản phẩm hoạt động của GV và HS để phát hiện trình độ nhận thức,

ph-ơng pháp và chất lợng hoạt động nhằm tìm giải pháp nâng cao chất lợng giáo dục

- Thực nghiệm giáo dục trong khi giải bài mới, trong các tiết luyện tập, tiết trả bài kiểm tra tôi đã đa vấn đề này ra hớng dẫn học sinh cùng trao đổi, thảo luận bằng nhiều hình thức khác nhau nh hoạt động nhóm, giảng giải, vấn đáp gợi mở để học sinh khắc sâu kiến thức Từ đó hình thành lời giải Yêu cầu học sinh giải một số bài tập theo nội dung trong sách giáo khoa , sách tham khảo rồi đa thêm vào đó những yếu tố mới, những điều kiện khác để xem xét mức độ nhận thức và suy luận của học sinh

- Phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục khi áp dụng nội dung đang nghiên cứu vào thực tiễn giảng dạy nhằm hớng dẫn HS tìm ra quy luật của các bài toán dạng này Từ

đó tổ chức có hiệu quả hơn trong các giờ dạy tiếp theo

* Đồ dùng : Bảng phụ , phấn màu , phiếu học tập , phiếu sinh hoạt nhóm …

* Tài liệu tham khảo :

1 Sách giáo khoa , sách bài tập lớp 6 ( tập 2 - BGD&ĐT)

2 Sách “Nâng cao và phát triển Toán 6 ” (Tác giả : Vũ Hữu Bình )

3 Tài liệu bồi dỡng thờng xuyên cho GV THCS chu kỳ III ( 2004-2007) môn toán của

Bộ giáo dục và Đào tạo

4 Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục trung học cơ sở môn toán của Bộ giáo dục và Đào tạo

5 Giáo trình " Phơng pháp dạy học toán" tác giả Hoàng Chúng - BGD&ĐT

6 Một số tạp trí toán học

B Quá trình thực hiện đề tài

I - Khảo sát hiện trạng của học sinh khi cha thực hiện

Khi cha thực hiện đề tài , trong giảng dạy lý thuyết , luyện tập , ôn tập tôi chủ yếu cho

HS làm một số bài tập đơn giản sau đó tổng quát thành các bài toán phải tìm ra các quy luật , quy tắc thì mới giải đợc Đa số HS còn lúng túng , không có phơng pháp giải , Học sinh cha biết tự tìm tòi , khám phá kiến thức , không có sự kết hợp giữa cá nhân và hoạt động nhóm , tập thể để thống nhất phơng pháp giải Vì thế kết quả còn nhiều hạn chế Kết quảt khảo sát cho thấy :

II Biện pháp tác động giáo dục :

- Trớc hết phải áp dụng đúng phơng pháp đổi mới trong mỗi giờ học Hớng dẫn học sinh biết khám phá , tìm tòi , suy nghĩ

- Tăng cờng luyện tập trong loại bài tập , đa ra phơng pháp giải phù hợp

- Soạn bài đúng phơng pháp , đúng quy định , sử dụng các dồ dùng dạy học : Phiếu , bảngphụ , máy tính , phấn màu , phù hợp với yêu cầu mục tiêu của bài toán và hoàn cảnh…hiện có

- Ra câu hỏi hợp lí , đa ra các hoạt động hợp lí nhằm phát huy tính độc lập , sáng tạo của học sinhgiúp các em tự khám phá , bớc đầu làm quen với phơng pháp tự nghiên cứu

- Phân chia nhóm học sinh để các em kiểm tra , giúp đỡ , kích thích nhau trong học tập

- Tiến hành thi đua giành nhiều điểm tôt , biểu dơng khen thởng những em những nhóm học tốt

- Về phía học sinh

+ chuẩn bị bài , có đầy đủ đồ dùng khi đến lớp

+ Biết rút ra những nhận xét sau mỗi bài tập , biết so sánh , liên hệ giữa kiến thức cũ

và mới

III Giải pháp khoa học

Trong giảng dạy tôi cho học sinh thấy cùng một nội dung có nhiều dạng bài dới nhiều hình thức Vì thế đầu tiên là học sinh phải biết nhận dạng các bài tập cùng loại , phơng pháp giải Học sinh thấy đợc cái chung của dạng này và dạng kia , các khác của dạng này

và dạng kia để thêm bớc này , bớt bớc kia hoặc mở rộng nâng cao trong bài

Đối với bài toán về tính giá trị của biểu thức là dãy các phân số tôi đa ra hai dãy phân

* Dạng 1 : Dãy các phân số mà mỗi phân số có mẫu là tích của hai số tự nhiên phân biệt khác 0

Bài toán 1

Để phát triển t duy cho học sinh

Hỏi : Ngoài cách tính giá trị của biểu thức A theo quy tắc nh trên em còn cách nào tính khác ?

* Hớng dẫn :

- Nhận xét mỗi phân số trong dãy

- Phân tích mỗi phân số trong dãy thành hiệu của hai phân số mà khi thay vào A làm xuất hiện các số đối nhau Chẳng hạn :

1 1 1

5.6 = − 5 6 Khi đó biểu thc cần tính:

Nhận xét : Mỗi phân số trong dãy đều có tính chất sau :

Mỗi phân số trong biểu thức B đều có tử số bằng nhau và bằng 1 , mẫu số là tích hai số

tự nhiên liên tiếp và hiệu ( số lớn – số nhỏ ) của chúng bằng nhau và bằng tử số

Cụ thể : 3-2 = 4 -3 = 5 – 4 = = 50 – 49 = 1

Do đó ta có thể tổng quát hoá mỗi phân số trong biểu thức B đều có dạng: 1

( 1)

n n+ với (n N n∈ ; > 1)

ở đây sau khi ta xác định đợc dạng tổng quát của mỗi phân số Thay lần lợt các giá trị n

1 1 1

49.50 = 49 50 − Khi đó biểu thc cần tính:

* Nhận xét quy luật và phân tích lời giải của bài toán :

- Quy luật của bài toán : Mỗi phân số trong dãy đều đợc phân tích thành hiệu hai

phân số Khi đó biểu thức cần tính là một dãy các phân số mà kể từ phân số thứ hai trở đi

đều bị triệt tiêu bởi phân số kề sau nó ( hai phân số đối nhau )

Vậy với quy luật nh trên thì biểu thức B chỉ còn hiệu của hai phân số đầu và phân số cuối của dãy

- Dấu hiệu trong bài toán 1 , 2 là mỗi phân số trong biểu thức A , B đều có tử số bằng

nhau , mẫu số là tích hai số tự nhiên liên tiếp và hiệu ( số lớn – số nhỏ ) của chúng bằng nhau và bằng tử số

Cụ thể : 3- 2 = 4 - 3 = 5 – 4 = = 50 – 49 = 1

Từ đó ta có :

*

Bài toán tổng quát I:

Tính giá trị của biểu thức : 1 1 1 1

+ + (I)

Dấu hiệu : mỗi phân số trong biểu thức đều có tử số bằng nhau , mẫu số là tích hai số

tự nhiên và hiệu ( số lớn – số nhỏ ) của chúng bằng nhau và bằng tử số của chúng ( tơng

tự nh ở bài toán 1 , bài toán 2 )

Cụ thể : 3 - 1 = 5 - 3 = 7 – 5 =……….= 2009 - 2007 = 2

Nh vậy ta có thể sử dụng quy luật tơng tự bài toán 2

- tìm ra phân số tổng quát biểu thị các phân số trong dãy là: 2

Với m = 1 ta có (1) Vậy (3) là đẳng thức tổng quát của (1)

Khi đó ta có lời giải của bài toán 3 nh sau

Cần chỳ ý rằng dấu hiệu trong các bài toỏn 1 , 2, 3 là mỗi phõn số trong dóy đều cớ tử

số bằng nhau và bằng hiệu của hai thừa số trong mẫu mỗi của mỗi phân số (số lớn - số nhỏ )

Muốn giải bài toán dạng trên ta phải xác định dạng tổng quát của mỗi phân số trong dãy phải có dạng : n n m( m+ )

Sau đó ta sẽ biểu thị mỗi phân số thành hiệu hai phân số theo công thức :

n n m( m+ ) = 1

n - 1

n m+ với (n m N, ∈ *) (3)

Từ đó ta sẽ tính đợc giá trị của biểu thức một cách dễ dàng

Vậy đẳng thức (3) chính là dạng tổng quát của đẳng thức ( 1) và (2)

Nhng trong thực hành ta lại có thể gặp những bài toán có dạng trên mỗi phõn số trong dóy đều cớ tử số bằng nhau nhng khụng bằng hiệu của hai thừa số trong mẫu mỗi phõn số (số lớn - số nhỏ ) Chẳng hạn nh bài toán 4 , bài toán 5 sau đây

Để tính D ta phải biến đổi các phân số trong D để có thể áp dụng đợc (3)

Ta thấy đặc điểm ở mẫu : 5 -1 = 9 - 4 = 13 – 9 = = 2009 – 2005 = 4 ≠ 1 ( tử số mỗi phân số )

Vậy ta phải biến đổi mỗi phân số trong dãy về dạng có thể sử dụng đợc đẳng thức (3) Muốn vậy ta phải làm xuất hiện tử số của mỗi phân số trong dãy là 4 bằng cách nhân cả

tử và mẫu của mỗi phân số với 4 Từ đó hình thành lời giải

• Phơng pháp để giải bài toán chứa các dãy số có :

Quy luật 1 : mỗi phân số trong biểu thức đều có tử số bằng nhau , mẫu số là tích hai

số tự nhiên và hiệu ( số lớn – số nhỏ ) của chúng bằng nhau và bằng tử số của chúng ( t

-ơng tự nh ở bài toán 1 , bài toán 2, bài toán 3 , bài toán 4 , bài toán 5 )

+ áp dụng các phép biến đổi đa về một trong các dạng bài toán 1 , 2 , 3, 4, 5 Từ đó tính

đợc giá trị của biểu thức

• Lu ý : Đôi khi những bài toán cha cho trực tiếp mẫu là tích của hai số tự nhiên phân biệt , Ta cần phải phân tích mẫu của mỗi phân số trong dãy thành tích hai số tự nhiên Sau đó áp dụng dạng toán trên để tính

x x

x x

x x x

x x

3( 3) 924

924 3 3

3 308

308 3 305

Dạng 2 : Tính giá trị của biểu thức phân số có quy luật trong

đó mẫu số của mỗi phân số là luỹ thừa của một số tự nhiên khác 0

và 1

1 Kiến thức trọng tâm trong khi đi làm dạng baì tập này ta có thể tóm lợc nh sau:

- Định nghĩa về luỹ thừa là số tự nhiên

- HS biết thực hiện thành thạo phép toán quy đồng mẫu số nhiều phân số

- HS biết cách so sánh hai hay nhiều phân số, một số với một phân số

- Các kỹ năng tinh toán , các phép biến đổi phân số đã học

Sau đây ta sẽ đi vào nhng bài toán cụ thể trong dạng này mà ta hay găp khi giải toán phân số,cũng nh cách giải tối u cho nhng bài toán đó

- Viết đầy đủ dãy số trên

- Khai triển các luỹ thừa

- Quy đồng mẫu số các phân số

- Thực hiện phép cộng các phân số cùng mẫu theo quy tắc

Hỏi: Ngoài cách làm trên còn cách nào khác ?

*Hớng dẫn :

- Khai triển các luỹ thừa

- Nhận xét : mỗi phân số trong tổng đều phân tích đợc thành hiệu hai phân số

Cách 3 :

*Nhận xét: Về quy luật của các phân số trong dây là mẫu của mỗi phân số là các luỹ thừa

tăng đần của cơ số 2 Do đó phân số tông quát biểu thị đợc tất cả các phân số trong mâu số

là: ” 1

2n ” với n = 1;2;3;4;5;6;7

Chính vì đặc điểm lý do trên mà ta đã tìm tòi ra lời giải của bài toán trên nh sau:

*H ớng dẫn cách giải

B1: Trớc hết ta đi nhân cả hai vế của biểu thức M với cơ số của mẫu ( cụ thể trong bài này

ta đi nhân cả hai vế với số 2.) việc nhân cả hai vế của M với 2 để nhằm mục đích ta tạo ra một biểu thức 2M là dây các phân số có tử số là số 1 còn mẫu số là luỹ thừa của cơ số 2 nhng có số mũ lùi hơn so với M một đơn vị

B2: Thc hiện phép trừ theo vế với hai biểu thc 2M và M

và nhợc điểm riêng

*Cách 1 Đơn giản dễ thực hiện nhng gặp khó khăn khi nhng bài toán có mẫu của phân số

là nhng luỹ thừa có số mũ lớn

*Cách 2 : Trong bài toán này có thể sử dụng đợc dễ dàng vì ta có thể biểu diễn mỗi phân

số thành hiệu hai phân số mà khi thay chúng vào biểu thức cần tính thì có thể thu gọn đợc Nhng đối với bài toán khác thì sử dụng 2 cách nh trên để giải thì ta cung sẽ bị găp khó khăn

*Cách 3: Tôi thấy là một cách giải hay và u thế của cách giải này là có thể áp dụng cho tất

cả các bài toán có đặc điểm tơng tự nh bài toán 1 trong dạng toán 2 này Theo tôi đây là một cách giải tổng quát có thể áp dụng cho các bài toán có đặc điểm tính chất nh trên Chẳng han nh bài bài toán sau ta sẽ thấy là việc sử dụng cách 1 cũng nh cách 2 đều gặp rất nhiều khó khăn

1 Nhận xét mỗi phân số trong tổng trên ? So sánh với bài toán 1 ?

2 Vậy có thể áp dụng tính biểu thức N cả 3 cách nh ở bài toán 1 không ?

3 Muốn tính đợc biểu thức N ta làm nh thế nào ?

• Hớng dẫn

áp dụng theo cách 3 ở trên ta có trình tự bớc giải theo thứ tự sau:

- Nhân cả hai vế của biểu thức N với 2008

- Thực hiện phép trừ theo vế 2N với N Từ đó ta tính đợc giá trị của N ?

2009 2009 2009 2009 2009

Nh vậy ta thấy :với m =1; a =2; n =7 thì ta đợc bài toán 1

Với m =1; a =2008; n =2009 thì ta đợc bài toán 2

* Mở rộng : Trong khi làm toán nhiều khi ta gặp phải những bài toán tơng tự nh trên

nh-ng tử số của các phân số khônh-ng bănh-ng nhau thì ta vấn áp dụnh-ng đợc cách giải trên Cụ thể ta xét ví dụ sau :

Bài toán 3

2 C = 1

2 + 12 13 20061

2 + 2 + + 2 - 20062007

2 (3) Đặt D = 1

2 + 12 13 20061

2 + 2 + + 2 ( Tính giá trị của D trực tiếp theo cách giải của bài toán tổng quát 1 )

1 1

2006

D= − (4) Thay (4 ) vào (3) ta đợc :

2 C = 2006 2007

1 2006 1

B2: Bằng phơng pháp biến đổi ta tìm cách phân tích , nhân , chia , thêm bớt một số nào đó mà sau khi thực hiện phép tính chúng phải bị rút gọn với nhau để bài toán tính toán trở nên đơn giản , dễ thực hiện

Trên đây là hai dạng toán mà ta có thể dễ dàng nhìn ra đợc ngay quy luật của chúng và hình thành cách giải Tuy nhiên trong thực tế chúng ta gặp phải những bài toán phát hiện

ra quy luật của chúng không hề đơn giản mà không có một cách giải nào chung

Vậy tuỳ vào mỗi bài toán mà hớng dẫn học sinh có những dấu hiệu riêng để nhận ra quy luật và từ đó tìm lời giải của bài toán

Ta xét một số bài toán điển hình sau :

* Hớng dẫn :

+ Nhận xét : Ta thấy (n+1)2 = n(n+2) +1

Mà mỗi phân số trong tổng đều có dạng :

2 ( 1) ( 2)

n

n n

+ + Mặt khác :

2 ( 1) ( 2)

n

n n

+ + =

n n

n

n n

+ +

1 1 1 1

( 2)

n

n n

+ +

1 1 1 1

S = 21 32 43 54 20072006

2 + 2 + 2 + 2 + + 2Hãy so sánh S với 3

- Xác định đợc công thức tổng quát biểu thị mỗi phân số trong dãy trên

- phân tích mỗi phân số thành hiệu hai phân số

- Từ đó , sau khi thực hiện các phép toán ta tính đợc S

Nhận xét : Với mọi số tự nhiên n > 2 ta luôn có