Một số phương pháp tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

I MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Bài tốn tính giới hạn dãy số cho cơng thức truy hồi tốn khó học sinh trung học phổ thơng nói chung học sinh khối 11 nói riêng Bài tốn thường xuất đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, đề thi Olympic 30 tháng 4, đề thi quốc gia Liên quan đến dạng tốn có nhiều sách giáo khoa, sách tham khảo đề cập đến, nhiên sách đề cập kỹ sở lý thuyết để dẫn đến phương pháp giải cụ thể phù hợp với kiến thức phổ thông chưa nhiều Đôi đưa công thức, quy trình giải cách áp đặt, “thiếu tự nhiên” Do khơng có đủ sở lý thuyết nên áp dụng kết học sinh thường thắc mắc “tại lại có vậy?” hay “Sao lại có kết đó?” ; Cũng khơng có đủ sơ lý thuyết nên em học sinh khó nhớ cơng thức, khơng tìm mối liên hệ tốn, khơng tự xây dựng lớp toán dạng quy trình để giải tốn đó; Điều làm ảnh hưởng đến khả tìm tịi sáng tạo tốn học sinh – yếu tố quan trọng người học tốn Trong q trình giảng dạy chương trình tốn lớp 11 bồi dưỡng học sinh giỏi, tơi tìm tịi đúc kết rút số phương pháp để tìm giới hạn tốn dạng Vì tơi chọn đề tài làm sáng kiến kinh nghiệm : “Một số phương pháp tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi” 1.2 Mục đích nghiên cứu Trong phạm vi đề tài tơi khơng có tham vọng đưa hệ thống kiến thức hoàn tồn mới, kết mặt tốn học; tơi trình bày kết mà trình dạy học dãy số giới hạn tơi tích luỹ, tìm tịi; nhằm hướng tới mục đích giúp em học sinh nắm số phương pháp để tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi Trên sở từ số tốn điển hình tơi đưa phương pháp giải cho tốn nhóm tốn tương tự; đồng thời giúp học sinh khái quát hóa để toán đưa phương pháp giải cho tốn đó, qua giúp rèn luyện, phát triển tư giải toán cho học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Học sinh lớp 11A2 11A8 trường THPT Lê Hồn - Thọ Xn - Thanh Hố 1.4 Phương pháp nghiên cứu + Nghiên cứu lý luận dạy học, tìm hiểu tài liệu liên quan + Thực hành qua dạy + Tổng kết, đánh giá qua năm học 2016-2017 đối tượng học sinh lớp 11A2 11A8 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm Theo quan điểm cá nhân đề tài có số điểm sau: Trang + Hệ thống lại cho học sinh ba phương pháp để tìm giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi u1 n 1d Sn=u1+ u2+ u3+ + un = + Xuất phát từ số tốn trình bày sách giáo khoa, hướng dẫn học sinh giải Trên sở cho học sinh nhận dạng loại tập đưa phương pháp giải tương ứng; đồng thời gợi ý để học sinh tự tìm số kết giải toán tổng quát hơn, phức tạp II NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Một số định nghĩa liên quan đến dãy số Định nghĩa 1.1 Dãy số hàm số xác định tập số nguyên dương Ký hiệu u : * n un Định nghĩa 1.2 Cho dãy (un ) Dãy (un ) gọi dãy số tăng (đơn điệu tăng) u n u n n * Dãy (un ) gọi dãy số giảm (đơn điệu giảm) u n u n n * [4] Định nghĩa 1.3 Cho dãy số (un ) Dãy (un ) gọi bị chặn tồn số M cho un M n * m Dãy (un ) gọi bị chặn tồn số cho un m n * Dãy (un ) vừa bị chặn vừa bị chặn gọi bị chặn [4] 2.1.2 Cấp số cộng 2.1 Định nghĩa Cấp số cộng dãy số (hữu hạn vô hạn) thoả mãn: un+1=un+d ( n N * ), d số thực khơng đổi gọi “cơng sai” 2.2 Tính chất Số hạng tổng quát cấp số cộng: un = Tổng n số hạng đầu cấp số cộng: n n 2u1 n d = u1 un [4] 2.1.3 Cấp số nhân 3.1 Định nghĩa Cấp số nhân dãy số (hữu hạn hay vô hạn) thoả mãn: un+1 = un q ( n N * ); q số không đổi gọi “công bội ” 3.2 Tính chất Số hạng tổng quát:un = u1 qn-1 Tổng n số hạng đầu cấp số nhân n Sn=u1+ u2+ u3+ + un = u1 q , (q 1) q (Nếu q = hiển nhiên S = n.u1)[4] 2.1.4.Giới hạn dãy số Trang Định nghĩa 4.1 Dãy số (un ) gọi có giới hạn với số dương nhỏ tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở có trị tuyệt đối nhỏ số dương Kí hiệu lim un un Định nghĩa 4.2 Dãy số (un ) gọi có giới hạn số thực L lim(u n L) Kí hiệu lim u n L u n L [5] Một số giới hạn lim c c lim lim qn với q nn n n Định lí 4.1 (Định lý giới hạn kẹp giữa) Cho hai dãy số ( xn ), ( yn ) Nếu xn y n n lim yn lim xn [5] Định lý mở rộng: Cho ba dãy số ( xn ), ( y n ), ( z n ) thỏa mãn n0: n n0 z n xn lim y n lim z n L lim x L Khi n [5] yn Định lý 4.2 Dãy số tăng bị chặn có giới hạn hữu hạn Dãy số giảm bị chặn có giới hạn hữu hạn”[1] lim u Nhận xét: Giả sử dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn n n lim u n1 n 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Khi dạy chủ đề dãy số giới hạn dãy số ta bắt gặp số toán sách giáo khoa lớp 11 số đề thi học sinh giỏi sau: u 10 Bài tập Cho dãy số (un) xác định sau: n1 a) Chứng minh dãy số (vn) xác định b) Tính limun”[1] Bài tập Cho dãy số (un ) xác định un 3, n 15 cấp số nhân un u un un , n u Bài tập Cho dãy số (un) xác định u , n a) CMR: u n u 3, n b) CMR: n Tính limun [1] un u Trang n1 u n un , n Tính lim un [2] u Bài tập Cho dãy số (un ) xác định Tính lim un u n1 30 30u 3u n 2011, n n [8] ( Đề thi HSG khối 11 tỉnh Quảng Bình năm 2010 – 2011) un Sau nghiên cứu Sách giáo khoa giải toán ta rút số nhận xét sau đây: Đây toán tìm giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi, học sinh thường lúng túng việc tìm giải cho toán Nếu đề không cho câu a) mà yêu cầu giải câu b) tốn trở nên khó học sinh Việc đề yêu cầu thêm câu a) gợi ý giúp học sinh xác định hướng giải cho tốn Cụ thể xác định công thức tổng quát dãy số (un) nhờ vào việc tìm cơng thức tổng qt cấp số cộng, cấp số nhân; sử dụng định lý giới hạn dãy số nguyên lý kẹp, định lý tồn dãy số để tìm giới hạn dãy số Với toán đề cập kỳ thi, đặc biệt kỳ thi chọn học sinh giỏi việc gợi mở cách cho câu a) khơng đưa Vấn đề học sinh biết cách nhận dạng, phân tích tốn để có hướng giải Đây vấn đề không dễ học sinh Vì giáo viên cần định hướng giúp học sinh giải vấn đề 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề Trong q trình tìm tịi, nghiên cứu, giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, tổng hợp đưa số phương pháp để tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi Trong khuôn khổ đề tài này, xin đưa phương pháp để tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi sau Phương pháp 1: Tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi cách xác định số hạng tổng quát dãy số Phương pháp 2: Tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi cách sử dụng tính đơn điệu bị chặn dãy số Phương pháp 3: Tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi cách sử dụng nguyên lí kẹp 2.3.1 Phương pháp tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi cách xác định số hạng tổng quát dãy số Phương pháp xác định số hạng tổng quátcủa dãy số cho hệ thức truy hồi phong phú đa dạng, phạm vi đề tài tơi trình bày phương pháp tìm số hạng tổng quát dãy số dãy số cách biến đổi cơng thức truy hồi, sau sử dụng đổi biến để đưa dãy số cấp số cộng cấp số nhân Trên sở tìm số hạng tổng quát dãy số ta tính giới hạn dãy số cho Trang u 1 Ví dụ 1.1 Cho dãy số (un) xác định sau n N * Hãy xác định số u u n1 n hạng tổng quát dãy số Nhận xét: Để giải toán học sinh giải theo cách sau : Cách 1: (Dùng phương pháp quy nạp) Từ giả thiết ta có: u1 = = 1+ 0.2 = 1+(1-1).2 u2 = = 1+2 =1+(2-1).2 u3 =5 = 1+2+2 =1+(3-1).2 Dự đoán un = 1+(n-1).2 Ta chứng minh kết qủa phương pháp quy nạp tốn học Cách 2:(Sử dụng định nghĩa cấp số cộng) Từ giả thiết ta có: un+1 – un = n N* Nên theo định nghĩa cấp số cộng (un) lập thành cấp số cộng với u1=1, công sai d=2 Suy un=u1+(n-1).d = 1+(n-1).2 u1 10 Ví dụ 1.2 Cho dãy số (un) xác định n u un 3, n1 a) Chứng minh dãy số (vn) xác định Giải 15 a) Ta có un 15 un 15 15 cấp số nhân ) (vn 5 4 q v1 25 Do v v qn Nên (vn) CSN có cơng bội b) Từ câu a) suy un un 15 1 4 n3 15 Do limun n 1 15 4 1n3 Nhận xét Câu hỏi mà học sinh đặt lại nghĩ phép đổi biến un 15 để dãy (vn) CSN? Từ giáo viên gợi ý hướng giải ta cần tìm số b cho un b (un b) 15 un b v Do đặt un Ngồi đặt v 5n.u 1b un 5 un b , n n Suy v 15 (5 n 4 nên (vn) cấp số nhân n , n 1, ta có v n v 3.5n , n n1 n 15 1) 35 u n n 15 Trang n n 35 n 1 n n3 15 Từ toán giáo viên dẫn dắt, gợi ý cho học sinh đến vấn đề : " đề xuất toán tổng quát với quy trình để giải tốn đó" Bình luận: Thực chất toán dạng giải triệt để nhờ lý thuyết phương trình sai phân tuyến tính, nhiên đại đa số học sinh trung học phổ thơng kiến thức tầm Trong phạm vi đề tài tác giả đưa hoạt động toán học nhằm phát triển tư cho học sinh cách giúp học sinh xây dựng toán cách giải tốn kiến thức phổ thơng Từ cách đặt vấn đề giáo viên học sinh đưa tốn tổng qt sau : u1 a n Bài toán 1.1 Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) xác định u u n1 n b Từ tính giới hạn dãy số Bài tốn có khái qt ví dụ 1.1, cách giải tốn tương tự Trên sở giáo viên gợi ý để giúp học sinh phát triển toán theo hai hướng: Hướng 1: Ta thấy hệ số un toán Nếu ta thay hệ số số thực k việc giải có thay đổi u n 1, k 1 a Bài toán 1.2 Cho dãy số (un) xác định Xác định số u n1 ku n b hạng tổng quát dãy số Từ tính giới hạn dãy số Hướng 2: Thay b biểu thức phụ thuộc n sao? Bài tốn 1.3 Cho dãy số (un) xác định u1 a u n k u n n N * , k N * Trong f(n) f(n) biểu thức phụ thuộc n Hãy xác định số hạng tổng quát dãy ? Từ tính giới hạn dãy số Rõ ràng toán tổng quát hơn, cách giải tốn địi hỏi tư sáng tạo học sinh Qua thực tế giảng dạy thấy : Đối với toán số học sinh thường giải theo cách (phương pháp quy nạp) em gặp khó khăn đốn tìm số hạng tổng qt un Liệu giải toán theo cách ? Với tốn 1.2 Từ giả thiết tốn ta tìm cách biến đổi dạng: un+1 - b = k(un – b ) với b b k Đến nhiều học sinh chưa nhìn nhận vấn đề, giáo viên gợi ý cho học sinh : "Nếu ta đặt vn+1 = un+1 - b (vn) lập thành cấp số nhân với cơng bội k, từ ta có cách giải sau : Đặt = un - b n N* lúc (vn) lập thành cấp số nhân với cơng bội k, b v1=a + k a ( k 1) b Theo công thức số hạng tổng quát cấp số nhân : = v1.kn-1= k n k Khi đó: u =a.kn-1+b k n 1 n k Với toán 1.3 ta định hướng sau: Trang Trường hợp Với k =1 dãy số (un) xác định u a un1 n N * Trong un f(n) f(n) biểu thức phụ thuộc n Khi ta biến đổi sau: un =(un - un-1)+(un-1 – un-2)+(un-2 – un-3)+ …+(u2 – u1)+ u1 = f(n-1)+f(n-2)+ + f(1)+a Trong f(n-1) + f(n-2) + + f(1) tính u 1 Ví dụ minh hoạ 1: Cho dãy số (un) xác định sau u un n1 ( nn ) * Hãy xác định số hạng tổng quát dãy ? Từ tính lim un Giải Ta có: un=(un - un-1 )+(un-1 – un-2)+(un-2 – un-3)+ …+(u2 – u1)+ u1 n = 1n 222 =2 1 n Do limun = 2 Trường hợp Với k Giáo viên gợi ý: "Theo cách cho dãy số ta có: un+1 – kun = f(n), từ biểu diễn un tương tự cách làm trên" Ta có: un = (un - kun-1 ) +k (un-1 – kun-2) +k2 (un-2 – kun-3) + …+kn-2 (u2 – ku1) +kn-1 u1 = f(n-1) + k.f(n-2) + k2f(n-3) + +kn-2f(1) + kn-1u1 (Tổng tính tùy theo k f(n) tốn cho) Ví dụ minh hoạ 2: Cho dãy số (un) xác định sau u1 * u n 2u n n n N Hãy xác định số hạng tổng quát dãy ? Hướng dẫn Áp dụng kết với f(n) = n, k = ta un= 2n+1 – n – Đến giáo viên đặt vấn đề: toán ta thay f(n) biểu , u b n N*,n thức chứa un-1 sao? Cụ thể hệ thức truy hồi cho u1 a u pu n1 n qu n Thì việc tìm số hạng tổng qt tính giới hạn dãy số giải nào? Giáo viên định hướng cho học sinh giải toán theo hướng giải Bài tốn 1.2, muốn ta cần tìm số cho: un+1 - un = (un - un-1) Do un+1 = pun – qun-1 nên ta có : p (**) q (ta giả thiết 0, = q = 0, tốn giải (u n ) cấp số nhân) Đặt vn=un+1 - un ta có vn= vn-1 (vn) lập thành cấp số nhân với cơng bội (1) , v1= u2 – u1=b– a vn= n-1v1 hay un+1 - un = n-1(u2 – u1) Ta lại có un+1 - un= (un - un-1) un+1 - un = (un - un-1) Trang Nên tương tự ta có un+1 - un = n-1(u2 – u1) Trường hợp : Nếutrừ vế theo vế (2) cho (1) ta có u2 u1 n ( - )un = n-1(u2 – u1) - n-1(u2 – u1) un Trường hợp 2: Nếu = ta có: un = (un - un-1)+ (un-1– un-2)+ 2(un-2 – un-3) + …+ vn-1 + vn-2 + 2vn-3 + …+ n-2v1 + n-1u1 = n-2 v1 +n-3v1 + n-4v1 + …+ n-2v1 + n-1u1 = n-2 + n-2 + …+ n-2)v1 + n-1u1 = ( n-2 với , xác định n-1 p + (n – 2)a n-1 (nếu u1 u2 (u2 – u1) + (n-1) số hạng = (n – 1) n-2 (b – a ) + n-1u1 = (n – 1) n-2 (b – a ) + = (n – 1)b n-1 + (n – 2)a n-1 Vậy số hạng tổng quát dãy số (un) un u2 u1 n u1 u2 n (nếu) un = (n – 1)b (2) n-1 n1 n-1 u1 a = ) q Bài tốn giải Ví dụ minh hoạ 3: Cho dãy số (un) xác định u 2,u u n1 6u 6, n 2u n Hãy xác định số hạng tổng quát dãy số suy lim un [2] Áp dụng kết ta có số hạng tổng quát u n n N,n n n1 n * Do lim un Ví dụ minh hoạ 4: Tìm số hạng tổng quát dãy Fibonaci u u n N,n [3] u u n1 n u n 1 Ta có số hạng tổng quát dãy Fibonaci : un= 5n n Nhận xét: Như với cách làm ta hướng dẫn học sinh tự xây dựng toán quy trình giải tốn cách tự nhiên, sử dụng đến kiến thức vượt chương trình lý thuyết phương trình sai phân tuyến tính, phương trình đặc trưng hay phương trình hàm sinh Điều ngồi việc giúp học sinh nhớ giải toán mà điều quan trọng giúp học sinh phát vấn đề, giải vấn đề phát triển tư sáng tạo Thực tế qua theo dõi đề thi HSG tỉnh nhiều năm qua thấy có nhiều tốn tương tự Ta tiếp tục xét thêm số ví dụ: Thực tế giải tốn cho thấy, có nhiều toán phức tạp hơn, linh hoạt biến đổi theo cách ta giải cách dễ dàng Ví dụ sau cho thấy rõ điều Trang Ví dụ 1.3 Cho dãy số (un) thỏa mãn: u 1; u với n N , n 1.Hãy tìm u n 2u n un 1 số hạng tổng quát dãy số đó? Từ tìm lim un [6] Hướng dẫn Theo giả thiết ta có: (un+1 – un)=(un – un-1) +1 Đặt vn=(un+1 –un) ta có vn+1 - =1 nên (vn) lập thành cấp số cộng với v1 = ( n 1)( n 2) ( n 1)(2 v1 n 2) v v cơng sai d = 1, đó: n1 Sn-1 = v1+ v2 + + vn-1 = ( n 1) = = 2 Mặt khác ta có: un = (un – un-1) + (un-1 – un-2) + + (u2 – u1) + u1 = vn-1+ vn-1 + + v1 + u1 = Sn-1 + u1 = n 3n Vậy un = n ( n 3) u 1 Ví dụ 1.4.Cho dãy số (un) xác định sau: u 3u n n1 8u21 n với n N * Hãy xác định số hạng tổng quát dãy số [7] Hướng dẫn Từ giả thiết ta có: un+1 – 3un = 8un2 1(un+1 – 3un)2 =8un2 u n2 u n2 Do ta có 6u n u n 1 (1) u n2 u n2 6u n 1.u n (2) Trừ (1) cho (2) vế theo vế ta được: u n2 u n2 6u n (u n un ) (vì u n 3u n 9u n 8u 1u n1 un+1 + un-1 = 6un suy un+1 - un-1 >0) n1 Do tốn cho trở thành: Cho dãy số (un) xác định u 1; u u 6u n1 n u với n n N , n 1.Hãy xác định số hạng tổng quát dãy số đó? Đs: un (3 8)n (3 8)n Bài tập vận dụng u Bài 1.1.Cho dãy số (un) xác định Đặt Sn= u1+u2+… +un, 2un un 1, n a) CMR dãy số (vn) với = un –1 , n cấp số nhân lùi vô hạn Trang Tính limSn [1] ĐS: limSn b) u 1 Bài 1.2 Cho dãy số (un) xác định a) CMR u n un n1 , n un 4, n b) CMR dãy (vn) với ĐS: limun u un cấp số nhân Tính limun [1] un u u Bài 1.3 Cho dãy số (un) xác định u un 4un 1, n n ĐS: lim Tính lim n 2n [6] 2n u 1 Bài 1.4 Cho dãy số (un) xác định u u n1 n n(n 1) , n Tính limun [8] ĐS: limun = u 1,u Bài 1.5.Cho dãy số (un) xác định sau u n1 [8](Đề thi HSG tỉnh Lạng sơn năm 1999) ĐS: limun 12 (u n 2u n ) n N , n Tính limun 14 u 1; u Bài 1.6.Cho dãy số (un) xác định sau u n1 ĐS limun 2, (un un ) n N * Tính limun [7] a Bài 1.7 Cho dãy số an xác định a n1 a n ĐS: lim an Trang 10 a2 n 1, 4n * n N Tính lim an 22 Tính lim Bài 1.8 Cho dãy số (un) xác định un u1 u un 2n ndaucan (Đề thi HSG Quảng Ngãi năm 2001 – 2002) u u u n HD: u n cos 2n , n lim n 2.3.2 Phương pháp tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi cách sử dụng tính đơn điệu bị chặn *Nhận xét: Phương pháp tỏ hiệu với toán mà việc tìm cơng thức tổng qt dãy số gặp khó khăn Sau ta xét số ví dụ u Ví dụ 2.1 Cho dãy số (un ) xác định un 2 un , n Tính limun Giải * Chứng minh (un ) dãy số tăng quy nạp, tức un >un , n Khi n = ta có u2 Giả sử uk 2 u1 uk , uk 2 uk u1 uk uk Vậy un >un , n * Ta chứng minh dãy (un ) bị chặn quy nạp, 2 Khi n = ta có u1 Giả sử uk 2, k 1, uk uk 222 Vậy dãy số (un) bị chặn Do dãy số (un) có giới hạn hữu hạn, giả sử limun = a, a * Từ hệ thức truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có limun lim un a Vì a Hay a nên a = Vậy limun 2 a a a a Nhận xét : Với ví dụ này, ta tìm số hạng tổng quát dãy (un) un 2cos 2n , n 1, nhiên việc xác định số hạng tổng quát (un) đơn giản nhiều thời gian Với phương pháp tính giới hạn giải trên, tốn giải tương đối gọn nhẹ Ví dụ 2.2 Cho dãy số ( xn ), ( yn ) xác định sau x a 0, y b 0, x n x y n n1 xn y n , n * 1 n Chứng minh dãy số ( xn ), ( yn ) có giới hạn lim xn lim yn [5] ,y Nhận xét: Dựa vào kiện đề tìm số hạng tổng quát hai dãy số ( xn ), ( yn ) khó khăn Giải Trang 11 Ta xét hai trường hợp sau: (i) Nếu a b quy nạp ta dãy ( xn ) dãy giảm bị chặn a , dãy ( yn ) dãy tăng bị chặn a Do theo định lý tồn lim xn , lim yn từ giả thiết chuyển qua giới hạn ta lim xn lim yn (ii) Nếu a b tương tự trường hợp (i) * Ví dụ 2.3 Cho dãy số ( xn ) xác định x1 1, x2 2, x n xn xn , n Chứng minh dãy số cho có giới hạn tìm giới hạn [5] Hướng dẫn Dễ thấy quy nạp ta ( xn ) dãy số tăng bị chặn Do theo định lý ta có tồn lim xn a Từ đẳng thức xn xn xn chuyển qua giới hạn ta a a a nên lấy a Vậy lim an Ví dụ 2.4 Cho dãy số (un ) xác định u 2017 12 un 2u n n 2018 , n u Chứng minh dãy (un) có giới hạn tính giới hạn (Sáng tác dựa Đề thi HSG Quảng Ngãi năm học 2010 – 2011) Giải Trước hết ta nhận xét un > 0, với n, Thật vậy, ta có u1 = 2017 >0 Giả sử uk 0, k 1, ta chứng minh uk 2 2018 Từ hệ thức truy hồi suy 2uk uk uk uk u 2018 k 2uk 2018, n u 2018 (un 2018 ) un 2018 u u 2un n n u n1 un 2018 2018 1 Mặt khác ta có un 2un 2 2un 2018 2018 ) (vì un 2018, n 2.2018 2un Nên (un) dãy số giảm bị chặn 2018 , dãy (un) có giới hạn hữu hạn Giả sử limun = a, a 2017 2018 limun lim u 2018 a Và ta có un a2 2018 Do ta có un n u n n 2un a2 2018 a 2018 Vậy limun 2a 2un 2018 30 u Ví dụ 2.5 Cho dãy số (un )xác định u n1 u n1 30 u ( Đề thi HSG Quảng Bình năm 2010 – 2011)[8] Hướng dẫn Trang 12 n 3u n 2011, n Tính lim u n * Nhận xét u n 0, n ( kiểm tra chứng minh quy nạp) * Dãy số (un ) dãy tăng * Giả sử dãy (un ) bị chặn trên, (un ) có giới hạn hữu hạn lim un = a (a > 0) lim 30un 3un 2011 Ta có limun a2 30a2 3a 2011 29a2 30a2 a 3a 2011 Phương trình vơ nghiệm Vậy dãy (un) khơng bị chặn hay limun * Ta có u n 30u 3u n 3a 2011 2011 2011 Do lim un 30 30 n un un un2 un un u 1 Ví dụ 2.6 Cho dãy số (un ) xác định u u n n1 ( u1 u1 uu un 2017 un , n Tính lim ) (Sáng tác từ Đề thi HSG Quảng Bình năm 2010 – 2011) u 2 n u Hướng dẫn n * Ta có un un 0, n 1(*) un un , n 1, dãy (un) dãy số 2017 tăng * Giả sử (un) bị chặn trên, dãy (un) có giới hạn hữu hạn, giả sử limun = a ( a 1) a a (vô a2 Từ hệ thức truy hồi suy limun lim( u un ) Hay a 2017 2017 lý) Vậy: limun 1 un u u un n1 n u u u u * Từ (*) suy 2017 hay un 2017( un un ) n1 n n1 n ) 2017(1 ) u1 u1 un 2017( u un un1 u2 u2 u n1 Do lim ( u1 u1 ) un ) lim2017.(1 n u2 Vậy: lim ( u1 u2 u2 u u1 un ) 2017 u2 u u n1 n1 n1 Bài tập vận dụng Bài 2.1 Cho dãy số xn thỏa mãn xn 1, xn 1 xn Chứng minh dãy số có giới hạn tìm giới hạn [6] Trang 13 ĐS: lim un u Bài 2.2 Cho dãy (un ) xác định ĐS: lim u n u n1 Bài 2.3 Cho dãy (un ) xác định n lim Chứng minh u n 4u n un u k1 n n u (với a >0) Tính lim un ), n 1 a u dãy số yn a (2u n , n n1 có giới hạn hữu hạn tính giới hạn đó[8] uk ĐS: limyn= u Bài 2.4 Cho dãy số (un ) xác định n1 a (un u u (a > 0).Tính limun ), n n ĐS: limun = a [8] n u1 Đặt Sn Bài 2.5 Cho dãy số ( un ) xác định u limSn [6] k1 k u Tính u u u , n n 1 n ĐS:limSn = u1 u u Bài 2.6 Cho dãy ( un ) xác định n a n n un , n Tính lim n k un n u 2016 u n ĐS: nk 1 u k 2016 Tính u 1)2 , n u( n n1 lim u2 1 (Tạp chí THTT tháng 10/2010) [5] Bài 2.7 Cho dãy (un ) xác định k1 lim uk nk n [4] Bài 2.8 Cho dãy số thực ( xn ) xác định x1 a x n 3x3 n 7x2 n a số thực thuộc đoạn 0, Chứng minh dãy số ( xn ) hạn hữu hạn tìm giới hạn đó[8] Trang 14 5xn n có giới * Bài 2.9 Cho số thực a Cho dãy số ( xn ),n * xác định bởi: x0 a xn xn sin xn Chứng minh dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn nvà tính giới hạn [8] u1 u2016 Bài 2.10 Cho dãy số (un ) xác định u u 2017 , n Tính lim i u u ĐS: lim u2016 i u 1 n n1 i1 n =1 i1 2.3.3 Phương pháp tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi cách sử dụng định lý nguyên lý kẹp Ta xét số ví dụ u Ví dụ 3.1 Cho dãy số (un) xác định un , n 2 u n1 u n a) Chứng minh u n , n u 3, n b) Chứng minh n Tính limun [1] u Giải n a) Bằng quy nạp ta chứng minh u n , n Ta chứng minh u n , n Với n = u1 = Giả sử u k , k , ta chứng minh uk 1 Thật vậy, ta có u k 4 Do u k 1 u k u k u Vậy u n k 4 16 42 16 4 u b) Từ câu a) suy n u n 1 , n 4 un n u u n1 u 3 3n1 Do ta có un u1 .u1 , n 4 4 u u1 u uk 1u k 1, n 1u k n n1 Mà lim n =0, nên theo ngun lí kẹp limun = 4 Nhận xét: Với ví dụ việc xác định số hạng tổng quát sử dụng tính đơn điệu dãy số để tìm giới hạn gặp nhiều khó khăn Bên cạnh đề cho câu a) Đây gợi ý để ta giải toán theo nguyên lý kẹp Trang 15 Ví dụ 3.2 Dãy số ( xn ) thỏa mãn điều kiện x1 xn2 , n xn 1 xn * lim x Chứng minh dãy số cho hội tụ Tìm n n [8] Giải Ta chứng minh quy nạp bất đẳng thức sau: xn , n n Thật vậy: ta kiểm tra bất đẳng thức với n Khi ta có Giả sử bất đẳng thức với n , tức xn n x xn n1 2 xn xn 2 2 2 xn 1 xn 2 n 22 Do bất đẳng thức đến n Mặt khác lim nên từ bất đẳng thức nguyên lý kẹp ta có lim xn n1 n u Ví dụ 3.3 Cho dãy số (un) xác định u n u u n1 a) Chứng minh un un n n1 , n , n b) Tính limun [1] Hướng dẫn a) Dễ dàng chứng minh quy nạp u n , n u 1 Từ hệ thức truy hồi ta có n , n b) Từ câu a) ta có u n un un u u u n1 Mà lim n n n1 n u2 u1 1 u1 2 1 1n 2 , n = Nên theo ngun lí kẹp ta có limun = u a Ví dụ 3.4 Cho dãy số (un) xác định u un n1 a) Chứng minh un 1 un a2 (un 1, n (– < a < 0) 1), n b) Tính limun [1] Hướng dẫn Nhận xét – < un < 0, với n (kiểm tra chứng minh quy nap) Từ suy < un + < un > Suy u n un un 1 (un Do un un u1 a 1) u , n , nên dãy (un ) dãy giảm n 0, n Trang 16 u n a 2u n a2 Nên u n1 1 a2 u n1 (u1 1), n 1Hay ( a 1) un a 11 Suy limun a Bài tập vận dụng Bài 3.1 Cho dãy số (un) xác định un u a) Chứng minh u n u n u n , n n1 n , n b) Tính limun (Đề thi HSG Quảng Ngãi năm học 2007 – 2008)[8] ĐS: lim un =0 u Bài 3.2 Cho dãy số (un) xác định 1 , n u u n1 n a) Chứng minh u n1 n u n , n 2n b) Tính limun (Đề thi HSG Hà Tĩnh năm học 2009 – 2010) [8] ĐS: lim un =2 Bài 3.3 Cho dãy số u (un) xác định u k a) Chứng minh 1 n un (a 1) a2 n1 1 lim n1 a2 1 Vì 1 u n2 a2 (u n 1), n un n un 1 uk n uk b) Tính limun ĐS: lim un =1 Bài 3.4 Cho dãy hàm số Pn ( x ) xác định sau lim P ( x ) P0 ( x ) 0, Pn ( x ) Pn ( x ) x P 2( x ) , n 0; x.Tìm n n n Trang 17 , k 0,n = -1 ĐS: lim Pn ( x ) x , với x [0,1] [6] u Bài 3.5 Cho dãy số (un) xác định u ĐS: limun =1 n1 Tìm limun [7] un 1, n Bài 3.6 Chứng minh lim n n 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Đề tài giải vấn đề sau: Đề tài số vướng mắc cách khắc phục lớp đối tượng học sinh giải toán tìm số hạng tổng quát tìm giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi Đề tài đưa ba phương pháp để tìm giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi cở sở từ toán sách giáo khoa tốn khó đề thi học sinh giỏi Đề tài áp dụng tiết luyện tập, tiết tự chọn lớp buổi dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trường Thông qua việc xuất phát từ toán bản, giáo viên gợi ý, dẫn dắt học sinh tổng quát toán, tạo toán mới, hình thành cho em khả làm việc độc lập, phát triển tư sáng tạo, phát vấn đề giải vấn đề Phát huy tối đa tính tích cực học sinh theo tinh thần đổi Bộ Giáo dục Đào tạo Từ tạo cho em niềm tin, hứng thú học tập mơn Tốn Đề tài tơi kiểm nghiệm năm học giảng dạy lớp 11 ,được học sinh nhiệt tình tham gia nâng cao chất lượng dạy học chuyên đề dãy số giới hạn dãy số Các em hứng thú học tập hơn, lớp có hướng dẫn phương pháp em học sinh với mức học trung bình trở lên có để giải tập khó Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Cụ thể lớp sau áp dụng sáng kiến vào giảng dạy, đánh giá qua kiểm tra thu kết sau : Lớp Năm Tổng số HS Điểm trở lên Điểm từ đến Số Tỷ lệ Số Tỷ lệ Trang 18 Điểm Số Tỷ lệ học 2016 2017 11A8 (Ban bản) 11A2(Ban nâng cao) lượng lượng lượng 41 17,1 % 22 53,6 % 12 29,3 % 44 31 70,4% 18,2% 11,4 % III PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Sáng kiến kinh nghiệm kết q trình tìm tịi, nghiên cứu đúc rút kinh nghiệm trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi Qua năm triển khai thực đề tài với cách xây dựng phát triển tốn, xây dựng quy trình giải toán cách "tự nhiên” vậy, nhận thấy em nắm vấn đề, biết vận dụng kết vào giải toán cách linh hoạt, sáng tạo Từ giúp cho em u thích mơn tốn hơn, chất lượng học nâng cao rõ rệt Trong năm học tới, tiếp tục nghiên cứu bổ sung để đề tài hoàn thiện hơn, đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng cho học sinh giỏi để em đạt kết cao kỳ thi chọn học sinh giỏi kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông sau Trong q trình biên soạn đề tài tơi có nhiều cố gắng, nhiên không tránh khỏi thiếu sót.Tơi mong thầy giáo, bạn đồng nghiệp góp ý, bổ sung để đề tài hồn thiện Hy vọng tài liệu sử dụng làm tài liệu tham khảo cho học sinh thầy giáo q trình học tập, giảng dạy Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 16 tháng năm 2017 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Trịnh Công Hải Trang 19 ... phương pháp để tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi sau Phương pháp 1: Tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi cách xác định số hạng tổng quát dãy số Phương pháp 2: Tính giới hạn dãy số. .. số cho hệ thức truy hồi cách sử dụng tính đơn điệu bị chặn dãy số Phương pháp 3: Tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi cách sử dụng nguyên lí kẹp 2.3.1 Phương pháp tính giới hạn dãy cho hệ thức. .. tài số vướng mắc cách khắc phục lớp đối tượng học sinh giải tốn tìm số hạng tổng quát tìm giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi Đề tài đưa ba phương pháp để tìm giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi