(SKKN 2022) Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 11 trường THPT Mường Lát cách giải quyết bài toán dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT MƯỜNG LÁT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP 11 TRƯỜNG THPT MƯỜNG LÁT CÁCH GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN DÃY SỐ CHO BỞI HỆ THỨC TRUY HỒI Người thực hiện: Lê Thị Thùy Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Tốn THANH HỐ NĂM 2022 MỤC LỤC Nội dung Trang Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài .1 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu .1 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1.Dự đoán số hạng tổng quát dãy số chứng minh phương pháp quy nạp toán học 2.3.2 Sử dụng CSC – CSN để tìm cơng thức tổng qt số dạng dãy số cho công thức truy hồi 2.3.3 Phương pháp tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi 13 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 18 Kết luận kiến nghị .18 3.1 Kết luận 18 3.2 Kiến nghị 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO .20 Mở đầu 1.1.Lí chọn đề tài Trong chương trình tốn học THPT, toán liên quan đến dãy số phần quan trọng Đại số giải tích 11 Học sinh thường gặp nhiều khó khăn giải toán liên quan đến dãy số đặc biệt tốn xác định cơng thức số hạng tổng qt tốn tìm giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi Hiện nay, tài liệu chun sâu chun đề tìm cơng thức số hạng tổng quát tìm giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi hạn chế Với mong muốn nâng cao chất lượng giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, cung cấp cho em học sinh (đặc biệt em học sinh u thích mơn tốn) có thêm tài liệu để tham khảo học tập, mạnh dạn nghiên cứu đề tài “Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Mường Lát cách giải toán dãy số cho hệ thức truy hồi” 1.2 Mục đích nghiên cứu Các kết nghiên cứu đề tài xây dựng cách tự nhiên từ đơn giản đến phức tạp giúp em học sinh nắm bắt kiến thức dễ dàng phát triển tư cho em học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu số phương pháp giải toán dãy số cho hệ thức truy hồi, nhằm góp phần tạo hứng thú tự tin cho học sinh gặp dạng toán 1.4 Phương pháp nghiên cứu + Nghiên cứu lý luận dạy học, tìm hiểu tài liệu liên quan + Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin + Thống kê, tổng hợp, phân tích dạng tốn Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Dãy số cho hệ thức truy hồi (hay quy nạp): - Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu) - Cho hệ thức truy hồi, tức hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước 2.1.2 Tính chất dãy số  Dãy số (un ) gọi dãy tăng un  un1 n  ¥ *  Dãy số (un ) gọi dãy giảm un  un1 n  ¥ *  Dãy số (un ) gọi dãy bị chặn có số thực M cho un  M n  ¥ * un  M n  ¥ *  Dãy số (un ) gọi dãy bị chặn có số thực m cho un  m n  ¥ *  Dãy số vừa bị chặn vừa bị chặn gọi dãy bị chặn, tức m, M  ¡ : m un  M ,n  ¥ * 2.1.3 Cấp số cộng (CSC) * Định nghĩa: Dãy số  un  gọi CSC có số thực d cho với số nguyên n ta có: un1  un  d d: gọi công sai CSC * Số hạng tổng quát: Nếu CSC  un  có số hạng đầu u1 cơng sai d số hạng tổng quát un xác định công thức: un  u1   n  1 d với n  * Tổng n số hạng đầu cấp số cộng n  n  1 d Cho CSC  un  Đặt Sn  u1  u2  u3   un Khi đó: Sn  nu1  2.1.4 Cấp số nhân (CSN) Định nghĩa: Dãy số  un  gọi CSN có số thực q cho với số nguyên n ta có: un1  un q q: gọi công bội CSN Số hạng tổng quát: Nếu CSN  un  có số hạng đầu u1 cơng bội q số hạng tổng qt un xác định công thức: un  u1.q n1 với n  Tổng n số hạng đầu cấp số nhân Cho CSN  un  với công bội q  Đặt Sn  u1  u2  u3   un Khi đó: Sn  u1   q n  1 q Chú ý: Nếu q  CSN u1 , u1 , u1 , …, u1 , … Khi Sn  n.u1 2.1.5 Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh mệnh đề với n  ¥ * phương pháp quy nạp toán học ta tiến hành theo hai bước: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n  Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n  k  (gọi giả thiết quy nạp), chứng minh với n  k  [1] 2.1.6 Giới hạn dãy số Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực Giới hạn đặc biệt Giới hạn đặc biệt:  0; n n lim n lim n lim q  ( q  1) ; n nk  (k  ¢  ) lim C  C n lim n   limnk   (k  ¢  ) limqn   (q  1) Định lí: Định lí : a) Nếu lim un = a, lim = b  lim (un + vn) = a + b  lim (un – vn) = a – b  lim (un.vn) = a.b un a  lim  (nếu b  0) b b) Nếu un  0, n lim un= a a  lim un  a c) Nếu un  ,n lim = lim un = d) Nếu lim un = a lim un  a Tổng cấp số nhân lùi vô hạn  a) Nếu lim un   lim u  n b) Nếu lim un = a, lim =  lim un =0 c) Nếu lim un = a  0, lim = un  neá u a.v  n =  neá u a v n0  d) Nếu lim un = +, lim = a lim  lim(un.vn) =   nế u a nế u a * Khi tính giới hạn có u S = u1 + u1q + u1q2 + … = dạng vô định: ,  ,  – , 0. 1 q  q  1 phải tìm cách khử dạng vơ định Định lí kẹp giới hạn dãy số: Cho ba dãy số  un  ,   ,  wn  L  ¡ Nếu un   wn , n  ¥ * lim un  lim wn  L   có giới hạn lim  L 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trường THPT Mường Lát đóng địa bàn huyện Mường Lát có điều kiện kinh tế khó khăn trình độ dân trí thấp, chất lượng đầu vào thấp tỉnh, tỷ lệ học sinh giỏi Trong năm học 2020-2021, đề thi học sinh giỏi khối 11 xuất số toán dãy số khiến em học sinh lúng túng phải xử lý Nhất dãy số cho công thức truy hồi, khơng thể tìm số hạng tổng quát tính giới hạn dãy được, tốn trí máy tính cầm tay khó giải Qua thực tế giảng dạy thấy phần mà em sợ nhất, qua kiểm tra liên quan đến tìm số hạng tổng qt tính giới hạn dãy em bỏ trống, làm Những đòi hỏi tư kỹ em khơng xử lý Do cần tìm phương pháp để giúp đỡ em thoát khỏi nỗi sợ hãi dãy số, đặc biệt dãy số cho hệ thức truy hồi, làm trịn trách nhiệm người thầy giáo Giúp em tự tin giải toán, làm cho em đam mê học tập đạt hiệu cao 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Dự đoán số hạng tổng quát dãy số chứng minh phương pháp quy nạp u1  11 Xác định số un 1  10un   9n, n  N Ví dụ 1: Cho dãy số  un  xác định :  hạng tổng quát dãy cho Giải: Ta có: u1  11  10  u2  10.11    102  100  u3  10.102   9.2  1003  1000  Dự đoán: un  10  n  1 Ta chứng minh (1) phương pháp quy nạp - Với n  , ta có u1  11  mệnh đề (1) - Giả sử (1) với n  k , tức ta có uk  10 k  k - Ta chứng minh (1) đến n  k  , tức chứng minh uk 1  10k 1  k  n k k 1 Ta có: uk 1  10uk   9k  10  10  k    9k  10  k   Đpcm Vậy un  10n  n Ví dụ 2: Viết số hạng đầu dãy số Dự đoán cơng thức un chứng minh cơng thức phương pháp quy nạp u1  a)  ; un 1  un  2n  1, n  u1  b)  ; un 1   un , n  Giải: u1  un 1  un  2n  1, n  a)  Ta có: u1  , u2  , u3  , u4  16 , u5  25 Dự đoán: un  n , n (1) Ta chứng minh (1) phương pháp quy nạp - Với n  , ta có u1   mệnh đề (1) - Giả sử (1) với n  k , tức ta có uk  k 2 - Ta chứng minh (1) đến n  k  , tức chứng minh uk 1   k  1 Thật vậy, uk 1  uk  2k   k  2k    k  1  Đpcm Vậy un  n , n u1  un 1   un , n  b)  Ta có: u1  , u2  10 , u3  11 , u4  12 , u5  13 Dự đoán: un  n  8, n (2) Ta chứng minh (2) phương pháp quy nạp - Với n  , ta có u1   mệnh đề (2) - Giả sử (2) với n  k , tức ta có uk  k  - Ta chứng minh (2) đến n  k  , tức chứng minh uk 1  k  Thật vậy, uk 1   uk2    k    k   Đpcm Vậy un  n  8, n u1  un 1  un  3n  2, n  Ví dụ 3: Tìm cơng thức tổng qt dãy  un  :  Giải: Ta có: u1  u2  u1   u3  u2  3.2  u4  u3  3.3  … un  un 1   n  1  Cộng vế theo vế, ta được: un   3.1  3.2  3.3    n  1   n  1  n  1 n    3n  7n  14  n  1  3n  n  14 u1   n Ví dụ 4: Cho dãy số  un  :  Xác định số hạng tổng quát 1 un 1  un    , n  2  dãy  un  Vậy un  Giải: Ta có: u1  u2  u1  2 1 u3  u2    2 1 u  u3    2 … n 1 1 un  un 1    2 Cộng vế theo vế, ta được: n 1 1   n 1 n 1 1 1 2 1 1  un               2   2 2 2 2 1 n 1 1 Vậy un     2 u1  Ví dụ 5: Cho dãy số  un  :  un 1  un  n , n  Giải: Ta có: u1  Tìm số hạng tổng quát dãy  un  u2  u1  13 u3  u  … un  un 1   n  1 Cộng vế theo vế, ta được: un   13  23    n  1 Bằng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh     n  1 3  n  1  n2 n n  1 Vậy un    2.3.2 Sử dụng CSC – CSN để tìm cơng thức tổng quát số dạng dãy số cho công thức truy hồi u1  x0 , (a, b số thực a  ) un  aun 1  b, n  DẠNG 1: Dãy số  un  cho  có cơng thức tổng quát sau: u1   n  1 b  un   b  n 1 b  u1   a .a   a   a  a  Chứng minh: - Nếu a  dãy số  un  CSC với công sai d  b nên ta có: un  u1   n  1 b - Nếu a  , gọi   dãy số cho  un  b 1 a (1) Thay công thức (1) vào cơng thức truy hồi, ta có: 1  un 1  b b b    aun  b   a  un    a.vn 1 a 1 a 1 a   b    CSN với công bội q  a số hạng đầu v1  u1  Do 1 a b  n 1   có số hạng tổng quát   u1  .a , n  1 a   b b  n 1 b   un     u1  , n  .a  1 a  1 a  1 a u1  Ví dụ 1: Xác định số hạng tổng quát dãy số  un  biết  un  un 1  3, n  Giải: Ta thấy dãy  un  CSC với công sai d  3 Ta có: un    n  1  3n  u1  un   2  un 1 , n  Ví dụ 2: Xác định số hạng tổng quát dãy số  un  biết  Giải: n 1 Ta thấy dãy  un  CSN với công bội q  2 Ta có: un   2  u1  un 1  4un  Ví dụ 3: Xác định số hạng tổng quát dãy số  un  biết  Giải: Gọi   dãy số cho  un  Ta có: 1  un1    4un      un    4vn    CSN với công bội q  số hạng đầu v1  Ta có:  5.4n 1  un    5.4n 1  Vậy số hạng tổng quát dãy số  un  là: un  5.4n 1  u1  x0 DẠNG 2: Dãy số  un  xác định bởi:  un  a.un 1  f  n  , n  , f  n  đa thức bậc k theo n; a số Để tìm CTTQ dãy số  un  , ta làm sau: Gọi   dãy số thỏa mãn un   g  n  Khi đó, ta có:  a.vn 1   a.g  n  1  g  n   f  n   CSN a.g  n  1  g  n   f  n   với n  ¥ * Để dãy   Vậy, ta phải chọn g  n  thích hợp cho f  n   g  n   a.g  n  1 un  u1  g  1  a n 1  g  n  Từ đó, ta có: Chú ý: Nếu a  ta chọn g  n  đa thức bậc k  có hệ số tự 0, a  chọn g  n  đa thức bậc k Ví dụ 4: Xác định dãy số hạng tổng quát dãy số  un  cho bởi: u1   un  un 1  4n  2, n  Giải: Gọi un   an  bn Ta có: un  un 1  4n    an  bn  1  a  n  1  b  n  1  4n  2   1   2a   n   a  b    2a   a   a  b   b  Để dãy   cấp số nhân  v  1 Khi un   2n2 Dãy số   : v  v , n  có số hạng tổng quát  n 1  n Vậy un  2n  1, n  ¥ * Ví dụ 5: Xác định số hạng tổng quát dãy số  un  cho bởi: u1   un  2un 1  3n  2, n  Giải: Gọi un   an  b Ta có: un  2un 1  3n    an  b  vn1  a  n  1  b   3n    2vn 1   a  3 n  b  2a  a    a  3  b  2a   b  4 Để dãy   cấp số nhân  v1  có CTTQ  8.2n 1  2n  vn  2vn 1 , n  Khi un   3n  Dãy số   :  Vậy un  2n   3n  4, n  ¥ * u1  Ví dụ 6: Cho dãy số  un  :  n un  3un 1  , n  Tìm CTTQ dãy số  un  Giải: Đặt un   a.2n n n n 1 n n 1 Ta có: un  3un 1    a.2   1  a.2     3vn1   a   Để   CSN ta chọn a  2 ,  3vn 1  v1.3n 1  5.3n1 Vậy un  5.3n 1  2n 1 u1  x0  Tổng quát, để tìm số hạng tổng quát dãy  un  :  n un  a.un 1  b.c , n  ta đặt un   k c n n n 1 n n 1 Khi đó:  k c  a.vn1  a.k c  b.c   a.vn1  k  a  c   bc  c bc Khi dãy   cấp số nhân ca bc   v1.a n 1  un   u1  kc  a n 1  kc n với k  ca n a  c u  a u  b a Nếu , ta có n n 1 - Nếu a  c , ta chọn k  -  un   un  a.un 1   a  un 1  aun     a n   u2  au1   u1.a n 1  un  b  n  1 a n  u1a n 1 Vậy ta có kết sau: u1  x0 Khi đó, ta có: n un  a.un 1  b.c , n  DẠNG 3: Cho dãy số  un  :  n n 1 - Nếu a  c  un  b  n  1 a  u1a n 1 n - Nếu a  c  un   u1  kc  a  kc với k  bc ca Chú ý: Trong trường hợp a  c ta tìm CTTQ dãy  un  sau: Đặt un   kn.a n Khi ta có  kn.a n  a  1  k  n  1 a n 1   b.a n   avn 1   b  k  a n n 1 n 1 Để   CSN ta chọn k  b Khi  v1.a   u1  ab  a  un   u1  ab  a n 1  bn.a n  b  n  1 a n  u1a n 1 u1  2 Ví dụ 7: Tìm số hạng tổng qt dãy số  un  :  n n un  5un 1  2.3  6.7  12, n  Giải: Đặt un   a.3n  b.7 n  c Khi đó, ta có: un  5un 1  2.3n  6.7 n  12   a.3n  b.7 n  c   vn1  a.3n 1  b.7 n 1  c   2.3n  6.7 n  12   5vn 1  3n 1  2a    n 1  2b  42    4c  12  Để dãy    2a   a  3   CSN 2b  42   b  21  4c  12  c  3   Khi  5vn 1  v1.5n 1  157.5n 1 Vậy un   3.3n  21.7n   157.5n 1  3n 1  21.7 n  u1  Ví dụ 8: Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  :  n un  2un 1   n, n  Giải: Đặt un   a.3n  bn  c Khi đó, ta có: un  2un 1  3n  n   a.3n  bn  c   vn1  a.3n 1  b  n  1  c   3n  n   2vn 1    a  3n 1   b  1 n   c  2b  Để dãy   1  a  a    CSN b    b  c  2b  c    Khi  2vn 1  v1.2n 1  5.2n 1 Vậy un  5.2n 1  3n  n  u  4; u  20 Ví dụ 9: Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  : u  4u  4u , n  n 1 n2  n Giải: Ta có: un  4un 1  4un 2  un  2un 1   un 1  2un 2  Gọi   dãy số thỏa mãn 1  un  2un 1 (*) Ta có dãy   CSN v1  12  vn  2vn 1   v1.2n 1  12.2n 1  3.2n 1 Vậy 1  3.2n , thay vào (*) ta có un  2un 1  3.2n u1  Vậy dãy số  un  xác định  n un  2un 1  3.2 n ta dễ dàng tìm un   3n  1 Đây toán thuộc dạng u1  x1 ; u2  x2 với a, un  a.un 1  b.un  , n  DẠNG 4: Để tìm số hạng tổng quát dãy số  un  :  b số thực khác a  4b  , ta làm sau: - Tìm số   nghiệm phương trình X  aX  b  - Ta có un   un 1    un 1   un   , xét dãy số   thỏa mãn 1  un   un 1 Ta có   cấp số nhân, dễ dàng tìm Từ ta đưa dãy số  un  dạng suy kết Chú ý: Để xác định CTTQ dãy  un  nói ta trình bày sau: Xét phương trình đặc trưng X  aX  b  (1)  Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt X , X un  x X 1n  y.X 2n , dựa vào u1 , u2 ta tìm x, y n  Nếu (1) có nghiệm kép X  X   un   xn  y   , dựa vào u1 , u2 ta tìm x, y u1  2, u2  un  7un 1  12un 2 , n  Ví dụ 10: Xác định số hạng tổng quát dãy số  un  :  Giải: 10 Ta có: un  7un 1  12un 2  un  3un 1   un 1  3un 2  Gọi   dãy số thỏa mãn 1  un  3un1 (*) Ta có dãy   CSN v1  3  vn  4vn 1 n 16 u1   Ta có dãy số  un  xác định  Đây toán thuộc n un  3un 1  16 , n  dạng ta dễ dàng tìm un  5.3n 1  3.4n 1   3.4n 1  un  3un 1  3.4n   3un 1  u1  1, u2  Ví dụ 11: Cho dãy số  un  :  un  5un 1  6un 2  2n  2n  1, n  Xác định CTTQ dãy số  un  Giải: Ta tìm cách làm vế phải cơng thức truy hồi dãy cách: Đặt un   an  bn  c Thay vào công thức truy hồi dãy, ta được: un  5un 1  6un 2  2n  2n  2   an  bn  c  vn 1  a  n  1  b  n  1  c   vn   a  n    b  n    c       n  2n    5vn 1  6vn 2  2an   14a  2b  n  19a  7b  2c  2n  2n   2a  a    Ta chọn a, b, c cho: 14a  2b   b  19a  a  2c  c  19   Suy un   n  8n  19 v1  29; v2  36 Đây toán dạng 4, ta dễ dàng tìm vn  5vn 1  6vn 2 , n  Ta có dãy   :   22.3n 1  51.2n 1 Vậy un  22.3n 1  51.2n 1  n  8n  19 u1  3; u2  41 Ví dụ 12: Tìm CTTQ dãy số  un  :  n un  5un 1  6un   5.2 , n  Giải: n n Ta có: un  5un 1  6un2  5.2   un  2un1    un 1  2un   5.2 v1  Đặt  un  un 1 , ta có dãy số   :  vn  3vn 1  5.2 n Đây toán dạng 3, ta dễ dàng tìm  25.3n 1  10.2n 11 u1  Ta có dãy số  un  :  n 1 n un  2un 1  25.3  10.2 Đặt un  xn  a.3n  bn.2n Ta có: un  2un 1  25.3n 1  10.2n  xn  a.3n  bn.2n   xn 1  a.3n 1  b  n  1 2n 1   25.3n1  10.2 n  xn  xn 1   25  a  3n 1   b  10  2n  25  a  a  25  b  10  b  10 Để dãy  xn  CSN   xn  x1.2n 1  52.2n 1 n n 1 Vậy un  25.3   5n  13 u1  x, u2  y, u3  z Để xác định CTTQ  aun  bun 1  cun   dun 3  0, n  DẠNG 5: Cho dãy số  un  :  dãy ta xét phương trình: ax  bx  cx  d  (1) (đây phương trình đặc trưng dãy) - Nếu (1) có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3  un   x1n   x2n   x3n Dựa vào u1 , u2 , u3 ta tìm  ,  ,  n n - Nếu (1) có nghiệm đơn, nghiệm kép: x1  x2  x3  un      n  x1   x3 Dựa vào u1 , u2 , u3 ta tìm  ,  ,  n - Nếu (1) có nghiệm x1  x2  x3  un      n   n  x1 Dựa vào u1 , u2 , u3 ta tìm  ,  ,  u1  0, u2  1, u3  un  7un 1  11un   5un 3 , n  Ví dụ 13: Tìm số hạng tổng quát dãy  un  :  Giải: Xét phương trình đặc trưng: x3  x  11x   Phương trình có nghiệm: x1  x2  , x3  Vậy un     n   5n 13    16 u1      5      Ta có: u2     2  25      u    3  125        80  13 n Vậy un    n  16 80 12 u1   Ví dụ 14: Xác định số hạng tổng quát dãy số  un  : u  un 1 , n   n 3u  n 1  un 1 3un1  1    Giải: Ta có: un  3u   u  u un un 1 n 1 n n 1  v1   Đặt  u ta có dãy số   :  Đây toán dạng 1, ta dễ dàng n vn  2vn 1  3, n  tìm  7.2n 2  Vậy un  n 2 7.2  u1   Ví dụ 15: Xác định số hạng tổng quát dãy số  un  : u  2un 1  , n   n u 2 n 1  Giải: Việc tìm số hạng tổng qt dãy số khơng cịn đơn giản ví dụ tử số cịn có hệ số tự Ta cần làm hệ số tự tử cách đặt un   a Ta có: un   1  a   2un 1    a  vn1  a    a    un 1  1  a  1  a  Ta chọn a cho a    a    1 un   1  v1   Do dãy số   xác định v  1 , n   n v 3 n 1  1 Ta có:  v   v   v n 1 n n 1  x1  Đây tốn dạng 1, ta dễ dàng tìm  xn  xn 1  Đặt xn  v , ta có dãy số  xn  :  n xn  n   1 2 3n   u    n 3n  3n  3n  3n  Vậy un  n 1   2.3.3 Phương pháp tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi 13 2.3.3.1 Tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi cách xác định công thức tổng quát dãy u1  10  Ví dụ 1: Cho dãy số  un  :  Tính lim un un  un 1  3, n  Giải: 1 Đặt un   c Ta có: un  un1    c   vn1  c     vn1   c 5 15 Dãy số   CSN  c   c  15 Ta có: un   25  n 1 v1  25   Dãy số   :  có cơng thức tổng quát    5 v  v , n  n n 1  n 1 n 25   15 125   15   Suy un      5 4 5 n 125   15  15 Vậy lim un  lim           u1  Ví dụ 2: Cho dãy số  un  :  Đặt Sn  u1  u2   un Tính lim Sn 2un 1  un  1, n  Giải: Đặt un   c Ta có: 2un 1  un    1  c    c   1   Dãy số   CSN 1 c   c  Khi đó: un   1 c v1  n 1  1  Dãy số   :  có cơng thức tổng quát    2 vn 1  , n  n 1 1 Suy un     Ta có: 2 n n i 1 i 1 S n   ui   vi  n  v1   q n  1 q   n  1     n  2    n   n    n    2 1 14 n  1  Vậy lim Sn  lim 4  n           2.3.3.2 Tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi cách sử dụng nguyên lý kẹp  u1  Ví dụ 1: Cho dãy số  un  :  u  u  un , n  n  n 1 a) CMR:  un  , n un 1 b) CMR: u  , n Tính lim un n Giải: a) Ta chứng minh  un  , n  * phương pháp quy nạp toán học - Với n  , ta có u1    * 4 - Giả sử mệnh đề (*) đến n  k tức ta có  uk  - Ta chứng minh (*) đến n  k  tức chứng minh  uk 1    uk2   u  16   uk2  k   Thật vậy:  uk    u  16 0 k   u Mà uk 1  uk2  k nên suy  uk 1   Đpcm Vậy  un  , n u 1  1 1 b) Ta có: un 1  un  n  un  un    un    un 2  4 2 u  n 1  , n un n 1 n 1 u u u 3 1 3 3 Ta có:  un  n n 1 u1     , n hay  un    , n un 1 un  u1 4 4 4 4 n1 3 Mà lim  , lim    nên lim un  4 15  u   Ví dụ 2: Cho dãy số  un  :  Tính lim un u n u  , n   n 1 n  Giải: Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh un  0, n  u u 1 n n 1 Ta có: un 1  n   u  n   , n  n n n u u u 1 1 1 1  un  n n 1 u1     hay  un    , n  un 1 un 2 u1 2 2 2 2 n 1 Mà lim  lim    nên lim un  2 2.3.3.3 Tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi cách sử dụng tính đơn điệu bị chặn u1  Ví dụ 1: Cho dãy số  un  xác định  un 1   un , n  Tính lim un Giải: Trước hết ta chứng minh dãy số  un  tăng bị chặn Chứng minh dãy  un  tăng quy nạp, tức un 1  un , n  (1) - Khi n  ta có u2   u1     u1 nên mệnh đề (1) với n  - Giả sử (1) đến n  k , tức ta có uk 1  uk - Ta chứng minh (1) đến n  k  , tức chứng minh uk   uk 1 Thật vậy, uk    uk 1   uk  uk 1 Vậy un 1  un , n  Nên  un  bị chặn Ta chứng minh un  2, n (2) quy nạp - Khi n  ta có u1    mệnh đề (2) với n  - Giả sử (2) đến n  k , tức ta có uk  - Ta chứng minh (2) đến n  k  , tức chứng minh uk 1  Thật vậy, uk 1   uk    Vậy dãy số  un  bị chặn Do dãy số  un  có giới hạn hữu hạn, giả sử lim un  a , a  Từ hệ thức truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có lim un 1  lim  un 16  a  1 a  Vì a  nên a  Vậy lim un  Hay a   a  a  a    Nhận xét: Với ví dụ này, ta tìm CTTQ dãy  un  un  cos  , n  , nhiên việc xác định CTTQ  un  đơn giản 2n 1 nhiều thời gian Với kĩ thuật tính giới hạn giải trên, toán giải gọn nhẹ u1  u2  Tính lim un un 1  un  un 1 , n  Ví dụ 2: Cho dãy số  un  xác định  Giải: Nhận xét: Ta thấy u1  u2  , u3     u2 ; u4  u3  u2    u3 Dự đoán dãy số  un  dãy dương tăng Rõ ràng un  0, n  Ta chứng minh un 1  un , n  (*) - Khi n  ta có u3   u2  - Giả sử (*) đến n  k  k   , tức ta có uk 1  uk - Ta chứng minh (*) đến n  k  , tức chứng minh uk   uk 1 Thật vậy, uk   uk 1  uk  uk  uk 1  uk 1 , k  Vậy dãy  un  dãy số dương tăng  un  u1  1, n  Hơn nữa, ta thấy n  3, un  un 1  un   un  un  un Hay un  4un  un  (do un  ) Nên  un  bị chặn Do dãy số  un  có giới hạn hữu hạn Giả sử lim un  a , a  Từ hệ thức truy hồi suy lim un 1  lim un  lim un1 Hay a  a  a  a  4a Do a  nên a  Vậy lim un  u1  2010 Ví dụ 3: Cho dãy số  un  xác định  un  2un un 1  2011  , n  Chứng minh dãy  un  có giới hạn tính giới hạn Giải: Ta chứng minh un  0, n (*) phương pháp quy nạp - Khi n  ta có u1  2010  - Giả sử (*) đến n  k  k  1 , tức ta có uk  - Ta chứng minh (*) đến n  k  , tức chứng minh uk 1  17 2 Thật vậy, uk  2uk uk 1  2011   2uk uk 1  uk  2011   uk 1  uk  2011  2uk Vậy un  0, n Do ta có un 1  un 1  un  2011 2011  (un  ) Theo bất đẳng thức Cosi, ta có 2un un un  2011 2011  un  2011, n  2un un un 1 un  2011 2011 1      1 Mặt khác ta có un 2un 2 2un 2 2011 2011 (vì un  2011, n   2u  2.2011  ) n Nên  un  dãy số giảm bị chặn 2011 , dãy  un  có giới hạn hữu hạn Giả sử lim un  a ,  a  2010 Và ta có un 1  un  2011 u  2011 a  2011  lim un 1  lim n a 2un 2un 2a  a  2011  a  2011 Vậy lim un  2011 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Trong q trình giảng dạy, tơi đưa phần nội dung đề tài (xác định công thức tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi thuộc dạng 1, dạng 2) vào giảng dạy lớp 11C, 11E tiết tự chọn chương Dãy số Sau thực giảng dạy đại trà cho hai lớp tiến hành cho làm kiểm tra 15 phút với nội dung sau: u1  ” un  5un 1  3, n  “Tìm số hạng tổng quát dãy số cho  Kết thu sau: Lớp Giải Có đường lối giải Khơng giải 11C 65% 19% 16% 11E 60% 20% 20% Các phần khó nội dung đề tài tơi dùng để giảng dạy cho em học sinh học khá, giỏi mơn tốn u thích mơn tốn Sau nắm bắt phương pháp làm bài, em vận dụng thành thạo giải tốt nội dung tốn tìm cơng thức tổng qt tính giới hạn dãy số Kết luận kiến nghị 3.1 Kết luận 18 Trải qua thực tiễn giảng dạy, nội dung giảng liên quan đến đề tài có tham gia góp ý đồng nghiệp, vận dụng đề tài vào giảng dạy thu số kết tích cực sau: - Học sinh trung bình trở lên nắm vững số phương pháp biết vận dụng tốn xác định cơng thức tổng quát dãy số - Một số đề thi học sinh giỏi, học sinh lớp chọn sử dụng phương pháp trình bày đề tài để giải toán - Là phương pháp tham khảo cho học sinh thầy cô giáo - Qua nội dung đề tài, đồng nghiệp xây dựng thêm tốn dãy số theo dạng có - Khi sử dụng đề tài giảng dạy tạo hứng thú học tập cho em học sinh 3.2 Kiến nghị Tôi mong Ban chuyên môn nhà trường góp ý, bổ sung để đề tài hồn thiện hơn, triển khai áp dụng để dạy bồi dưỡng học sinh giỏi năm Trong q trình biên soạn đề tài tơi có nhiều cố gắng, nhiên khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý chân thành thầy cô giáo đồng nghiệp Hội đồng chuyên môn nhà trường để đề tài tơi hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2022 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Lê Thị Thùy 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Đại số Giải tích 11 Cơ bản, NXB Giáo dục, năm 2014 [2] Vũ Tuấn (Chủ biên), Bài tập Đại số Giải tích 11 Cơ bản, NXB Giáo dục, năm 2011 [3] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Đại số Giải tích 11 Nâng cao, NXB Giáo dục, năm 2020 [4] Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Bài tập Đại số Giải tích 11 Nâng cao, NXB Giáo dục, năm 2016 [5] Nguyễn Văn Mậu, Một số toán chọn lọc dãy số, NXB Giáo dục, năm 2003 [6] Lê Hồnh Phị, Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số Giải tích 11, NXB ĐHQG Hà Nội, năm 2019 [7] Lê Hoành Phị, 500 tốn chọn lọc Đại số Giải tích 11, NXB ĐHQG Hà Nội, năm 2013 [8] Nhóm Cự mơn, Bài giảng trọng tâm chương trình chuẩn tốn 11, NXB ĐHQG Hà Nội, năm 2019 [9] Các diễn đàn toán học như: maths.vn; diendantoanhoc.net; mathscop.org; toancapba.net; … 20 ... kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Dãy số cho hệ thức truy hồi (hay quy nạp): - Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu) - Cho hệ thức truy hồi, tức hệ thức biểu thị số. .. dưỡng học sinh giỏi, cung cấp cho em học sinh (đặc biệt em học sinh u thích mơn tốn) có thêm tài liệu để tham khảo học tập, mạnh dạn nghiên cứu đề tài ? ?Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giỏi lớp. .. học sinh giỏi khối 11 xuất số toán dãy số khiến em học sinh lúng túng phải xử lý Nhất dãy số cho công thức truy hồi, tìm số hạng tổng qt tính giới hạn dãy được, tốn trí máy tính cầm tay khó giải