Skkn một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 11 trường thpt mường lát cách giải quyết bài toán dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT MƯỜNG LÁT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP 11 TRƯỜNG THPT MƯỜNG LÁT CÁCH GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN DÃY SỐ CHO BỞI HỆ THỨC TRUY HỒI Người thực hiện: Lê Thị Thùy Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Tốn THANH HỐ NĂM 2022 skkn MỤC LỤC Nội dung Trang Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài .1 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu .1 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1.Dự đoán số hạng tổng quát dãy số chứng minh phương pháp quy nạp toán học 2.3.2 Sử dụng CSC – CSN để tìm cơng thức tổng qt số dạng dãy số cho công thức truy hồi 2.3.3 Phương pháp tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi 13 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 18 Kết luận kiến nghị .18 3.1 Kết luận 18 3.2 Kiến nghị 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO .20 skkn Mở đầu 1.1.Lí chọn đề tài Trong chương trình toán học THPT, toán liên quan đến dãy số phần quan trọng Đại số giải tích 11 Học sinh thường gặp nhiều khó khăn giải toán liên quan đến dãy số đặc biệt tốn xác định cơng thức số hạng tổng qt tốn tìm giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi Hiện nay, tài liệu chuyên sâu chuyên đề tìm cơng thức số hạng tổng qt tìm giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi hạn chế Với mong muốn nâng cao chất lượng giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, cung cấp cho em học sinh (đặc biệt em học sinh u thích mơn tốn) có thêm tài liệu để tham khảo học tập, mạnh dạn nghiên cứu đề tài “Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Mường Lát cách giải toán dãy số cho hệ thức truy hồi” 1.2 Mục đích nghiên cứu Các kết nghiên cứu đề tài xây dựng cách tự nhiên từ đơn giản đến phức tạp giúp em học sinh nắm bắt kiến thức dễ dàng phát triển tư cho em học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu số phương pháp giải toán dãy số cho hệ thức truy hồi, nhằm góp phần tạo hứng thú tự tin cho học sinh gặp dạng toán 1.4 Phương pháp nghiên cứu + Nghiên cứu lý luận dạy học, tìm hiểu tài liệu liên quan + Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin + Thống kê, tổng hợp, phân tích dạng tốn Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Dãy số cho hệ thức truy hồi (hay quy nạp): - Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu) - Cho hệ thức truy hồi, tức hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước 2.1.2 Tính chất dãy số Dãy số gọi dãy tăng Dãy số gọi dãy giảm Dãy số gọi dãy bị chặn có số thực cho Dãy số gọi dãy bị chặn có số thực cho skkn Dãy số vừa bị chặn vừa bị chặn gọi dãy bị chặn, tức 2.1.3 Cấp số cộng (CSC) * Định nghĩa: Dãy số gọi CSC có số thực d cho với số nguyên n ta có: d: gọi công sai CSC * Số hạng tổng quát: Nếu CSC có số hạng đầu cơng sai d số hạng tổng quát xác định công thức: với * Tổng n số hạng đầu cấp số cộng Cho CSC Đặt Khi đó: 2.1.4 Cấp số nhân (CSN) Định nghĩa: Dãy số gọi CSN có số thực q cho với số nguyên n ta có: q: gọi công bội CSN Số hạng tổng qt: Nếu CSN có số hạng đầu cơng bội q số hạng tổng quát xác định công thức: với Tổng n số hạng đầu cấp số nhân Cho CSN với công bội Đặt Khi đó: Chú ý: Nếu CSN , , , …, , … Khi 2.1.5 Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh mệnh đề với phương pháp quy nạp toán học ta tiến hành theo hai bước: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên (gọi giả thiết quy nạp), chứng minh với [1] 2.1.6 Giới hạn dãy số Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực Giới hạn đặc biệt Giới hạn đặc biệt: ; ; Định lí: Định lí : skkn a) Nếu lim un = a, lim = b  lim (un + vn) = a + b  lim (un – vn) = a – b  lim (un.vn) = a.b  a) Nếu b) Nếu lim un = a, lim =  lim =0 (nếu b  0) c) Nếu lim un = a  0, lim = b) Nếu un  0, n lim un= a a  lim lim c) Nếu ,n lim = lim un = d) Nếu lim un = a Tổng cấp số nhân lùi vô hạn S = u1 + u1 q + u q + … = = d) Nếu lim un = +, lim = a lim(un.vn) = * Khi tính giới hạn có dạng vơ định: , ,  – , 0. phải tìm cách khử dạng vơ định Định lí kẹp giới hạn dãy số: Cho ba dãy số , , Nếu có giới hạn 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trường THPT Mường Lát đóng địa bàn huyện Mường Lát có điều kiện kinh tế khó khăn trình độ dân trí cịn thấp, chất lượng đầu vào thấp tỉnh, tỷ lệ học sinh giỏi Trong năm học 2020-2021, đề thi học sinh giỏi khối 11 xuất số toán dãy số khiến em học sinh lúng túng phải xử lý Nhất dãy số cho công thức truy hồi, khơng thể tìm số hạng tổng qt tính giới hạn dãy được, tốn trí máy tính cầm tay khó giải Qua thực tế giảng dạy thấy phần mà em sợ nhất, qua kiểm tra liên quan đến tìm số hạng tổng quát tính giới hạn dãy em bỏ trống, làm Những đòi hỏi tư kỹ em khơng xử lý Do cần tìm phương pháp để giúp đỡ em thoát khỏi nỗi sợ hãi dãy số, đặc biệt dãy số cho hệ thức truy hồi, làm trịn trách nhiệm người thầy giáo Giúp em tự tin giải toán, làm cho em đam mê học tập đạt hiệu cao 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Dự đoán số hạng tổng quát dãy số chứng minh phương pháp quy nạp skkn Ví dụ 1: Cho dãy số xác định bởi : Xác định số hạng tổng quát dãy cho Giải: Ta có: Dự đốn: Ta chứng minh (1) phương pháp quy nạp - Với , ta có mệnh đề (1) - Giả sử (1) với , tức ta có - Ta chứng minh (1) đến , tức chứng minh Ta có: Đpcm Vậy Ví dụ 2: Viết số hạng đầu dãy số Dự đốn cơng thức thức phương pháp quy nạp a) ; b) chứng minh cơng ; Giải: a) Ta có: , , , , Dự đoán: (1) Ta chứng minh (1) phương pháp quy nạp - Với , ta có mệnh đề (1) - Giả sử (1) với , tức ta có - Ta chứng minh (1) đến , tức chứng minh Thật vậy, Vậy Đpcm b) Ta có: , Dự đốn: - Với , ta có , , , (2) Ta chứng minh (2) phương pháp quy nạp mệnh đề (2) skkn - Giả sử (2) với , tức ta có - Ta chứng minh (2) đến Thật vậy, , tức chứng minh Đpcm Vậy Ví dụ 3: Tìm cơng thức tổng quát dãy Giải: Ta có: … Cộng vế theo vế, ta được: Vậy Ví dụ 4: Cho dãy số Xác định số hạng tổng quát dãy Giải: Ta có: … Cộng vế theo vế, ta được: skkn Vậy Ví dụ 5: Cho dãy số Tìm số hạng tổng quát dãy Giải: Ta có: … Cộng vế theo vế, ta được: Bằng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh Vậy 2.3.2 Sử dụng CSC – CSN để tìm cơng thức tổng qt số dạng dãy số cho công thức truy hồi DẠNG 1: Dãy số cho , (a, b số thực ) có cơng thức tổng quát sau: Chứng minh: - Nếu - Nếu dãy số , gọi CSC với công sai dãy số ta có: (1) Thay cơng thức (1) vào cơng thức truy hồi, ta có: skkn CSN với công bội số hạng đầu Do có số hạng tổng quát Ví dụ 1: Xác định số hạng tổng quát dãy số Giải: Ta thấy dãy CSC với cơng sai Ví dụ 2: Xác định số hạng tổng quát dãy số Giải: Ta thấy dãy CSN với cơng bội Ví dụ 3: Xác định số hạng tổng quát dãy số Giải: Gọi dãy số cho CSN với công bội Vậy số hạng tổng quát dãy số DẠNG 2: Dãy số biết Ta có: biết Ta có: biết Ta có: số hạng đầu Ta có: là: xác định bởi: , đa thức bậc k theo n; a số Để tìm CTTQ dãy số làm sau: Gọi dãy số thỏa mãn Khi đó, ta có: Để dãy CSN Vậy, ta phải chọn thích hợp cho Từ đó, ta có: Chú ý: Nếu ta chọn đa thức bậc chọn đa thức bậc k skkn , ta với có hệ số tự 0, cịn Ví dụ 4: Xác định dãy số hạng tổng quát dãy số Giải: Gọi cho bởi: Ta có: Để dãy cấp số nhân Khi Dãy số có số hạng tổng qt Vậy Ví dụ 5: Xác định số hạng tổng quát dãy số Giải: Gọi cho bởi: Ta có: Để dãy cấp số nhân Khi Dãy số Vậy có CTTQ Ví dụ 6: Cho dãy số Giải: Đặt Ta có: Để CSN ta chọn Vậy Tìm CTTQ dãy số , Tổng qt, để tìm số hạng tổng quát dãy ta đặt skkn Khi đó: - Nếu , ta chọn Khi dãy cấp số nhân với - Nếu , ta có Vậy ta có kết sau: DẠNG 3: Cho dãy số Khi đó, ta có: - Nếu - Nếu với Chú ý: Trong trường hợp ta tìm CTTQ dãy Đặt Khi ta có Để CSN ta chọn sau: Khi Ví dụ 7: Tìm số hạng tổng quát dãy số Giải: Đặt Để dãy Khi đó, ta có: CSN Khi Vậy Ví dụ 8: Tìm số hạng tổng quát dãy số Giải: Đặt Khi đó, ta có: skkn Để dãy CSN Khi Vậy Ví dụ 9: Tìm số hạng tổng quát dãy số Giải: Ta có: Gọi dãy số thỏa mãn Vậy Vậy dãy số (*) Ta có dãy , thay vào (*) ta có xác định ta dễ dàng tìm CSN Đây tốn thuộc dạng DẠNG 4: Để tìm số hạng tổng quát dãy số với a, b số thực khác , ta làm sau: - Tìm số nghiệm phương trình - Ta có , xét dãy số thỏa mãn Ta có cấp số nhân, dễ dàng tìm Từ ta đưa dãy số dạng suy kết Chú ý: Để xác định CTTQ dãy nói ta trình bày sau: Xét phương trình đặc trưng (1)  Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt , , dựa vào , ta tìm x, y  Nếu (1) có nghiệm kép , dựa vào , ta tìm x, y Ví dụ 10: Xác định số hạng tổng quát dãy số Giải: skkn 10 Ta có: Gọi dãy số thỏa mãn (*) Ta có dãy CSN Ta có dãy số xác định Đây toán thuộc dạng ta dễ dàng tìm Ví dụ 11: Cho dãy số Xác định CTTQ dãy số Giải: Ta tìm cách làm vế phải cơng thức truy hồi dãy cách: Đặt Thay vào công thức truy hồi dãy, ta được: Ta chọn a, b, c cho: Suy Ta có dãy Đây tốn dạng 4, ta dễ dàng tìm Vậy Ví dụ 12: Tìm CTTQ dãy số Giải: Ta có: Đặt , ta có dãy số Đây tốn dạng 3, ta dễ dàng tìm skkn 11 Ta có dãy số Đặt Để dãy Ta có: CSN Vậy DẠNG 5: Cho dãy số Để xác định CTTQ dãy ta xét phương trình: dãy) - Nếu (1) có ba nghiệm phân biệt , , ta tìm , , - Nếu (1) có nghiệm đơn, nghiệm kép: vào , , ta tìm , , - Nếu (1) có nghiệm , , Ví dụ 13: Tìm số hạng tổng quát dãy Giải: Xét phương trình đặc trưng: Phương trình có nghiệm: Vậy , (1) (đây phương trình đặc trưng Dựa vào , , Dựa Dựa vào , , ta tìm Ta có: Vậy skkn 12 Ví dụ 14: Xác định số hạng tổng quát dãy số Giải: Ta có: Đặt ta có dãy số tìm Đây tốn dạng 1, ta dễ dàng Vậy Ví dụ 15: Xác định số hạng tổng quát dãy số Giải: Việc tìm số hạng tổng quát dãy số khơng cịn đơn giản ví dụ tử số cịn có hệ số tự Ta cần làm hệ số tự tử cách đặt Ta có: Ta chọn a cho Do dãy số xác định Ta có: Đặt , ta có dãy số Đây toán dạng 1, ta dễ dàng tìm Vậy 2.3.3 Phương pháp tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi skkn 13 2.3.3.1 Tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi cách xác định cơng thức tổng qt dãy Ví dụ 1: Cho dãy số Tính Giải: Đặt Dãy số Ta có: CSN Ta có: Dãy số có cơng thức tổng qt Suy Vậy Ví dụ 2: Cho dãy số Đặt Tính Giải: Đặt Dãy số Ta có: CSN Dãy số Suy Khi đó: có cơng thức tổng qt Ta có: skkn 14 Vậy 2.3.3.2 Tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi cách sử dụng nguyên lý kẹp Ví dụ 1: Cho dãy số a) CMR: b) CMR: Tính Giải: a) Ta chứng minh - Với , ta có phương pháp quy nạp tốn học - Giả sử mệnh đề (*) đến tức ta có - Ta chứng minh (*) đến tức chứng minh Thật vậy: Mà nên suy Vậy Đpcm b) Ta có: Ta có: Mà hay , nên skkn 15 Ví dụ 2: Cho dãy số Tính Giải: Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh Ta có: hay Mà nên 2.3.3.3 Tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi cách sử dụng tính đơn điệu bị chặn Ví dụ 1: Cho dãy số xác định Tính Giải: Trước hết ta chứng minh dãy số tăng bị chặn Chứng minh dãy tăng quy nạp, tức (1) - Khi ta có nên mệnh đề (1) với - Giả sử (1) đến , tức ta có - Ta chứng minh (1) đến , tức chứng minh Thật vậy, Vậy Nên bị chặn Ta chứng minh (2) quy nạp - Khi ta có mệnh đề (2) với - Giả sử (2) đến , tức ta có - Ta chứng minh (2) đến , tức chứng minh Thật vậy, Vậy dãy số bị chặn Do dãy số có giới hạn hữu hạn, giả sử , Từ hệ thức truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có skkn 16 Hay Vì nên Vậy Nhận xét: Với ví dụ này, ta tìm CTTQ dãy , nhiên việc xác định CTTQ là đơn giản nhiều thời gian Với kĩ thuật tính giới hạn giải trên, tốn giải gọn nhẹ Ví dụ 2: Cho dãy số xác định Tính Giải: Nhận xét: Ta thấy , Dự đoán dãy số dãy dương tăng Rõ ràng Ta chứng minh (*) - Khi ta có - Giả sử (*) đến , tức ta có - Ta chứng minh (*) đến , tức chứng minh Thật vậy, Vậy dãy dãy số dương tăng Hơn nữa, ta thấy Hay (do ) Nên bị chặn Do dãy số có giới hạn hữu hạn Giả sử , Từ hệ thức truy hồi suy Hay Do nên Vậy Ví dụ 3: Cho dãy số xác định Chứng minh dãy có giới hạn tính giới hạn Giải: Ta chứng minh (*) phương pháp quy nạp - Khi ta có - Giả sử (*) đến , tức ta có - Ta chứng minh (*) đến , tức chứng minh skkn 17 Thật vậy, Vậy Do ta có Theo bất đẳng thức Cosi, ta có Mặt khác ta có (vì ) Nên dãy số giảm bị chặn hạn Giả sử , , dãy có giới hạn hữu Và ta có Vậy 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Trong q trình giảng dạy, tơi đưa phần nội dung đề tài (xác định công thức tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi thuộc dạng 1, dạng 2) vào giảng dạy lớp 11C, 11E tiết tự chọn chương Dãy số Sau thực giảng dạy đại trà cho hai lớp tiến hành cho làm kiểm tra 15 phút với nội dung sau: “Tìm số hạng tổng quát dãy số cho ” Kết thu sau: Lớp Giải Có đường lối giải Không giải 11C 65% 19% 16% 11E 60% 20% 20% Các phần khó nội dung đề tài dùng để giảng dạy cho em học sinh học khá, giỏi mơn tốn u thích mơn toán Sau nắm bắt phương pháp làm bài, em vận dụng thành thạo giải tốt nội dung tốn tìm cơng thức tổng quát tính giới hạn dãy số Kết luận kiến nghị 3.1 Kết luận skkn 18 Trải qua thực tiễn giảng dạy, nội dung giảng liên quan đến đề tài có tham gia góp ý đồng nghiệp, vận dụng đề tài vào giảng dạy thu số kết tích cực sau: - Học sinh trung bình trở lên nắm vững số phương pháp biết vận dụng toán xác định công thức tổng quát dãy số - Một số đề thi học sinh giỏi, học sinh lớp chọn sử dụng phương pháp trình bày đề tài để giải toán - Là phương pháp tham khảo cho học sinh thầy cô giáo - Qua nội dung đề tài, đồng nghiệp xây dựng thêm toán dãy số theo dạng có - Khi sử dụng đề tài giảng dạy tạo hứng thú học tập cho em học sinh 3.2 Kiến nghị Tôi mong Ban chun mơn nhà trường góp ý, bổ sung để đề tài hồn thiện hơn, triển khai áp dụng để dạy bồi dưỡng học sinh giỏi năm Trong trình biên soạn đề tài tơi có nhiều cố gắng, nhiên khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý chân thành thầy cô giáo đồng nghiệp Hội đồng chuyên môn nhà trường để đề tài tơi hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2022 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Lê Thị Thùy skkn 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Đại số Giải tích 11 Cơ bản, NXB Giáo dục, năm 2014 [2] Vũ Tuấn (Chủ biên), Bài tập Đại số Giải tích 11 Cơ bản, NXB Giáo dục, năm 2011 [3] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Đại số Giải tích 11 Nâng cao, NXB Giáo dục, năm 2020 [4] Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Bài tập Đại số Giải tích 11 Nâng cao, NXB Giáo dục, năm 2016 [5] Nguyễn Văn Mậu, Một số toán chọn lọc dãy số, NXB Giáo dục, năm 2003 [6] Lê Hồnh Phị, Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số Giải tích 11, NXB ĐHQG Hà Nội, năm 2019 [7] Lê Hồnh Phị, 500 tốn chọn lọc Đại số Giải tích 11, NXB ĐHQG Hà Nội, năm 2013 [8] Nhóm Cự mơn, Bài giảng trọng tâm chương trình chuẩn tốn 11, NXB ĐHQG Hà Nội, năm 2019 [9] Các diễn đàn toán học như: maths.vn; diendantoanhoc.net; mathscop.org; toancapba.net; … skkn 20 ... qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước 2.1.2 Tính chất dãy số Dãy số gọi dãy tăng Dãy số gọi dãy giảm Dãy số gọi dãy bị chặn có số thực cho Dãy số gọi dãy bị chặn có số thực cho skkn Dãy số. .. kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Dãy số cho hệ thức truy hồi (hay quy nạp): - Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu) - Cho hệ thức truy hồi, tức hệ thức biểu thị số. .. tỉnh, tỷ lệ học sinh giỏi Trong năm học 2020-2021, đề thi học sinh giỏi khối 11 xuất số toán dãy số khiến em học sinh lúng túng phải xử lý Nhất dãy số cho cơng thức truy hồi, khơng thể tìm số hạng