(SKKN mới NHẤT) SKKN phương pháp lập hệ thức truy hồi giải toán tổ hợp

I TÊN ĐỀ TÀI : “PHƯƠNG PHÁP LẬP HỆ THỨC TRUY HỒI GIẢI TOÁN TỔ HỢP” II PHẦN MỞ ĐẦU: Lý chọn đề tài Các toán tổ hợp phần quan trọng chuyên ngành toán rời rạc mảng khó chương trình tốn THPT chun Trong kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic Toán quốc tế khu vực, toán tổ hợp bắt buộc chúng chiếm khoảng 18% đề thi, thường xem dạng tốn khó, câu phân loại kì thi Các em học sinh bậc Trung học phổ thông thường gặp khó khăn tiếp cận dạng tốn liên quan đến tư tổ hợp, đặc biệt kỹ ứng dụng kiến thức số học số kiến thức khác vào việc giải tập tổ hợp Để hiểu vận dụng tốt số dạng toán vận dụng kiến thức tổ hợp vào giải tốn học sinh phải có kiến thức tảng tổ hợp tương đối đầy đủ chắn tất lĩnh vực ngành tốn rời rạc Đó khó khăn lớn giáo viên học sinh giảng dạy học tập phần kiến thức cần thiết tổ hợp Có nhiều cách giải tốn đếm như: Sử dụng hệ thặng dư đầy đủ, phương pháp đếm hai cách, sử dụng nguyên tắc cực hạn, sử dụng đa thức, phương pháp song ánh, phương pháp hàm sinh…Bài viết xin trình bày “Phương pháp thiết lập hệ thức truy hồi để giải toán tổ hợp” Bằng cách thiết lập mối quan hệ công thức cần tính với từ ta tìm Mục đích nghiên cứu Đề tài “Phương pháp thiết lập hệ thức truy hồi để giải toán tổ hợp ” giới thiệu với thầy cô giáo em học sinh kinh nghiệm giảng dạy chủ đề Tốn tổ hợp chương trình THPT chuyên, đồng thời thông qua đề tài muốn giúp học sinh tiếp cận với phương pháp dể giải toán Tổ hợp nhằm nâng cao kết kì thi học sinh giỏi quốc gia, khu vực Quốc tế Thông qua đề tài tơi mong muốn nhận góp ý trao đổi quý Thầy cô, bạn đồng nghiệp, em học sinh để đề tài có ứng dụng thiết thực vào công việc bồi dưỡng học sinh giỏi Nhiệm vụ nghiên cứu Để đáp ứng yêu cầu việc học tập nghiên cứu cho học sinh ba năm học liên tiếp: 2016-2017, 2017-2018, 2018-2019, góp phần nâng cao số lượng chất lượng HSG môn Toán ký thi: HSG cấp tỉnh, HSG đồng Bắc bộ, HSG QG lớp 12 Đối tượng khách thể nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài toán Tổ hợp nâng cao, tốn tổ hợp chương trình thi HSG Học sinh lớp chuyên Toán 10, 11, 12, đội tuyển thi chọn HSG lớp 12 download by : skknchat@gmail.com cấp tỉnh, đội tuyển HSG tham dự kỳ thi chọn HSG QG lớp 12 mơn Tốn Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu dựa nội dung kiến thức tốn phân mơn Tốn tổ hợp giới hạn thi học sinh giỏi Bộ Giáo dục Đào tạo Phương pháp nghiên cứu Để thực nghiên cứu cần phối hợp phương pháp: - Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu tài liệu chuyên tổ hợp đặc biệt tài liệu liên quan đến số học, đại số, dãy số, tạp chí ngồi nước; tài liệu từ Internet -Thực nghiệm rút kinh nghiệm thông qua trao đổi kinh nghiệm giảng dạy, rút sai lầm học sinh thông qua chấm bài, thi thử… download by : skknchat@gmail.com III NỘI DUNG A.CƠ SỞ LÝ THUYẾT: Kiến thức chuẩn bị: Học sinh phải trang bị kiến thức Tổ hợp Hai quy tắc đếm (cộng nhân) Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Cách tìm số hạng tổng quát dãy số (ở học sinh cần biết số hạng tổng quát dãy Fibonaci) Các kiến thức về số học B NỘI DUNG: Phương pháp thiết lập hệ thức truy hồi phương pháp quan trọng toán đếm Nội dung phương pháp thiết lập quan hệ truy hồi sau: giả sử công việc có cách thực hiện, để tìm ta tìm mối liên hệ với , sau suy Các toán sử dụng phương pháp thiết lập quan hệ truy hồi đa dạng, phong phú mức độ khó dễ khác Dưới chúng đưa số dạng tập tổ hợp sử dụng phương pháp thiết lập hệ thức truy hồi Sử dụng phương pháp thiết lập hệ thức truy hồi tốn đếm thơng thường Bài 1: Cho số nguyên dương từ chữ số thuộc tập Có số tự nhiên có chữ số lập chia cho có số dư 1? Lời giải: Gọi tập hợp tất số có chữ số lập từ chữ số thuộc tập Gọi tập hợp gồm tất số có n chữ số mà chia cho dư 0, 1, Ta có: Khi đó: Lấy phần tử , bỏ phần tử cuối ta phần tử ngược lại lấy phần tử x thuộc tập , +/ Nếu có cách thêm vào chữ số cuối ( chữ số 9) để phần tử thuộc , có cách thêm vào chữ số cuối (chữ số 7) để phần tử thuộc , có cách thêm vào chữ số cuối (chữ số 2) để phần tử thuộc +/ Nếu thuộc có cách thêm vào chữ số cuối (chữ số 2) để phần tử , có cách thêm vào chữ số cuối (chữ số 3, 9) để phần tử thuộc download by : skknchat@gmail.com , có cách thêm vào chữ số cuối (chữ số 7) để phần tử thuộc +/ Nếu có cách thêm vào chữ số cuối (chữ số 7) để phần tử thuộc , có cách thêm vào chữ số cuối (chữ số 2) để phần tử thuộc , có cách thêm vào chữ số cuối (chữ số 9) để phần tử thuộc Vậy ta có hệ: Ta có: Có Nhận xét:Hệ thức truy hồi đây: Đây tốn đếm số số có n chữ số mà n chưa biết trước cụ thể ta thường xây dựng hệ thức truy hồi , thiết lập mối quan hệ số số có n chữ số với số số có n+1 n+2 chữ số Cũng từ cách xây dựng ta dễ dàng tìm số số chia hết cho 3, số số chia cho dư Bài 2: Từ chữ số lập số tự nhiên có 2017 chữ số cho chữ số chữ số sau xuất lẻ lần Gọi số số tự nhiên gồm chữ số thành lập từ chữ số chữ số xuất lẻ lần ( lẻ) (*) +/ Xét số có n chữ số lâp từ chữ số : TH1: Nếu số thỏa mãn điều kiện (*) cách thêm hai chữ số giống vào cuối số để số có chữ số thỏa mãn điều kiện tốn TH2: Nếu số khơng thỏa mãn (*), n lẻ nên có hai chữ số xuất chẵn lần (gọi hai chữ số a b), chữ số lại xuất lẻ lần Trường hợp có cách thêm hai chữ số vào cuối số để số có chữ số thỏa mãn tốn Có số có chữ số (mỗi vị trí có cách chọn) lập từ chữ số , có số thuộc trường hợp Vậy từ hai trường hợp ta có hệ thức truy hồi: Suy ra: download by : skknchat@gmail.com Nhận xét: Bài toán thiết lập mối quan hệ hồi: , hệ thức truy Bài 3: (Mở rộng từ đề thi thực hành tuyển dụng giáo viên vào trường Chuyên Lê Quý Đôn, Quảng trị năm 2013) Từ số thuộc tập lập số tự nhiên có n chữ số mà số chứa số lẻ chữ số số chẵn chữ số ( n số nguyên dương cho trước)? Lời giải Kí hiệu  tập tất số tự nhiên có n chữ số lập từ số tập và   lần lượt tập tất số tự nhiên có n chữ số lập từ chữ số tập mà số chứa: lẻ chữ số 1và chẵn chữ số 2, lẻ chữ số 1và lẻ chữ số 2, chẵn chữ số 1và lẻ chữ số 2, chẵn chữ số 1và chẵn chữ số Ta có: , đơi rời và  Xét phần tử thuộc , giữ nguyên chữ số khác 2, chữ số đổi thành chữ số chữ số đổi thành chữ số ta phần tử , ngược lại lấy phần tử thuộc thực biến đổi ta phần tử nên Lấy phần tử , bỏ phần tử cuối ta phần tử ngược lại lấy phần tử x thuộc tập , Nếu có cách thêm vào chữ số cuối để phần tử thuộc Nếu có cách thêm vào chữ số cuối để phần tử thuộc Nếu khơng có cách thêm vào chữ số cuối để phần tử thuộc Nếu có cách thêm vào chữ số cuối để phần tử thuộc download by : skknchat@gmail.com Vậy: Kí hiệu Vậy Bài 4: Cho số nguyên dương  Có số tự nhiên có   chữ số, số chữ số lớn khơng có hai chữ số khác nhỏ đứng liền nhau?  Lời giải  Kí hiệu   là tập tất số tự nhiên có   chữ số thỏa mãn đề bài,  là tập của   theo thứ tự chứa số có tận nhỏ 6, số có tận lớn Lấy phần tử , bỏ phần tử cuối ta phần tử ngược lại lấy phần tử x thuộc tập , +/Nếu chữ số tận nhỏ (thuộc ) có cách thêm vào chữ số cuối để phần tử của  có cách thêm vào chữ số cuối để phần tử của  +/ Nếu chữ số tận lớn (thuộc  ) có cách thêm vào chữ số cuối để phần tử của   và cách thêm vào chữ số cuối để phần tử của  Từ lập luận ta có : Kí hiệu   ta có  Mặt khác: Dễ thấy Nếu , ta tìm  Xét  có cách chọn  download by : skknchat@gmail.com Nếu   thì có cách chọn  Vậy  Giải phương trình đặc trưng : nên Vậy có tấtcả số cần tìm Bài 5. Có n người ngồi thành hàng ngang vào n chiếc ghế Hỏi có cách lập hàng cho n người mà cách lập hàng người giữ nguyên vị trí mình, đổi chỗ cho người liền bên trái, đổi chỗ cho người liền bên phải  Lời giải  Đánh số thứ tự vị trí ghế từ trái qua phải Gọi   số cách lập hàng cho n  người thỏa mãn đề Dễ thấy  Với  Xét cách lập hàng thỏa mãn điều kiện Có hai loại hàng lập: Loại 1: Người vị trí số giữ nguyên vị trí Rõ ràng số hàng lập loại là   cách Loại 2: Người vị trí số đổi chỗ, người vị trí số xếp vào vị trí số người vị trí phải chuyển sang vị trí Số hàng loại là  Từ ta có  Vậy  Từ tìm được  Bài 6: Cho số nguyên dương n tập hợp Tìm số tập (kể tập rỗng) mà không chứa hai số nguyên dương liên tiếp Lời giải Kí hiệu số tập tập thỏa mãn yêu cầu toán tập hợp tập tập thỏa mãn yêu cầu toán Với tập hợp gồm hai loại: loại gồm tập chứa phần tử , loại gồm download by : skknchat@gmail.com tập không chứa phần tử +) Nếu tập thuộc loại tập khơng chứa phần tử Nếu loại bỏ phần tử n ta tập thuộc suy trường hợp có tập thuộc loại +) Nếu tập thuộc loại tập thuộc tập thuộc loại Từ hai trường hợp ta dãy Từ cách xác định dãy suy trường hợp có xác định sau: ta được: Bài (IMO 2011) Cho số nguyên dương cân hai đĩa cân với trọng lượng Ta muốn đặt lên cân cân, một, theo cách để đảm bảo đĩa cân bên phải không nặng đĩa cân bên trái Ở bước ta chọn cân chưa đặt lên cân, đặt vào đĩa bên trái, vào đĩa bên phải, tất cân đặt lên cân Xác định xem, có cách khác để thực mục đích đề Lời giải Kí hiệu số cách cân thỏa mãn yêu cầu toán Xét cân , ta xét lần cân thứ Khi có hai trường hợp sau xảy ra: Th1 Quả cân trọng lượng đặt lên Tổng số trọng lượng lần cân trước nên lần cân thứ phải đặt cân lên đĩa bên trái Do trường hợp số cách cân thỏa mãn yêu cầu toán Th2 Quả cân trọng lượng đặt lên Để đảm bảo đĩa cân bên phải không nặng đĩa cân bên trái cân trọng lượng phải đặt lên đĩa bên trái lần cân Do để thỏa mãn yêu cầu lần cân thứ ta đặt cân trọng lượng vào đĩa bên Do số cách cân thỏa mãn yêu cầu toán trường hợp Từ hai trường hợp ta được Ta có  Từ ta xác định  nên Sử dụng phương pháp thiết lập hệ thức truy hồi toán liên quan đến bảng vng Trong phần nói đến bảng vng dịng cột ta hiểu bảng gồm download by : skknchat@gmail.com Bài (Canada MO 2008) Cho bảng vng cỡ (trong số nguyên dương), quân xe di chuyển qua vị trí khơng q lần từ sang ô khác theo phương song song với mép bảng cho điểm xuất phát lần điểm kết thúc lần di chuyển trước khơng qua vng mà (nghĩa đường cuả chúng khơng giao nhau) Kí hiệu số đường quân xe từ góc bên trái đến góc bên trái (nếu ta đánh kí hiệu dịng đến dịng từ xuống kí hiệu cột đến cột n từ trái sang phải) đường theo quân xe từ đến Tính , số nguyên dương Lời giải Dễ thấy trường hợp sau: Đặt Ta xét TH1 Đường qua ba ô (3,1), (2,1), (1,1) Đường có TH2 Đường khơng qua (2,1) Khi đường từ ô số đường loại TH3 Đường dịng Khi số đường loại khơng qua TH4 Đường không qua dịng (trừ (1,1)) Khi số đường loại TH5 Đường Số đường loại TH6 Đường Số đường loại Do Như ta dãy sau: download by : skknchat@gmail.com Bài Cho số nguyên dương Điền vào ô bảng hai số Hỏi có cách điền số cho khơng có hai kề chứa số 1? Lời giải Kí hiệu số cách điền số thỏa mãn yêu cầu toán vào bảng tập hợp cách điều số vào bảng thỏa mãn yêu cầu toán Với cách điền số thuộc , ta giả sử số điền vào thứ (tính từ trái sang phải) Ta xét khả sau: +) ta bỏ số cách điền số thuộc số +) bảng , ta bảng suy trường hợp có , ta bỏ số cách điền số thuộc cách điền số bảng , ta bảng suy trường hợp có Từ hai trường hợp ta hệ thức: Từ ta tính cách điền , ta dễ thấy , Bài 10 Hỏi có cách lát kín bảng số Fibonacci thứ quân ? Lời giải Kí hiệu số cách lát thỏa mãn yêu cầu toán vào bảng hợp cách lát kín bảng quân Hình Với cách lát kín bảng trường hợp sau: tập Hình quân Khi xảy hai +) Nếu cột cuối bảng lát quân hình 1, bỏ quân ta bảng cách lát thuộc suy trường hợp có cách lát +) Nếu hai cuối dịng lát qn hai cuối dòng phải lát quân (xem hình 2) Khi ta bỏ hai qn cuối bảng ta bảng cách lát thuộc suy trường hợp có cách lát 10 download by : skknchat@gmail.com Từ hai trường hợp ta hệ thức: Từ ta tính , , ta dễ thấy số Fibonaci thứ Bài tập rèn luyện: Bài1: Từ số thuộc tập lập số tự nhiên có n chữ số mà số chứa số lẻ chữ số số chẵn chữ số ( n số nguyên dương cho trước) Bài 2: Có n thẻ đánh số từ đến n Có cách chọn số thẻ (ít tấm) cho tất số viết thẻ lớn số thẻ chọn Bài 3: Cho tập Một tập gọi tập “cân” Tính số tập “cân” tập X Bài 4(VMO 2009): Cho số nguyên dương Kí hiệu T tập hợp số nguyên dương Hỏi có tất tập có tính chất: Trong khơng tồn số a, b mà (Tập rỗng coi tập có tính chất trên) Bài 5: Có cách lát kín bảng qn Bài 6: Cho số nguyên dương tập hợp mà chứa hai số nguyên dương liên tiếp ; ? Tìm số tập 11 download by : skknchat@gmail.com IV KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU: Kết thử nghiệm kiểm tra lần cuối tháng 11 năm học 2017- 2018, thống kê học sinh lớp chuyên Toán 10, 11 kết cụ thể sau : Lớp Giỏi Tỷ lệ Khá 11T 10T Đội tuyển HSG Quốc gia 7/30 7/29 2/6 23,3% 12/30 24,1% 10/29 33,3% 3/6 Tỷ lệ Trung bình 40 % 11 34,4% 12 50% 1/6 Tỷ lệ Yếu Tỷ lệ 36,7 % 41,4% 16,7% 0 0% 0% 0% Kết thử nghiệm kiểm tra lần ngày tháng 12 năm 2018, thống kê học sinh lớp kết cụ thể sau : Lớp Giỏi Tỷ lệ Khá 11T 17/30 56,7% 10/30 10T Đội tuyển HSG Quốc gia 20/29 4/6 69% 7/29 66,7% 2/6 Tỷ lệ Trung Tỷ lệ bình 0% 33,3 % 24,1% 2/29 33,3% 6,9% 0% Yếu Tỷ lệ 0% 0 0% 0% Rõ ràng qua hai đợt khảo sát thực đề tài này, kết học sinh có tiến rõ rệt, thành thạo nhiều kỹ biến đổi vận dụng hơn, hiểu rõ chất u thích mơn học hơn.Vì chất lượng môn nâng cao 12 download by : skknchat@gmail.com V PHẦN KẾT LUẬN Trong chuyên đề “Phương pháp lập hệ thức truy hồi để giải toán tổ hợp” phát triển tư thơng qua số dạng tốn Chuyên đề hệ thống tập đưa theo thứ tự tăng dần độ khó để người đọc thấy ứng dụng đặc biệt hướng tư có liên quan đến việc sử dụng phương pháp qua toán cụ thể giúp định hướng rõ ràng cách giải cho học sinh Trong phần tập áp dụng chọn lọc từ thi, tập có lời giải khác lời giải thiết lập hệ thức truy hồi đặc sắc đẹp Hy vọng chuyên đề góp phần nhỏ vào trình giảng dạy bồi dưỡng HSG mong nhận ý kiến đóng góp đồng nghiệp để chuyên đề hoàn thiện 13 download by : skknchat@gmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Chuyên đề chọn lọc Tổ hợp Toán rời rạc, NXB Giáo dục, 2008 [2] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Toán Rời rạc số vấn đề liên quan, Tài liệu bồi dưỡng giáo viên hè 2007, Trường ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội [3] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ [4] Nguyễn Đức Đồng(chủ biên), Tuyển tập 670 toán rời rạc cựctrị [5] Huỳnh Cơng Thái, Giải tích tổ hợp [6] Các nguồn tài liệu từ internet www.mathlinks.org; www.imo.org.yu XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Quảng Trị, ngày tháng năm 2019 14 download by : skknchat@gmail.com ĐƠN VỊ Tôi xin cam doan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết SKKN Trương Thị Bé 15 download by : skknchat@gmail.com ... số hạng tổng quát dãy Fibonaci) Các kiến thức về số học B NỘI DUNG: Phương pháp thiết lập hệ thức truy hồi phương pháp quan trọng toán đếm Nội dung phương pháp thiết lập quan hệ truy hồi sau:... liên hệ với , sau suy Các toán sử dụng phương pháp thiết lập quan hệ truy hồi đa dạng, phong phú mức độ khó dễ khác Dưới chúng đưa số dạng tập tổ hợp sử dụng phương pháp thiết lập hệ thức truy hồi. .. cao 12 download by : skknchat@gmail.com V PHẦN KẾT LUẬN Trong chuyên đề ? ?Phương pháp lập hệ thức truy hồi để giải toán tổ hợp? ?? phát triển tư thơng qua số dạng tốn Chun đề hệ thống tập đưa theo