- Cách 1: Đếm theo cột: chúng ta giả sử rằng mỗi cặp 2 sinh viên có bài toán không ai trong đó giải được. Do đó, mỗi hai cột, có ít nhất một cặp số 1, trong hai cột này thuộc cùng một [r]
(1)THPT chuyên KHTN
1
PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG CẤU HÌNH TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP
I. Giới thiệu
Trong kì thi VMO; VNTST, hay IMO tốn tổ hợp thường đóng vai trị quan trọng Ta thấy việc xây dựng cấu hình cho tốn mấu chốt thi lớn khu vực quốc tế, phương pháp sử dụng cách rộng rãi (như kỳ thi IMO 2013, tốn 2) Vì vậy, nhóm học sinh lớp 10A1 Tin chúng em viết chuyên đề để nêu ý kiến, kinh nghiệm số trao đổi phương pháp
Phương pháp xây dựng cấu hình số ứng dụng
-Có thể nêu ý tưởng phương pháp thay đổi cách tiếp cận đề đường khác, cách nhìn khác có đặc điểm tương đồng với giả thiết ban đầu, mà với nó, ta xử lý tốn cách dễ dàng
Các mơ hình ta thường dùng bảng vng, đồ thị, đường tròn, bao lồi,
II.Một số toán ứng dụng
Chúng ta bắt đầu với ví dụ đơn giản:
VD1: Có cách chia tập hợp S có n phần tử thành hai tập con(bao gồm tập rỗng) cho hợp chúng S
Giải:
+) Ta thấy vấn đề đặt tổng quát ý tưởng đếm truy hồi, chứng
x
x
x
(2)THPT chuyên KHTN
2
minh quy nạp xuất trường hợp Tuy nhiên, vẽ mô hình để hình dung vấn đề sáng tỏ
+ Ta biểu diễn hai tập A;B hình trịn cơng việc cần làm ứng với phần tử ∈ , xếp vào vịng trịn Rõ ràng ta có bốn cách để xếp:
∈ ; ∉ (1)
∈ ; ∉ (2)
∈ ; ∈ (3)
∉ ; 〰 ∉ (4)
Nhưng u cầu tốn “hợp hai tập S” nên tính trường hợp (4) Do đó, ứng với phần tử, ta có cách xếp vào tập hợp Tủ đây, ta có đáp số toán + =
Bây đến với ví dụ khó
VD2 (Chọn đội tuyển PTNK-09) :
Cho = {1; 2; … } Một tập A gọi “tốt” có hai phần tử x, y
| − | ∈ {1; … } Tìm số tập { ; ; … } thỏa mãn tập “tốt” | ∪ ∪ …∪ =
Giải:
Bài tốn hồn tồn sử dụng hệ thức truy hồi để giải lập luận dài rắc rối, ta chuyển mơ hình sau để dễ hình dung:
1 −
+ + 2 −
(3)THPT chuyên KHTN
3
Giờ chất toán lộ rõ, việc xử lý toán hệ thức truy hồi đơn giản:
+ Gọi số cách lát thỏa mãn đề
+ Giả sử ta lát hình chữ nhật × ( + 1) qn đơminơ phủ lên vng n Có ba trường hợp:
(1) Ô ( , ) phủ, rõ ràng phần cịn lại hình chữ nhật × , số chách lát: (2) Ơ ( + 1,2 ) phủ lên, ô (2n-1,2n) bị phủ, phần cịn lại
hình chữ nhật kích thước × ( − 1), số cách lát thỏa mãn
(3) (n,n+1) phủ (n lẻ) Khi đó, phần cịn lại lát qn đơminơ nằm ngang (nếu có qn đơminơ nằm dọc hình chữ nhật bị chia thành hai phần, phần số lẻ ô chưa lát), tức trường hợp có cách lát
Vậy ta có cơng thức truy hồi:
= + − (bớt cách lát S )
= +
Quy nạp, ta có = = , với số Fibonacci thứ n ( = = 1; = + ), ta có:
= √5
1 + √5
2 −
1 − √5
2 +
1 + (−1)
Tiếp theo, xét ví dụ khó có cách phát biểu giống VD2, việc xây dựng công thức truy hồi lại không đơn giản
VD3 (VMO 2009, P5) :
Cho n nguyên dương Kí hiệu T tập gồm 2n số nguyên dương Hỏi có tập S T có tính chất: Trong S, không ∃ , mà | − | ∈ {1, }
(4)THPT chuyên KHTN
4
Giải:
+) Xét bảng × :
1 −
+ + 2 −
Gọi | | số tập thỏa mãn đề bài, tương đương với số cách chọn số ô bảng mà khơng có hai kề hay có hai ( , + 1) gọi ô “xấu”
+ Dễ thấy | | = | | − | | đó:
| | số cách chọn số bảng mà khơng có hai ô kề nhau, có hai ô
| | số cách chọn số ô vuông bảng mà hai ô kề nhau, đồng thời có hai xấu
+ Đếm | | :
- Xét hai ô ( ; ) dễ thấy hai khơng chọn - Xét ( , ) không chọn, số cách chọn | − 1| - Xét ( , ) có hai số chọn
- Gọi | | số cách chọn bảng × khuyết đơn
→ Số cách chọn 2| |
(5)THPT chuyên KHTN
5
+ Đếm | |:
- Nếu ô X không chọn → số cách chọn: | | - Nếu ô X chọn → số cách chọn: | |
→ | | = | | + | | (2)
Từ (1) (2) kết hợp với | | = 1; | | = 7→| | = 2| ⦦ | + | |
→| | = ( √ ) ( √ )
+ Đếm | | :
Gọi | | số cách chọn bảng khuyết kép × , | | = | | Xét hai ô A,B:
- Nếu A,B không chọn → số cách chọn | | - Nếu A,B chọn → số cách chọn | |
- Nếu A,B có số chọn → số cách chọn 2| |
→ | | = | | + | | + 2| |
= | | + | |
Mà | | = 2| | + | | ↔ 2| | − | | = 2| | − | |
↔ 2| | − | | = (−1)
↔ | | = ( ) | |
↔ | | = | | = (−1) + | |
(6)THPT chuyên KHTN
6
↔ | | = | | | | ( )
↔ | | = [( √ ) ( √ ) ] [( √ ) ( √ ) ] ( )
Qua lời giải toán trên, dễ dàng giải tốn sau
VD5 (Chọn đội tuyển KHTN năm 2014) :
Cho m, n số nguyên dương = {1; 2; ; 2014} Đếm số tập A S thoả mãn có m số chẵn, n số lẻ khơng có hai số liên tiếp
Lời giải toán xin dành cho bạn đọc
Chúng ta tiếp tục với toán kỳ thi chọn đội tuyển Việt Nam năm 2001 mà không xây dựng mô hình khó mà tìm cách tiếp cận toán
VD6 (VNTST 2001) : Cho dãy { } thỏa mãn < − < 2001 Chứng minh
∃ vô số cặp số nguyên dương (p,q) thỏa mãn p<q | Giải:
Từ cách xác định dãy, ta thấy số hạng không lớn số đứng liền trước cộng thêm 2001 đơn vị Như thế, cần xét 2002 số ngun dương liên tiếp có số hạng thuộc dãy, đặt tên số a Ta xây dựng bảng:
( , ) = ( , 2) = + ( , 2) = +
( , ) = ( , )
+ ( , )
(2,2) = (1,2)
+ (1, )
(2,2002) = (1,2000)
+ (1, )
(2002, ) = (200 , )
+ (200 , )
( , 2) = ( 1,1)
+ ( 1, )
( , 2002) = ( 1,2002)
(7)THPT chuyên KHTN
7
Bảng cho tất 2002 cột 2003 hàng Trong số hạng hàng thứ hai trở tích tất số hạng hàng liền trước cộng với số hạng cột với Rõ ràng, hàng, có số hạng thuộc dãy cho Từ đó, theo ngun lý Điríchlê, ta có điều phải chứng minh
Đơi việc xây dựng mơ hình kết hợp với nguyên lý đếm hai cách tạo lời giải vô độc đáo
VD7 (Vô địch Toán sinh viên quốc tế 2002)
Hai trăm sinh viên tham dự thi toán tham gia giải toán Biết toán giải 120 sinh viên Chứng minh có hai sinh viên cho tốn giải hai sinh viên
Giải: Giả sử ngược lại, với hai sinh viên, có số tốn mà khơng giải Từ dẫn đến ý tưởng đếm cặp sinh viên với tốn khơng giải
+ Xét bảng gồm hàng, hàng biểu diễn toán 200 cột, cột biểu diễn cho sinh viên Ta điền số vào bảng sinh viên tương ứng với cột không giải toán tương ứng với hàng, ghi số cho trường hợp khác Gọi T tập cặp số hàng Chúng ta đếm T theo hai cách:
- Cách 1: Đếm theo cột: giả sử cặp sinh viên có tốn khơng giải Do đó, hai cột, có cặp số 1, hai cột thuộc hàng Nên tìm phần tử T cặp cột Có cặp cột →| | ≥ = 19900 (1)
- Cách 2: Đếm theo hàng: tốn giải 120 sinh viên; điều có nghĩa nhiều 80 số hàng Vậy hàng chứa nhiều
cặp số Có hàng →| | ≤ = 18960 (2)
Từ (1) (2) ta có 19900 ≤ | | ≤ 18960 (vơ lý) → ta có điều phải chứng minh
(8)THPT chuyên KHTN
8
1) Hàm ( ) = = ( ) hàm lồi (đây số hàm xuất thường xuyên toán tổ hợp)
Theo bất đẳng thức Jensen, ta có:
2 ≥
( − )
( , , … nguyên dương = + + ⋯ + )
Vì đánh giá mang tính xác xấp xỉ nên để đánh giá đại lượng đó, ta sử dụng nhận xét:
2)
2 ≥ + ( − )
( , , … nguyên dương = + + ⋯ + = + ; , ∈ thoả mãn
0 ≤ ≤ )
Chúng ta xét toán:
VD8 (Chọn dội tuyển ĐHSP 2014) :
Cơ sở liệu thư viện Quốc gia có 2016 loại khác Thư viện cho phép 2013 thư viện địa phương phép khai thác 1008 loại tạp chí khác hai thư viện địa phương có tối đa 504 loại tạp chí mà hai thư viện địa phương khai thác Chứng minh có khơng q loại tạp chí sở liệu thư viện quốc gia mà 2013 thư viện địa phương khai thác
Ta thấy việc xây dựng mơ hình khơng cịn giống trước mà ta xây dựng toán dạng tập hợp
Giải: Giả sử phản chứng có hai loại tạp chí mà khơng có thư viện địa phương khai thác Ta chuyển tốn mơ hình tập hợp:
Chứng minh ∃ 2013 tập , , … ⊂ = { , , … } thoả mãn
(9)THPT chuyên KHTN
9
Gọi số tập mà phần tử thuộc vào ( = 1,2014)
↔ ∑ | ∩ | = ∑ (
2 ) ≤ 504 ( 2013
2 ) (theo điều kiện i) (2)
Mà ∑ (
2 ) ≥ 2014 ( ∑
2
) ≥ 2014 (
2
) (3) Từ (2) (3) → 504 (2013
2 ) ≥ 2014 (
2 )
Dễ kiểm tra điều vơ lý nên tốn chứng minh
Chúng ta lại xét toán với việc xây dựng mơ hình kết hợp với phương pháp đếm hai cách, đánh giá “chặt” cần thiết nên nhận xét lúc sử dụng thay nhận xét
VD9 (Trường đơng Tốn học 2013):
Cơ giáo có 2013 viên kẹo gồm 11 loại khác Cơ chia cho học sinh người số viên kẹo khơng có học sinh nhận nhiều viên kẹo loại kẹo Cơ u cầu hai học sinh khác so sánh viên kẹo nhận viết số loại kẹo mà hai có lên bảng Biết cặp lên bảng lần Gọi tổng số viết lên bảng M
a) Tìm M
b) Tìm M giáo có loại kẹo
Nhận xét: Một lần nữa, mơ hình tập hơp lại xuất xây dựng cho toán Giải:
a) Giả sử có m học sinh đánh số thứ tự 1,2, 11 loại kẹo
, , … Đặt = { , , … } , , … tập hợp loại kẹo mà học sinh 1,2, nhận Theo giải thiết , , … ⊂
Với = 1,2, 11, gọi ( ) số lượng kẹo loại → ∑ ( )= 2013
Ta có = ∑ | ∩ | (1,11)
Dễ có = ∑ | ∩ | = ∑ ( )
2 = ∑ ( ( ( )) − ( ))
Theo bất đẳng thức BCS, ta có:
(10)THPT chuyên KHTN
10
→ = ( − 2013)
b) Lại lập luận tương tự, gọi , , … loại kẹo ( ); = 1,9 số viên kẹo loại Ta có:
= ( ) = 2013
Ta cần tìm ∑ ( ( ) )
Ta thấy có hai giá trị: ( )− ( ) ≥ (1 ≤ , ≤ 9) ta thay ( ) giảm đơn vị, tăng ( ) lên đơn vị, ta có:
( ( 〱)) + ( ( )) − ( ( )− 1) − ( ( )+ 1) = [ ( )− ( )] >
Do để ∑ ( ( ) ) ta cần ( ) − ( ) ≤ ∀ , ∈ {1, … 9}
( ) ≤ ( ) ≤ ⋯ ≤ ( ) từ điều kiện trên, ta thấy số ( ) nhận hai giá trị , + ( ∈ ) Giả sử có t số k có 9-t số k+1
Cần tìm = [ + (9 − )( + 1) − 2013 ] với + (9 − )( + 1) = 2013
→ = − 2004 Thay vào M, ta có:
=
2[ (9 − 2004) + (2013 − )( + 1) − 2013]
Do ≤ ≤ → ≤ − 2004 ≤ → ≤ ≤ → = 223 → = (3 223 + 224 − 2013)
Dấu “=” ↔ có giá trị 223 giá trị 224
Tiếp theo xét định lý rát kinh điển với cách chứng minh đẹp việc xây dựng mơ hình
VD10 (Định lý Erdos-Ko-Rado) :
Cho F họ tập có k phần tử {1,2, } thỏa mã tập F giao ≤ [ ] Chứng minh | | ≤ ( −
− 1)
(11)THPT chuyên KHTN
11
Ta xét mơ hình:
Ta xếp n điểm vịng trịn thỏa mã đoạn gồm k điểm có khơng có điểm chung Ta chia tập k phần tử (mỗi đoạn k điểm) làm hai tập:
+ A: gồm đoạn k điểm mà với cách xếp n điểm vòng tròn mà thuộc F + B: gồm đoạn k điểm
Ta có: | | = | |; | | = ( )
Ta ý: ( ) = ( −
− 1) → Bài toán cần chứng minh tương đương | | ≤ | |
Ta cần chứng minh ≤ [ ] A có nhiều k phần tử (k đoạn ) Với đoạn thuộc A, ta tô xanh phần tử cuối tơ đỏ phần tử đằng sau phần tử
Nhận xét: Tập điểm xanh nhận từ điểm đỏ qua phép quay
Vậy sau điểm xanh, − điểm cịn lại khơng thể đỏ giả sử điểm đỏ, đoạn chứa đôi rời với đoạn chứa điểm xanh mà ta xét Từ đó, ta tìm đoạn độ dài − mà khơng có điểm xanh, di chuyển đoạn theo chiều kim đồng hồ đến điểm đoạn xanh, không chứa điểm đỏ → điểm xanh đỏ nằm điểm lại
Khơng có điểm tơ hai màu, đoạn thuộc khơng giao
(12)THPT chuyên KHTN
12
Mỗi đoạn giao chứa nhiều điểm xanh, đỏ → có ≤ điểm ∈
Để kết thúc viết nay, đến với tốn 2, IMO2013, tốn điển hình cho phương pháp xây dựng cấu hình
VD11 (IMO2013,P2) :
Một tập hợp gồm 4027 điểm mặt phẳng gọi tập “Colombia” khơng có ba điểm số thẳng hàng, đồng thời có 2013 điểm tô đỏ 2014 điểm tô xanh Mặt phẳng phân chia thành miền ta kẻ số đường thằng Một cách kẻ số đường thẳng gọi “cách kẻ tôt” thỏa mãn hai điều kiện sau:
1) Khơng có đường thẳng qua dù điểm thuộc tập hợp 2) Khơng miền chứa điểm màu đỏ điểm màu xanh
Tìm k nhỏ cho với tập “Colombia” tùy ý gồm 4027 điểm, ∃ cách kẻ k đường thẳng “cách kẻ tốt”
Giải:
+ Lời giải 1(của Tạ Hà Nguyên – 10A1 Toán)
- Trước tiên ta chứng minh bổ đề 1: Cho a điểm xanh a điểm đỏ cách đường tròn xếp xen kẽ (tức xanh lại đỏ) số đường thẳng để chia vùng thỏa mãn điều kiện đề a
- Chứng minh:
Nếu ta coi điểm xanh điểm đỏ kề “cụm” tồn đường thẳng qua hai điểm xanh đỏ cụm mà ta tạm gọi qua cụm, cụm nằm đường trịn nên có đường thẳng qua tối đa cum Mặt khác tổng số cụm a+a=2a nên số đường thẳng thỏa mãn 2a/2=a
- Bổ đề 2: Hai điểm màu điểm cho nằm miền tạo hai đường thẳng song song cho miền chứa hai điểm màu khơng chứa điểm khác màu cịn lại
- Chứng minh:
(13)THPT chuyên KHTN
13
Từ A, B nằm miền hai đường thẳng S, S’ khơng chứa điểm khác, đpcm
Quay lại toán, 2013 đỏ 2014 xanh, rõ ràng việc thêm điểm xanh vào bổ đề đúng, số đường [ ] = 2013
Ta chứng minh 2013 đường thỏa mãn Thật vậy, xét bao lồi tất điểm trên:
+ TH1: Trong bao lồi (hay tạm gọi đa giác lồi) tồn đình đỏ gọi C
Khi đó, xét hai đỉnh láng giềng với đỉnh đỏ (tức đỉnh nối với C cạnh đa giác bao lồi) gọi chúng E, F
Từ C, kẻ đường thẳng // Gọi khoảng cách EF đến l, khoảng cách từ điểm xanh gần C Khi đó, vẽ ’// ( ’ → ) < { ; } Dễ thấy l’ chứa tồn điểm chứa đỉnh đỏ Do đó, lại 2012 đỉnh đỏ khác, áp dụng bổ đề cho cặp đỉnh, ta thu = 2012 đường
Cộng thêm l’, ta có tất 2012+1=2013, ý đỉnh đỏ cô lập miền chứa điểm khơng chứa điểm xanh nên cách chia thỏa mãn, đpcm + TH2: Trong bao lồi, khơng có đỉnh đỏ tức đỉnh bao lồi toàn xanh
Khi đó, gọi hai đỉnh xanh liên tiếp M, N hai đỉnh láng giềng (với M,N tương ứng) U, V
Gọi d khoảng cách từ U đến MN, d khoảng cách từ V đến MN, d khoảng cách đỉnh đỏ gần đến MN
Khi đó, vẽ đường thẳng k//MN có khoảng cách đến MN đủ nhỏ để nhỏ
{ , , } Khi nửa mặt phẳng bờ k khơng chứa tồn điểm xanh chứa điểm xanh
Cịn 2014-2=2012 điểm xanh, thực tương tự với bổ đề 2, ta số đường
+ = 2013 (đpcm) Vậy số đường 2013
+Lời giải 2(của Nguyễn Tuấn Anh – 10A1 Tin) :
- Ta chứng minh với N điểm đỏ, N+1 điểm xanh k=n + Chứng minh ≥
(14)THPT chuyên KHTN
14
Vậy số lượng đường thẳng “đẹp” nhất: [ ] = [ ] =
Bước 2: Ta xây dựng quy nạp tập hợp N đỏ, N+1 xanh tồn [ ] = đường thẳng chia mặt phẳng làm đường thẳng thỏa đề:
N=1 (đúng)
Giả sử với ∀ < Ta chứng minh đến N
Gọi d số miền mặt phẳng có chứa điểm khác màu Lập bao lồi 2N+1 điểm cho
Xét điểm A đỉnh bao lồi B đỉnh kề Xét đường thẳng qua A khoảng cách điểm khác →AB (xét A; B màu, giả sử đỏ)
+ Xét đường thẳng qua A, qua đường thẳng theo chiều kim đồng hồ dừng lại “chạm” đến điểm xanh có khoảng cách → AB nhỏ điểm xanh đỏ nằm l nên phần mà đường thẳng quét qua khơng chứa điểm xanh hay chứa toàn điểm đỏ → d giảm
xanh
đỏ đỏ
(15)
THPT chuyên KHTN
15
Tiếp tục trinh, chọn trục quay A xét đường thẳng m khác xét khoảng cách điểm khác đến đường thẳng
Ta thấy d ln giảm d dãy số nguyên dương giảm vô hạn → tồn thời điểm mà d=0
+Với trường hợp (A; B khác màu) ta lại xét đỉnh C kề A B Gỉa sử kề A C phải màu với A B Gỉa sử C màu với A, lại chọn trục quay với đường thẳng AC
Vậy ta có kết luận: tồn cách chia mà điểm thuộc miền khơng chứa điểm khác màu
Ta có: N điểm đỏ, theo giả thiết quy nạp, chia [ ] đường thẳng
N+1 điểm xanh, theo giả thiết quy nạp, chia [ ] đường thẳng Mà [ ] + [ ] = nên ta có điều phải chứng minh
III Một số toán áp dụng (bạn đọc tự làm); 1. (IMO 98)
Trong thi, có a người dự thi b câu trả lời, b lẻ ≥ Mỗi câu trả lời người dự thi “đúng” “sai” Gỉa sử k số cho hai câu trả lời trùng với nhiều k người dự thi
Chứng minh rằng: ≥
2. (Olympic 30/4/2008)
Cho n số thực , , … Chứng minh tồn số thực x thỏa mãn + , + , … + số vô tỷ
3. (Nga 1996)
Cho biết có 16000 ủy ban tạo 1600 ủy viên Mỗi ủy ban có 80 ủy viên Chứng minh ∃ ủy ban có ủy viên chung
(16)THPT chuyên KHTN
16
Có tập tập gồm 2n số nguyên dương cho ∄ số a,b mà a+b=2n+1
5. (Chọn đội tuyển VN 2013)
Cho khối lập phương 10 × 10 × 10 gồm 1000 ô vuông đơn vị màu trắng A B chơi trò chơi A chọn số dải × × 10 cho hai dải khơng có chung đỉnh cạnh đổi tất sang màu đen B chọn số hình lập phương hỏi A màu Hỏi B cần chọn để câu trả lời A B ln xác định ô màu đen
6. (IMO 2001)
Có 21 nữ × 21 nam tham gia thi toán, biết: i) Mỗi người dự thi giải nhiều toán
ii) Với cặp nữ nam, có tốn giải nữ nam Chứng minh có tốn giải nam nữ
7.(Secbia 2011)
Cho tập T gồm 66 điểm mặt phẳng , P gồm 16 đường thẳng mặt phẳng Một cặp ( , ) tốt ∈ , ∈ ∈ ∈ CM số cặp tốt nhiều 159 , xây dựng trường hợp dấu xảy
IV.Tài liệu tham khảo:
1. 102 combinatorial problem from the training of the USA IMO team: Titu Andreescu,
Zuming Feng
2. Problems from the book: Titu Andreescu, Gabriel Dospinescu
3. 200 thi vơ địch Tốn tổ hợp: Nguyễn Q Dy, Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Nho
4. Một số kiến thức sở graph hữu hạn: Vũ Đình Hòa