Phương pháp sử dụng máy tính casio giải toán tập 2

Phương pháp sử dụng máy tính casio giải toán tập 2........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Trang 1

Phương pháp sử dụng máy tính CASIO trong bài toán

Phương trình Bất phương trình

Trang 2

CHỦ ĐỀ 6: PHƯƠNG PHÁP XÉT TỔNG HIỆU

I Đặt vấn đề:

 Trong các chủ đề trước, chúng ta đã giải các phương trình, bất phương trình và hệ phương trình bằng các phương pháp nâng lũy thừa, tạo biểu thức liên hợp với sự hỗ trợ của máy tính CASIO

 Trong phần này, chúng ta sẽ tiếp tục tiếp cận phương pháp nhân liên hợp tiếp theo, chuyên sử dụng cho các bài toán có hai căn bậc hai cộng với nhau

II Phương pháp xét tổng hiệu là gì?

 Khi đó chỉ cần cộng hoặc trừ vế với vế của (1) và (2) ta sẽ khử được

một trong hai căn A hoặc B

III Ví dụ minh họa

Trang 3

Hệ phương trình – Đoàn Trí Dũng – Nguyễn Phú Khánh Email: Phukhanh@moet.edu.vn

Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  0

Bài 2: Giải phương trình: x3x2 1 x22x2x1

 222 2 2   2 (Thỏa mãn điều kiện)

Kết luận: Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x   2

Bài 3: Giải phương trình: x8 x  x7 x 1 4x1

Bài giải

Trang 4

Bài 4: Giải phương trình: x2 162 x23x4 3 4 x  x 1 1

Trang 5

x x

Do đó (*) x3 (Thỏa mãn điều kiện)

Trang 7

Ta có: f ' y 3y2 6y6 3 y12  9 3 5 1  2   9 0 y 5

Do đó f y  là hàm số đồng biến trong 5;

Do đó ta có f y  f 5 y33y26y 1 19 0  y 5

Như vậy (*) y5 (Thỏa mãn điều kiện) x2 10x45 20 x5

Kết luận: Hệ phương trình có cặp nghiệm duy nhất xy5

Bài 7: Giải hệ phương trình:

1

22

Trang 9

Kết luận: Vậy hệ phương trình có cặp nghiệp duy nhất xy1

Trang 10

CHỦ ĐỀ 7: HÀM ĐẶC TRƯNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

 Trong các bài toán phương trình, bất phương trình và hệ phương trình, có rất nhiều bài toán mà ở đó chúng ta nhìn thấy hai vế của phương trình, bất phương trình có cách biểu diễn “gần giống nhau” Tuy nhiên từ chỗ “gần giống nhau” đó ta chỉ ra được mối quan hệ của các nhóm biểu thức là không phải điều đơn giản

 Trong chủ đề này chúng ta sẽ tập trung phân tích các phương trình, bất phương trình và hệ phương trình có tính chất như trên và ta gọi

là “Phương pháp hàm đặc trưng”

II Kiến thức căn bản:

 Nếu f x  là hàm số đơn điệu và liên tục trên tập xác định D đồng

Trang 11

Hệ phương trình – Đoàn Trí Dũng – – Nguyễn Phú Khánh Email: Phukhanh@moet.edu.vn

Xét y 100, ta có phương trình trở thành: 3x 2x100 796

SHIFT CALC với x  ta được nghiệm: 1 x  197

Để tìm mối quan hệ giữa ,x y ta cần liên hệ với cách biểu diễn của 197với 100 : 197 3 2.100   Do đó: x 197 3 2y

Như vậy: 2 x 2y1 Do đó ta sẽ biến đổi phương trình hai về dạng hàm

số đặc trưng đại diện cho hai biến này

Vì x2  x 2 0 x do đó x  (Thỏa mãn điều kiện)1 y1

Kết luận: Hệ phương trình có cặp nghiệm duy nhất xy1

Trang 12

3 3

Ta có: f t' 3t2 1 0 với mọi giá trị t  

Do đó f t  là hàm đồng biến và liên tục với t  

Kết luận: Hệ phương trình có một cặp nghiệm duy nhất xy 1

Trang 13

Trang 14

4 4

Nhìn thoáng qua ta tưởng chừng hệ không có điều kiện có biến y , tuy nhiên nếu ta gặp một phương trình bậc 2 theo biến x , ta có thể sắp xếp lại thành phương trình bậc 2 ẩn x tham số y và giải điều kiện có nghiệm:

Trang 15

Do đó: y 0 x1 hoặc y 1 x2

Kết luận: Hệ có hai cặp nghiệm: x y ;   1;0 ; 2;1   

(vô nghiệm) Vậy y  0

Chia hai vế phương trình đầu cho y5 ta được:

Vậy f t  đồng biến và liên tục trên khoảng xác định Do đó:

Kết luận: Hệ có hai cặp nghiệm: x1,y 1

Bạn đọc có thể làm các bài tập áp dụng tương tự như sau:

Trang 16

Trang 17

Kết luận: Hệ có hai cặp nghiệm phân biệt: x y  ;    1; 1 ; 2; 2    

Bạn đọc có thể làm các bài tập áp dụng tương tự như sau:

Trang 18

Kết luận: Hệ có hai cặp nghiệm phân biệt: x y  ;    2 ; 1 ; 3;6    

Trang 19

000

Trang 20

x y

Trang 21

x

   vào phương trình (2) trong hệ ta có:

3 3

Trang 22

Vì vậy: (1) 1

1

x

y x

x y

hàm số liên tục và đồng biến trên tập xác định Vì vậy: (1)x 1 y2

Thay x y 21 vào phương trình (2) trong hệ ta có:

2 3

Trang 23

Kết luận: Vậy hệ phương trình có nghiệm x y ;  3; 2 8; 3 

Trang 25

Trang 26

Điều kiện xác định:

032

x y

Trang 27

Xét hàm đặc trưng: f t( ) t11t Ta chỉ ra được hàm số liên tục và đồng

biến trên tập xác định Vì vậy: (1)  x   2

Xét hàm đặc trưng: f t( )t32t Ta chỉ ra được hàm số liên tục và đồng

Trang 28

Xét hàm đặc trưng: f t( ) t t4 Ta chỉ ra được hàm số liên tục và đồng

Trang 29

f t Nên hàm số liên tục và đồng biến trên  1; 

Vì vậy: (*)x 1 2y Thay vào phương trình (2) trong hệ ta có:

Trang 30

Nên hàm số liên tục và đồng biến trên 

Vì vậy: (*)y 1 x Thay y 1 x vào phương trình (1) trong hệ ta

Kết luận: Vậy hệ phương trình có nghiệm x y;   1; 0 ; 36; 5  

Thay vào phương trình hai ta tìm được xy 1

Kết luận: Hệ có hai cặp nghiệm: xy 1

y x

x y

2 2

11

Trang 31

Điều kiện có nghiệm: Ta để ý rằng phương trình hai biến đổi thành:

1

11

Vậy f y  f x y x Mà theo điều kiện ta có: x y Vậy xy

2

1

11

t t

Trang 32

đồng biến và liên tục trên  Do đó: f x  f y x y

Mặt khác theo điều kiện xác định ta có: y x Do vậy: xy

Thay vào phương trình thứ hai ta được: xy1 hoặc xy 3

Kết luận: Hệ có hai cặp nghiệm: xy1;xy 3

Trang 33

CHỦ ĐỀ 8: NHÂN LIÊN HỢP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

 Trong các chủ đề trước, chúng ta tập trung chủ yếu vào các bài toán nhân liên hợp giải phương trình và bất phương trình Nhưng bên cạnh đó, phương pháp nhân liên hợp cũng rất hữu ích khi sử dụng trong bài toán giải hệ phương trình

 Trong chủ đề này, chúng ta sẽ tập trung vào phương pháp nhân liên hợp giải hệ phương trình

II Phương pháp 1: Nhân liên hợp căn với căn:

Ví dụ 1: Sử dụng phương pháp phân tích nhân tử giải phương trình hai

biến sau: x2 25xy2y2 x3y 1 5y1 0

Phân tích Bước 1: Đặt y 100 , ta được:

2 500 20000 301 501 0

Sử dụng công cụ SOLVE ta được:

x200 2.100 2  y

Bước 2: Sử dụng công cụ CALC thay

các giá trị x200,y100 vào các căn

Trang 34

biến sau: x y  1 x3 1 x y2 1 1 0

x101 x3 1 101x2 1 0

x101 100 1  y1

Bước 2: Sử dụng công cụ CALC thay

các giá trị x101,y100 vào các căn

II Phương pháp 2: Nhân liên hợp căn với đa thức hai biến:

Ví dụ 3: Sử dụng phương pháp phân tích nhân tử giải phương trình hai

biến sau: x2y x y

x2 100 x100

x 10.5124922

Trang 35

Bước 2: Sử dụng CALC thay vào căn

Trang 36

Dựa vào bảng giá trị TABLE ta nhận thấy

phương trình có 1 nghiệm duy nhất nằm

trong khoảng 0 5 1 ;  nhưng hàm số

không phải hàm đơn điệu

Sử dụng SHIFT CALC với x0 8. ta có

Trang 37

Trang 38

phương trình có 1 nghiệm duy nhất đó là

x 0 và đồng thời hàm số đồng biến Như

vậy ta có thể xử lý với một trong hai cách

Cách 1: Phương pháp đánh giá tính đơn điệu của hàm số

Nhận xét x 4 không phải nghiệm của phương trình

Vậy f x  là hàm số đồng biến và liên tục với x   4; 

Do đó phương trình f x 0 có tối đa một nghiệm với x   4; 

Trang 39

Mặt khác x 0 là một nghiệm của phương trình do đó đây chính là nghiệm duy nhất của phương trình f x 0

Với x 0 ta có yx 4 4 

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x0,y4

Cách 2: Sử dụng phương pháp nhân liên hợp

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x0,y4

Bài 3: Giải hệ phương trình: x x y  x y y y

Trang 40

phương trình có 2 nghiệm phân biệt nằm

Trang 41

Trang 42

Kết luận: Hệ phương trình có cặp nghiệm duy nhất   9

Trang 43

Hệ phương trình – Đoàn Trí Dũng – Nguyễn Phú Khánh Email: Phukhanh@moet.edu.vn Kết luận: Hệ phương trình có cặp nghiệm duy nhất   x y 4

Kết luận: Hệ phương trình có cặp nghiệm duy nhất   x y 4

Trang 44

Do đó: 3x4  xx2y1 (Thỏa mãn điều kiện)

Kết luận: Hệ phương trình có cặp nghiệm duy nhất  x 2,y1

00

x

x x

Do đó lúc này hệ phương trình vô nghiệm Vậy y 0

Trang 45

Trang 47

 x2 2x 1 2 x2 2x 1 2x 0

trường hợp x22x 1 2x22x 5 0,x 0 xy 6 1

Kết luận: Hệ phương trình có cặp nghiệm duy nhất xy 6 1

Trang 48

Kết luận: Hệ phương trình có hai cặp nghiệm: x y;  0; 1 , 2;1    

Trang 49

Ta có bảng giá trị như hình bên Từ bảng

giá trị này ta thấy phương trình có các

nghiệm nằm trong các khoảng 2.5; 2 

Sử dụng SHIFT CALC với y  2.3 ta được nghiệm y  2.322875656

Sử dụng SHIFT CALC với y 0.8 ta được nghiệm y 0.618033988

Tuy nhiên trong phương trình 1, ta có điều kiện y  nên nghiệm duy 0nhất của phương trình chính là y 0.618033988và khi sử dụng nhân liên hợp nghiệm vô tỷ ta phải kết hợp với điều kiện y  0

Thay y 0.618033988 vào căn thức ta được: 1y0.6180339887y

Trang 51

giá trị này ta thấy hàm số là đồng biến và

Do đó phương trình f x   0 có nghiệm duy nhất x  khi đó 0 y  1

Với yx1 thay vào phương trình thứ hai ta được:

giá trị này ta thấy phương trình có hai

nghiệm phân biệt là x  và 0 x  1

Sử dụng phương pháp liên hợp hai

nghiệm hữu tỷ ta được các liên hợp cần

Trang 52

Kết luận: Hệ phương trình có hai cặp nghiệm x y ;    0;1 ; 1; 2   

Trang 53

giá trị này ta thấy phương trình vô

nghiệm đồng thời hàm số đồng biến và

liên tục trên 9; 

Do đó có thể giải phương trình trên bằng

phương pháp đánh giá tính đơn điệu

Trang 54

Do đó f x   0 x 9; Vậy phương trình f x   0 vô nghiệm

Kết luận: Hệ phương trình có cặp nghiệm  ;  5 1; 5 1

Trang 55

giá trị này ta thấy phương trình có

nghiệm duy nhất x  đồng thời hàm số 1

đồng biến và liên tục trên 0; 5

Do đó có thể giải phương trình trên bằng

phương pháp đánh giá tính đơn điệu

hoặc sử dụng nhân liên hợp

   

Cách 2: Đánh giá hàm số đơn điệu:

Vì x  không phải nghiệm của phương trình 5

Do đó f x  là hàm số đồng biến và liên tục trên 0; 5

Do đó trong 0; 5 phương trình f x   0 có tối đa một nghiệm

Mặt khác trong 0; 5 phương trình f x   0 có nghiệm x  1

Trang 56

Vậy x  là nghiệm duy nhất của phương trình 1 f x   0

giá trị này ta thấy phương trình vô

nghiệm đồng thời hàm số đồng biến và

Trang 57

Sử dụng công cụ Mode 7 (Table) với:

giá trị này ta thấy rõ rang f x '  0 và

Trang 58

Kết luận: Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm duy nhất x y ;  1; 4

Trang 59

Với xy, thay vào phương trình thứ hai ta được: x2 1 xy 1

Với x2y, thay vào phương trình thứ hai ta được: 2 1 1

IV Hệ kết nối hai phương trình và sử dụng nhân liên hợp:

Với các hệ này thông thường sẽ không có phương trình nào có thể tìm ra

được mối quan hệ giữa hai biến x y, , do đó ta có hai cách xử lý:

 Cộng hai phương trình với nhau

 Trừ hai phương trình với nhau

Trang 60

phương trình có nghiệm duy nhất đó là

x 2 đồng thời hàm số đồng biến và liên

tục trong  1; 

Do đó bài toán có thể giải với các định

hướng như sau:

Trang 61

Vậy (*)  x 2 (Thỏa mãn điều kiện) Khi đó yx 2

Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm xy2

2

22

0

21

2

21

Vậy (*)  x 2 (Thỏa mãn điều kiện) Khi đó yx 2

Cách 3: Sử dụng đánh giá hàm đơn điệu

Điều kiện: x 1

Nhận xét: x 1 không phải là nghiệm của phương trình Do đó x1; Xét f x x2 x 1 6x21 với x1;

Trang 62

2 2

Vậy f x  là hàm số đồng biến và liên tục với x1;

Mặt khác x 2 là một nghiệm của phương trình f x 0 do đó đây chính

là nghiệm duy nhất Với x 2 ta có yx 2

Trang 63

phương trình có nghiệm duy nhất đó là

x3 đồng thời hàm số đồng biến và liên

tục trong 2;

Do đó bài toán có thể giải với các định

hướng như sau:

2 2

Trang 64

Vì x 2 do đó x  x

x x

2 2

f x

2 2

21

'

29

Trang 65

2 2

Kết luận: Hệ phương trình có cặp nghiệm duy nhất x 2,y 1

Trang 66

Kết luận: Hệ phương trình có cặp nghiệm duy nhất x 1,y0

Định dạng
Số trang	207
Dung lượng	4,41 MB