Phương pháp sử dụng máy tính casio giải toán tập 2........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
Đoàn Trí Dũng – Email: dungdoan.math@gmail.com Nguyễn Phú Khánh Email: Phukhanh@moet.edu.vn Phương pháp sử dụng máy tính CASIO toán Phương trình Bất phương trình Hệ phương trình Tập Đón đọc: Phương pháp sử dụng máy tính CASIO toán Min – Max, Bất đẳng thức Tập Lưu hành nội bộ, 01/2016 Phương pháp sử dụng máy tính CASIO toán Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình – Đoàn Trí Dũng – Nguyễn Phú Khánh Email: Phukhanh@moet.edu.vn CHỦ ĐỀ 6: PHƯƠNG PHÁP XÉT TỔNG HIỆU I Đặt vấn đề: Trong chủ đề trước, giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình phương pháp nâng lũy thừa, tạo biểu thức liên hợp với hỗ trợ máy tính CASIO Trong phần này, tiếp tục tiếp cận phương pháp nhân liên hợp tiếp theo, chuyên sử dụng cho toán có hai bậc hai cộng với II Phương pháp xét tổng hiệu gì? Cho phương trình có dạng A B C (1) AB AB Xét A B (2) C A B Khi cần cộng trừ vế với vế (1) (2) ta khử hai A B III Ví dụ minh họa Ví dụ: Giải phương trình: x2 3x x2 5x x Bài giải Điều kiện xác định: x 1 Nhận xét x 1 nghiệm phương trình Xét x 3x x x 5x x x 5x 2x x2 x x2 5x x1 x 3x x 5x x Do ta có: x 3x x2 x Cộng hai vế hai phương trình ta được: x 1 x2 3x x x 32 2 x 3x x x Kết luận: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x 2 -156- 3D Hoàng Diệu, F5, Đà Lạt Phương pháp sử dụng máy tính CASIO toán Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình – Đoàn Trí Dũng – Nguyễn Phú Khánh Email: Phukhanh@moet.edu.vn IV Bài tập áp dụng x2 x 2x x Bài giải Bài 1: Giải phương trình: Điều kiện xác định: x Xét x2 x x x2 x x x2 2x 2x x2 x1 x1 x2 2x 2x x Do ta có: x x x x Cộng hai vế hai phương trình ta được: x x x x x2 x x x (Thỏa mãn điều kiện) x x x Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm x x x2 x x x Bài giải Điều kiện xá định: x x x x x 2 Bài 2: Giải phương trình: Xét: x x 1 x x 2 x2 x x x 1 x x3 x2 x x 1 x x1 x1 x x2 x x x Do ta có: x x2 x x Trừ hai vế hai phương trình ta được: x x x x 1 x x x2 x2 x (Thỏa mãn điều kiện) Kết luận: Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x Bài 3: Giải phương trình: x8 x x7 x 1 x 1 Bài giải 3D Hoàng Diệu, F5, Đà Lạt -157- Phương pháp sử dụng máy tính CASIO toán Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình – Đoàn Trí Dũng – Nguyễn Phú Khánh Email: Phukhanh@moet.edu.vn Điều kiện xác định: x Xét: x 8 x x 7 x 1 x x x x 1 x8 x x7 x 1 x8 x x 7 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x8 x x7 x 1 x 1 Do ta có: x x x x x Trừ hai vế hai phương trình ta được: x 7 x 1 x 7 x 1 1 x7 x 11 x Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm x Bài 4: Giải phương trình: x 16 x 3x x x1 1 Bài giải Điều kiện xác định: 1 x Xét: x 16 x x 3x 16 x 3x x 16 x 3x x2 16 x 3x 3 x2 12 x x 1 1 3x x x x x 1 4 x 34 x x1 1 x 16 x Do ta có: x 16 x x x Cộng hai vế hai phương trình ta được: x 16 13 3x x 11 x 2 x 16 3x 13 x2 16 13 3x 2 x2 -158- x x 3 x 27 x 3x 13 x 3 x 3 x2 16 x 1 3D Hoàng Diệu, F5, Đà Lạt Phương pháp sử dụng máy tính CASIO toán Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình – Đoàn Trí Dũng – Nguyễn Phú Khánh Email: Phukhanh@moet.edu.vn x 3 3x 13 x 3 9 x 1 x 16 x 3 3x x x 3 (*) x x 16 x 3 3x x Vì x 1 0 x12 x2 16 Do (*) x (Thỏa mãn điều kiện) Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm x y x y 5x Bài 5: Giải hệ phương trình: y x x y Bài giải Điều kiện xác định: x ,y y 3x y 5x Xét: y x y x y 3x y 5x y 3x y 5x 8 x 2 x y x y x Do ta có: y x y 5x 2 x Cộng hai vế hai phương trình ta được: y 3x x x 2 y 3x x y x x y x x Thay y x x vào phương trình thứ hai ta được: 5x x x x2 x x x x 1 x x x x 1 x2 x (*) 5x 5x x x x Với x ta có: 3D Hoàng Diệu, F5, Đà Lạt -159- Phương pháp sử dụng máy tính CASIO toán Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình – Đoàn Trí Dũng – Nguyễn Phú Khánh Email: Phukhanh@moet.edu.vn 5x x x 1 10 x 5x x x x 2 x x 4 x x 17 17 Do (*) x y 32 x Kết luận: Vậy hệ phương trình có hai cặp nghiệm phân biệt là: x 17 17 , y 32 x 45 y 29 y y 10 x Bài 6: Giải hệ phương trình: 5x y x y Bài giải 29 109 29 109 y 14 14 x y 1 x y 5x y x y 5x y x y Điều kiện xác định: y Xét: 5x y x y x 1 x 5x y x y x Do ta có: x y x y Trừ hai vế hai phương trình ta được: x y x x x x ,y 2 4 x y x 4 y x 20 4 y 45 x 10 x Thay x 10 x y 45 vào phương trình đầu ta được: x 45 y 29 y y 10 x x 10 x 45 y 29 y y y 45 45 y 29 y y y y y 29 y (1) Vì y y y bình phương hai vế (1) ta được: y 4y y 29 y y y 3y y (*) Xét hàm số f y y y y với y -160- 3D Hoàng Diệu, F5, Đà Lạt Phương pháp sử dụng máy tính CASIO toán Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình – Đoàn Trí Dũng – Nguyễn Phú Khánh Email: Phukhanh@moet.edu.vn 2 Ta có: f ' y y y y 1 1 0y Do f y hàm số đồng biến ; Do ta có f y f y y y 19 0y Như (*) y (Thỏa mãn điều kiện) x 10 x 45 20 x Kết luận: Hệ phương trình có cặp nghiệm x y x y2 x y2 y Bài 7: Giải hệ phương trình: x x 1 x y Bài giải Điều kiện xác định: y Xét: x 2y x y x y2 x y2 x y2 x y y2 x 2y x y y 1 y 1 2 x y2 x y y Do ta có: x y x y y Trừ hai vế hai phương trình ta được: x y2 x y2 x y x y Thay x y vào phương trình thứ hai ta được: y y2 y4 y y y y 4y Đặt y t ta có: t 4t t 1 t 3t t 1 2t t 3t t 1 Vì t 2 t 3t 2t t 3t 2 2t t (*) 3t t 2t t 3D Hoàng Diệu, F5, Đà Lạt t2 1 (*) -161- Phương pháp sử dụng máy tính CASIO toán Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình – Đoàn Trí Dũng – Nguyễn Phú Khánh Email: Phukhanh@moet.edu.vn Do y t , y ; x y2 x ,y Kết luận: Vậy hệ phương trình có cặp nghiệp x ,y x y y x Bài 8: Giải hệ phương trình: x x y xy x x Bài giải Điều kiện xác định: x,y 2 Xét: x y y x x y2 y x2 x2 y2 y2 x2 x y y x2 x x y y x2 y x2 y2 x y y x Do ta có: x y y x2 x2 y Cộng hai vế hai phương trình ta được: 2x y x2 y2 x2 2x y y2 x y2 0 Do x y Như ta có: x y x Tương tự ta có: y x y x x y xy x x Xét phương trình thứ hai: x2 x y xy x x x2 x y xy x x y x x2 x x y x y x Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: x y x y x y Do x2 x 2x y x x2 x x y x x x x x x x x x x2 x -162- 3D Hoàng Diệu, F5, Đà Lạt Phương pháp sử dụng máy tính CASIO toán Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình – Đoàn Trí Dũng – Nguyễn Phú Khánh Email: Phukhanh@moet.edu.vn 2 x 1 x x x x x 1 x2 x x x2 x x 0 2 x 1 0 x2 x x x2 x x Vì 0x 1 ta có x 1 x2 x x x 1 2 Mặt khác x 1 0x x 1 x y x Kết luận: Vậy hệ phương trình có cặp nghiệp x y x y x y Bài 9: Giải hệ phương trình: 2 x x y y x 1 Bài giải Xét 2x y 2x y 2x y 2x y 2x y 2x y 2x y 2x y y 2 y2 2x y 2x y Do ta có: y2 2x y 2x y Cộng hai vế hai phương trình ta 2 x y 16 x y y 32 x y y 2 y 36 x 32 y6 2 1 Mặt khác phương trình thứ hai ta nhận thấy: x x y y x 1 x x xy y y y x3 2x y y 2 2 Vì x 1, x y y x x y y 2 Do x x y y x 1,y Kết luận: Hệ phương trình có cặp nghiệm x 1,y 3D Hoàng Diệu, F5, Đà Lạt -163- Phương pháp sử dụng máy tính CASIO toán Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình – Đoàn Trí Dũng – Nguyễn Phú Khánh Email: Phukhanh@moet.edu.vn CHỦ ĐỀ 7: HÀM ĐẶC TRƯNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH I Đặt vấn đề: Trong toán phương trình, bất phương trình hệ phương trình, có nhiều toán mà nhìn thấy hai vế phương trình, bất phương trình có cách biểu diễn “gần giống nhau” Tuy nhiên từ chỗ “gần giống nhau” ta mối quan hệ nhóm biểu thức điều đơn giản Trong chủ đề tập trung phân tích phương trình, bất phương trình hệ phương trình có tính chất ta gọi “Phương pháp hàm đặc trưng” II Kiến thức bản: Nếu f x hàm số đơn điệu liên tục tập xác định D đồng f a f b thời ta có a b a , b D Bất phương trình: f x f y , f ' x 0, x , y D x y Bất phương trình: f x f y , f ' x 0, x , y D x y Bất phương trình: f x f y , f ' x 0, x , y D x y Bất phương trình: f x f y , f ' x 0, x , y D x y Bất phương trình: f x f y , f ' x 0, x , y D x y Bất phương trình: f x f y , f ' x 0, x , y D x y Bất phương trình: f x f y , f ' x 0, x , y D x y Bất phương trình: f x f y , f ' x 0, x , y D x y Chú ý: Không phải lúc hai biến x , y có tập xác định Giả sử x D1 , y D2 , xét hàm đặc trưng, ta sử dụng hàm số f t t đại diện cho hai biến x , y đồng thời t D với D D1 D2 164 Ví dụ 1: x , y t Ví dụ 2: x 0, y t Ví dụ 3: x 2; , y 1; 3 t 1; 3D Hoàng Diệu, F5, Đà Lạt Phương pháp sử dụng máy tính CASIO toán Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình – Đoàn Trí Dũng – Nguyễn Phú Khánh Email: Phukhanh@moet.edu.vn nghiệm phương trình nên định hướng điều kiện toán cần x 2 mà x Nhẩm nghiệm: SHIFT CALC với x 3.2 ta nghiệm x 3.302775638 Thay giá trị x 3.302775638 vào thức ta được: 13 x 2.302775638 x x Định hướng giải bài: x Bước 1: Chú ý với x ta nhân liên hợp cho x x nhóm biểu thức x đồng thời phân tích nhân tử cho nhóm biểu thức x x để tạo nghiệm x trước Bước 2: Sau tháo gỡ nghiệm x ta có phương trình vô tỷ phương trình nghiệm cần x nghiệm x 13 Để làm xuất 13 ta cần ý tới đánh giá: x x hay nhân tử tạo x x x x Ta có cách sau: Cách 1: Sử dụng nhân biểu thức liên hợp với nhân tử tìm x x Cách 2: Sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử với phương pháp liên hợp ngược: x x x x x2 3x Cách 3: Sử dụng phương pháp nâng lũy thừa định lý Viet đảo với nhân tử tạo có x x Cách 4: Sử dụng phương pháp tạo hàm đặc trưng với đánh giá x x muốn dễ dàng nhận hàm đặc trưng ta đặt ẩn phụ a x 1, b x Cách 5: Vì có hai nhân tử x x x nên ta phân tích nhân tử từ bước đầu để tạo để biến đổi 3D Hoàng Diệu, F5, Đà Lạt 349 Phương pháp sử dụng máy tính CASIO toán Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình – Đoàn Trí Dũng – Nguyễn Phú Khánh Email: Phukhanh@moet.edu.vn phương trình ban đầu thành: x x x A x Bên cạnh cách trên, độc giả sử dụng kỹ thuật học 11 chủ đề đầu tiên, để tiếp tục phân tích tìm tòi lời giải hay đẹp Mọi chi tiết đóng góp ý kiến phản hồi xin vui lòng gửi địa Email: dungdoan.math@gmail.com ☺Cách 1: Sử dụng phương pháp nhân liên hợp Điều kiện: x 2 x2 x Ta có: x 1 x2 x x2 2 x x x x 1 x 2x x 2 x2 2 x 4 x 2 x 4 x 2 x 4 x x x2 2x x 2 x4 x 2x x x 1 x x x x x 1 x x x2 2 x 2 x2 2 0 x2 2 x 1 0 2x x 1 x x x 2x x3 x2 x x x3 x2 x Trường hợp 1: x (Thỏa mãn điều kiện) Trường hợp 2: x x x x x x x x x x x3 x2 x x x x3 x x x x 1 x x x x3 x x x x x x x x 2x 4x x x 1 x x 1 x PHÂN TÍCH CASIO Vì phương trình có chứa nhân tử x x x x chắn biểu thức x x2 x chia hết cho x x 350 3D Hoàng Diệu, F5, Đà Lạt Phương pháp sử dụng máy tính CASIO toán Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình – Đoàn Trí Dũng – Nguyễn Phú Khánh Email: Phukhanh@moet.edu.vn Bấm máy tính: x3 x x bấm CALC 100 (Hay gọi gán giá x 3x trị x 100 ) ta kết 101 Chú ý 101 100 x 100 đó: x3 x x 101 100 x x2 3x Vậy x x x x 1 x2 3x Ta có: x x x x x 1 x x x x 1 x x 1 x x 3x x 1 x 0 x2 3x x x (*) x 1 x Ở tình ta nhận thấy sau: x x x x x x x x Vì x 2 x 2 PHÂN TÍCH CASIO Vì bất phương trình x x x có nghiệm lẻ phương trình bậc 3, nhiên chương trình Trung học phổ thông, ta không nên sử dụng phương pháp Cardano để xử lý phương trình bậc ba Vậy làm để hóa giải bất phương trình trên? Chú ý bất phương trình x x x có nghiệm lẻ sau: x 2.34025083 Do khẳng định chắn ta có x Chỉ cần điều kiện x đủ ta chứng minh phương trình: x x 4 phương trình vô nghiệm x 1 x Vậy để x ? Ta sử dụng xét f X X X X Bấm CALC ta kết Như phương trình x x2 x nghiệm Thật vậy, ta có: x x2 x x x x Do cách đánh giá ta có điều kiện quan trọng cần tìm 3D Hoàng Diệu, F5, Đà Lạt 351 Phương pháp sử dụng máy tính CASIO toán Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình – Đoàn Trí Dũng – Nguyễn Phú Khánh Email: Phukhanh@moet.edu.vn x x2 x x3 x x x x x Ta có: x 2 x 2 x x2 x x x x Do đó: x 2 x 2 Vì x x 0x ta có điều kiện cần tìm x 2; Với điều kiện x 2; ta có x x Như phương trình x x x 1 x x 1 x 0 vô nghiệm x 3x 13 Vậy (*) (Thỏa mãn điều kiện) x x Kết luận: Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x 13 ,x Bình luận: Việc đánh giá điều kiện x 2; vô quan trọng không đánh giá thực chất điều kiện việc giải toán trở nên vô khó khăn Đây điểm khó toán Một số đánh giá điều kiện quan trọng học sinh cần ghi nhớ: A B A 0, B A B A 0, B A B C C 0, A.B A B C C 0, A.B A C,B D ABC D A C,B D ☺Cách 2: Sử dụng phương phân tích nhân tử liên hợp ngược Điều kiện: x 2 x2 x Ta có: x 2x x 1 x x x x 1 352 x 2x x2 2 x2 2 x x x 2x x 2 x4 x 2x x 1 x 2 x2 2 0 x2 2 x 1 3D Hoàng Diệu, F5, Đà Lạt Phương pháp sử dụng máy tính CASIO toán Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình – Đoàn Trí Dũng – Nguyễn Phú Khánh Email: Phukhanh@moet.edu.vn x 2 x 4 x 2 x 4 x x 1 x x 0 x x x 1 x x x 2 x 4 2x x2 2 x x x 2x x3 x2 x x x3 x2 x x x x x x 3x x x x x x x 4x x x x x x3 x x x x 1 x x x 3 2 PHÂN TÍCH CASIO Vì phương trình có chứa nhân tử x x x x chắn biểu thức x x2 x chia hết cho x x Bấm máy tính: x3 x x bấm CALC 100 (Hay gọi gán giá x 3x trị x 100 ) ta kết 101 Chú ý 101 100 x 100 đó: x3 x x 101 100 x x2 3x Vậy x x x x 1 x2 3x x x x 3x Do ta viết lại: x x x x 1 x x x x Ta có: x x x x x x x x x 1 x x x x x x x x x x x 1 x x x x x x x x 1 x x Mặt khác, xét liên hợp: x x 3 2 2 3D Hoàng Diệu, F5, Đà Lạt 353 Phương pháp sử dụng máy tính CASIO toán Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình – Đoàn Trí Dũng – Nguyễn Phú Khánh Email: Phukhanh@moet.edu.vn x 2 x x x x x 1 x (*) Đến để chứng minh x x x 1 x vô nghiệm ta sử dụng đẳng thức để ghép thành bình phương: Ta có: x x x x 2 x x 2 x x x x x x 1 x x x x x x x x 3 x x x 2 x x x 1 2 Như phương trình x x 2 x3 0 x x 0x Vì x x 2 x 1 x x20 x x 1 x x2 x x x vô nghiệm x x 13 x x (Thỏa mãn điều kiện) Vậy (*) x 2 x Kết luận: Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x 13 ,x Bình luận: Cũng toán phân tích liên hợp toán này, đề cập đến cách chứng minh phương trình vô nghiệm theo hướng khác tạo đẳng thức Để tạo đẳng thức ta cần tập trung quan sát biểu thức tích ta chọn 2ab , ta tạo thêm biểu thức khác để nhóm thành a 2ab b2 a b Độc giả sử dụng phương pháp để đánh giá phương trình vô nghiệm Cách Phần này, để dành cho bạn đọc tự chứng minh ☺Cách 3: Phương pháp nâng lũy thừa định lý Viet đảo Điều kiện: x 2 Ta có: 354 x2 x x2 x x 1 x2 2 x x x2 2x x 1 x 2 x2 2 3D Hoàng Diệu, F5, Đà Lạt Phương pháp sử dụng máy tính CASIO toán Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình – Đoàn Trí Dũng – Nguyễn Phú Khánh Email: Phukhanh@moet.edu.vn x x x x 1 x 2x x 2 x2 2 x 4 x 2 x 4 x 2 x4 x 2x x x 1 x x x x 1 x x x 2 x 4 x2 2 0 x2 2 x 1 0 x 2x x x x 2x x3 x2 x x x3 x2 x Trường hợp 1: x (Thỏa mãn điều kiện) Trường hợp 2: x x x x x x x x x x x x2 x x x (*) x x2 x x3 x x x x x Ta có: x 2 x 2 x x2 x x x x Do đó: x 2 x 2 Vì x x 0x ta có điều kiện cần tìm x 2; Bình phương vế (*) ta được: x x x 2 x 4 x 2 x6 x x4 x x 22 x PHÂN TÍCH CASIO Vì phương trình có chứa nhân tử x x x x chắn biểu thức x6 x x x3 x 22 x chia hết cho biểu thức x x Bấm máy tính: x6 x x x x2 22 x bấm CALC 100 (Hay x2 3x gọi gán giá trị x 100 ) ta kết 101030107 Chú ý 101030107 100 100 3.100 100 x 100 đó: x3 x x 1004 100 3.100 100 x4 x 3x x x2 3x 3D Hoàng Diệu, F5, Đà Lạt 355 Phương pháp sử dụng máy tính CASIO toán Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình – Đoàn Trí Dũng – Nguyễn Phú Khánh Email: Phukhanh@moet.edu.vn Vậy x x x x3 x 22 x x4 x 3x x x2 3x Ta có: x x x4 x x2 22 x x x x x 3x x 13 x x Với x ta có: x x 3x x Vậy x x Kết luận: Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x 13 ,x Bình luận: Đôi toán phương trình vô tỷ, đặc biệt toán chứa thức, phương pháp nâng lũy thừa lại tỏ vô hiệu ☺Cách 4: Phương pháp sử dụng hàm đặc trưng Điều kiện: x 2 x2 x Ta có: x 1 x2 x x2 2 x x x x 1 x 2x x 2 x2 2 x 4 x 2 x 4 x 2 x 4 x x x2 2x x 2 x4 x 2x x x 1 x x x x 1 x x x2 2 x 2 x2 2 0 x2 2 x 1 0 x 2x x 1 x x x 2x x3 x2 x x x3 x2 x Trường hợp 1: x (Thỏa mãn điều kiện) Trường hợp 2: x x x x x x x x x x x x2 x x x PHÂN TÍCH CASIO Trong phần ta đánh giá x 3.302775638 thì: x x 1 356 3D Hoàng Diệu, F5, Đà Lạt Phương pháp sử dụng máy tính CASIO toán Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình – Đoàn Trí Dũng – Nguyễn Phú Khánh Email: Phukhanh@moet.edu.vn Với việc đánh trên, phương trình x x x x x chứa hàm đặc trưng Để nhận diện hàm đặc trưng ta đặt a x , b x Do bậc cao nên hàm đặc trưng có dạng f x x3 x x Như vậy: x x2 x x x x 1 x 1 x x2 x2 x2 Do ta có đồng hệ số sau: x x2 x x x = x 1 x 1 x x2 x2 x2 x 2 15 27 3 Thay x 15 7 3 x 249 189 27 3 Vậy ta có: x x2 x x x x 1 x x x2 2 x2 2 x2 2 x2 2 x2 x2 Ta có: x x2 x x x x 1 x x Xét hàm đặc trưng f t t 2t 2t với t Ta có: f ' t 3t 4t 0t Do f t hàm đồng biến liên tục với t Vậy: f x 1 f x x 13 x x x x x Kết luận: Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x 13 ,x Bình luận: Kỹ sử dụng hàm đặc trưng vô quan trọng Nếu biến x có bậc cao n hàm đặc trưng có dạng: f x a1x a2 x2 a3 x an x n Thông thường toán bao gồm biến khác nhau, ta tạo hàm đặc trưng hai vế đồng hệ số, hàm đặc trưng bậc n ta cần thay đủ 3D Hoàng Diệu, F5, Đà Lạt 357 Phương pháp sử dụng máy tính CASIO toán Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình – Đoàn Trí Dũng – Nguyễn Phú Khánh Email: Phukhanh@moet.edu.vn n giá trị khác để tìm hệ số a1 , a2 , a3 , , an Chú ý: x x biến x 3 x có bậc ta hiểu sau: x x 1 x x x 1 x 1 Trên lý thuyết vô quan trọng để giúp em học sinh nắm vững tư giải toán hàm đặc trưng Bạn đọc vận dụng cách tư giải toán sau: Bài 1: Giải phương trình: x x 10 x 16 3 x Bài 2: Giải bất phương trình: x 11x 21 3 x Bài 3: Giải phương trình: 54 x 54 x2 25x 19 3 x Bài 4: Giải phương trình: x x x 3 x Bài 5: Giải phương trình: x x x 1 x x ☺Cách 5: Phân tích nhân tử liên tục Điều kiện: x 2 x2 x Ta có: x 1 x 2x x2 2 x x x x x 1 x x x2 x x 1 358 x2 2 x2 2 x x x x x 3 x x x x x x x x 2 x x x x 4 x x x x x x x 1 x x x x x 2x x x x x x x 1 x x x x x x x x x x x 1 x x x x x x x x 1 x x x2 2 3 3 2 3D Hoàng Diệu, F5, Đà Lạt Phương pháp sử dụng máy tính CASIO toán Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình – Đoàn Trí Dũng – Nguyễn Phú Khánh Email: Phukhanh@moet.edu.vn x x x x x x x x 1 x x x x x x 3 x x x x x x 1 x 2 x x 0x Vì x x 2 x 1 x Như phương trình x x 2 x2 x x x vô nghiệm x x 13 x x (Thỏa mãn điều kiện) Vậy (*) x 2 x Kết luận: Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x 13 ,x Bình luận: Phân tích nhân tử phương pháp vô hữu hiệu sử dụng quy tắc liên hợp ngược để liên tục nhóm nhân tử chung Để làm tốt phương pháp học sinh cần nắm vững chất nhân tử phương trình LỜI KẾT Qua nhiều ngày tháng chuẩn bị tư liệu, tập phương pháp, cuối sách “Phương pháp sử dụng máy tính CASIO toán Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình” mắt bạn đọc Với phương pháp sâu vào chất đặt bạn đọc làm vị trí trọng tâm, tác giả hy vọng sách cẩm nang cho đam mê máy tính CASIO cầm tay ứng dụng giải Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Một tác phẩm dù xuất sắc đến đâu tránh sai sót, mong bạn đọc thông cảm tiếp tục ủng hộ Nhóm tác giả Đoàn Trí Dũng (Casio Man) (Chủ biên) Hà Hữu Hải – Nguyễn Tấn Siêng – Hồ Xuân Trọng 3D Hoàng Diệu, F5, Đà Lạt 359 Phương pháp sử dụng máy tính CASIO toán Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình – Đoàn Trí Dũng – Nguyễn Phú Khánh Email: Phukhanh@moet.edu.vn BÀI TẬP TỰ LUYỆN VÀ ÁP DỤNG Thi Thử Website Vted.vn – Thầy Đặng Thành Nam 2016 Đề Giải phương trình: x x x x ĐS: x 1, x Thi Thử Khóa Pen I Thầy Lê Anh Tuấn – Nguyễn Thanh Tùng 2016 Đề x 21x 58 x 56 Giải bất phương trình: x x x x x 19 x ĐS: x 2; x 23 341 Thi Thử Khóa Pen I – Thầy Nguyễn Bá Tuấn 2016 Đề 04 2x x Giải bất phương trình: 3x x x x x2 ĐS: x Thi Thử Website Học Mãi 2016 Thầy Nguyễn Bá Tuấn – Đề Số 2 2 x xy x y x 1 x y x y Giải hệ phương trình: x 11xy 14 x 12 y 1 x ĐS: 1; , 7; Thi Thử Website Học Mãi 2016 Thầy Nguyễn Bá Tuấn – Đề Số y y x x y x y x x Giải hệ phương trình: x x 27 y 27 xy 15 y ĐS: 1; , 7; 2 Thi Thử Website Học Mãi 2016 Thầy Nguyễn Bá Tuấn – Đề 05 1 x y xy x y Giải hệ phương trình: 2 x x y x y ĐS: 5; Thi Thử Website Học Mãi 2016 Thầy Anh Tuấn – Thanh Tùng – Đề 02 360 3D Hoàng Diệu, F5, Đà Lạt Phương pháp sử dụng máy tính CASIO toán Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình – Đoàn Trí Dũng – Nguyễn Phú Khánh Email: Phukhanh@moet.edu.vn 4x2 y 1 5 y x x Giải hệ phương trình: y 6 x y x y 2 13 69 13 69 13 69 13 69 ; ; ĐS: ; 10 10 10 10 Thi Thử Website Học Mãi 2016 Thầy Anh Tuấn – Thanh Tùng – Đề 03 y x y x x y xy x y Giải hệ phương trình: y x x 400 x 515x 156 11 ĐS: ; 20 Thi Thử Website Học Mãi 2016 Thầy Anh Tuấn – Thanh Tùng – Đề 04 y x2 x x x Giải hệ phương trình: 2 2 2 x y xy x y xy x y ĐS: 0; Thi Thử Website Vted.vn 2016 Thầy Đặng Thành Nam – Đề 02 y xy x y 3 Giải hệ phương trình: x2 x y x2 y x y y ĐS: 3;1 Thi Thử Website Vted.vn 2016 Thầy Đặng Thành Nam – Đề 03 x x2 xy y y Giải hệ phương trình: 2 x y 1 y x ĐS: 3; 1 , 3; 1 Thi Thử Website Vted.vn 2016 Thầy Đặng Thành Nam – Đề 05 x y 1 x2 xy 1 2x Giải hệ phương trình: y 10 y x x y x 3D Hoàng Diệu, F5, Đà Lạt 361 Phương pháp sử dụng máy tính CASIO toán Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình – Đoàn Trí Dũng – Nguyễn Phú Khánh Email: Phukhanh@moet.edu.vn ĐS: 1; 1 , 4; 4 Thi Thử Website Vted.vn 2016 Thầy Đặng Thành Nam – Đề 06 x y cos xy sin x y Giải hệ phương trình: x x y y 10 y 19 ĐS: 3; Thi Thử Website Vted.vn 2016 Thầy Đặng Thành Nam – Đề 07 2 x y x y 1 Giải hệ phương trình: 6 x y x y 3 3 7 ĐS: 0; 1 , ; 4 Thi Thử Website Vted.vn 2016 Thầy Đặng Thành Nam – Đề 08 x2 y x y 1 2 Giải hệ phương trình: x2 y x y x y2 x y xy x y 3 3 3 3 3 3 ĐS: ; ; ; 6 6 Thi Thử Website Moon.vn 2016 Thầy Đặng Việt Hùng – Đề 02 6 x2 y x y x xy 1 Giải hệ phương trình: x2 6x 3y ĐS: 2; 2 , 2; , 3; , 2 3; Thi Thử Website Moon.vn 2016 Thầy Đặng Việt Hùng – Đề 03 y y x x Giải hệ phương trình: x y 3x y x x xy 15 ĐS: ; 2 Thi Thử Website Moon.vn 2016 Thầy Đặng Việt Hùng – Đề 04 362 3D Hoàng Diệu, F5, Đà Lạt Phương pháp sử dụng máy tính CASIO toán Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình – Đoàn Trí Dũng – Nguyễn Phú Khánh Email: Phukhanh@moet.edu.vn x y x xy y x y Giải hệ phương trình: 4 x y y y y x y ĐS: 1;1 Thi Thử Website Moon.vn 2016 Thầy Đặng Việt Hùng – Đề 06 x x x y y y Giải hệ phương trình: x y y x x ĐS: 1; 1 , 3; 3D Hoàng Diệu, F5, Đà Lạt 363 [...]... trình: 2 2 x 2 y 2 x y 2 0 Bài giải x 2 Điều kiện xác định: 1 y 2 2 x 2 x x 2 2 y 2 y 2 y 1(1) Ta có hệ phương trình: 2 2 x 2 y 2 x y 2 0 (2) Trừ vế với vế của 2 phương trình trong hệ trên ta thu được: x 2 3x 2 x 2 4 y 2 2 y 2 y 1 2 2 x 1 x 1 x 2 2 y 2 y 2 y 1 (*) Xét hàm đặc trưng: f t t 2 ... 179 Phương pháp sử dụng máy tính CASIO trong bài toán Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình – Đoàn Trí Dũng – Nguyễn Phú Khánh Email: Phukhanh@moet.edu.vn x 0 Điều kiện xác định: 3 y 2 2 4x2 1 2 2 (1) 2 x 3 4 x 2 x y 3 2 y x Ta có hệ phương trình: 3 2x2 x3 x 2 2 3 2 y (2) 2x 1 Xét phương trình (1): 2 x 2 3 4 x2 2 x 2 y 2x2 ... 9 y 2 9y 2 y 2 y2 5y 6 9y 2 y 2 y2 5y 6 y3 3y2 3y 1 7 y2 2 y 5 2 y 1 y 1 3 7 y 2 2 2y 5 3 7 y 2y 5 y3 4y2 y 6 2 7 y y 1 y 5 y 6 y 1 7 y 2 y 5 7 y y 1 y 1 3 2 7 y 2y 5 3 2 2y 5 2 2 2 0 0 2 9y 2 y 2 y 1 2 3 2 3 2 2y 5 0 y 1 1 y2 5y... y 6 y 4 x 3 xy 2 Áp dụng 2: Giải hệ phương trình: 4 2 y y 1 3x 2 x 1 x 5 x 2 y 2 y 6 x y 2 y 12 y 2 1 Áp dụng 3: Giải hệ phương trình: 2 2 2 3 x y 9 27 y 1 2 2 x 6 3D Hoàng Diệu, F5, Đà Lạt 169 Phương pháp sử dụng máy tính CASIO trong bài toán Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình – Đoàn Trí... biến trên tập xác định Vì vậy: (2) 2y Thay 2y 1 x 1 vào phương trình (1) trong hệ ta có: x 3x 1 2 1 x 1 x 2 4 x 1 0 Đặt a 1 x x 1 a 2 x 1 2 a 2 4 3a 2 2a a 4 2 a 2 0 4 4a 2 8a a 4 2 a 2 a2 0 4 4 a 2 8a a 4 2 a2 4 a 2 2 a 2 a2 2 2a 8 a 1 4 2 a 2 a2 0 2 0 ... x x2 4 y y 2 1 2 Áp dụng 2: Giải hệ phương trình: 12 y 2 10 y 2 2 3 x 3 1 3D Hoàng Diệu, F5, Đà Lạt 171 Phương pháp sử dụng máy tính CASIO trong bài toán Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình – Đoàn Trí Dũng – Nguyễn Phú Khánh Email: Phukhanh@moet.edu.vn x x2 4 y y2 1 2 Áp dụng 3: Giải hệ phương trình: x 2 3 2 y 3 ... duy nhất x; y 1; 2 4 1 2 x 2 y 1 3 x 2 1 2 x2 y 1 x 2 Bài 17: Giải hệ phương trình: 2 x3 y x2 x4 x 2 2 x 3 y 4 y 2 1 Bài giải 1 x 1 Điều kiện xác định: 1 2 x2 y 0 2 1 2 x y 0 178 3D Hoàng Diệu, F5, Đà Lạt Phương pháp sử dụng máy tính CASIO trong bài toán Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình – Đoàn Trí Dũng – – Nguyễn Phú... 1 4 2 a 2 2 a 0 (*) Do x 0 nên a 1 do đó (*) 2 2 a 2 a a Với x 2 10 5 2 10 x 5 5 5 2 10 1 5 2 10 ta có y 5 2x 6 5 2 10 5 2 10 Kết luận: Hệ có cặp nghiệm duy nhất x; y ; 5 6 2 4 x2 1 2 2 2 x 3 4 x 2 x y 3 2 y x Bài 18: Giải hệ phương trình: 3 2 3 2x x x 2 2 3 2 y 2x 1 Bài giải 3D Hoàng... 1 x 2 y 2 2 4 y 2 1 Bài giải 1 Điều kiện xác định: 3 x 2; y ; y 0 6 1 1 4 3 8(1) 3x 2 x 2y 2y Ta có hệ phương trình: x x2 1 x 2 y 2 2 4 y 2 1 (2) Ta nhận thấy từ phương trình thứ 1 trong hệ ta có: 3D Hoàng Diệu, F5, Đà Lạt 177 Phương pháp sử dụng máy tính CASIO trong bài toán Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình... Đà Lạt 183 Phương pháp sử dụng máy tính CASIO trong bài toán Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình – Đoàn Trí Dũng – Nguyễn Phú Khánh Email: Phukhanh@moet.edu.vn y 1 y 1 2 2 x 2 x 2 (*) Xét hàm đặc trưng: f t t t 2 2 trên t Ta có: f ' t 1 t t2 2 t t2 t2 2 t2 2 t2 2 Nên hàm số liên tục và đồng biến trên t t t2 2 0 Vì vậy: