Phương pháp sử dụng máy tính casio trong giải toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình (ôn thi trắc nghiệm toán)

Trang 1

ĐỒN TRÍ DŨNG - BÙI THẾ VIỆT Hiệu đính: NGUYỄN KHẮC MINH

(Cục khảo thí và kiểm định chất lượng Bộ GD&ĐT)

pháp sử dụng

MAY TINH CASIO

Thong, gidi idi loan

PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯC*%ŒG TBÌRH

HỆ PHƯƠNG TBÌMH

* Dành cho học sinh lớp 10, l1, 12 luyện thi THPTOG

* Phân tích, bình luận chỉ tiết, giải nhiễu cách

* Tài liệu tham khảo cho quý thây, cơ giáo * Bồi dưỡng học sinh giỏi

Trang 2

LOE NOH DAU

Bài tốn phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vốn đĩ luơn được

coi là con át chủ bài trong chương trình giảng dạy Trung học phổ thơng nĩi

- chung cũng như đánh giá năng lực học sinh trong mỗi kỳ thi Trung học phổ

thơng Quốc Gia nĩi riêng

Các bài tập thuộc dạng tốn này địi hỏi học sinh cẩn tư duy theo nhiều hướng khác nhau, sử dụng các phương pháp khác nhau để cĩ thể tìm được mấu chốt vấn để, một trong số đĩ là phương pháp sử dụng: máy tính Casio Trên cơ sở các kỹ năng xử lý máy tính Casio sẵn cĩ, tác giả cuốn sách đã nghiên cứu và tìm ra những phương pháp xử lý mới, độc đáo từ đĩ đúc kết thành 2 phần chính trong cuốn sách này: _

Phần 1: Phân loại các kỹ thuật giải bài tốn phương trình, bất t phường b trình, hệ phương trình được chia thành 13 chủ để cụ thể

Phần 2: Tổng hợp các bài tốn phương trình, bất phương trình, hệ phương -trình hay và khĩ được định hướng tư duy về cách tiếp cận bài tốn ngay từ

lúc mới bắt đầu

Hy vọng cuốn sách này sẽ là cẩm nang giúp các em học sinh Trung học phổ

thơng cĩ thể cĩ thêm một hướng tiếp cận mới với bài tốn phương trình, bất

phương trình, hệ phương trình từ đĩ nâng cao khả năng tư duy và xử lý

nhanh nhạy các tình huống tương tự

Cảm ơn thầy Nguyễn Khắc Minh (Cục Khảo thí và Kiểm định chất lượng,

Bộ Giáo dục và Đào tạo), thầy Nguyễn Tấn Siêng, thầy Huỳnh Đức Khánh,

*hẩy Hổ Kim Trọng cùng các em học sinh và các cộng sự đã giúp tác giả

hồn thiện cuốn sách này!

Nhĩm tác giả Đồn Trí Dũng - Bùi Thế Việt

Mời bạn vào trực tuyến tại: khangvietbook.com.vn để cĩ thể cập nhật và

mua online một cách nhanh chĩng, thuận tiện nhất các tựa sách của cơng ty Khang Việt phát hành

Trang 3

khangvietbook.com.vn - DT: (08) 39103821 - 0903906848

PHẨN T: CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN

GIỚI THIỆU CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI

PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - BẰNG MÁY TÍNH CASIO

[ CHỦ ĐỀ 1: NÂNG LŨY THỪA VÀ ĐỊNH LÝ VIET ĐẢO

I Đặt vấn đề

e Khi gap một bài tốn chứa căn thức hay cịn gọi là phương trình vơ tý,

một trong các vấn để đầu tiên cĩ thể suy nghĩ tới đĩ là phương pháp nâng

lũy thừa của biểu thức Nếu như phương trình cĩ nghiệm nguyên hoặc nghiệm hữu tỷ, việc phân tích nhân tử sẽ trở nên khơng quá khĩ khăn Nhưng nếu phương trình cĩ chứa righiệm vơ tỷ thì liệu rằng ta cĩ nên nâng lũy thừa hay khơng?

øe_ Chủ để 1 sẽ cung cấp cho các em một kỹ thuật xử lý các bài tốn cĩ chứa

| nghiệm vơ tỷ để các em cĩ một cơng cụ tốt và khơng ngần ngại khi phải

nâng lũy thừa loại bỏ căn thức

II Kiến thức cơ bản

s Nếu một đa thức P(x) cĩ các nghiệm phân biệt x,,x; thì đa thức P(x)

chia hét cho x* —-Sx+P trong dé S=x,+x,,P=x,x,

e Néu P(x) chia cho x*-Sx+P được kết quả là đa thức Q(x) thì

P(x) =(x° —Sx+ P)Q(x)

se Dé tinh gần đúng một nghiệm gân đúng của phương trình

x* ~3x? +5x-—2=0 ta sử dụng máy tính cẩm tay CASIO theo các bước

sau:

o_ Truy cập MODE 1, ta bấm máy tính: X” -3X” +5X—-2=0

o_Bãm SHIFT + CALC Máy tính hỏi giá trị của X, ta cĩ thể nhập giá trị tùy ý cho biến X, chẳng hạn X = 0 (Bấm 0 rổi bấm nút “=”)

Trang 4

Phương pháp sử dụng máy tính Casio trong giải tốn phương trình = bắt phương trình — hé phwong trinh

e_ Các hằng đẳng thức cần nhớ:

° (a+ b) =a" +2ab+b?

o (a+b) =a) +3a°b+3ab? +b?

oO (a+b+c) =a +b’ +c? +2(ab+be+ca) ° (a+b+c) =#`+b +) + 3(n+ b)(b + c)(c+ a) TH Các dạng tốn cơ bản 2 Ano" =B Az0 a {420189 A=B A.B>0 A=BjCe©1 , „ ~~ | A? = BPC AC20 © AVB=CYD ={B20(D20) A?B=C?D

IV Sw dung CASIO dé nâng lũy thừa nhanh và hiệu quả

Ví dụ 1: z”+x+3=(x+1)vx—1

a Bình phương hai về của phương trình ta cĩ: (x +X + 3) = (x + 1) (x — 1) ¬ ` AM 2 2 _ Thay x =100 vào hai về: , |

(x? +x+3) =102070609 = 1-02-07 -06-09=x* +229 +7x? +6x+9

(x+1) (x-1) = 1009899 = 1-00-98 -99 =x? + 98x +99

Chú ý rằng hé s6 cua x trong vé phai khéng thé lén như 98 và 99, do đĩ

thay 98 =100-2=x-2 va 99=100-1=x-1

Ta cĩ:

(x+1) (x-1)=x° +98x+99=x° +(x-2)x+(x-1)=° +x? —x-1 Do đĩ ta được:

Trang 5

khangvietbook.com.vn - ĐT: (08) 39103821 - 0903906848 - Ví dụ 2: 2x? -x-3=(x+2)Vx-2 Về cơ bản cách làm của ví dụ 2 giống như trong ví dụ 1, tuy nhiên học sinh cĩ thể bình phương nhanh hơn như sau:

2x? ~x-3=(x+2)Nx-2 = (2x7 -x-3} -(x+2} (x-2)=0 (*)

Thay x = 100 vao (*) ta được: |

(23° -x-3)} -(x+2} (x~2)=394871017 =3~94~87 ~ 10 ~17

Do đĩ (2x2 =x~3) ~(x+2) (x~2)= 3x" +94x2 +8712 + 10x +17

= (2x7 -x-3)° -(x+2)°(x-2) =3x4 + (x—6)x? +(x-13)x? +10x+17 => (2x? -x-3) ~(x+2)° (x2) =4x4 — 5x? 13x? +10x +17

Vậy ta cĩ thể viết lại bài tốn ban đầu như sau: 2x° —x-3=(x+2)Vx-2

= (2x? -x-3)' -(x+2)'(x-2)=0

=> 4x* —5x° —13x? +10x +17 =0

Vi du 3: x —x7 +.x4+3=Vx° -3x42

Do CASIO khơng thể hiện được đẩy đủ một số cĩ 12 chữ số trở lên nên khơng thể áp dụng cách thay x = 100 ngay lập tức như ví dụ 1 và ví dụ 2 Tuy nhiên, ta cĩ thể tận dụng được CASIO để bình phương hai vế như sau:

xÌ~=x)+x+3= vì =3x+2 =|(x) =x?)+(x+3) | =4) ~3w.+2

©(#°=x?} +2(x#=x?)(x+3)+(x+3} ~(x`~3x +2)=0)

Thay x = 100 vao 2(x* -x?)(x+3)+(x+3) —(x°-3x +2) ta cd:

2x2 x2) (x+3)+(x+3)? -(x° -3x-+2) = 202950907 =2 ~ 02 ~95 ~09 -07

Trang 6

Phương pháp sử dụng máy tính Casio trong giải tốn phương trình ~ bất phương trình — hệ phương trình

=> 2(x° -x)(x+3)+(x+3) ~(x° -3x +2) = 2x4 + 3x9 —5x7 + 9x47

Vay (*) > (x°-2x° 4.24) + 2x4 43x? —5x7 + 9x +7 =0

<> x° —2x° + 3x7 +3x° —5x? +9x+7=0

V Sử dụng CASIO thực hiện chia da thức chia hết nhanh và hiệu quả

Ví dụ 1: Thực hiện phép chia đa thức x' +3x”~x—3 cho x7 +2x-3

4 3 ew an X t3ểX cx-Ổ

Thay x = 100 vào biểu thức ————————— ta được: x+2x-3 x* 43x? =x -3 x`+2x-3 Khi dé: x? +3x° -x-3=|#* +2x~3Ì(x” +x+1) -10101=1-01—-Ol=x?+x+1

Ví dụ 2: Thực hiện phép chia đa thức x° —2x4 —6x° —2x° +23x4+7 cho

x?—3x—1

5 4 3 2 ”—~2x`-6x”—2x x

Thay x = 100 vào biểu thức xan 6x 3 a ta được: x" —3x—" x° —2x7 -6x° —2x7 +.23x+7 x* -3x-1 | x° —2x? —6x° -2x7+23x4+7 3 => : =1x”+ xˆ—=3x-] —> 45 2x4 — 6x3 — 27? +23x+7 =(xỶ ~3x-1)(x° +x? -2x—7) = 1009793 =1- 00-97 -93 (x-3)x+(x-7)=xÌ`+xÌ~2x~7 V, Ví dụ minh họa Ví dụ: Giải phương trình: 2(x? + 2)= 5xx” + 1 * Phân tích:

Khi sử dụng phương pháp bình phương, ta cĩ thể bỏ qua điều kiện x>-~—1

boi diéu kién x7 +220 dung Vx € R Nút thắt lớn nhất của bài tốn này

đĩ là sau khi bình phương, ta sẽ xử lý phương trình cịn lại như thế nào?

Đầu tiên, bình phương hai vế ta thu được kết quả như sau:

Trang 7

khangvietbook.com.vn - ĐT: (08) 39103821 - 0903906848

Để phân tích đa thức nhân tử cho phương trình trên, ta tìm hai nghiệm gần đúng của phương trình trên Bằng cong cu SHIFT CALC trong may

tinh cam tay, ta thu được các nghiệm vơ tỷ cĩ giá trị xấp xỉ: #¡ ~ -0.541381265,x; ~ 5.541381265

Khi do: x, +x) ~5,x,x,%-3 do dé 4x*-25x° +16x*-9 chia hét cho x°—5x-3

Đên đây, cơng việc cịn lại là thực hiện phép chia đa thức

4x" —25x° +16x* -9 chox? —5x-3

“Ta viết lại phương trình:

4x! ~ 25x° + 16x" =9 =0 e> [x” ~5x~3)(4x? ~5x + 3) =0 Bài giải: 5 2 Ta c6: 2(x? +2) =5Vx° +1 <24(x? +2) =25(x° +1) <> 4x? + 16x +16 = 25x° +25 x* -5x-3=0 (x? 5x -3)(4x -5x+3)=06 4x? -5x+3=0 — 5+./37 2

Voi 4x? -5x+3=0, phuong trình này vơ nghiệm

5+/37

2

Voi x? -5x-3=0>x=

Kết luận: Phương trình cĩ nghiệm x =

VI Bài tập áp dụng

Bài 1: Giải phương trình: xŸ -x” —x—5= (x + 4) VX+2

+13 Đáp số: x=

P 2

Bài 2: Giải phương trình: 2x? -6x—1= 4x +5

Đáp số: x=2+\3vx=1-42

Bài 3: Giải phương trình: + + x” = (x? + 1ÌNz +1+1

Trang 8

Phương pháp sử dụng máy tính Casio trong giải tốn phương trình = bất phương trình — hệ phương trình

Bài 4: Giải phương trinh: x* —6x-2=Vx+8

5-41 7+35

- -Đáp số: x= 5

Bài 5: Giải phương trình: x” - 3x—2= (x — 1) V2x +1

Đáp số: x=3+2V3vx=1-V2

Bài 6: Giải phương trình: 15x” =x+2\x”+x+1+5

+ 1+/13 -1-29

Đáp sỐ: *=—————VX=——————

¬" 6 10

Bài 7: Giải phương trình: 2x+2= J2x+1+V6x+5

| Đáp số: x=1+42

Bài 8: Giải phương trình: 3x? = Vx° + 4x42

1+4/13

Đáp số: x=—————

P 6

VII Hwéng dan giải

Bài 1: Giải phương trinh: x° — x° —x-5 =(x+4)Vx+2

PHAN TICH CASIO

Ba van dé quan trong can quan tam trong bai toan nay:

1 Điều kiện x>-~2 khơng phải là điểu kiện duy nhất của bài tốn bởi khi

đĩ x+4>0 do đĩ x3 ~x?~x~5>0, | |

Giải bất phương trình này bang máy tính ta nhận thấy x > 2,34025083.- Đây là một điều kiện khơng cĩ lợi bởi nghiệm vơ tỷ này khơng thể hiện được bằng căn thức

Học sinh cĩ thể lựa chọn một trong các cách xử lý như sau:

e Cách 1: Giữ nguyên điểu kiện +” -x” =x—5 >0, sau khi tìm ra nghiệm

của phương trình, ta cĩ thể thay nghiệm đĩ vào điều kiện trên để kiểm

tra tính đúng sai

e Cách 2: Đánh giá gần đúng nghiệm của bất phương trình:

Voi x > 2,34025083, ta chỉ cần chọn điều kiện x > 2, tuy nhiên để cĩ được điều kiện này, ta thay giá trị x=2 vào x°—x”—x được kết quả là 2 Vậy ta đánh giá như sau:

Trang 9

x? —x-2>x° -x? -—x-52>0 =(x-2)(x tx+1]>0=x>2 Cách đánh giá này phức tạp hơn sơ với cách 1, tuy nhiên cĩ thể phát

triển cách xử lý điều kiện này để phục vụ những phương pháp giải khĩ hơn và phức tạp hơn sau này

2 Vẽ trái bao gồm bốn đơn thức, để cĩ thể bình phương được, ta sẽ sắp

xếp lại phương trình trên như sau: | |

2

l(°=x?)-(x+5)[ =(x+4} (x+2)

=> x° —2x° —x* -9x° +x° -22x-7=0

Đến đây ta sử dụng kỹ thuật SHIFT CALC để tính gần đúng hai nghiệm

và thu được các nghiệm: x, « 3.302775638,x; x -0.3027756377

Xét tổng và tích hai nghiệm trên: x¡ + x; =3,x¡x; ~~1

Do 46 x° - 2x5 —x* -9x +x? -22x-7 chia hét cho x? —3x-1 wM

Vì vậy ta viết lại phương trình dưới dạng:

(x? -3x~1)(x° +x)+3x7 +x+7)=0

3 Phương trình bậc bốn +” +x” +3xŸ +x+7 =0 ta cảm nhận thấy đây là

một phương trình vơ nghiệm Để chứng minh điều đĩ, ta cĩ thể tách

thành hai phương trình bậc hai vơ nghiệm như sau:

x8 44° 43x? +x+7=0©x?(x” +x+1)4(2x7 +x+7)=0

Vay ta chi con x? —-3x-1=0 va két hợp với điều kiện x > 2, ta duoc 34/13

2

là nghiệm duy nhất của phương trình ban dau

Trang 10

Phương pháp sử dụng máy tính Casio trong giải tốn phương trình ~ bất phương trình — hệ phương trình ` 2 2 Vi x1 42° 43x +x47=x"(x +x+1)+(2x? +x+7)>0vxeR Do do (*) => x? -3x-1=0 3+ /13 2 Voi x7 -3x-1=0@ x= AG fe eo AN ^ 3

Kết hợp với điểu kiện x > 2, ta dtroc x = +13 a

AY A ` , ^ "`, 3

Kết luận: Phương trình cĩ nghiệm duy nhất x = +13 2”

Bài 2: Giải phương trình: 2xˆ—6x-1=44x +5

PHẦN TÍCH CASIO |

Bài tốn này khơng khĩ để đánh gia diéu kiện:

34/11

2

3-J11

2

| Nút thắt lớn nhất của bài tốn này nằm ở yếu tố sau khi tiến hành bình

x»

2x?-6x-1>0<>

XS

phương hai vế ta duoc két qua x? ~6x? +8x7+2x-1=Ova khi tinh

nghiệm gần đúng của phương trình, ta được bốn nghiệm phân biệt lần lượt

là:

x, ~ 2.414213562

x„ ~~0.414213562

xạ = 3.732050808 x„ ~0.2679491924

Đây là bốn nghiệm độc lập của phương trình bậc bốn trên, nhưng được | chia làm hai cặp nghiệm, mỗi cặp nghiệm là hai nghiệm của hai phương

trình bậc hai Do đĩ vấn để mẫu chốt ở đây là ta cẩn chia bốn nghiệm trên

thành hai cặp nghiệm như thế nào? |

Để trả lời được câu hỏi này, thì chúng ta cẩn lưu ý đến các nghiệm xi “2414213562, x, x~0.414213562 là các nghiệm cĩ cùng giá trị thập phan giống nhau Vì vậy ta sẽ ưu tiên chọn hai cặp này là nghiệm và tìm

ra nhân tử thứ nhất chính là xˆ - 2x —1

Trang 11

Từ hai nghiệm cịn lại x; ~ 3.732050808,x, ~ 0.2679491924 ta tìm ra nhân

tir thir hai chinh la: x7 —4x+1 Do dé:

xt 6° + 8x? + 2x -1=0 (x? -2x-1)(x? -4x+1)=0 3+ 2/11 2 3-11 2 x2 Điều kiện: 2x? -6x—1>0<> xs Ta cé: 2x? ~6x-1= 4x45 (21° -6x-1} =4x+5 ©x! =6x) +8x” +2x~1=0 © (x?~2x—1)(x” =4x+1)=0 Với x?~2x—~1=0<x=1+# 2 Kết hợp điều kiện ta cĩ x=1-42

Với x? -4x+1=0<>+x=2+/3 Kết hợp điểu kiện ta cĩ x=2+ V3

Kết luận: Phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x=2+3 và x=1-42

Bài 3: Giải phương trình: x + x” = (x? + 1)Vx +1+1

x2>-1 Diéu kién: x” +x° -120 x>-l x2-1 1 > 42-250 c© x4 2 43x43 >0 3 >x>= 32 ¬ 2 2 4 Ta co: x +x" =(x° +1)Vx+1+1 | ox? txt -1e(x +1)Vx+1 =(x° ex -1) =(x° +1) (x+ 1) x6 42° — 4x? -4xˆ ~x= Oe x(x° x4 ~ 4x7 ~4x~1]=0) PHÂN TÍCH CASIO | Xét phương trình x? +x -4x? -4x-1=0 _-

SHIFT CALC x=1 ta duoc x, » —0.430159709

SHIFT CALC x=2 ta được x, ~1.618033989 _ SHIFT CALC z=-~1 ta được +; ~-~0.618033988

Xét §= x„ + x¿ =1.0000000001 ~ 1, P = x, x; = ~0.99999999989 ~ ~1

Trang 12

Phương pháp sử dụng máy tính Casio trong giải tốn phương trình — bất phương trình — hệ phương trình

Do đĩ đa thức nhân ttr la: x? —x—1

xo +x —4x? —4x -1

| Thay x = 100 vao ta được kết quả:

x7 -x-1 4x4 gy? —dy-1 2 WN A TET! 1000801 = x3 +242 43x41 x7 -x-1 Do đĩ: x9 +x? — 4x? = 4x —1= (3? - x1) (x? +227 +3x+1) Do dé (*) = x(x? -x-1)j* +2x” + 3x +1]=0 Vì x>2.>0=xx” +24” +3x+1>0, 1+5 Do dé (*) >x°-x-1=0>x= 2

N Tớ DẦU ta KhÂt chỉ c4 nR:A l† VÕ g -

Kêt hợp điều kiện ta thấy chỉ cĩ nghiệm x = thỏa mãn

^“ ˆ ` , on AG ` 1 + 5

Két luận: Phương trình cĩ nghiệm duy nhất là x = `

Bài 4: Giải phuong trinh: x? -6x-2=Vx+8 |

Diéu kién: fe -8<x<3-V11 5 2 Taco: x° -6x-2=Vx+8 = (x? -6x~2] =x+8 gto ea & x* 12x74 32x? +.23x-4=0

PHAN TICH CASIO

Xét phương trình +Ÿ ~12xŸ +32xˆ +23x—4=0

SHIFT CALC x =1 ta được x, ~ 0.1458980338 SHIFT CALC x=2 ta được x„ ~-0.701562118 SHIFT CALC x=6 ta được x; ~5.701562119

Xét S=x, +x, =5.0000000001 = 5, P = x, x, = -3.99999999996 x -4 _ Do dé da thire nhan tu la: x* —5x-4 |

Trang 13

khangvietbook.com.vn - ĐT: (08) 39103821 - 0903906848 x? —12x° + 32x? +23x-4 x? —~5x-4 Do đĩ x* —12x° + 32x? +23x—4=(3Ỷ - 5x ~ 4)(x7 -7x+1) = 9301 =93x+1=(x-7)x+1=x* -7x41 =0 eee” Do đĩ: x4 ~12x7 + 32x? +23x-4=0 (x -5x-4)(x° —7x+1 5+V41 _ Kêt hợp điều kiện > x = oe ae 5—

2 2 Ip Voi x? -5x-4=0>x= an +

Voi x° -7x+1=0>x= 7255 Kết hợp điều kiện = x = =

‘ tn nea — N41 7 J5

Kết luận: Phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x = 22 VxX= T5

Bài 5: Giải phương trình: x - 3x~ 2= (x — 1) 2x+1

1 x>-1 28" Điều kiện j4 2 ly (x-1 )(x? — 3x — 2)> % root 17 2 Ta cd: x? -3x-2=(x-1)V2x+1 (x? -3x-2) =(x-1) (2x+1) x4 8x3 + 8x7 +12x+3=0

PHAN TICH CASIO

Xét phuong trinh x* —8x° +8x? +12x+3=0 SHIFT CALC x=1 ta duoc x, » —0.464101615 SHIFT CALC x=7 ta duoc x, ~ 6.464101615 Xét S=x, +x, =6,P =x, x, = -2.99999999999 x —~3

Do dé da thie nhan tir la: x? —6x-3

4 9.3 2

Thay x = 100 vao + -Bxy +8x 112xtở ta được kết quả:

Trang 14

Phương pháp sử dụng máy tính Casio trong giải tốn phương trình ~ bất phương trình — hệ phương trình

Với x?~2x~1=0=x=1+2 Kết hợp điều kiện tacé x =1- V2

Kết luận: Phương trình cĩ ba nghiệm phân biệt là x = 3+ 2J3vx=1-42

Bài 6: Giải phương trình: 15x” =x + 2Vx"7 +x+14+5 P g rit

1+A301 x>——— 30 1-N301 X<——— 30 Điểu kiện: 15x? -x—5>0=— - Ta cĩ: 15x)=x+2\x?+x+1+5<©©15xÌ-x-5=2VvQx +x+1 => (152° —x -5) =4(x7 +x+1] <= 225x* — 30x° ~153x” + 6x + 21 = Ú

PHAN TICH CASIO

Xét phương trình: 225x” - 30x” - 153x” +6x+21=0 SHIFT CALC x =1 ta duge x, ~0.7675919792

SHIFT CALC x =~1 taduoc x, ~ —0.63851648

SHIFT CALC x=-0.3 ta duge x, ~ -0.434258545

Xét S=x, +x, =0.3333333333 ~ 7 P =x, X, =—0.33333333333 = 5 « Do đĩ đa thức nhân tử là: 3xˆ -x-1 225x7 — 30x? —153x7 +6x+21 3x7 -x-1 225+x† - 30x -153x” +6x + 21 3x2 -x-1 Do d6 225x' — 30x? —153x? +6x +21= (3x ~x— 1)(75x7 +15x- 21)

Thay x = 100 vao ta được kết quả:

=7514709= 75x” +14x+79=75xˆ + 15x~— 21

Do đĩ: 225x† - 30x” —-153x°+6x+21=0

+

1evi3 Kết hợp điều kiện ta cĩ x = | nH, Kết hợp điểu kiện: x = =- _1+/29 10 14+Vi3 | -1-v29 Voi 3x7 —x-1=00x= Với 75x? +15x-21=Ũ<>x=

Trang 15

Bài 7: Giải phương trình: 2x+2=2x+1+v6x+5

LS TU 1

Dieu kiện: x> 5"

Ta cb: 2x42 = Vox +1 + Vox+5 = (2x42)° =(2x+1 +Vor+5)

PHAN TICH CASIO

Xét phương trình: x” =4x” =4x—~1=0

SHIFT CALC x=1 taduoc x, ~ -0.414213562 SHIFT CALC x=2 ta được +; = 2.414213562

Xét S=x, +x, = 2.000000000002 = 2, P = x, x, = -0.9999999989 ~ —1

Do đĩ đa thức nhân tử là: xˆ -2x-1 , 4 2

Thay x = 100 vao voit ta được kết quả:

x—=2x-] 4 2 x oan Teo} —10201=x? +2x+1 x° -2x-1 Do dé x* — 4x? -4x-1=(3? ~2x~1Ì(x+1} Do đĩ: xt—4x2—4x-1=0<© (x?~2z~1)(x+1} =0=x=1+42

Kết luận: Kết hợp điều kiện phương trình cĩ nghiệm duy nhat x =1+ v2

Bài 8: Giải phương trình: 3x? =ÄÏxŸ + 4x +2

Ta cĩ: 3x? =Ÿx)+4x+2 œ 27x =x)+4x+2 â27xđ -x4x-2=0

Trang 16

Phương phap str dung may tinh Casio trong giai toan phuong trinh - bat phworng trinh — hé phwong trình Vi 9x° +3) +4x?+2x+2=x” (9x2 +3x+1]+ (3x7 +2x+2)>0Vx elR- H Do dé (3x? -x-1)(924 +3x° + 4x? +2x+2)=0 32° —~x-1=0 1+ v13 — Do đĩ x=

Thử lại ta thấy hai nghiệm trên đều thỏa mãn

1+ l8

Kết luận: Phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x =

6

| CHỦ ĐỀ 2: NHÂN LIÊN HỢP NGHIỆM VƠ TỶ

Đặt vấn đề

Trong chủ để trước chúng ta đã giải các phương trình vơ tỷ bằng phương pháp nâng lũy thừa kết hợp với định lý Viet đảo Đây là một phương 'pháp đơn giản và dễ làm

Tuy nhiên khĩ khăn lớn nhất của phương pháp nâng lũy thừa là những bước tính tốn rất lớn, hệ số lớn và khơng dễ øì cĩ thể xử lý các bài tốn chứa nhiều căn thức |

Trong chủ để 2 này, chúng ta sẽ để cập đến phương pháp nhân liên hợp với khả năng giải quyết các bài tốn chứa nhiều căn thức tốt hơn và hiệu

Trang 17

— 3+PB " AEee ae A? Aye +B?

II Ví dụ minh Thoa

Ví dụ 1: Giải phuong trinh: x? + 4x +3=(x+1)V8x +5 + V6x +2

* Phan tich:

Với bố cục của phương trình như trên rõ ràng rằng khơng đơn giản để cĩ thể nâng lũy thừa để giải phương trình _

Mục đích của giải phương trình là làm xuất hiện nhân tử, và thơng thường các nhân tử nằm ở dạng phương trình bậc hai, bởi đây là phương trình

làm xuất hiện nghiệm cơ bản (trong chương trình phổ thơng khơng để cập

đến nghiệm của phương trình bậc 3 và cách giải phương trình bậc 3 của Cardano) Chính vì vậy mục đích của phương pháp nhân liên hợp là làm xuất hiện nhân tử này

Nhân tử xuất phát từ nghiệm của phương trình, chính vì vậy sử dụng

| cong cu SHIFT CALC voi x =3 ta duoc x = 4.236067978 _ |

Khác với cách giải bằng phương pháp nâng lũy thừa là cẩn tìm một

nghiệm nữa, ta đặt ra câu hỏi khơng phải lúc nào cả 2 nghiệm của một |

phuong trinh bac 2 ciing thoa man diéu kién dau bài, chính vì vay ta tư duy một cách khác rằng, nếu đã là một phương trình bậc 2 thì sẽ luơn tổn -

tại dưới dạng cơ bản của phương trình vơ tỷ đĩ là phương trình dạng

ax+b=c,/px+q Chinh vi vay, thay nghiệm vừa tìm được vào căn thức

ta cĩ được: Ne +35 * 6236067978 = x + 2 V¥6xX4+2 ~5.236067978 ~x+1 ; 2 2 - N8x+5=x+2_ |Bx+5=(x+2} =xÏ-4x-1=0 Ta cĩ: => V6x+2=x+1 6x+2= (x+1) =+?-4x-1=0

Như vậy hai phương trình trên cĩ cùng một nhân tử giống hệt nhau, đĩ chính là nhân tử chung của phương trình Tuy nhiên ta cĩ thể làm nhân tử chung này xuất hiện bằng cách sử dụng phương pháp nhân liên hợp - -

Bài giải: |

ay A ” 1

Diéu kién: x = “3

Trang 18

Phương pháp sử dụng máy tính Casio trong giải tốn phương trình bất phương trình = hệ phương trinh Ta cĩ: +” +4x+3=(x+1)N§x+5 +\j6x+2_ ©+”+4x+3~—(x+1)N8x+5 -x6x+2 =0 <> (x+1)(x+2-V8x45)+(x+1-V6x+2)=0 2 2 eo (x41) 022) ~8x-5 (x+1) ~6x-2 9 x+24+V¥8x4+5 x4+14+VJ6x4+2 2 2 co(x+1 x" -—4x-] + xˆ-=4x—]1 =0 X+24+V8x4+5 x+1+N6x+2 x+2+w8x+5 x+1+6x+2 Với x>—T ta cĩ x11 + | | Ắ x+2+ý8x+5 x+1+N6x+2 Do đĩ (*)—= x? —4x-1=0>x=24 5 >0

Kết luận: Kết hợp điều kiện ta cĩ x=2+V5 1a hai nghiém thoa man phuong trinh ban dau

IV Bai tap ap dung

Bài 1: Giải phương trình: x? - x -2= /3-x +x

3+5

2 Bài 2: Giải phương trinh: x* —3x -2= (x — 1) V2x+1

Dap so: x =

Đáp số: x=1~ 2 và x=32V3 Bai 3: Giải phương trình: xˆ +x—1= (x + 2) Vix? -2x+2

| Đáp số: x=142V2

Bài 4: Giải bất phương trình: x +3x? +x+2>2x?Jx+4+^A2x+11

“Đáp số: x € E +22; +20} Bai 5: Giải phương trình: xŸ + x” = (x? + 1]jx+1 +1

1+5 2

Trang 19

Bài 6: Giải bất phuong trinh: x? + (x—J2x+2 >3x414, l2(3x +1)

| Đáp số: xe|2+5;+e]

Bài 7: Giải phương trình: 2x+ 4x? —5x +2 =V8x-14 V3x +1

2+3 5

Bài 8: Giải phương trình: (6x? +12x—6Ì3/2x—1=xŸ+22x? -11x Pp 5

Đáp số: x = Đáp số: x=442V3, x=946V2 va x=1 6x-5v1+x = + /1-x 2+3V1l4+x Vi1t+x z Ar 3 ` Đáp số: _——" va x=0

Bai 10: Giai phuong trinh: V5x? —5x +3 -V7x-2 + 4x? -6x+1=0 7+17

| | 8 |

Bài 11: Giải phương trình: 42+x+v2-x+ J4—x? = 2x? +2x-2

` 7 Đáp số: x=-2 và rei? Bai 9: Giai phương trình:

Đáp số: x=

Bài 12: Giải phương trinh: 15x? =x+2Vx?+x4+145 |

,„ 1+/13 _ -1-429 và X=————— ,

Đáp số: x=

6 10

Bài 13: Giải phương trình: 3x” = 'x” +4x+2

1+4/13 Đáp số: x=

P 6

VII Hướng dẫn giải

Bài 1: Giải phương trình: xˆ -x—2=3—x + vx

| PHAN TICH CASIO

SHIFT CALC x =2 > x = 2.618033989

J3—x ~ 0.6180339887 = x -2 Vx = 1.618033989 ~ x-1

Như vậy các liên hợp cần tìm là (x-2-v3-x} và [x-1-v»)

Thay x * 2,618033989 vao hai căn thức: |

Trang 20

Phương pháp sử dụng máy tính Casio trong giải tốn phương trình — bắt phương trình = hệ phương trình 2 _x_2> bid kg: %- 220 2 va Ta co: 2 -x-2=V3-x4+Vx «+? ~3z+1+Íx~=2~3=x]+(x~1~x)=0 2 ay (x-?) -(-z) (x-1) — 9 x-24+V3-x x-1+⁄x x -3x+1 + x*-3x4+1 =0 x-2+w3-x x-1‡x | 2 _ 3x41} 1 1 1 Joe = x i 24 ã-x x-14 4x ” x-2+3-x>0 1 Vì 2<x<3 vn => 1+ + 1 >0 x—1+wx>0 x-2+43-x x-1l+vx xˆ-3x+1=0 34/5 =x 2<x<3 2 ©x?-3x+1+ ©*x⁄!-3x+1+ Do đĩ 9=| 345 2 Kết luận: Phương trình cĩ nghiệm duy nhat x =

Bài 2: Giải phương trình: x? -3x-2= (x — 1) V2x +1

PHAN TiCH CASIO }

SHIFT CALC x =1 => x © -0.414213562

Thay z ~ -0.414213562 vào căn thức ta được

Trang 21

‹>2(x= 2z +1)(x+J2x+1)=(x~1)(x+ 2x +1)

e Truong hop 1: x+v2x+1=0ôâv2x+1=-x

peace

& => x =1- 2 (thoa man điều kiện) x<0

s Trường hợp2: 2Íx~v2x+1]=x~1ex+1=22x+1

(x+1) =4(2x+1) x? ~6x-3=0

x>-1 x>-1

=> x =3+2J3 (thỏa mãn điều kiện)

Kết luận: Phương trình cĩ ba nghiệm phân biệt là x=1- J2 va

x=3+243 |

Bài 3: Giải phương trình: x* +x-1= (x + 2) Vx? -2x +2

PHAN TICH CASIO

SHIFT CALC x =1 => x = 3.828427125

Thay x = 3,828427125 vao can thức ta được Vx? -2x4+2=3

Trang 22

Phương pháp sử dụng may tinh Casio trong giải tốn phương trình — bất phương trình — hệ phương trình

1 Vx? -2x+243 <x+2=Wdx?-2x+2+3<>x-1=wx°-2x+2 (x-1Ÿ =x?~2x+2_ [x?~2x+1=x?~2x+2 => > x21 x21 e Trường hợp 2: 1= (x + 2) (Vơ nghiệm) Kết luận: Phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt là x=1+ 2N2

Bài 4: Giải bất phương trình: x” +3x” +x+2>2xŸ Vx+4 +V¥2x+11

PHAN TICH CASIO

SHIFT CALC voi x =1 ta duoc x 1.828427124 Thay + ~ 1.828427124 vào căn thức ta được

Trang 23

khangvietbook.com.vn - DT: (08) 39103821 - 0903906848 X4+342Vx+42>2>0 x+2+42x+11>-1+xJ5>0 x? 1 + > x+3+2\qjx+4 x+2+N2x+11 x È+2x-7>0 x>-3 _Vì sa) => 0 Dose) =| =x>-1+242

Kết luận: Bất phương trình cĩ tập nghiệm x e E +22; +2]

Bài 5: Giải phương trình: xỶ +x” =(x? +1)Vx+1 +1

PHAN TICH CASIO

SHIFT CACL x = 1 ta duoc x ~ 1.618033989

Thay x ~ 1.618033989 vào căn thức ta được Vx +1 1.618033989 = x Vay liên hợp cần tìm là (x —VxX+ 1) >-1 3 Diéu kién: x# +*x⁄ˆ-1>0 x>-1 x2-1 I > “ KH Ta cĩ: x” +xŸ =(x” +1]Nx+1+1ex)+x?=1~(x? +1)Ìjx+1=0 2 (x41

cox? —x-14(x? 41)(x—Viev 1) =0.6932 14x? 41) AD —a x+vVx4+1

2 2

=#-rennen SE =0e(=x-l[s XE lop x*+Vx+l X+V¥x4+1

1 x7 41 Vi x>—->x4+Vx4+1>0514+—— — > 0 2 | x+Vx4+1 x?-x-1=0 Dodd()>4 + „1+5, x35 2 1+5 2

Kết luận: Phương trình cĩ nghiệm duy nhất x =

Trang 24

'Phương pháp sử dụng máy tính Casio trong giải tốn phương trình — bất phương trình — hệ phương trình

Bài 6: Giải bất phương trình: xŸ+\Jx~2x+2 >3x+1+ ,|2(3x +1)

PHÂN TÍCH CASIO

SHIET CALC x =1 ta được x ~ 4.236067977

Thay x~4,236067977 vào các căn thức ta được:

| x-N2x+2 =1

2(3x +1) = 5.236067977 = x +1

Vậy các liên hợp cẩn tìm là (y-j2x+2 1) và|x+1~,j2(3x + 1))

Trang 25

1 1

2

xˆ—4x—-1>0

Do đĩ: P : =>x>2+wW5 x>1+43

Kết luận: Bất phương trình cĩ tập nghiệm xe Ị2 +5; +20}

Bài 7: Giải phương trình: 2x+V4x2~5x+2 =x8x~1+ 3x +1

PHAN TICH CASIO

SHIFT CALC x = 1 ta được x ~ 1.866025404

Thay x =1,866025404 vao mỗi căn thức ta cĩ:

\4x? -5x +2 ~ 2.568672072 2 1 % Ề \8x—13.732050808 x 2x -\"e 5x+2~ 3x +1 [8x —-1 2x V3x +1 * 2.568672072

Như vậy ta nhận thấy các biểu thức liên hợp cẩn tìm là:

Trang 26

- Phương pháp sử dụng máy tính Casio trong giải tốn phương trình — bắt phương trình = hệ phương trình 1 1 > +———=> {4x?-5x+2+v3x+1 2x+V8x-1 4x” ~8x+1=0 + Nhu vay (*) > 1 = y= 2803 x>— 2 8 í +

Kết luận: Phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt là x = a ac

Bai 8: Giai phương trình: (6x? +12x—6)V2x -1=2+° p g + 22x? -11x

PHAN TICH CASIO

SHIFT CALC x =1 ta được nghiệm x = 1 Tuy nhiên ta sẽ khơng lựa chọn

nghiệm x = 1 ngay mà nên tìm thêm một nghiệm vơ tỷ nữa để để tìm ra liên hợp hơn

SHIFT CALC x =6 ta được nghiệm x > 7.464101615

Thay x ~x 7.464101615 vào căn thức ta được:

2x ~1 © 3.732050808 = 5 =xx2A2x-1

_ Vậy liên hợp tìm được là Íx~ 22x - 1)

Trang 27

khangvietbook.com.vn - ĐT: (08) 39103821 - 0903906848 2 ca Ay — c (x? —8x +4) x" +6x-3-4xV2x-1 x+2V2x-1 =# -8x+4Ì(x? +6x~3~4xv2x—1] = PHAN TÍCH CASIO Xét phuong trinh x” +6x —3—4xV2x-1=0

Chú ý rằng nghiệm x = 1 vẫn cịn trong phương trình này, tuy nhiên ta

khơng nên vội làm xuất hiện nghiệm này và cần thêm một nghiệm vơ tỷ

nữa để xác định liên hợp đễ dàng hơn

SHIFT CALC x = 17 ta duoc nghiém x ~ 17.48529137

Thay x~ 17.48529137 vào căn thức ta được:

Trang 28

Phwong pháp sử dụng máy tính Casio trong giải tốn phương trình = bất phương trình — hệ phương trình 3x-3/J2x-1=0 e Truong hop 3: 1 xE nn = V/2x-1 x? =2x-1 => 1 => 1 =>x=1 x>— x>— - 2 2

Kết luận: Phương trình cĩ năm nghiệm x=4+ 2\3,x=9+642 và x=1

6x— ov +x |

24+3Vil0n Feed

=0

Bài 9: Giải phương trình: Điều kiện: —-1< x <1 _5V1+x | 1—x 6(x+1)- Svi+ x6 Í1—x =0<= = 2+31la+x 1+x _2+3/j1+x 1+x Saree 3) Ẳnx l1-x =0 <©3vl+x-vl-x=2x+2 _2+3NJ1+x "Max

PHAN TICH CASIO

SHIFT CALC véi x = 0 ta được x = 0 Tuy nhiên ta cẩn phải tìm ra một

nghiệm vơ tỷ khác để dễ dàng tìm liên hợp hơn

SHIFT CALC voi x = 0.8 ta duoc x ~0.866025403

Thay x ~ 0.866025403 vao cac can thức ta được: _

Trang 29

khangvietbook.com.vn - ĐT: (08) 39103821 - 0903906848 =(s¿-3|| 3 _ ! J9 2x+1+2l+x 2x-142V1-x 4x —446Vi—x-2VT +x (2x+1+2V1+x)(2x-142V1-x) => (4x? -3)(4x-4+ 6V1-x -2V1+x)=0 <> (4x? -3)(2x-24+3V1-x-Vi+x]=0 | V3

<= (4x7 -3) =0

e Trường hợp 2: 2x—2+31=x-x1+x =0 Khi đĩ kết hợp với phương

trình ban đầu ta được:

2x-2+3\J1-x-N1+x =0 2x—-2+34J1-x-N1+x=0 3J1+x-N1-x=2x+2 9V1 +x -3V1—-x =6x+6

= (2x-2+3V1- -Vi+x)+(9V1+x-3V1-x)=6x+6

=> 8J14+x = 4x48 214% =x+2 ~1<x<l1 -1<#<I1

=> << => x =0 (Thỏa mãn điều kiện)

(x+2) =4(x+1) x? — : |

⁄ xa NỔ

Kết luận: Phương trình cĩ ba nghiệm phân biệt là x = th và x=0

Bài 10: Giải phương trình: V5xˆ ~ 5x + 3 — V7x-2+4x? -6x+1=0

PHAN TICH CASIO a

SHIFT CALC voi x =1 ta được nghiệm x ~ 1.390388203 Thay x ~ 1.390388203 vào các căn thức ta được:

5x7 —5x+3 x 2.390388203 x x + 1

V7x —2 ~ 2.780776406 = 2x

Vậy các liên hợp cẩn tạo ra là (+ —5x +3 _ (x + 1) và (2x —47x— 2)

AN oA 2

Điều kiện: x = 7

Trang 30

Phương pháp sử dụng may tinh Casio trong giai toan phwong trinh — bat phuong trinh — hé phwong trinh Ta ed: V5x? —5x+3—V7x-2 44x? -6x+1=0 e> (5x? — 5x +3 -(x41)}+(2x-V7x=2) 44x? -7+2=0 1 TU 1 j5x?~5x+3+x+1 2x+V7x-2 =(sê~zx+2)| " 2 Voi x= 7 ta co: [yon eet 1 1 +1>0, => + 2x+Ÿ7x-2>7>0 \5x?—5x+3+x+1 2x+V7x-2 2 _ 4x* -7x+2=0 7+ lz Do do (*) => 2 x= x27 8 7+ lĐ

Kết luận: Phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt là x = 3

Bài 11: Giải phương trình: /2+x +x2- x +4-x? =2x? +2x~2

PHAN TICH CASIO

SHIFT CALC voi x = 1 ta được x ~ 1.322875656

Thay x * 1.322875656 vao cac can thirc cua phuong trinh ban dau ta được:

Trang 31

khangvietbook.com.vn - ĐT: (08) 39103821 - 0903906848 @x+1) -4(2+x) (2x-1) ~4(2-x) 3-4(4-x) <> 4x? ~7 4 2x+142V24+x 2x-1+2\2-x 3+2J4-x? =0_ Ax? —7 Ax? —7 + 4x? ~7 > 4x° -7 4+ + ————=== 2x+1+2J2+x 2x-1+2/2-x 3+2W4- +? =0 SẺ | ee na Jeoe Ta thay: 2x2 +2x-2=/24x4J2-x4+V4_-x =21x2+2x~2=4J2+x+2-x+22/2+xV2-x +xJ4-x? =2x?+2x~2=4|4+24l4—x? +xJ4-x? >VJ4+xJ4—x? >2 >1 =22+2x-4x05" x<-2

Do đĩ từ (*) ta cĩ hai trường hợp sau:

4x2~7=0 Ấn Trường hợp 1: 4| x >1 =x== x<-2 Trường hợp 2: 1+ 1 + , + : - (**) 2x+1+2\2+x 2x-1+242-x 3+24-+? x21 2>x>1 Do {| x<-2 =| < x=-2 —2<x<2

Voi x =—2 ta thay —2 la mét nghiém cua (**)

Voi 1<x <2 ta thay: ane 1 1- 1 =l+ + + 2x-1>1>0 2x+1+2\j2+x 2x-1+2j2-x 342,/4_¥2 Do đĩ (Œ*) cĩ nghiệm duy nhất x = -2 >0

Kết luận: Phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt là x =-2 và x= Ww

Trang 32

Phương pháp sử dụng máy tính Casio trong giai toan phuworng trinh — bat phương trình — hệ phương trình

Bài 12: Giải phương trình: 15x? =x+2x”+x+1+5 PHÂN TÍCH CASIO

SHIFT CALC với x = 1 ta được x = 0.767591879

Thay x0.767591879 vào căn thức ta được:

\x?+x+11.535183758 x 2x Vậy liên hợp cần tìm là (2x Vx? 4x41 | | 1+ 301 > 30 < 1-3301 30 Diéu kiện: 15x” -x~5 >0 = Ta cĩ: 15x? =x+2Ax?+x+1+5<>15x?—~x—5~2Vxˆ+x+1=0 c>2(2x—x” +x+1]+15x? —5x - 5 =0 2(3x7 -x-1} <©> ————————— 2x+Nx?+x+1 +5(3x” =x-1]=0 =0 3x? —x-1 —_ _— 5 © (31 ° ("| = (327 —#— 1|[l0x+2+ 5¬ x°+x+ pm 1+ đại e Trường hợp1: 3xè=x-1=ôâx= 1+V13 , 6 thoa man e_ Trường hop 2: 10x +2+5Vx? +x+1=0 5Vx° +x4+1=-10x-2 25(x2+x+1)=(10x+2) _ J75x”+15x~21=0 oS > 10x+2<0 10x+2<0 _-1-29 10

Kết hợp với điều kiện ta thấy

chỉ cĩ nghiệm x =

(Thỏa mãn điểu kiện)

iB, 1-2

Trang 33

Bài 13: Giải phương trinh: 3x? = Vx? +4x+2

PHAN TICH CASIO

SHIFT CALC voi x = 1 ta được nghiệm x ~ 0.767591879 Thay x~0.767591879 vào căn thức ta được:

Vay liên hợp cẩn tìm là [x+i-t x +4x +2),

_Điểu kiện: 3z? =Yx° +4x+2 >0>%° +4*+220

= x9 44x45 >0<9(x+1)(x7 -x+5)>0>x>-1 Ta c6: 3x? =4/x? +442 <9 3x? 4x? + 4x42 =0 <> 3x? -x-14(x41-9 x`+4x+2]=0 os 4x? x1 (x+1) -(x9 +4x+2) , | =0 (x+1) +(x+1)9x? +4x+42 :|W* tax+2} =00)- ©|3x?-x-1 l+— = 1 5 (x+1) (x41) Vo? +ar+2+(Va + 4x +2) Vi (x+ 1 +(x+1)Đz° +4x+2 +(e +4x+ 2) 2 Tem 3|W*°+4x+2] Ánh ry >OVx>-1 Do dé 1+ : ——>Ũ (x+ 1) +(x+1)¥x° +4x+2 +(e +4x+2) _ mm 1413 ‘Vay (*) > => Xx Xx

(Thỏa mãn điều kiện)

>1 6 |

14V13 -

6

Kết luận: Vậy phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt là x =

Trang 34

Phương pháp sử dung may tinh Casio trong giải tốn phương trình = bắt phương trình ~ hệ phương trình

CHỦ ĐỀ 3: TƯ DUY PHÂN TÍCH NHÂN TỬ BẰNG CASIO

I Đặt vấn đề |

se Trong chủ để trước chúng ta đã đề cập đến phương pháp nhân liên hợp

nghiệm vơ tỷ sử dụng phương pháp tạo biểu thức liên hợp xuất hiện nhân

tử chung từ các nghiệm vơ tỷ tìm được

e Trong chủ để này, chúng ta tiếp tục đi vào các bài tốn phương trình chứa

nghiệm vơ tỷ nhưng được tư duy và giải theo hướng đi khác đĩ là tạo liên

hợp ngược và cách nhẩm nhân tử với sự hỗ trợ của máy tính CASIO

II Liên hợp ngược là gì?

e Xét phương trình x2+x-—1+ x(x ~1~x]=0 Ta nhận thấy nếu nhân

thêm biểu thức liên hợp cịn thiếu của biểu thức trong ngoặc:

(x-vi-xÌ|x+ 1~x}=z?~(1~x)=x”+x—1

Khi đĩ ta thấy kết quả của biểu thức liên hợp là x”+x~—1 giống hệt biểu thức bên ngồi Do đĩ ta cĩ thể viết lại:

x +x-1=(x-Vv1-x)(x+ 1-x}

Như vậy phương trình: xˆ +x—1+ 2x(x- Vi-x) =0

<> (x-V1-x)(x+ 1-x}+2x{x-Vi-x)=0

<> (x-V1-x)(3x+V1-x)=0

Kỹ thuật dùng để tạo biểu thức liên hợp như trên gọi là kỹ thuật tạo liên

hợp ngược II Ví dụ minh họa

Ví dụ: Giải phương trình: x7 +2x+4+(2x+1)¥x+4 =0

Cách 1: Kỹ thuật liên hợp ngược:

* Phân tích:

Sử dụng SHIFT CALC với x =1 ta được nghiệm x ~ —1.561552813

Trang 35

khangvietbook.com-vn - ĐT: (08) 39103821 - 0903906848 Điều kiện: x >_—4 Ta cĩ: x2+2x+4+(2x+1)jx+4=0 -z? exes (2c 1)(x+ Vera) 0 © ~(x?=x=4)+(2x+1)|x+ Jx+4)=0 | ô-(x+Vx+4èx=dx+4)+(2x+1)|x+dx+4)=0 â(x+x+4)(-x+VxX+4+2x+1]=0 e>(x+Vy+4)(x+1+ (x+4)=0 | 4<x<0 1 -

Voi reid 069-1 Jivd | x sya v17

x? -x-4=0 2 >| be I x7 4+x-3=0 2 1-17 -1-V13 2 -4<x<-l —T†— Với x+1+x\x+4=0<>-x-— neva =| * 1 v13

Cách 2: Sử dụng phương pháp chia đa thúc bằng tư duy CASIO

PHAN TÍCH NHÂN TỬ BẰNG CASIO

Phương trình x” +2x+4 + (2x +1)V¥x+4 =0 cĩ nhân tử (x + Vx+4) Do đĩ ta hồn tồn cĩ thể viết lại phương trình dưới dạng: | |

x? 42x4+44+(2x41)Vx4+4 =(x+dx+4]|ex+b+elx+4)

Do đĩ: Để tìm a, b, c ta thay ba giá trị ngẫu nhiên của x và kết hợp cơng cụ

+? +2x+4+(2x+1)jx+4

— mm

CALC ta duoc: ax+b+eVx+4 =

Trang 36

Phuong phap sw dung may tinh Casio trong giai tốn phương trình — bất phương trình - hé phwong trinh Điểu kiện: z >4 Ta cĩ: x” +2x+4+(2x+1)xx+4=0 ©(x+1)|x+Jx+4]+x+4x+{x+4)=0 ©(x+Vx+4Ì(x+1+x/x+4)=0 Ca — [-4<x<0 _ Với x+ x+4=00-x= ra =| x sya M17 x? -x-4=0 2 -4<x<-] _1— Với x+1+xx+4 =0o-x-1= = x-=1- v13 x È+x-3=0 2 1-17 1-13 2° 2

IV Bài tập áp dụng

Bài 1: Giải phương trình: 2x” +x+1+ 3xVx+1=0

Đáp số: x =

Bài 2: Giải phương trình: 2x? +5x+ (x? +2)Vx+2=0

_ Đáp số: a en và x=2-2V3 Bài 3: Giải phương trình: (6x” +12x~6)Ạ2x~1 = x? +22x” - 11x

Đáp số: x=4+243,x=9+6\2 va x=1 x°+x+1+z(Vx+1} z0 7 | Đáp số: x ————

- Bài 4: Giải bất phương trình:

x+N3x?+x+1

Bài 5: Giải phương trình: (1+ V1+x \\v 2x2~2x+1+x— 1} = xx

3-5 - X4

2 x=0

Trang 37

khangvietbook.com.vn - OT: (08) 39103821 - 0903906848 V Hướng dẫn giải

Bài 1: Giải phương trình: 2x” +x +1+3xVx+1=0 PHAN TICH CASIO

SHIFT CALC voi x=1 ta thu được nghiệm + ~ -0.390388203, thay giá trị

x = —0.390388203 vao can thitc ta duoc Vx +1 ~x0,7807764064 = —2x Với nghiệm vơ tỷ trên ta nhận được liên hop (2x +\jx+ 1)

Cách 1: Kỹ thudt lién hop nguoc

x>-] Điểu kiện: 2 =—l<x<0 | (2x +x+1]x<0 ca Ta cĩ: 2x2+x+1+3xv/x+1=0<>-4x7 +x+1+3x|2x + Jx+1]=0 ©3x|2x+ vx+1)-(42? -(x+1))=0 ©3x|2x+Jx+1]~{2x+Vx+1)(2x~Ýx+1]=0 <> (2x4 Vx-+1)(3x-2x + Vx+1)=0 (2x4 ve +1}(x+ x+1)=0 ng 1-17 se Trường hợp 1: | =>#=— -l<x<0 8 Xx=— —=l<x<0 e Truong hop 2: t x+1=0_, vs

Kết luận: Phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt là x = 1-5 „1-17

Cách 2: Sử dụng phương pháp chia đa thúc bằng tư duy CASIO

PHÂN TÍCH NHÂN TỬ BẰNG CASIO

Phương trình 2x” + x+1+3xx+1 =0 cĩ nhân tử (2x + jx+1] Do đĩ ta

hồn tồn cĩ thể viết lại phương trình dưới dạng: 2x? +x+1+3xvx+1=(2x + Jx+1][ax+b+cýx +1]

2x? +x+1+3x\Jjx+1 -

Do đĩ: ax+b+ceVx4+1= = f(x) Dé tìm a, b, c ta 2x+Nx+1 ⁄\ )

thay ba giá trị ngẫu nhiên của x và kết hợp cơng cự CALC ta được:

Trang 38

Phương pháp sử dụng máy tính Casio trong giải tốn phương trình = bắt phương trình — hé phuong trinh x=-1=-a+b=ƒ(-1)=-1 [a=1 4x=0>b+c=f(0)=1 =‡b=0 x=3=>3a+b+ 2c = ƒ(3)=5_ c=1 Do đĩ ta cĩ: 2x7 tx+1+3wx+1=(2x+jx+1Ì(x + Ýx +1) c© 2#? +x+1+3xx+1=x(2x+jx+1)+ x+1(2x + x +1] x>-1 Diéu kién: | =>-1<x<0 (2x7 +x+1}x<0 Ta cĩ: 2x2 +x+1+3xvx+1=0œ x(2x+jx+1]+ vx+1(2x + Jx+1=0 ©(2x+x+1]{x+ Vx+1)=0

e Truong hop 1: pes Am 1-17

-1<x<0 8

e Truong hop 2: t AT 16

—-l<*#<

Kết luận: Phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt là x= 1-5 „_1-V17

Cách 3: Tu duy vé hé sé trong CASIO

PHAN TICH NHAN TU BANG CASIO

Phương trình 2+” +x+1+3x/x+1=0 cĩ nhân tử (2x + ýx + 1} Do đĩ ta

Ì hồn tồn cĩ thể viết lại phương trình dưới dạng: a _ a

2x? +xz+1+3xx+1=(2x+Jx+1]Íx+ø+balx +1]

Giải thích: Vì hệ số bậc cao nhất bên trái là 2x? nên hệ số của bậc cao nhất cho nhân tử cần tìm chỉ cĩ thể là x

Do dé: x+a+bVx+ — ** -/() Để tìm a, b ta thay

2x+xjx+1

hai giá trị ngẫu nhiên của x và kết hợp cơng cụ CALC ta được:

| Poe

x=0=a+b= ƒ(0)=1 b=1

Trang 39

| Do đĩ ta cĩ: 232+x+1+3xjx+1=(2x+ Jx+1Ì[x+ x+1)

Phần bài giải trong Cách 3 giống như phần bài giải trong Cách 2 chỉ khác nhau ở bước phân tích như trên Tuy nhiên về mặt lâu dài thì Cách 3 cĩ lợi hơn bởi học sinh sẽ giản ước được số ẩn của bài tốn

Bài 2: Giai phuong trinh: 2x7 + 5x-+(x? +2)Vx+2 =0

PHAN TICH CASIO :

SHIFT CALC voi x=-1 ta thu được nghiệm x=-1,tuy nhiên chúng ta chưa vội vàng đánh giá luơn nghiệm này mà cân nhắc kỹ lưỡng bởi vẫn cĩ thể cịn một nghiệm vơ tỷ nữa

Thật vậy, SHIET CALC với x= -1.5 ta thu được xz —1.464101615

Với nghiệm vơ tỷ trên ta nhận được liên hợp (x + 2vJx +2

Cách 1: Kỹ thuật liên hợp ngược ‹ x+220 Diéu kién: 2 =>-2<x<0 2x° +5x <0 Ta cĩ: 2x” +5x+(x” +2)xÏx+2 =0 © 4x? +10x+2(x2 + 2)Ạx +2 =0 eo ax? + 4x? + Bx +(x? +2)(x+2Vx+2)= <> —x(x? —4(x+2)) +(x? +2)(x+2Vx+2)= <> —x(x-2Vx+2)(x4 2vx+2)+(x? +2)(x+2vx+2)=0 ©x+2x+2)|x? +2~x[x=2x+2ÌÌ= ©(x+2Jx+2)(2+2xjx+2)=0 ©(x+2x+2)(t+zx+2)=0

Trang 40

Phương pháp sử dụng máy tính Casio trong giải tốn phương trình — bat phuong trinh — hé phuong trinh

1-5

Kết luận: Vậy phương trình cĩ ba nghiệm phân biệt là x =—1,x = 5 và x=2-2A/3.-

Cách 2: Sử dụng phương pháp chia đa thức bằng tư day: CASIO

PHAN TICH NHAN TU BANG CASIO `

Phương trình 2+Ÿ +5x +(x? + 2)xx +2 =0 cĩ nhân tử (x+ aVx+2) Do

- đĩ ta hồn tồn cĩ thể viét lai phuong trinh dudi dang:

2z? +5x +(x? +2)Vx+2 =(x+2vx+2)((x4a)vx+2 +bx +c}

Bén ngoai gid tri Vx+2 phai cĩ một giá trị x bởi vì phương tình ban đầu | co dang (x? + 2]jx+2 tuy nhiên x cộng với bao nhiêu chưa biết nên ta

đặt giá trị giả thiết là x+a Bậc cao nhất của phương trình là 2 nên bên

cạnh (x + a)xlx+2 ta cần phải đặt thêm một lượng bx +c

2x? +5x + (x? + 2]jx+2 x+2\jx+2

Định dạng
Số trang	344
Dung lượng	34,05 MB