SKKN phương pháp lập hệ thức truy hồi giải toán tổ hợp

I TÊN ĐỀ TÀI : “PHƯƠNG PHÁP LẬP HỆ THỨC TRUY HỒI GIẢI TOÁN TỔ HỢP” II PHẦN MỞ ĐẦU: Lý chọn đề tài Các toán tổ hợp phần quan trọng chuyên ngành toán rời rạc mảng khó chương trình tốn THPT chun Trong kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic Toán quốc tế khu vực, toán tổ hợp bắt buộc chúng chiếm khoảng 18% đề thi, thường xem dạng tốn khó, câu phân loại kì thi Các em học sinh bậc Trung học phổ thông thường gặp khó khăn tiếp cận dạng tốn liên quan đến tư tổ hợp, đặc biệt kỹ ứng dụng kiến thức số học số kiến thức khác vào việc giải tập tổ hợp Để hiểu vận dụng tốt số dạng toán vận dụng kiến thức tổ hợp vào giải tốn học sinh phải có kiến thức tảng tổ hợp tương đối đầy đủ chắn tất lĩnh vực ngành tốn rời rạc Đó khó khăn lớn giáo viên học sinh giảng dạy học tập phần kiến thức cần thiết tổ hợp Có nhiều cách giải tốn đếm như: Sử dụng hệ thặng dư đầy đủ, phương pháp đếm hai cách, sử dụng nguyên tắc cực hạn, sử dụng đa thức, phương pháp song ánh, phương pháp hàm sinh…Bài viết xin trình bày “Phương pháp thiết lập hệ thức truy hồi để giải toán tổ hợp” Bằng cách thiết lập mối quan hệ công thức cần tính Sn với Sn−1 , Sn −2 , từ ta tìm Sn Mục đích nghiên cứu Đề tài “Phương pháp thiết lập hệ thức truy hồi để giải toán tổ hợp ” giới thiệu với thầy cô giáo em học sinh kinh nghiệm giảng dạy chủ đề Tốn tổ hợp chương trình THPT chun, đồng thời thông qua đề tài muốn giúp học sinh tiếp cận với phương pháp dể giải toán Tổ hợp nhằm nâng cao kết kì thi học sinh giỏi quốc gia, khu vực Quốc tế Thông qua đề tài tơi mong muốn nhận góp ý trao đổi quý Thầy cô, bạn đồng nghiệp, em học sinh để đề tài có ứng dụng thiết thực vào công việc bồi dưỡng học sinh giỏi Nhiệm vụ nghiên cứu Để đáp ứng yêu cầu việc học tập nghiên cứu cho học sinh ba năm học liên tiếp: 2016-2017, 2017-2018, 2018-2019, góp phần nâng cao số lượng chất lượng HSG mơn Tốn ký thi: HSG cấp tỉnh, HSG đồng Bắc bộ, HSG QG lớp 12 Đối tượng khách thể nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài toán Tổ hợp nâng cao, tốn tổ hợp chương trình thi HSG Học sinh lớp chuyên Toán 10, 11, 12, đội tuyển thi chọn HSG lớp 12 cấp tỉnh, đội tuyển HSG tham dự kỳ thi chọn HSG QG lớp 12 môn Toán Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu dựa nội dung kiến thức tốn phân mơn Tốn tổ hợp giới hạn thi học sinh giỏi Bộ Giáo dục Đào tạo Phương pháp nghiên cứu Để thực nghiên cứu cần phối hợp phương pháp: - Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu tài liệu chuyên tổ hợp đặc biệt tài liệu liên quan đến số học, đại số, dãy số, tạp chí nước; tài liệu từ Internet -Thực nghiệm rút kinh nghiệm thông qua trao đổi kinh nghiệm giảng dạy, rút sai lầm học sinh thông qua chấm bài, thi thử… III NỘI DUNG A.CƠ SỞ LÝ THUYẾT: Kiến thức chuẩn bị: Học sinh phải trang bị kiến thức Tổ hợp Hai quy tắc đếm (cộng nhân) Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Cách tìm số hạng tổng quát dãy số (ở học sinh cần biết số hạng tổng quát dãy Fibonaci) Các kiến thức về số học B NỘI DUNG: Phương pháp thiết lập hệ thức truy hồi phương pháp quan trọng toán đếm Nội dung phương pháp thiết lập quan hệ truy hồi sau: giả sử công việc A có f ( n ) cách thực hiện, để tìm f ( n ) ta tìm mối liên hệ f ( n ) với f ( n − 1) , f ( n − ) , , f ( ) , f ( 1) , sau suy f ( n ) Các toán sử dụng phương pháp thiết lập quan hệ truy hồi đa dạng, phong phú mức độ khó dễ khác Dưới chúng đưa số dạng tập tổ hợp sử dụng phương pháp thiết lập hệ thức truy hồi Sử dụng phương pháp thiết lập hệ thức truy hồi tốn đếm thơng thường Bài 1: Cho số nguyên dương n Có số tự nhiên có n chữ số lập từ chữ số thuộc tập S = {2;3;7;9} chia cho có số dư 1? Lời giải: Gọi M n tập hợp tất số có n chữ số lập từ chữ số thuộc tập S = {2;3;7;9} Gọi An , Bn , Cn tập hợp gồm tất số có n chữ số mà chia cho dư 0, 1, Ta có: |M n |= 4n Khi đó: M n = An ∪ Bn ∪ Cn , An ∩ Bn = ∅, Bn ∩ Cn = ∅, An ∩ Cn = ∅ ⇒ | M n |=| An | + | Bn | + | Cn | Lấy phần tử M n+1 , bỏ phần tử cuối ta phần tử M n , ngược lại lấy phần tử x thuộc tập M n +/ Nếu x ∈ An có cách thêm vào chữ số cuối ( chữ số 9) để phần tử thuộc An+1 , có cách thêm vào chữ số cuối (chữ số 7) để phần tử thuộc Bn+1 , có cách thêm vào chữ số cuối (chữ số 2) để phần tử thuộc Cn+1 +/ Nếu x ∈ Bn có cách thêm vào chữ số cuối (chữ số 2) để phần tử thuộc An+1 , có cách thêm vào chữ số cuối (chữ số 3, 9) để phần tử thuộc Bn+1 , có cách thêm vào chữ số cuối (chữ số 7) để phần tử thuộc Cn+1 +/ Nếu x ∈ Cn có cách thêm vào chữ số cuối (chữ số 7) để phần tử thuộc An+1 , có cách thêm vào chữ số cuối (chữ số 2) để phần tử thuộc Bn+1 , có cách thêm vào chữ số cuối (chữ số 9) để phần tử thuộc Cn+1 Vậy ta có hệ: Ta có: | An+1 |= | An | + | Bn | + | Cn |  | Bn+1 |=| An | +2 | Bn | + | Cn | | C |=| A | + | B | +2 | C | n n n  n+1 | M n |= 4n ⇒| Bn+1 |= (| An | + | Bn | + | Cn |) + | Bn |=| M n | + | Bn | ⇒| Bn+1 |= 4n + | Bn |= n + 4n−1 + + 41 + | B1 | 4n−1 − 4n − = Có | B1 |= ⇒| Bn |= + (4 + + + + ) = + 3 n −1 n Nhận xét:Hệ thức truy hồi đây: Bn+1 = + Bn Đây tốn đếm số số có n chữ số mà n chưa biết trước cụ thể ta thường xây dựng hệ thức truy hồi , thiết lập mối quan hệ số số có n chữ số với số số có n+1 n+2 chữ số Cũng từ cách xây dựng ta dễ dàng tìm số số chia hết cho 3, số số chia cho dư Bài 2: Từ chữ số 1; 2; lập số tự nhiên có 2017 chữ số cho chữ số chữ số sau 1; 2; xuất lẻ lần Gọi xn số số tự nhiên gồm n chữ số thành lập từ chữ số 1; 2; chữ số xuất lẻ lần ( n lẻ) (*) +/ Xét số có n chữ số lâp từ chữ số 1; 2; 3: TH1: Nếu số thỏa mãn điều kiện (*) cách thêm hai chữ số giống vào cuối số để số có n + chữ số thỏa mãn điều kiện toán TH2: Nếu số khơng thỏa mãn (*), n lẻ nên có hai chữ số xuất chẵn lần (gọi hai chữ số a b), chữ số cịn lại xuất lẻ lần Trường hợp có cách thêm hai chữ số ab ba vào cuối số để số có n + chữ số thỏa mãn tốn Có 3n số có n chữ số (mỗi vị trí có cách chọn) lập từ chữ số 1; 2; 3, có 3n − xn số thuộc trường hợp Vậy từ hai trường hợp ta có hệ thức truy hồi: ( ) xn+2 = 3xn + 3n − xn = xn + 2.3n;n∈ ¥ * Suy ra: ( ) xn+2 = (xn+2 − xn ) + (xn − xn−2) + + (x5 − x3) + x3 = 3n + 3n−2 + + 33 + n−1 33(9 − 1) 33(3n−1 − 1) 33(32014 − 1) 3(32016 − 1) =2 + 6= + ⇒ x2017 = + 6= 9− 4 Nhận xét: Bài toán thiết lập mối quan hệ xn+2 xn , hệ thức truy hồi: xn+2 = xn + 2.3n; n∈ ¥ * Bài 3: (Mở rộng từ đề thi thực hành tuyển dụng giáo viên vào trường Chuyên Lê Quý Đôn, Quảng trị năm 2013) Từ số thuộc tập S = {1;2;3;4;5;6;7;8;9} lập số tự nhiên có n chữ số mà số chứa số lẻ chữ số số chẵn chữ số ( n số nguyên dương cho trước)? Lời giải Kí hiệu X n tập tất số tự nhiên có n chữ số lập từ số tập S A n,Bn,Cn,Dn tập tất số tự nhiên có n chữ số lập từ chữ số tập S mà số chứa: lẻ chữ số 1và chẵn chữ số 2, lẻ chữ số 1và lẻ chữ số 2, chẵn chữ số 1và lẻ chữ số 2, chẵn chữ số 1và chẵn chữ số Ta có: |X n |= 9n , A n,Bn,Cn,Dn đôi rời X n = An ∪ Bn ∪ Cn ∪ Dn Xét phần tử thuộc A n , giữ nguyên chữ số khác 2, chữ số đổi thành chữ số chữ số đổi thành chữ số ta phần tử Cn , ngược lại lấy phần tử thuộc Cn thực biến đổi ta phần tử A n nên A n = Cn Lấy phần tử X n+1 , bỏ phần tử cuối ta phần tử X n , ngược lại lấy phần tử x thuộc tập X n Nếu x ∈ A n có cách thêm vào chữ số cuối để phần tử thuộc A n+1 Nếu x ∈ Bn có cách thêm vào chữ số cuối để phần tử thuộc A n+1 Nếu x ∈ Cn khơng có cách thêm vào chữ số cuối để phần tử thuộc A n+1 Nếu x ∈ Dn có cách thêm vào chữ số cuối để phần tử thuộc A n+1 Vậy: |A n+1 |= 7|A n | + |Bn | + |Cn |= 5|A n | +(|A n | + |Bn | + |C n | + |Dn |) = 5|A n | +9n Kí hiệu an = |A n | ⇒ an+1 = 5an + 9n n+1  n  2 n−1  1 5n+1 n ⇔ an+1 − = 5 an − ÷ =  an−1 − ÷ = =  a1 − ÷ = − 4  4      9n+1 − 5n+1 9n − 5n ⇒ an+1 = Vậy an = 4 Bài 4: Cho số nguyên dương n Có số tự nhiên có n chữ số, số chữ số lớn khơng có hai chữ số khác nhỏ đứng liền nhau? Lời giải Kí hiệu X n tập tất số tự nhiên có n chữ số thỏa mãn đề bài, An , Bn tập X n theo thứ tự chứa số có tận nhỏ 6, số có tận lớn Lấy phần tử X n+1 , bỏ phần tử cuối ta phần tử X n , ngược lại lấy phần tử x thuộc tập X n +/Nếu chữ số tận nhỏ (thuộc An ) có cách thêm vào chữ số cuối để phần tử An+1 có cách thêm vào chữ số cuối để phần tử Bn+1 +/ Nếu chữ số tận lớn (thuộc Bn ) có cách thêm vào chữ số cuối để phần tử An+1 cách thêm vào chữ số cuối để phần tử Bn+1 Từ lập luận ta có : | An+1 |=| An | +5 | Bn | ⇒| X n+1 |=| An+1 | + | Bn+1 |= 4(| An | + | Bn |) + | Bn |  | B | = | A | + | B | n n  n+1 = 4(| An | + | Bn |) + 4.3(| An−1 | + | Bn −1 |) ( n ≥ ) Kí hiệu xn =| X n | ta có xn+ = xn +1 + 12 xn , n ∈ Ν * Mặt khác: Dễ thấy x1 = , ta tìm x2 Xét n ∈ X , n = ab, a, b ∈{2;3;4;5;6;7;8;9} Nếu a ∈{2;3;4;5;6} có cách chọn b ∈{a;7;8;9} Nếu a ∈{7;8;9} có cách chọn b ∈{2;3;4;5;6;7;8;9} Vậy x2 = 5.4 + 3.8 = 44 x = Giải phương trình đặc trưng : x − x − 12 = ⇔   x = −2 1 nên xn = [15.6n−1 + (−2) n−1 ] Vậy có tấtcả [15.6n−1 + (−2) n −1 ] số cần tìm 2 Bài Có n người ngồi thành hàng ngang vào n ghế Hỏi có cách lập hàng cho n người mà cách lập hàng người giữ nguyên vị trí mình, đổi chỗ cho người liền bên trái, đổi chỗ cho người liền bên phải Lời giải Đánh số thứ tự vị trí ghế từ trái qua phải 1; 2; 3; ; n Gọi sn số cách lập hàng cho n người thỏa mãn đề Dễ thấy s1 = 1; s2 = Với n ≥ Xét cách lập hàng thỏa mãn điều kiện Có hai loại hàng lập: Loại 1: Người vị trí số giữ nguyên vị trí Rõ ràng số hàng lập loại sn−1 cách Loại 2: Người vị trí số đổi chỗ, người vị trí số xếp vào vị trí số người vị trí phải chuyển sang vị trí Số hàng loại sn−2 Từ ta có sn = sn−1 + sn−2, n ≥ Vậy s1 = 1; s2 = 2; sn = sn−1 + sn−2, n∈ ¥ * Từ tìm sn = 1 + n+1 − n+1 [( ) −( ) ] 2 Bài 6: Cho số nguyên dương n tập hợp X = { 1, 2,3, , n} Tìm số tập (kể tập rỗng) X mà không chứa hai số nguyên dương liên tiếp Lời giải Kí hiệu un số tập tập X = { 1, 2,3, , n} thỏa mãn yêu cầu toán S n tập hợp tập tập X = { 1, 2,3, , n} thỏa mãn yêu cầu toán Với tập hợp A ∈ Sn gồm hai loại: loại gồm tập chứa phần tử n , loại gồm tập không chứa phần tử n +) Nếu tập A thuộc loại tập A không chứa phần tử n − Nếu loại bỏ phần tử n ta tập thuộc S n −2 suy trường hợp có un−2 tập A thuộc loại +) Nếu tập A thuộc loại tập A thuộc Sn−1 suy trường hợp có un−1 tập A thuộc loại Từ hai trường hợp ta dãy ( un ) xác định sau: u1 = 2, u2 = 3, un = un −1 + un −2 , n = 3, 4,  +   = ÷  ÷   n+ Từ cách xác định dãy ( un ) ta được: un = Fn +2 n +2 1−  −  ÷ ÷       Bài (IMO 2011) Cho n số nguyên dương cân hai đĩa n cân với trọng lượng 20 , 21 , , 2n−1 Ta muốn đặt lên cân n cân, một, theo cách để đảm bảo đĩa cân bên phải không nặng đĩa cân bên trái Ở bước ta chọn cân chưa đặt lên cân, đặt vào đĩa bên trái, vào đĩa bên phải, tất cân đặt lên cân Xác định xem, có cách khác để thực mục đích đề Lời giải Kí hiệu xn số cách cân thỏa mãn yêu cầu toán Xét n + cân , , 22 , , 2n , ta xét lần cân thứ n + Khi có hai trường hợp sau xảy ra: Th1 Quả cân trọng lượng 2n đặt lên Tổng số trọng lượng n lần cân trước 20 + 21 + + 2n −1 = n − < n nên lần cân thứ n + phải đặt cân 2n lên đĩa bên trái Do trường hợp số cách cân thỏa mãn yêu cầu toán xn Th2 Quả cân trọng lượng 2k , ≤ k ≤ n − đặt lên Để đảm bảo đĩa cân bên phải không nặng đĩa cân bên trái cân trọng lượng 2n phải đặt lên đĩa bên trái lần cân 1, 2, , n Do để thỏa mãn yêu cầu lần cân thứ n + ta đặt cân trọng lượng 2k , ≤ k ≤ n − vào đĩa bên Do số cách cân thỏa mãn yêu cầu toán trường hợp nxn + nxn = 2nxn Từ hai trường hợp ta xn +1 = xn + 2nxn = ( 2n + 1) xn Từ ta xác định xn Ta có x1 = nên xn = ( 2n − 1) ( 2n − 3) 3.1= ( 2n − 1) ! Sử dụng phương pháp thiết lập hệ thức truy hồi tốn liên quan đến bảng vng Trong phần nói đến bảng vng m × n ta hiểu bảng gồm m dòng n cột Bài (Canada MO 2008) Cho bảng vng cỡ m × n (trong m, n số nguyên dương), quân xe di chuyển qua vị trí khơng q lần từ ô sang ô khác theo phương song song với mép bảng cho điểm xuất phát lần điểm kết thúc lần di chuyển trước khơng qua vng mà (nghĩa đường cuả chúng khơng giao nhau) Kí hiệu R ( m, n ) số đường quân xe từ góc bên trái đến góc bên trái (nếu ta đánh kí hiệu dịng đến dịng m từ xuống kí hiệu cột đến cột n từ trái sang phải) đường theo quân xe từ ô ( m,1) đến ( 1,1) Tính R ( 3, n ) , n số nguyên dương Lời giải Dễ thấy R ( 3,1) = 1, R ( 3, ) = 4, R ( 3,3) = 11 Đặt rn = R ( 3, n ) , n ≥ Ta xét trường hợp sau: TH1 Đường qua ba ô (3,1), (2,1), (1,1) Đường có TH2 Đường khơng qua ô (2,1) Khi đường từ ô ( 3,1) → ( 3, ) → → ( 1, ) → ( 1,1) số đường loại rn −1 TH3 Đường ( 3,1) → ( 2,1) → ( 2, ) → không qua dịng Khi số đường loại n − TH4 Đường ( 3,1) → ( 3, ) → không qua dịng (trừ (1,1)) Khi số đường loại n − TH5 Đường ( 3,1) → ( 2,1) → ( 2, ) → → ( 2, k ) → ( 3, k ) → ( 3, k + 1) → ( 1, k + 1) → → ( 1,1) Số đường loại n −1 ∑r k =2 n−k TH6 Đường ( 3,1) → ( 3, ) → ( 3,3) → → ( 3, k ) → ( 1, k ) → ( 1, k − 1) → ( 2, k −1) → → ( 2, ) → ( 2,1) → ( 1,1) Số đường loại n −1 ∑r k =2 n−k Do rn = + rn−1 + ( n − 1) + ( rn − + + r1 ) ⇒ rn +1 = + rn + 2n + ( rn−1 + + r1 ) rn +1 = + rn + 2n + 2rn −1 + rn − − rn −1 − ( n − 1) = 2rn + rn −1 + Như ta dãy sau: r1 = 1, r2 = 4, rn +1 = 2rn + rn−1 + 2, n ≥ rn+1 + 1= 2( rn + 1) + (rn−1 + 1) ⇔ rn + 1= 1 (1+ 2)n+1 − (1− 2)n+1 2 2 ⇔ rn = 1 (1+ 2)n+1 − (1− 2)n+1 − 2 2 Bài Cho n số nguyên dương Điền vào bảng 1× n hai số Hỏi có cách điền số cho khơng có hai kề chứa số 1? Lời giải Kí hiệu un số cách điền số thỏa mãn yêu cầu tốn vào bảng 1× n S n tập hợp cách điều số vào bảng 1× n thỏa mãn yêu cầu toán Với cách điền số thuộc S n , ta giả sử số điền vào thứ i (tính từ trái sang phải) Ta xét khả sau: +) an = ta bỏ số an bảng 1× n , ta bảng 1× ( n − 1) cách điền số thuộc Sn −1 suy trường hợp có un −1 cách điền số +) an = an −1 = , ta bỏ số an , an −1 bảng 1× n , ta bảng 1× ( n − ) cách điền số thuộc S n −2 suy trường hợp có un − cách điền số Từ hai trường hợp ta hệ thức: un = un−1 + un− , n > , ta dễ thấy u1 = 2, u2 = Từ ta tính un = Fn , Fn số Fibonacci thứ n Bài 10 Hỏi có cách lát kín bảng × n qn ×1 1× ? Lời giải Kí hiệu un số cách lát thỏa mãn yêu cầu toán vào bảng × n S n tập hợp cách lát kín bảng × n qn ×1 1× Hình Hình Với cách lát kín bảng × n quân ×1 1× Khi xảy hai trường hợp sau: +) Nếu cột cuối bảng × n lát qn × hình 1, bỏ quân ta bảng × ( n − 1) cách lát thuộc Sn −1 suy trường hợp có un −1 cách lát +) Nếu hai cuối dịng lát qn 1× hai cuối dịng phải lát qn 1× (xem hình 2) Khi ta bỏ hai quân 1× cuối bảng ta bảng × ( n − ) cách lát thuộc Sn− suy trường hợp có un −2 cách lát 10 Từ hai trường hợp ta hệ thức: un = un −1 + un −2 , n > , ta dễ thấy u1 = 1, u2 = Từ ta tính un = Fn+1 , Fn +1 số Fibonaci thứ n + Bài tập rèn luyện: Bài1: Từ số thuộc tập S = {1;2;3;4;5} lập số tự nhiên có n chữ số mà số chứa số lẻ chữ số số chẵn chữ số ( n số nguyên dương cho trước) Bài 2: Có n thẻ đánh số từ đến n Có cách chọn số thẻ (ít tấm) cho tất số viết thẻ lớn số thẻ chọn Bài 3: Cho tập X = { 1;2;3; ;n} Một tập A = { a;b;c;d} gọi tập “cân” a + b = c + d Tính số tập “cân” tập X Bài 4(VMO 2009): Cho số nguyên dương n Kí hiệu T tập hợp 2nsố nguyên dương Hỏi có tất tập S T có tính chất: Trong S khơng tồn số a, b mà |a − b|∈ { 1;n} (Tập rỗng coi tập có tính chất trên) Bài 5: Có cách lát kín bảng × n qn ×1 ; 1× × ? Bài 6: Cho số nguyên dương n tập hợp X = { 1, 2,3, , n} Tìm số tập X mà chứa hai số nguyên dương liên tiếp 11 IV KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU: Kết thử nghiệm kiểm tra lần cuối tháng 11 năm học 2017- 2018, thống kê học sinh lớp chuyên Toán 10, 11 kết cụ thể sau : Lớp Giỏi Tỷ lệ Khá 11T 10T Đội tuyển HSG Quốc gia 7/30 7/29 2/6 23,3% 12/30 24,1% 10/29 33,3% 3/6 Tỷ lệ Trung bình 40 % 11 34,4% 12 50% 1/6 Tỷ lệ Yếu Tỷ lệ 36,7 % 41,4% 16,7% 0 0% 0% 0% Kết thử nghiệm kiểm tra lần ngày tháng 12 năm 2018, thống kê học sinh lớp kết cụ thể sau : Lớp Giỏi Tỷ lệ Khá 11T 17/30 56,7% 10/30 10T Đội tuyển HSG Quốc gia 20/29 4/6 69% 7/29 66,7% 2/6 Tỷ lệ Trung Tỷ lệ bình 0% 33,3 % 24,1% 2/29 33,3% 6,9% 0% Yếu Tỷ lệ 0% 0 0% 0% Rõ ràng qua hai đợt khảo sát thực đề tài này, kết học sinh có tiến rõ rệt, thành thạo nhiều kỹ biến đổi vận dụng hơn, hiểu rõ chất u thích mơn học hơn.Vì chất lượng môn nâng cao 12 V PHẦN KẾT LUẬN Trong chuyên đề “Phương pháp lập hệ thức truy hồi để giải toán tổ hợp” phát triển tư thơng qua số dạng tốn Chun đề hệ thống tập đưa theo thứ tự tăng dần độ khó để người đọc thấy ứng dụng đặc biệt hướng tư có liên quan đến việc sử dụng phương pháp qua toán cụ thể giúp định hướng rõ ràng cách giải cho học sinh Trong phần tập áp dụng chọn lọc từ thi, tập có lời giải khác lời giải thiết lập hệ thức truy hồi đặc sắc đẹp Hy vọng chuyên đề góp phần nhỏ vào q trình giảng dạy bồi dưỡng HSG mong nhận ý kiến đóng góp đồng nghiệp để chuyên đề hoàn thiện 13 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Chuyên đề chọn lọc Tổ hợp Toán rời rạc, NXB Giáo dục, 2008 [2] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Toán Rời rạc số vấn đề liên quan, Tài liệu bồi dưỡng giáo viên hè 2007, Trường ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội [3] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ [4] Nguyễn Đức Đồng(chủ biên), Tuyển tập 670 toán rời rạc cựctrị [5] Huỳnh Cơng Thái, Giải tích tổ hợp [6] Các nguồn tài liệu từ internet www.mathlinks.org; www.imo.org.yu XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Quảng Trị, ngày tháng năm 2019 14 ĐƠN VỊ Tôi xin cam doan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết SKKN Trương Thị Bé 15 ... dạng tập tổ hợp sử dụng phương pháp thiết lập hệ thức truy hồi Sử dụng phương pháp thiết lập hệ thức truy hồi toán đếm thông thường Bài 1: Cho số nguyên dương n Có số tự nhiên có n chữ số lập từ... quát dãy Fibonaci) Các kiến thức về số học B NỘI DUNG: Phương pháp thiết lập hệ thức truy hồi phương pháp quan trọng toán đếm Nội dung phương pháp thiết lập quan hệ truy hồi sau: giả sử cơng việc... nâng cao 12 V PHẦN KẾT LUẬN Trong chuyên đề ? ?Phương pháp lập hệ thức truy hồi để giải toán tổ hợp? ?? phát triển tư thông qua số dạng tốn Chun đề chúng tơi hệ thống tập đưa theo thứ tự tăng dần độ khó