Tặng diễn ñàn MathScope.org nhân ngày 20-11 Lời nói ñầu Hình học phẳng và hình học giải tích luôn có vẻ ñẹp riêng của nó, mà trong ñó những bài toán quỹ tích hình học , hay nói cách k
Trang 1Hoàng Minh Quân –THPT Ngọc Tảo Hà Nội
Tặng diễn ñàn MathScope.org nhân ngày 20-11
Lời nói ñầu
Hình học phẳng và hình học giải tích luôn có vẻ ñẹp riêng của nó,
mà trong ñó những bài toán quỹ tích hình học , hay nói cách khác là các bài toán tìm tập hợp ñiểm thường là những bài toán hay và khó
mà nhiều bạn còn lúng túng khi làm bài Bài viết nhỏ sau ñây hi vọng sẽ góp phần hữu ích cho cách giải một lớp bài toán tìm quỹ tích hình học có thể giải ñược thông qua phương pháp sử dụng tâm
tỉ cự
Nhân ngày nhà giáo Việt Nam 20-11 Batigoal (Hoàng Quân) xin ñược gửi tới các thầy , cô giáo lời chúc sức khỏe, may mắn và hạnh phúc Chúc cho diễn ñàn MathScope luôn phát triển bền vững và ổn ñịnh
Xin ñược gửi tặng bài viết này tới các thành viên diễn ñàn Mathscope và nhất là các thầy, cô giáo nhân dịp 20-11
Mọi góp ý và bổ sung cho bài viết ñược hoàn thiện hơn Xin gửi
Hà Nội, ngày 20, tháng 11, năm 2011 Người viết
Hoàng Minh Quân
Trang 2
ỨNG DỤNG TÂM TỈ CỰ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH HÌNH HỌC
DẠNG 1 : Quỹ tích các ñiểm thỏa mãn một biểu thức vec tơ, ñộ dài vec tơ
Ví dụ 1.1 : Cho tam giác ABC Tìm quỹ tích các ñiểm M thỏa mãn ñiều kiện :
4MA MB++MC = 2MA MB−−MC
Giải
Gọi I, J là hai ñiểm thỏa mãn 4IA IB++IC=0,JB+JC=0 Khi ñó I, J cố ñịnh
Ta có 4MA MB++MC=4(MI+IA) (+ MI+IB) (+MI+IC)
= 6MI+4IA IB++IC=6MI
Mặt khác 2MA MB−−MC=2(MJ+JA) (− MJ+JB) (− MJ+JC)
= 2JA
Vậy 4MA MB++MC = 2MA MB−−MC ⇔ 6 2 1
JA
MI = JA ⇔ MI = ⇔MI = JA
(JA không
ñổi do J, A cố ñịnh).Vậy quỹ tích ñiểm M là ñường tròn tâm I , bán kính 1
3
R= JA
Ví dụ 1.2: Cho tứ giác ABCD Tìm tập hợp các ñiểm M sao cho:
2
MA MB+ +MC+MD = MA MB+ − MC
Giải
Gọi G là trọng tâm tứ giác ABCD Khi ñó GA GB GC+++GD=0, gọi I là trung ñiểm AB Với mọi ñiểm M ta có:
2
MA MB+ +MC+MD = MA MB+ − MC
)
MG GA MG GB MG GC MG GD MA MC MB MC
⇔ +++++++ = −+−
4 MG CA CB
2
Vậy tập hợp các ñiểm M thỏa mãn ñề bài là ñường tròn tâm G , bán kính 1
2
R= CI
Tâm tỉ cự không chỉ giúp giải tốt các bài toán quỹ tích hình học 10 mà cả các bài toán quỹ tích hình học 12
Ví dụ 1.3: Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD có các ñỉnh A(2; 4; -1), B(1;4;-1),
C(2;4;3), D(2;2;-1).Tìm quỹ tích những ñiểm M sao cho:
Trang 33MA−2MB+MC+MD = MA MB−
Giải
Gọi I(x; y; z) là ñiểm thoả mãn 3IA−2IB+IC+ID=0, Ta có:
IA= −(2 x; 4− − −y; 1 z)
IB= −(1 x; 4− − −y; 1 z)
IC= −(2 x; 4−y;3−z)
ID= −(2 x; 2− − −y; 1 z)
Vậy 3IA−2IB+IC+ID=0 8 - 3x = 0
⇔ 10 - 3y = 0 ⇔ I(( ;8 10 1; )
3 3 3 )
1 - 3z = 0
Áp dụng quy tắc 3 ñiểm ta có:
3MA−2MB+MC+MD=3(MI+IA) 2(− MI+IB) (+ MI+IC) (+ MI+ID)
= 3MI
(Vì 3IA−2IB+IC+ID=0)
Từ ñó 3MA−2MB+MC+MD = MB−MA
⇔ 3 MI = AB
3
AB MI
I( ;8 10 1; )
3 3 3 , bán kính R 1
AB
DẠNG2 : Quỹ tích các ñiểm thỏa mãn tổng bình phương vô hướng vec tơ
Bài toán:Cho n ñiểm A A1, 2, ,A n và n số thực k k1, 2, ,k n mà k1+ + + = ≠k2 k n k 0 Tìm quỹ tích những ñiểm M sao cho
1 1 2 2 n n
k MA +k MA + +k MA =m , trong ñó m là một số không ñổi
Cách Giải
Bước 1: Gọi I là ñiểm thỏa mãn k IA11+k IA22+ + k IA nn =0, khi ñó ñiểm I là tâm tỉ cự của
1, 2, , n
A A A gắn với bộ n số k k1, 2, ,k n mà k1+ + + = ≠k2 k n k 0, Vì I là tâm tỉ cự nên ñiểm I xác ñịnh duy nhất
Bước 2: Áp dụng quy tắc 3 ñiểm biến ñổi dẫn tới
m=k MA +k MA + +k MA
Trang 4= 2 2 2 2
(k + + +k k MI n) +(k IA +k IA + + k IA n n)+2MI k IA( +k IA + + k IA n n)
1 1 2 2
kMI + k IA +k IA + +k IA vì k IA11+k IA22+ + k IA nn =0
1 1 2 2
MI
k
−
Vậy :
0
m n MI
k
−
= > thì quỹ tích các ñiểm M là ñường tròn tâm I, bán kính R m n
k
−
+, Nếu m n− =0 thì quỹ tích các ñiểm M là một ñiểm I
m n MI
k
−
= < thì quỹ tích các ñiểm M là tập rỗng
Ví dụ 2.1 Cho tam giác ABC ñều cạnh a Tìm quỹ tích các ñiểm M thỏa mãn
2 2 2 2
2
MA −MB + MC =a
Giải
Gọi I là ñiểm thỏa mãn IA IB−+2IC=0 thì I là tâm tỉ cứ nên I xác ñịnh duy nhất
a MC 2 MB
(MI IA) (MI IB) 2(MI IC) a
⇔ + − + + + =
2 2 2 2 2
2MI IA IB 2IC 2MI IA IB( 2IC) a
2 2 2 2
2 2 2 2
2
IA IB a
MI − + +
0
IA IB AB
− + + > suy ra
2 2 2 2
0 2
IA IB a
MI =− + + >
Vậy quỹ tích các ñiểm M là ñường tròn tâm I, bán kính
2 2 2
2
IA IB a
R= − + +
Ví dụ 2.2 Cho tam giác ABC với A(1; 0), B(0; 3), C(-3; -5)
Tìm quỹ tích ñiểm M thỏa mãn 2 2 2
2MA +MB =2MC
Giải
2MA +MB =2MC
Gọi I((x, y) là ñiểm thỏa mãn 2IA+IB−2IC=0
Ta có IA= − −(1 x; y), IB= −( x;3−y), IC= − − − −( 3 x; 5 y)
2IA IB+−2IC=0 ⇔ − + − +( x 8; y 13)=(0; 0)⇔( ; )x y =(8;13)
Trang 5Vậy I(8;13)
Áp dụng quy tắc ba ñiểm ta có:
2MA +MB −2MC =0
2(MI IA) (MI IB) 2(MI IC) 0
⇔ + + + − + =
MI IA IB IC
MI IA IB IC
2(7 13 ) (8 10 ) 2(11 18 )
MI
2
Vậy quỹ tích ñiểm M là ñường tròn tâm I(8; 13), bán kính R = 290
Chú ý
Nếu k1+ + + = =k2 k n k 0 thì hệ ñiểm A A1, 2, ,A n không có tâm tỉ cự nhưng vec tơ
1 1 2 2 n n
u=k IA+k IA+ +k IA không phụ thuộc vào việc chọn ñiểm I.Thật vậy giả sử còn ñiểm I’ khác ñiểm I ta có:
k I A1' 1+k I A2' 2+ + k I A n' n= k I I1( '+IA1)+k I I2( '+IA2) + +k I I n( '+IAn)
= (k1+ + +k2 k I I n) '+k IA11+k IA22+ + k IA nn
= k IA11+k IA22+ + k IA nn=u
1 1 2 2 n n
k MA +k MA + +k MA =m (m là hằng số), mà
1 2 n 0
Bước 1: Với ñiểm I nào ñó Áp dụng quy tắc 3 ñiểm ta có:
1 1 2 2 n n
m=k MA +k MA + +k MA
(k + + +k k MI n) +(k IA +k IA + + k IA n n)+2MI k IA( +k IA+ + k IA nn)
(k IA +k IA + + k IA n n)+2MI k IA( +k IA+ + k IA nn) (vìk1+ + + = =k2 k n k 0)
1 1 2 2 n n
k IA +k IA + +k IA =s và k IA11+k IA22+ + k IA nn =u
1 1 2 2 n n 2
m=k MA +k MA + +k MA = +s MI u
⇔ = +m s 2MI u ⇔2MI u = −m s
Bước 3: Kết luận
+, Nếu u=0 và s=m thì quỹ tích M là toàn bộ mặt phẳng
Trang 6+, Nếu u=0 và s≠m thì quỹ tích M là tập rỗng
+, Nếu u≠0 thì quỹ tích M là một ñường thẳng vuông góc vec tơ u
Ví dụ 2.3:
Cho tam giác ABC Tìm quỹ tích các ñiểm M thỏa mãn
2 2 2
MB +MC − MA =
Giải
Với ñiểm I là tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Áp dụng quy tắc 3 ñiểm ta có:
MB +MC − MA =
(MI IB) (MI IC) 2(MI IA) 0
⇔ + + + − + =
2MI IB( IC 2IA) 0
⇔ +− = (Vì IA=IB=IC, Do I là tâm ñường tròn ngoại tiếp∆ABC )
2MI IB( IC 2IA) 0
⇔ +− =
2MI IA( IB IC 3IA) 0
⇔ ++− =
2MI(3IG 3IA) 0
⇔ − = (G là trọng tâm ∆ABC)
6MI AG 0 MI AG
⇔ = ⇔ ⊥ Quỹ tích ñiểm M là ñường thẳng qua I và vuông góc AG
Ví dụ 2.4:
Cho hình vuông ABCD cạnh a Tìm tập hợp các ñiểm M sao cho:
2
3
3
a
MA +MB +MC − MD =−
Giải
Với ñiểm G là trọng tâm ∆ABC Ta có GA GB GC++=0
MA +MB +MC − MD = MG GA+ + MG GB+ + MG GC+ − MD
3MG +GA +GB +GC +2MG GA GB GC ( ++) 3− MD
3MG +GA +GB +GC −3MD (Vì GA GB GC++=0)
Mặt khác vì G là trọng tâm ∆ABC nên
3
GA +GB +GC = BC +CA +AB
2
AC = a vì AC là ñường chéo hình vuông ABCD)
Trang 7Vậy ta có:
2
3
3
a
MA +MB +MC − MD =−
3
MG MD − a
MD DG MG
Vậy quỹ tích các ñiểm M là ñường thẳng vuông góc với BD tại G
DẠNG 3 : Quỹ tích các ñiểm thỏa mãn ñẳng thức tích vô hướng vec tơ
Ví dụ 3.1 Cho tam giác ABC Tìm quỹ tích các ñiểm M thỏa mãn:
(MA+2MB).(MB+2MC)=0
Giải
Gọi I, J là 2 ñiểm thỏa mãn IA+2IB=0 và JB+2JC=0, ta có:
(MA+2MB).(MB+2MC)=0
(MI IA 2(MI IB)).(MJ JB 2(MJ JC)) 0
⇔ + + + ++ + =
3MI MJ.3 0
⇔ =
MI MJ
Vậy quỹ tích ñiểm M cần tìm là ñường tròn ñường kính IJ
Ví dụ 3.2 Cho tam giác ABC Tìm quỹ tích các ñiểm M thỏa mãn:
1
2
MA MB= MC −MA −MB
Giải
2
MA MB= MC −MA −MB
2MA MB MC MA MB
⇔ = − −
Trang 82 2 2
MA MB MA MB MC
(MA MB) MC
MA MB MC
⇔ + =
Gọi I là trung ñiểm AB ta có IA IB+=0
Khi ñó MA MB+ = MC ⇔2MI = MC Hay MC 2
MI =
Lấy trên IC hai ñiểm E, F thỏa mãn EC= −2EI FC , =2FI
MC
Hay MC2−4MI2 =0 ⇔(MC+2MI).(MC−2MI)=0
(ME EC 2ME 2EI).(MF FC 2FE 2FI) 0
⇔ ++ + +− − =
3ME MF 0 ME MF
⇔ − = ⇔ ⊥
Vậy quỹ tích ñiểm M là ñường tròn ñường kính EF
Ví dụ 3.3 Cho tam giác ABC ñều cạnh AB = 3 Tìm quỹ tích các ñiểm M thỏa mãn:
3
2
MA MB+MB MC+MC MA=
Giải
Ta có AB = 3 ⇔ AB2 = ⇔3 AB2 = ⇔3 (MB−MA)2=3
MA MB MA MB
⇔ + − =
1
2
MA MB MA MB
⇔ = + −
2
MB MC= MB +MC −
2
MA MC= MA +MC −
2
MA MB+MB MC+MC MA=
6
MA +MB +MC =
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ta có GA GB GC++=0
Áp dụng quy tắc 3 ñiểm ta có:
6
MA +MB +MC = ( ) (2 ) (2 )2
6
MG GA MG GB MG GC
⇔ + + + + + =
3MG +3GA =6 (Do △ABC ñều nên GA=GB=GC)
MG +GA = ⇔MG = ⇔MG= ( 2
1
GA = Vì△ABC ñều cạnh AB = 3 )
Trang 9Quỹ tích ñiểm M là ñường tròn tâm G
TÀI LIỆU THAM KHẢO
10, NXB Giáo Dục
4 Tạp chí toán học tuổi trẻ
5 Tạp chí Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem
6 Tạp chí AMM
7 Diễn ñàn mathscope.org
8 Diễn ñàn onluyentoan.org