Chuyên đề giải toán cực trị hình học phẳng bằng vectơ

Gi i toán c c tr hình h c ph ng b ng ả ự ị ọ ẳ ằ vect ơ Ph ng pháp 1: Gi i toán tìm c c tr nh ánh giá ươ ả ự ị ờđ độ dài vect .ơ Ví d 1:ụ Cho tam giác nh n ABC n i ti p ng tròn (O). Tìm i m M thu c ng ọ ộ ế đườ đ ể ộ đườ tròn (O) bi u th c sau t GTLN, GTNN:để ể ứ đạ Gi i:ả G i I là nh th t c a hình bình hànhọ đỉ ứ ư ủ ACBI thì: Khi ó :đ Nh v yư ậ T l n nh t ớ ấ ⇔ l n nh t ớ ấ ⇔MI l n nh t ớ ấ ⇔M M1 v i M1 là giao ≡ ớ i m c a OI v i ng tròn (O), M1 n m ngoài o n OI.đ ể ủ ớ đườ ằ đ ạ T ng tươ ự T nh nh t ỏ ấ ⇔M M2 v i M2 là giao i m c a OI v i ng tròn ≡ ớ đ ể ủ ớ đườ (O) , M2 thu c o n OI.ộ đ ạ Ví d 1.2:ụ Cho tam giác nh n ABC n i ti p (O) và ba s , , sao cho ọ ộ ế ố α β γ α +β +γ 0. Tìm ≠ i m M thu c (O) bi u th c sau t GTLN, GTNNđ ể ộ để ể ứ đạ Gi i:ả G i I là tâm t c c a h i m A, B, C ng v i các h s , ,ọ ỷ ự ủ ệ đ ể ứ ớ ệ ố α β γ Do óđ . G i M1,M2 l n l t là giao c a OI v i ng tròn (O) trong ó IM1ọ ầ ượ ủ ớ đườ đ ⩾IM2 thì : T l n nh t khi và ch khi M trùng M1ớ ấ ỉ T nh nh t khi và ch khi M trùng M2.ỏ ấ ỉ Ví d 1.3:ụ Cho ng tròn (O) và hai i m phân bi t A, B c nh sao cho ng th ng đườ đ ể ệ ố đị đườ ẳ AB không c t (O). Tên ng tròn ó l y i m C và d ng i m M th a i u ắ đườ đ ấ đ ể ự đ ể ỏ đ ề ki nệ . Tìm v trí c a i m C o n CM có dài nh nh t, ị ủ đ ể để đ ạ độ ỏ ấ l n nh t.ớ ấ Gi i :ả G i I là trung i m AB thì I c nh vàọ đ ể ố đị . G i C1,C2 là giao c a OI v i ng tròn (O) và coiọ ủ ớ đườ IC1 ⩾ IC2. V i C b t kì thu c (O) ta có:ớ ấ ộ Do óđ . D u “=” x y ra khi và ch khi C trùng C2ấ ả ỉ M t khácặ Do óđ . D u “=” x y ra khi và ch khi C trùng C1ấ ả ỉ V y CM l n nh t khi và ch khi C trùng C2ậ ớ ấ ỉ CM nh nh t khi và ch khi C trùng C1ỏ ấ ỉ Ph ng pháp 2: Gi i toán tìm c c tr nh ánh giá ươ ả ự ị ờ đ bình ph ng vô h ng:ươ ướ Ví d 2.1:ụ Cho tam giác ABC và ng th ng d c nh i qua C. Trên d l y i m M và đườ ẳ ố đị đ ấ đ ể l p t ngậ ổ Tìm v trí M t ng ó t giá tr nh nh t.ị để ổ đ đạ ị ỏ ấ Gi i:ả Gi s I là i m sao choả ử đ ể thì I là i m c nh .đ ể ố đị Ta có: Do óđ nh nh t khi và ch khi MI nh nh t ỏ ấ ỉ ỏ ấ ⇔MI⊥d, i u này đ ề t ng ngươ đươ , t c là M thu c ng tròng (C) ng kính IC.ứ ộ đườ đườ V yậ nh nh t khi và ch khi M là giao i m c a d v i ng ỏ ấ ỉ đ ể ủ ớ đườ tròn ng kính ICđườ Ví d 2.2:ụ Trong m i tam giác ABC n i ti p ng tròn (O) tìm tam giác có ọ ộ ế đườ t ngổ l n nh t.ớ ấ Gi i:ả Ta có: Suy ra . ng th c x y ra Đẳ ứ ả ⇔O G≡ ⇔ ABC là tam giác uđề V y trong m i tam giác ABC n i ti p ng tròn thì tam giác u th a mãn ậ ọ ộ ế đườ đề ỏ bài toán. Ví d 2.3:ụ Trong m i tam giác ABC n i ti p ng tròn (O), hãy tìm tam giác có t ng ọ ộ ế đườ ổ bình ph ng các kho ng cách t tâm ng tròn n các c nh là nh nh t.ươ ả ừ đườ đế ạ ỏ ấ Gi i:ả G iọ l n l t là kho ng cách t tâm ng tròn n ba c nh BC, CA, ầ ượ ả ừ đườ đế ạ AB c a tam giác.ủ Ta có: ng th c x y ra khi và ch khi tam giác ABC u.Đẳ ứ ả ỉ đề V y minậ khi và ch khi tam giác ABC u.ỉ đề Ph ng pháp 3: Gi i toán tìm c c tr nh ánh giá ươ ả ự ị ờ đ tích vô h ng c a hai vect :ướ ủ ơ Ví d 3.1:ụ Cho tam giác ABC không u n i ti p ng tròn (O). Tìm trên ng tròn đề ộ ế đườ đườ i m M có t ng bình ph ng kho ng cách t ó n ba nh tam giác là đ ể để ổ ươ ả ừ đ đế đỉ nhò nh t, l n nh t.ấ ớ ấ Gi i:ả V i m i i m M thu c ng tròn (O) ta có:ớ ọ đ ể ộ đườ ( v i H là tr c tâm c a tam giác)ớ ự ủ T ó suy raừ đ T nh nh tỏ ấ ↑ ↓ . T l n nh tớ ấ ↑ ↑ . Ví d 3.2:ụ Cho tam giác ABC vuông t i A. G iạ ọ là góc gi a hai trung tuy n BD và CK. α ữ ế Tìm giá tr nh nh t c a cosị ỏ ấ ủ α Gi i:ả Ta có M t khác:ặ Do óđ ng th c x y ra khi và ch khi BD = CK khi và ch khi tam giác ABC vuông Đẳ ứ ả ỉ ỉ cân t i nh Aạ đỉ V yậ Ví d 3.3:ụ Cho tam giác ABC. Tìm i m M sao cho bi u th c sau t giá tr nh nh t:đ ể ể ứ đạ ị ỏ ấ Gi i:ả Ta có: Do ó ta có:đ M t khác l i có:ặ ạ Suy ra: Do ó :đ (v iớ ) Vì v y:ậ ng th c (1) x y ra khi và ch khiĐẳ ứ ả ỉ ↑ ↑ và ↑ ↑ (th a mãn (2)ỏ V y Min T= AB+AC khi và ch khi M trùng Aậ ỉ . Gi i toán c c tr hình h c ph ng b ng ả ự ị ọ ẳ ằ vect ơ Ph ng pháp 1: Gi i toán tìm c c tr nh ánh giá ươ ả ự ị ờđ độ dài vect .ơ Ví d 1:ụ Cho. . ng th c x y ra Đẳ ứ ả ⇔O G≡ ⇔ ABC là tam giác uđề V y trong m i tam giác ABC n i ti p ng tròn thì tam giác u th a mãn ậ ọ ộ ế đườ đề ỏ bài toán. Ví d 2.3:ụ Trong m i tam giác ABC n i ti p ng. giác.ủ Ta có: ng th c x y ra khi và ch khi tam giác ABC u.Đẳ ứ ả ỉ đề V y minậ khi và ch khi tam giác ABC u.ỉ đề Ph ng pháp 3: Gi i toán tìm c c tr nh ánh giá ươ ả ự ị ờ đ tích vô h ng c a hai vect