Chuyên đề giải toán cực trị hình học phẳng bằng vectơ

Tìm điểm M thuộc đường tròn O để biểu thức sau đạt GTLN, GTNN: Giải: Gọi I là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBI thì: Khi đó :... Phương pháp 2: Giải toán tìm cực trị nhờ đánh giá bình

Giải toán cực trị hình học phẳng bằng vectơ

Phương pháp 1: Giải toán tìm cực trị nhờ đánh giá độ dài vectơ.

Ví dụ 1:

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Tìm điểm M thuộc đường tròn (O) để biểu thức sau đạt GTLN, GTNN:

Giải:

Gọi I là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBI thì:

Khi

đó :

Như vậy T lớn nhất ⇔ lớn nhất ⇔MI lớn nhất ⇔M M1 với M1 là giao ≡ M1 với M1 là giao điểm của OI với đường tròn (O), M1 nằm ngoài đoạn OI

Tương tự T nhỏ nhất ⇔M M2 với M2 là giao điểm của OI với đường tròn (O) , ≡ M1 với M1 là giao M2 thuộc đoạn OI

Ví dụ 1.2:

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) và ba số α,β,γ sao cho α +β +γ ≠0 Tìm điểm M thuộc (O) để biểu thức sau đạt GTLN, GTNN

Giải:

Gọi I là tâm tỷ cự của hệ điểm A, B, C ứng với các hệ số α,β,γ

Gọi M1,M2 lần lượt là giao của OI với đường tròn (O) trong đó IM1⩾IM2 thì :

T lớn nhất khi và chỉ khi M trùng M1

T nhỏ nhất khi và chỉ khi M trùng M2

Ví dụ 1.3:

Cho đường tròn (O) và hai điểm phân biệt A, B cố định sao cho đường thẳng

AB không cắt (O) Tên đường tròn đó lấy điểm C và dựng điểm M thỏa điều kiện Tìm vị trí của điểm C để đoạn CM có độ dài nhỏ nhất, lớn nhất

Giải :

Gọi I là trung điểm AB thì I cố định và

Gọi C1,C2 là giao của OI với đường tròn (O) và coi IC1 ⩾ IC2

Với C bất kì thuộc (O) ta có:

Do đó Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi C trùng C2

Mặt khác

Do đó Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi C trùng C1

Vậy CM lớn nhất khi và chỉ khi C trùng C2

CM nhỏ nhất khi và chỉ khi C trùng C1

Phương pháp 2: Giải toán tìm cực trị nhờ đánh giá bình phương vô hướng:

Ví dụ 2.1:

Cho tam giác ABC và đường thẳng d cố định đi qua C Trên d lấy điểm M và lập tổng Tìm vị trí M để tổng đó đạt giá trị nhỏ nhất

Giải:

Giả sử I là điểm sao cho thì I là điểm cố định

Ta có:

Do đó nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất ⇔MI⊥d, điều này tương đương , tức là M thuộc đường tròng (C) đường kính IC Vậy nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của d với đường tròn đường kính IC

Ví dụ 2.2:

Trong mọi tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) tìm tam giác có

tổng lớn nhất

Giải:

Ta có:

Suy ra Đẳng thức xảy ra ⇔O G≡ M1 với M1 là giao ⇔ ABC là tam giác đều

Vậy trong mọi tam giác ABC nội tiếp đường tròn thì tam giác đều thỏa mãn bài toán

Ví dụ 2.3:

Trong mọi tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), hãy tìm tam giác có tổng bình phương các khoảng cách từ tâm đường tròn đến các cạnh là nhỏ nhất

Giải:

Gọi lần lượt là khoảng cách từ tâm đường tròn đến ba cạnh BC, CA,

AB của tam giác

Ta có:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều

Vậy min khi và chỉ khi tam giác ABC đều

Phương pháp 3: Giải toán tìm cực trị nhờ đánh giá tích vô hướng của hai vectơ:

Ví dụ 3.1:

Cho tam giác ABC không đều nội tiếp đường tròn (O) Tìm trên đường tròn điểm M để có tổng bình phương khoảng cách từ đó đến ba đỉnh tam giác là nhò nhất, lớn nhất

Giải:

Với mọi điểm M thuộc đường tròn (O) ta có:

( với H là trực tâm của tam giác)

Từ đó suy ra

T nhỏ nhất ↑ ↓

T lớn nhất ↑ ↑

Ví dụ 3.2:

Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi là góc α giữa hai trung tuyến BD và CK Tìm giá trị nhỏ nhất của cosα

Giải:

Ta có

Mặt khác:

Do đó

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi BD = CK khi và chỉ khi tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A

Vậy

Ví dụ 3.3:

Cho tam giác ABC Tìm điểm M sao cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:

Giải:

Ta có:

Do đó ta có:

Mặt khác lại có:

Suy ra:

Do đó :

(với )

Vì vậy:

Đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi ↑ ↑ và ↑ ↑

(thỏa mãn (2)

Vậy Min T= AB+AC khi và chỉ khi M trùng A