rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị hình học cho học sinh khá, giỏi líp 12 thpt

MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Chương trình Giải tích THPT, đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm giữ vai trò chủ đạo. Thực trạng dạy và học Toán ở trường THPT cho thấy: Do vai trò chủ đạo của đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong chương trình Toán nên phần lớn GV và HS rất chú trọng đặc biệt là đối với HS líp 12 vì thế nhiều HS khá, giỏi đã được rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm để giải toán. Bên cạnh đó có nhiều sách tham khảo viết về ứng dụng của đạo hàm để giải toán nói chung. Tuy nhiên về bài toán cực trị hình học và việc ứng dụng của đạo hàm giải loại toán này thì đa số học sinh đối với cả học sinh khá, giỏi còn chưa được rèn luyện, thậm chí Ýt được tiếp cận. Trên thực tế có rất Ýt tài liệu tham khảo viết có hệ thống về loại toán này. Vấn đề cực trị hình học khó đối với học sinh vì nó đòi hỏi kiến thức tổng hợp về hình học, đại số, giải tích và nó đòi hỏi học sinh phải có thãi quen ứng dụng tổng hợp kiến thức. Nếu rèn luyện được kỹ năng giải loại toán này thì không chỉ học sinh nắm được hệ thống tri thức toán mà còn góp phần rèn luyện năng lực giải toán, kỹ năng vận dụng tri thức toán vào thực tiễn, phát triển tư duy Toán học cho học sinh. Vì vậy việc rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị hình học là một nhu cầu thiết yếu đối với học sinh, đặc biệt là học sinh khá, giỏi líp 12. Vì lẽ đó chúng tôi chọn đề tài: Rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị hình học cho học sinh khá, giỏi líp 12 THPT 2. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU  Nghiên cứu lí luận về kỹ năng, kỹ năng giải toán và một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh THPT  Rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị của hàm sè  Tìm hiểu thực trạng của việc rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm trong giải toán cực trị hình học  Tìm hiểu bài toán cực trị hình học và nêu quy tắc giải bài toán cực trị hình học có ứng dụng của đạo hàm  Xây dựng hệ thống các bài tập điển hình nhằm rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm để giải toán cực trị hình học cho học sinh khá, giỏi líp 12  Gợi ý cánh vận dụng hệ thống bài tập điển hình trong việc rèn luyện kỹ năng giải toán nói chung, kỹ năng ứng dụng đạo hàm giải toán cực trị hình học nói riêng, góp phần phát triển trí tuệ cho HS.  Bước đầu thử nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi của đề tài. 3. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Có thể rèn luyện được kỹ năng ứng dụng của đạo hàm để giải toán cực trị hình học thông qua hệ thống các bài tập điển hình và những gợi ý rèn luyện kỹ năng giải toán. Bởi vì bài tập là một phương tiện quan trọng để đạt được những mục đích cơ bản về dạy học toán cho học sinh phổ thông. 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Các phương pháp sau đây được sử dụng trong quá trình nghiên cứu:  • Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu một số giáo trình phương pháp dạy học môn toán, SGK phổ thông, Sách bồi dưỡng giáo viên THPT, các sách tham khảo, các tạp chí về giáo dục, một số luận văn có liên quan đến đề tài. • Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy, qua trao đổi kinh nghiệm với một số giáo viên giỏi bộ môn Toán ở trường THPT. Từ đó xây dựng được hệ thống các bài tập điển hình và những gợi ý dạy học nhằm rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm trong giải toán cực trị hình học. • Phương pháp quan sát, điều tra: Quan sát và điều tra thực trạng dạy học giải toán cực trị hình học đối với học sinh líp 12, qua đó nắm bắt được nhu cầu của việc rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm cho học sinh khá, giỏi líp 12. • Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thử nghiệm việc rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm để giải toán cực trị hình học thông qua chuyên đề tự chọn môn Toán líp 12, Bước đầu kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của nội dung đã được xây dùng trong luận văn. 5. BỐ CỤC LUẬN VĂN Mở đầu Chương I. Cơ sở lý luận và thực tiễn Chương II. Rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm để giải toán cực trị hình học cho học sinh khá, giỏi líp 12. Chương III. Thử nghiệm sư phạm Kết luận Tài liệu tham khảo CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN I.1. KHÁI NIỆM CHUNG VỀ KỸ NĂNG VÀ KỸ NĂNG GIẢI TOÁN I.1.1. Kỹ năng Có nhiều quan niệm khác nhau về kỹ năng “ Kỹ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn” trong đó khả năng được hiểu là sức đã có về mặt nào đó để có thể làm tốt một việc gì [1]. “Kỹ năng là khả năng thực hiện hành động một cách thành thạo, linh hoạt sáng tạo, phù hợp với mục tiêu trong các điều kiện khác nhau” [6]. Theo từ điển trên mạng Wikipedia: Kỹ năng là sự thành thạo, sự dễ dàng, hoặc khéo léo có được thông qua đào tạo hoặc trải nghiệm. Có 3 thành tố cơ bản của kỹ năng là kết quả (effectivienss), sự chắc chắn/ ổn định (consistency) và hiệu quả (efficency). Từ các quan niệm về kỹ năng cho ta thấy có hai loại quan niệm về kỹ năng: 1) Xem xét nghiêng về mặt kỹ thuật của hành động, coi kỹ năng là một phương tiện thực hiện hành động mà con người đã nắm vững, theo đó người có kỹ năng là người nắm vững tri thức về hành động và thực hiện hành động theo đúng yêu cầu đặt ra; 2)  Xem xét kỹ năng nghiêng về năng lực của con người, là biểu hiện của năng lực con người chứ không đơn thuần là mặt kỹ thuật của hành động. Loại quan niệm này chú ý tới kết quả của hành động. Coi kỹ năng là năng lực thực hiện một công việc có kết quả với chất lượng cần thiết trong một thời gian nhất định, trong những điều kiện, tình huống mới. Rèn luyện kỹ năng có vai trò đặc biệt quan trọng đối với sự phát triển trí tuệ “Khó có thể phân biệt rạch ròi đâu là rèn luyện kỹ năng, đâu là phát triển trí tuệ”. Theo như đã trình bày, kiến thức là cơ sở của kỹ năng, do đó tuỳ theo nội dung kiÕn thức truyền thụ cho HS mà GV có những yêu cầu rèn luyện kỹ năng tương ứng. Con đường đi từ kiến thức đến kỹ năng là rất phong phú và nó phụ thuộc vào nhiều tham số như: kiến thức xác định kỹ năng, yêu cầu rèn luyện kỹ năng, mức độ chủ động, tích cực của học sinh vv. Con đường tốt nhất và đảm bảo tính sư phạm là sự tham gia hoạt động và bằng hoạt động chủ động, tích cực, độc lập của HS. Muốn kiến thức là cơ sở của kỹ năng thì kiến thức đó phải phản ánh đầy đủ thuộc tính bản chất, được thử thách trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với tư cách là công cụ của hành động. Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng • Nội dung của bài tập, nhiệm vụ đặt ra được trừu tượng hoá hay bị che phủ bởi những yếu tố phụ làm chệch hướng tư duy có ảnh hưởng tới sự hình thành kỹ năng. • Tâm thế và thãi quen cũng ảnh hưởng tới sự hình thành kỹ năng. Vì thế tạo tâm thế thuận lợi trong học tập sẽ giúp HS trong việc hình thành kỹ năng. • Có khả năng khái quát đối tượng một cách toàn thể. Sự hình thành kỹ năng: Thực chất của việc hình thành kỹ năng là hình thành cho HS nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài tập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những hoạt động cụ thể. Muốn vậy khi hình thành kỹ năng chủ yếu là kỹ năng học tập cho HS cần: • Giúp HS biết cánh tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng. • Giúp HS hình thành mô hình khái quát để giải quyết các bài tập cùng dạng, các đối tượng cùng loại. • Xác lập được mối quan hệ giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến thức tương xứng. I.1.2. Kỹ năng Toán học, kỹ năng giải toán a) Kỹ năng Toán học Một yêu cầu quan trọng cần đạt được trong dạy học Toán là HS phải nắm vững kiến thức,có kỹ năng, kỹ xảo vận dụng trong thực hành giải toán. Tuỳ theo nội dung kiến thức truyền thụ cho HS mà ta có những yêu cầu rèn luyện kỹ năng tương ứng. Trong chương trình Toán phổ thông ta có thể chỉ ra một số kỹ năng cần thiết khi giải toán là Kỹ năng tính toán: Kỹ năng vận dụng thành thạo các quy tắc:  Kỹ năng vận dụng tri thức vào giải toán: Kỹ năng chứng minh Toán học: Kỹ năng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch, kỹ năng biến đổi xuôi chiều và ngược chiều: Kỹ năng đọc và vẽ hình, đo đạc: Kỹ năng Toán học hoá các tình huống thực tiễn: Kỹ năng hoạt động tư duy hàm: Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá, tìm sai lầm trong lời giải: b) Kỹ năng giải toán Trong Toán học,“Kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được”. Kỹ năng giải toán có cơ sở là các tri thức Toán: kiến thức, kỹ năng, phương pháp. HS sau khi nắm vững lí thuyết, trong quá trình luyện tập, củng cố, đào sâu kiến thức thì kỹ năng được hình thành, phát triển đồng thời nó cũng góp phần củng cố, cụ thể hoá tri thức Toán học. Kỹ năng Toán học được hình thành và phát triển thông qua việc thực hiện các hoạt động Toán học và các hoạt động học tập trong môn Toán. Kỹ năng có thể được rút ngắn, bổ sung, thay đổi trong quá trình hoạt động. I.2. RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HS THPT. I.2.1. Cơ sở lý luận để xây dựng các biện pháp nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh THPT a) Cơ sở tâm lý giáo dục b) Cơ sở phương pháp dạy học bộ môn Toán Phương pháp dạy học Toán ở trường THPT phải luôn gắn liền với với việc truyền thụ tri thức, kỹ năng với việc giáo dục, rèn luyện con người với việc phát triển các năng lực của học sinh. Căn cứ vào nhiệm vụ của việc dạy học bộ môn, bên cạnh việc truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ năng thực hành Toán học, học sinh cần được rèn luyện kỹ năng vận dụng Toán học vào thực tiễn, cụ thể là trau rồi cho họ khả năng vận dụng những hiểu biết Toán học vào việc học tập bộ môn khác, vào thực tiễn cuộc sống, vv. Do đó cần thiết và có thể xây dựng các biện pháp nhằm rèn luyện các kỹ năng giải toán cho học sinh, góp phần thực hiện các nhiệm vụ bộ môn đồng thời đảm bảo tính liên môn trong dạy học. I.2.2. Con đường hình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh Quy trình hình thành và phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh Trong quá trình dạy học, việc vận dụng quy trình sau nhằm thực hiện mục tiêu: hình thành và phát triển kỹ năng giải toán, bồi dưỡng năng lực Toán học cho HS, đặc biệt là HS khá, giỏi.  I.2.3. Giải pháp rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh. Để rèn luyện được kỹ năng giải toán cho học sinh ta cần phải có một giải pháp đồng bộ, bao gồm các hoạt động sau: a)Tổ chức các hoạt động học tập đảm bảo tính chủ động, tích cực, độc lập của học sinh trong quá trình chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kỹ năng. Mục tiêu quan trọng đầu tiên của việc tổ chức các hoạt động học tập là đảm bảo cho học sinh nắm một cách vững chắc và có hệ thống các kiến thức quy định trong chương trình. Căn cứ vào chương trình, người giáo viên cần phải xác định và chọn lọc các kiến thức, kỹ năng cơ bản cần được trang bị, hình thành, phát triển cho học sinh. Trên quan điểm hoạt động, định hướng đổi mới phương pháp dạy học, trong quá trình dạy học, người GV cần tổ chức các hoạt động học tập để HS tham gia, cụ thể là:  Tạo những tình huống gợi ra những hoạt động tương thích với nội dung và mục tiêu dạy học.  HS hoạt động tự giác tích cực, chủ động, sáng tạo, có sự giao lưu giữa HS với HS, giữa GV với HS.  GV có tác động điều chỉnh hoạt động học tập, chẳng hạn: giúp đỡ HS vượt qua những khó khăn bằng cách phân tách một hoạt động thành những phần đơn giản hơn, hoặc cung cấp cho HS mét số tri thức phương pháp và nói chung là điều chỉnh mức độ khó khăn của nhiệm vụ dùa vào sự phân bậc hoạt động.  GV giúp HS xác nhận những tri thức đã đạt được trong quá trình hoạt động, đưa ra những bình luận cần thiết để HS hiểu tri thức đó một cách sâu sắc, đầy đủ hơn. b) Trang bị các tri thức về phương pháp giải toán cho học sinh       ! "#$%&'( & ! )* Kü n¨ng *+,  /0  /1+,%23 0*+, /23)4& ! "5255( 6%7$5 "5)85255( &*+, 952552 "& !( :$5 5)80;. Trước hết chúng ta cần rèn luyện cho HS thực hành giải toán theo quy trình 4 bước của Polya rồi từ đó hình thành kỹ năng giải toán theo quy trình giải toán này. • Đối với những bài toán đã có thuật giải: giáo viên cần căn cứ vào yêu cầu chung của chương trình còng như tình hình thực tế để, hoặc thông báo tương minh thuật giải hoặc có thể cho học sinh thực hiện các hoạt động học tập ăn khớp với tri thức phương pháp đó. • Đối với những bài toán chưa có hoặc không có thuật giải: Giáo viên cần hướng dẫn HS suy nghĩ, tìm tòi lời giải. Qua đó trang bị cho HS một số tri thức về phương pháp giải toán. Thông qua dạy HS giải một số bài toán cụ thể mà dần dần cho HS cách thức, kinh nghiệm tiến tới nghệ thuật trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải các bài toán, hình thành phương pháp giải một líp các bài toán có dạng quen thuộc. Từ đó hình thành kỹ năng giải quyết loại bài toán đó. Cách thức dạy phương pháp chung để giải bài toán Một câu hỏi đặt ra là làm thể nào để HS hiểu được và vận dụng được phương pháp chung để giải toán vào việc giải những bài toán cụ thể mà họ gặp trong chương trình. Học phương pháp chung để giải toán không phải là học một thuật giải mà là học những kinh nghiệm giải toán mang tính chất tìm tòi, phát hiện, Nói chung, cách thức dạy HS phương pháp chung để giải bài toán như sau:  Thông qua việc giải những bài toán cụ thể cần nhấn mạnh để học sinh nắm được phương pháp chung 4 bước của Polya và có ý thức vận dụng 4 bước này trong quá trình giải toán  Còng thông qua giải những bài toán cụ thể, cần đặt cho HS những câu hỏi gợi ý đúng tình huống để HS dần dần biết sử dụng những câu hỏi này như những phương tiện kích thích suy nghĩ tìm tòi, dự đoán, phát hiện để thực hiện từng bước của phương pháp chung giải toán. Những câu hỏi này lúc đầu do GV nêu ra để hỗ trợ cho học sinh nhưng dần dần biến thành vũ khí của bản thân cho học sinh, được học sinh tự nêu ra đúng lúc, đúng chỗ để gợi ý cho từng bước đi của mình trong quá trình giải toán. Như vậy trong quá trình học sinh học phương pháp chung giải toán là một quá trình biến những tri thức phương pháp tổng quát thành kinh nghiệm giải toán của bản thân mình thông qua việc giải hàng loạt các bài toán cụ thể. Từ phương pháp chung giải toán đi tới cách giải một bài toán cụ thể còn là cả một chặng đường đòi hỏi lao động tích cực của người học sinh, trong đó có nhiều yếu tố sáng tạo. “Tìm được cách giải một bài toán là một phát minh’’ (Polya - 1975). c) Rèn luyện kỹ năng giải toán thông qua củng cố Việc củng cố tri thức kỹ năng một cách có định hướng và có hệ thống có một ý nghĩa to lớn trong dạy học Toán. Điều đó trước hết là do cấu tạo của SGK ở phổ thông theo cách là mỗi lĩnh vực nội dung mới đều dùa vào những lĩnh vực nội dung đã được học trước kia. Củng cố cần được thực hiện đối với tất cả các thành phần của nhân cách đã được phát biểu thành mục tiêu trong chương trình, tức là không chỉ những đối với tri thức mà còm đối với cả kỹ năng, kỹ sảo, thãi quen và thái độ. Tuy nhiên, việc củng cố chỉ có thể được thực hiện dùa vào những nội dung cụ thể, vì vậy dưới đây chỉ xét chủ yếu là việc củng cố tri thức và kỹ năng Toán học. < Trong môn Toán củng cố diễn ra dưới các hình thức luyện tập, đào sâu, ứng dụng, hệ thống hoá và ôn. d) Rèn luyện kỹ năng giải toán thông qua các tiết tự chọn. Theo chương trình đổi mới nội dung dạy học đối với học sinh THPT ở mỗi líp học thuộc ban cơ bản hay ban nâng cao đều có hình thức học tự chọn một số môn học nào đó với mỗi tuần 4 tiết tự chọn, với hai hình thức là: tự chọn nâng cao theo chuyên đề; tự chọn bám sát chương trình. Mục tiêu của các tiết tự chọn là nhằm củng cố tri thức, rèn luyện kỹ năng học tập bộ môn, đặc biệt đối với môn Toán là rèn luyện kỹ năng giải toán, bổ sung kiến thức nâng cao, học các chuyên đề tự chọn do GV hay học sinh đề xuất. Thông qua học tự chọn HS có điều kiện được rèn luyện thêm kỹ năng, học được những tri thức mới đặc biệt là đối với HS khá, giỏi. GV cần lùa chọn những chuyên đề phù hợp, gây hứng thó học tập cho học sinh. Trong quá trình lùa chọn và xây dựng các chuyên đề tự chọn cho HS khá, giỏi cần có những chú ý sau:  Thời gian (số tiết) mỗi chuyên đề phù hợp với yêu cầu phân phối chương trình của Môn học.  Chọn chuyên đề gây được hứng thó học tập cho HS, tránh trùng lặp nhiều những nội dung hay bài toán mà trên líp HS đã được luyện tập và đã có kỹ năng.  Nên lùa chọn những chuyên đề nhằm bổ sung, nâng cao kiến thức hay những chuyên đề học tập có tính liên môn nhằm hỗ trợ học tập các môn học khác, đặc biệt là những chuyên đề mà nội dung của nó có tính thực tiễn cho HS khá, giỏi  Không nên quá tham vọng xây dựng những chuyên đề lớn như đối với các trường chuyên. Vì mục đích của các chuyên đề tự chọn là rèn luyện và củng cố tri thức, kỹ năng giải toán.  Đối với việc rèn luyện kỹ năng giải toán trong môn Toán, GV cần chuẩn bị một hệ thống kiến thức, bài tập liên quan đến chuyên đề đó để giao cho HS chuẩn bị trước ở nhà. Vì làm như thế thì đảm bảo được phần lớn thời gian trên líp nó giúp cho việc học chuyên đề có hiệu quả hơn. I.3. KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC VÀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI LÍP 12. I.3.1. Bài toán cực trị hình học Trong chương trình THPT hầu như các bài toán cực trị hình học có dạng chung là: Trong tất cả các hình có chung một tính chất, tìm hình mà một đại lượng nào đó (Độ dài, khoảng cách, số đo góc, số đo diện tích, số đo thể tích, ) có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất. Giả sử hình H thay đổi trên miền D mà vị trí hay hình dạng của nó thay đổi theo một đại lượng cho bởi biểu thức f ứng với sự biến thiên của tập các biến sốX trên tập xác định D. • Khi tìm vị trí hay hình dạng của hình H trên miền D sao cho f đạt giá trị lớn nhất ta phải xác định được hai điều kiện sau: 1. Với mọi vị trí hay dạng của hình H trên miền D thì f M (là hằng số) 2. Tồn tại vị trí hay dạng của hình H trên miền D sao cho f = M • Khi tìm vị trí hay hình dạng của hình H trên miền D sao cho f đạt giá trị nhỏ nhất ta phải xác định được hai điều kiện sau: = 1. Với mọi vị trí hay dạng của hình H trên miền D thì f m (là hằng số) 2. Tồn tại vị trí hay dạng của hình H trên miền D sao cho f = m. Ví dô 1. Trong các tam giác vuông mà cạnh huyền có độ dài bằng 10cm, hãy xác định ( tìm dạng) tam giác có diện tích lớn nhất. Ví dô 2. Cho hình lập phương cạnh a ABCD.A’B’C’D’, tìm M, N lần lượt thuộc các cạnh AA’, BD’ sao cho MN nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó. I.3.2. Một số dạng Toán cực trị hình học thường gặp, kiến thức và kỹ năng cơ bản Dạng 1: Xác định khoảng cách (độ dài đoạn thẳng) lớn nhất hay nhỏ nhất Dạng 2: Các bài toán xác định diện tích đa giác, diện tích hình tròn lớn nhất, nhỏ nhất. Dạng 3: Các bài toán xác định thể tích đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Dạng 4: Các bài toán xác định và tính góc lớn nhất hay nhỏ nhất. I.3.3. Một số phương pháp giải toán cực trị hình học Ph ương pháp 1 : Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên Phư ơng pháp 2 : Sử dụng quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc, các bất đẳng thức trong tam giác Ph ương pháp 3 : Sử dụng bất đẳng thức trong đường tròn Phư ơng pháp 4 : Sử dụng một số phép dời hình Ph ương pháp 5 : Sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản Phương pháp 6: Sử dụng phương pháp hàm số Bước 1: Thiết lập tương ứng sự thay đổi của điểm, của góc …(các yếu tố biến đổi) với mét biến sè x, đặt điều kiện cho x. Bước 2: Thành lập biểu thức tính đại lượng cần tìm cực trị theo biến x, ta được hàm số chứa biến x Bước 3: Xét hàm số chứa biến x vừa thiết lập được, Tìm cực trị của nó. Bước 4: Dùa vào cực trị, hay GTLN, GTNN của hàm số theo x để kết luận cực trị của bài toán. Ví dô 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 2a, AD = DC = a; cạnh bên SA đáy, SA = 2a, Gọi E là trung điểm của SA. Xét mặt phẳng (P) đi qua điểm E và song song với AB, cắt các cạnh SB, BC,AD lần lượt tại M, N, F. Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi (P) là hình gì? Tìm vị trí của F để thiết diện có diện tích nhỏ nhất. Bài giải Dễ dàng xác định được thiết diện là hình thang vuông EMNF vuông tại E, F Bước 1: Đặt AF = x, 0 x a. Bước 2: Do E là trung điểm của SA nên EM = a, EF = . Gọi I là trung điểm AD, J là giao của CI với FN ta có JN=a-x vậy NF=2a - x. Do đó S EMNF = (EM + FN).EF = (3a - x) = f(x) >  ? @ A B C D : E F G Bước 3: Xét hàm sè f(x) trên [ 0; a]: f’(x) = ; f’(x)=0 Bảng biến thiên: Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra MinS = khi x = F là trung điểm của AD. Vậy với F là trung điểm của AD thì thiết diện của hình chóp cắt bởi mp (P) có diện tích nhỏ nhất. I.3.4. Ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị hình học đối với học sinh líp 12. Nhiều bài toán cực trị hình học sau khi vẽ hình, phân tích đề bài dẫn đến việc tìm cực trị, hay GTLN, GTNN của một biểu thức hay đại lượng nào đó. Ngoài những phương pháp thông thường sử dụng để tìm cực trị, một phương pháp dùng có hiệu quả, đặc biệt là đối với HS líp 12 đã học ứng dụng của đạo hàm để tìm cực trị của hàm số thông qua ví dụ trên chúng ta thấy rõ điều đó. Thực tế cho thấy rất nhiều học sinh khá giỏi vận dụng thành thạo việc ứng dụng của đạo hàm để giải các bài toán đại số như: tìm cực trị của biểu thức đại số, chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, biện luận nghiệm,….Song khi gặp bài toán cực trị hình học nói chung và đặc biệt khó đối với bài toán phải đưa về xét hàm số mới giải được thì HS lại tỏ ra lúng túng thiếu tự tin vì chưa áp dụng nó hoặc Ýt có điều kiện được áp dụng. Bài toán cực trị hình học mà đại lượng cần tìm cực trị đưa được về xét cực trị của một hàm số thì việc giải bài toán này đối với HS líp 12 nói chung, đặc biệt là đối với HS khá giỏi thì rất thuận lợi. Mặt khác việc ứng dụng của đạo hàm để xét cực trị của hàm số mang tính hiệu quả cao và tính chặt chẽ, rõ dàng. I.4. RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC Như đã phân tích ở mục (I.3.4) việc ứng dụng của phương pháp hàm số trong đó có sử dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số tỏ ra có hiệu quả đặc biệt đối với HS khá, giỏi líp 12. Việc rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm giải toán cực trị hình học góp phần vào việc rèn luyện khả năng ứng dụng của tri thức Toán học trong nội bộ môn Toán, và trong thực tiễn vì nhiều bài toán thực tiễn dÉn đến tìm phương pháp tối ưu (lín nhất, nhỏ nhất). I.4.1. Kỹ năng Các kỹ năng cần thiết cho việc ứng dụng của đạo hàm để giải toán cực trị hình học là: 1. Các kỹ năng chung giải toán cực trị hình học: Vẽ hình, chứng minh, nhận dạng, áp dụng công thức, tính toán và biến đổi linh hoạt, so sánh, H 2. Các kỹ năng giải toán cực trị, tìm GTLN, GTNN của hàm số: Kỹ năng tính đạo hàm, xét dấu của đạo hàm, kỹ năng vận dụng các quy tắc tìm cực trị, tìm GTLN, GTNN của hàm số (II.1, II.2) 3. Kỹ năng vận dụng quy trình 4 bước để giải toán cực trị hình học bằng phương pháp hàm số có ứng dụng của đạo hàm (Phương pháp 6) Ví dô 4. Trong các hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R, hãy tìm hình trụ có thể tích lớn nhất. Bài giải Bước 1: Thiết lập sự tương ứmg sự thay đổi các yếu tố phụ thuộc bằng 1 biến Vì thể tích của khối trụ phụ thuộc vào bán kính đáy và chiều cao, lại bị ràng buộc bởi điều kiện nội tiếp, nên ta có thể chọn biến tương ứng là chiều cao của hình trụ. Gọi h là chiều cao của hình trô 0 < h < 2R. Bước 2: Thiết lập hàm số Kí hiệu chiều cao, bán kính đáy và thể tích của hình trụ nội tiếp hình cầu lần lượt là h, r và V. Khi đó V = r 2 h. Biểu diễn r theo h: Vì r 2 = R 2 - nên V = V(h) = Vậy hàm số cần xét là V(h) Bước 3: Khảo sát hàm số V(h) Bài toán quy về tìm h để hàm số V(h) đạt GTLN, với h (0 ; 2R). Ta có V’(h) = Bảng biến thiên, Từ bảng biến thiên MaxV = khi h = . Bước 4: Kết luận bài toán cực trị Vậy hình trụ nội tiếp hình cầu có bán kính R có thể tích lớn nhất khi chiều cao của nó bằng . Khi đó thể tích của hình trụ là . Ví dô 5. Trong các mặt phẳng đi qua các điểm A(1 ; 2 ; -1), B(-1 ; 1 ; 2), viết phương trình mặt phẳng ( ) tạo với mặt phẳng Oxy một góc nhỏ nhất. Bài giải Ta có phương trình AB : Mặt phẳng ( ) chứa AB nên phương trình có dạng: u(x-2y+3) + t(3y+z - 5) = 0; u 2 + t 2 > 0. Nếu u = 0 thì ( ) : 3y + z – 5 = 0 cos(( ), Oxy) = = Nếu u NÕu u 0 ta chọn u = 1. phương trình ( ) :x + (3t-2)y + tz -5t = 0 có = (1 ; 3t - 2 ; t). I  J [...]... hộp sao cho tèn Ýt vật liệu nhất 17 II.3 CÁC ĐỀ XUẤT SƯ PHẠM NHẰM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI LÍP 12 THPT II.3.1 Rèn luyện kỹ năng chung ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị hình học • Rèn luyện kỹ năng chung để giải toán theo 4 bước của Polya được áp dụng cho quá trình rèn luyện các kỹ năng • Rèn luyện kỹ năng chung ứng dụng đạo hàm (phương... các dạng toán và các phương pháp giải toán cực trị hình học nói chung, đi sâu phân tích kỹ năng ứng dụng của đạo hàm để giải toán cực trị hình học Tìm hiểu thực trạng dạy học giải toán cực trị hình học và việc ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị hình học cho HS líp 12 Tìm hiểu SGK, SBT Giải tích và Hình học líp 12 nâng cao Tìm hiểu những khó khăn và sai lầm của HS khi giải toán cực trị hình học Từ... chứng minh được tính khả thi của đề tài Kết quả chung là: Có thể rèn luyện được kỹ năng ứng dụng của đạo hàm để giải toán cực trị hình học thông qua hệ thống các bài tập điển hình và những gợi ý rèn luyện kỹ năng giải toán Qua việc rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm để giải toán cực trị hình học cho học sinh đã giúp HS khá, giỏi líp 12 bồi dưỡng thêm năng lực giải toán, phát triển tư duy toán học, ... cực trị hình học và một số phương pháp giải toán cực trị hình học, đặc biệt là phương pháp ứng dụng của đạo hàm để giải toán cực trị hình học là quy trình gồm 4 bước như luận văn đã trình bày Xây dựng được hệ thống các bài toán điển hình nhằm rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị hình học, trong hình học không gian, hình học giải tích và một số bài toán cực trị hình học có ứng dụng. .. luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị hình học Đề xuất biện pháp rèn luyện kỹ năng: bằng cách hướng dẫn học sinh thực hành 4 bước giải toán nói chung và kỹ năng giải toán cực trị hình học có ứng dụng của đạo hàm thông qua các ví dụ điển hình: Cực trị trong hình học không gian, trong hình học giải tích, trong thực tiễn Chương II còn đề xuất một số bài toán cực trị hình học trên cơ sở rèn luyện. .. cực trị của nó Bước 4: Dùa vào cực trị của hàm số theo x để kết luận cực trị của bài toán CHƯƠNG II XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH NHẰM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC CHO HỌC SINH KHÁ , GIỎI LÍP 12 THPT II.1 HỆ THỐNG HOÁ KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SÈ 12 II.1.1 Định nghĩa và các quy tắc tìm cực trị của hàm số 1 Định nghĩa Giả sử hàm. .. bài toán tìm cực trị hình học liên quan đến sự biến thiên của điểm thuộc đường thẳng cho trước KẾT LUẬN CHƯƠNG II 22 Chương II nhằm mục đích, trước hết là rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị, GTLN, GTNN của hàm số Bởi vì muốn có kỹ năng ứng dụng của đạo hàm để giải toán cực trị hình học thì phải có kỹ năng tìm cực trị của hàm số Xây dựng hệ thống các bài toán cực trị hình học nhằm rèn luyện. .. cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cực trị hình học của học sinh khá, giỏi líp 12 Các bài toán cực trị hình học đặc biệt là hình học không gian được bố trí nhiều trong SBT líp 12 Thông qua Giải tích 12 HS đã nắm được một cách hệ thống về bài toán cực trị của hàm số Nhu cầu tự nhiên của HS đặc biệt là HS khá, giỏi líp 12 là có được hệ thống về bài toán cực trị hình học và cũng có quy trình giải loại bài toán. .. phương pháp hàm số có ứng dụng của đạo hàm 3 Xây dựng hệ thống các bài tập điển hình để giúp HS luyện tập giải toán 4 Xây dựng các chuyên đề tự chọn nâng cao đối với học sinh khá, giỏi I.4.3 Một số khó khăn và sai lầm khi giải toán cực trị hình học Khi giải toán hình học nói chung, giải toán cực trị hình học đặc biệt là hình học không gian, học sinh líp 12 kể cả học sinh khá, giỏi môn Toán đã và có... năng ứng dụng của đạo hàm trong giải toán nói chung và trong giải toán cực trị hình học, giải bài toán thực tế nói riêng KẾT LUẬN CHƯƠNG I Trên cơ sở lÝ do chọn đề tài, chương 1 của luận văn có nhiệm vụ: Tìm hiểu khái niệm về kỹ năng, sự hình thành kỹ năng nói chung và kỹ năng giải toán nói riêng, nhằm mục đích đưa ra biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh Tìm hiểu bài toán cực trị hình học, . NHẰM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI LÍP 12 THPT II.3.1. Rèn luyện kỹ năng chung ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị hình học • Rèn luyện. cực trị hình học cho học sinh khá, giỏi líp 12  Gợi ý cánh vận dụng hệ thống bài tập điển hình trong việc rèn luyện kỹ năng giải toán nói chung, kỹ năng ứng dụng đạo hàm giải toán cực trị hình. NHẰM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC CHO HỌC SINH KHÁ , GIỎI LÍP 12 THPT II.1. HỆ THỐNG HOÁ KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SÈ  II.1.1