MỤC ðÍCH, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Qua ñề tài này, tác giả cố gắng làm sáng tỏ mối liên hệ giữa ñạo hàm với một số dạng toán cơ bản trong chương trình THPT, từ ñó một cách tự nhiên hình thành[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO BẮC NINH TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG YÊN PHONG SỐ NGUYỄN VĂN XÁ ðỀ TÀI ỨNG DỤNG ðẠO HÀM ðỂ GIẢI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG (BỘ MÔN TOÁN) ֠ Năm học 2011 – 2012 Lop10.com (2) SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO BẮC NINH TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG YÊN PHONG SỐ NGUYỄN VĂN XÁ ðỀ TÀI ỨNG DỤNG ðẠO HÀM ðỂ GIẢI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG (BỘ MÔN TOÁN) Năm học 2011 – 2012 Lop10.com (3) MỤC LỤC MỤC LỤC PHẦN MỘT – MỞ ðẦU PHẦN HAI – NỘI DUNG CHƯƠNG MỘT – CỞ SỞ LÍ LUẬN ðỀ TÀI CHƯƠNG HAI – GIẢI QUYẾT VẤN ðỀ 2.1 Ứng dụng ñạo hàm ñể tính tổng và tìm hệ số ña thức 2.2 Ứng dụng ñạo hàm ñể tính giới hạn 2.3 Ứng dụng ñạo hàm ñể viết phương trình tiếp tuyến ñồ thị hàm số 10 2.4 Ứng dụng ñạo hàm ñể xét tính ñơn ñiệu hàm số 12 2.5 Ứng dụng ñạo hàm ñể tìm cực trị hàm số 14 2.6 Ứng dụng ñạo hàm ñể chứng minh bất ñẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 17 2.7 Ứng dụng ñạo hàm ñể khảo sát hàm số 19 2.8 Ứng dụng ñạo hàm ñể giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình 19 PHẦN BA – KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO 26 Lop10.com (4) PHẦN MỘT MỞ ðẦU LÍ DO CHỌN ðỀ TÀI ðạo hàm là nội dung quan trọng toán học bậc THPT Nó vừa là ñối tượng, nó là công cụ hữu hiệu ñể giải nhiều vấn ñề phức tạp toán THPT Vận dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT là nội dung trọng tâm chương trình ôn thi Tốt nghiệp THPT, luyện thi ðại học, và bồi dưỡng học sinh giỏi Qua việc thực ñề tài này, tác giả mong muốn làm rõ các khía cạnh có thể khai thác ñạo hàm ñể giải các bài toán thường gặp chương trình, qua ñó xây dựng cho học sinh phương pháp chủ ñạo và hình thành kĩ việc giải các bài toán này, phục vụ tốt cho việc dạy và học môn toán THPT MỤC ðÍCH, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Qua ñề tài này, tác giả cố gắng làm sáng tỏ mối liên hệ ñạo hàm với số dạng toán chương trình THPT, từ ñó cách tự nhiên hình thành cho học sinh phương pháp giải các dạng toán ñó, làm tiền ñề ñể các em có thể tự ñọc các tài liệu liên quan tới vấn ñề này ðỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Các bài toán bậc THPT thường gặp kì thi Tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh ðại học, thi Học sinh giỏi PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phân tích, tổng hợp từ các tài liệu liên quan, hướng dẫn học sinh chia nhóm nghiên cứu theo chủ ñề cụ thể, từ ñó ñúc rút các nhận xét và xúc tích, trình bày các nhận xét theo hệ thống logic Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop10.com (5) PHẦN HAI NỘI DUNG - CHƯƠNG MỘT CƠ SỞ LÍ LUẬN ðỀ TÀI 1.1 ðịnh nghĩa ñạo hàm Cho hàm số y = f(x) xác ñịnh trên tập D và ñiểm x ∈ D Giả sử tồn khoảng (a; b) cho x ∈ (a; b) ⊂ D Nếu tồn giới hạn hữu hạn f (x) − f (x ) = A thì số A ñược gọi là ñạo hàm hàm số f(x) ñiểm x0 x − x0 x→x0 lim f (x) − f (x ) ðạo hàm x − x0 x→x0 và kí hiệu là f '(x ) y '(x ), ñó f '(x ) = lim hàm số ñiểm x0 (nếu có) là số Hàm số có ñạo hàm x0 thì liên tục x0 Khi giải toán cần lưu ý f(x) − f(x0 ) f(x) − f(x0 ) f(x) − f(x0 ) = A ⇔ lim+ = lim− = A x − x0 x − x0 x − x0 x→x0 x→x0 x→x0 f '(x0 ) = A ⇔ lim Nếu hàm số y = f(x) có ñạo hàm ñiểm thuộc khoảng K thì ta nói f(x) có ñạo hàm trên K và hàm số f '(x), x ∈ K, ñược gọi là (hàm) ñạo hàm f(x) trên K ðạo hàm hàm số (nếu có) trên khảng (có thể mở rộng trên tập) là hàm số ðạo hàm cấp cao f (k) (x) = (f (k −1) (x)) ' Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop10.com (6) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT VD Cho hàm số f(x) có ñạo hàm trên ℝ và thoả mãn f ( 2x ) = ( cosx ) f ( x ) – 2x với x Tính f '(0) ñịnh nghĩa 1.2 Các tính chất ñạo hàm (những công thức này ñược giả sử là hai vế ñều có nghĩa) 1) (c)' = 0; (x)' = 1; (x n )' = n.x n −1; ( n x ) = n n x n −1 2) (sin x)' = cos x; (cos x)' = − sin x; (tan x)' = + tan x = (cot x)' = −1 − cot x = − sin x cos x ; 3) (a x )' = a x ln a; (log a | x |)' = x.ln a u u 'v − uv' 4) (u + v − w)' = u '+ v'− w '; (k.u)' = k.u '; (uv)' = u 'v + uv'; ( )' = ; v v2 (u(v(x)))' = u '(v).v'(x) Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop10.com (7) - CHƯƠNG HAI GIẢI QUYẾT VẤN ðỀ 2.1 Ứng dụng ñạo hàm ñể tính tổng và tìm hệ số ña thức Nhờ ñạo hàm ta có thể tính ñược số tổng (hoặc chứng minh ñẳng thức) mà các số hạng thường có dạng (k+1)xkak ðối với ña thức f (x) = a + a1x + + a n x n f (k) (0) ta dễ thấy a k = , ñó k! qui ước ñạo hàm cấp hàm số f(x) là chính hàm số f(x); và a + a1 + + a n = f (1), a − a1 + a − a + + (−1)n a n = f (−1) VD1 Cho ña thức f(x) = (1 + x – x12)2011+ (1 – x + x11)2012 Tìm hệ số số hạng chứa x ña thức Tính tổng tất các hệ số bậc lẻ ña thức Tính tổng các hệ số bậc lớn hay ña thức HD Ta có f '(x) = 2011(1 + x − x12 )2010 (1 − 12x11 ) + 2012(1 − x + x11 )2011.(−1 + 11x10 ) ðể cho tiện ta kí hiệu f (x) = a + a1x + + a n x n (với n = 12×2011 = 24132) Hệ số số hạng chứa x ña thức f(x) là a1 = f '(0) = 2011 − 2012 = −1 1! a + a1 + + a n = f (1) = 2, a − a1 + a − a + + (−1)n a n = f (−1) = f (1) − f (−1) tổng các hệ số bậc lẻ f(x) là a1 + a + + a 24131 = = 2 Do nên Ta có a0 = f(0) = 2, a + a + + a n = (a + a1 + + a n ) − a − a1 = − − (−1) = VD2 Chứng minh C1n + 22 Cn2 + + n 2Cnn = n(n + 1)2n − , ∀n ∈ ℕ, n ≥ HD Ta có (1 + x ) n = n ∑ k =0 C nk x k ⇒ n (1 + x ) n −1 = ⇒ n(1 + x)n −1 + n(n − 1)x(1 + x)n − = cùng này thu ñược n ∑ k =1 C kn kx k −1 ⇒ nx (1 + x) n −1 = n ∑ C kn kx k k =1 n ∑ Cnk k x k −1, thay x = vào ñẳng thức cuối k =1 2 Cn + Cn + + n 2Cnn = n(n + 1)2n − , ∀n ∈ ℕ, n ≥ Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop10.com (8) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT Nhận xét Ta có n 2C0n + (n − 1) C1n + + 22 Cnn − + 12 Cnn −1 = n(n + 1)2n − , ∀n ∈ ℕ, n ≥ Bài tập Khai triển f(x) = (1 – x + x2)2011 + (1 + x3)2012 thành dạng f (x) = a + a1x + + a 6030 x 6030 Tính tổng A = a1 − 2a + 3a + + 6029a 6029 − 6030a 6030 Giả sử (1 + x)n = a + a1x + + a n x n , n ∈ ℕ * Biết tồn số nguyên a k −1 a k a k +1 = = 24 Tính tổng 2.1.a + 3.2.a + 4.3.a + + n.(n − 1).a n dương k (1 ≤ k ≤ n) cho a) Chứng minh C1n + 2C2n + 3C3n + + nCnn < (n!.n), ∀n ∈ ℕ, n > b) Chứng minh nC0n − (n − 1)C1n + + (−1)n − Cnn − + (−1)n −1 Cnn −1 = 0, ∀∈ ℕ * Cho y = a0x + a1x3 + a 2x5 + + a n x2n +1 + thoả mãn (1− x2)y'− xy =1, ∀x ∈(−1;1) Tìm các hệ số a , a1, , a n Cho số nguyên dương n ≥ thoả mãn ñẳng thức A3n + C3n = 35(n − 1)(n − 2) Tính các tổng sau ñây S1 = C1n + 2Cn2 + + nCnn ; S2 = 22Cn2 − 32 C3n + + (−1)n n2Cnn ; S3 = 1+ 2x + 3x2 + + nxn−1; S4 = sinx + sin2x + + sinnx; S5 = cosx + 2cos2x + + ncosnx; S6 = C0n + 2C1n + + (n +1)Cnn Chứng minh n2n C0n + (n − 1)2n −1C1n + + 2Cnn −1 = 2n.3n −1, ∀n ∈ ℕ * Tìm n biết +1 C12n +1 − 2.2.C22n +1 + 3.22 C32n +1 − 4.23 C42n +1 + + (2n + 1)22n C2n 2n +1 = 2005 (n ∈ ℕ*) Cho khai triển a a a a + + + n = 4096 22 2n (1 + 2x)n = a + a1x + + a n x n , n ∈ ℕ * Gọi ak là số lớn Biết các số a , a1, , a n , (a k = max{a i ,i = 0, n}) Tính tổng S = a + a1 + 2a + 3a + + (k − 1)a k −1 + (k + 1)a k +1 + + na n n (Tức là S = a + (∑ i.a i ) − ka k ) i =1 Cho khai triển (1 − 2x)n = a + a1x + + a n x n , n ∈ ℕ * Biết a + a1 + a = 71 Tính tổng S = 12 a1 + 22 a + 32 a + 42 a + (52 − 1)a + 62 a + + n 2a n 10 Cho C0n + C1n + Cn2 = 211 Tính tổng S = 12 C0n A11 + 22 C1n A12 + 32 C2n A13 + + 11 Tìm số nguyên dương n thoả mãn C1n + 3Cn2 + 32 C3n + + 3n −1Cnn = (n + 1)2 Cnn A1n +1 2200 − Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop10.com (9) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 12 Chứng minh 1 99 198 100 199 100.C100 ( )99 − 101.C100 ( )100 + − 199.C100 ( ) + 200.C100 ( ) = 2 2 1 1 2011 , n ∈ ℕ, n ≥ Tính tổng tất các hệ số 13 Cho + + + + = A A3 A A n 2012 bậc lớn ña thức f (x) = (1– 2x).(x2 + 1)n Ứng dụng ñạo hàm ñể tính giới hạn 2.2 Dựa vào ñịnh nghĩa ñạo hàm hàm số ñiểm và các tính chất ñạo hàm ta có thể tính ñược số gới hạn dạng vô ñịnh f (x) có dạng lim , f (0) = 0, ta vận dụng trực tiếp ñịnh x→x0 x f (x) nghĩa ñạo hàm hàm số ñiểm, thu ñược lim = f '(0) x→x0 x ðể tính giới hạn Nếu các hàm f(x) và g(x) có ñạo hàm trên lân cận ñiểm x0 và f(x0) = f(x) − f(x0 ) f(x) − f(x0 ) lim x − x0 x − x0 f '(x0 ) f(x) x→x0 g(x0) = 0, g '(x ) ≠ thì lim , = lim = = g(x) − g(x0 ) g'(x0 ) x→x0 g(x) x→x0 g(x) − g(x0 ) lim x − x0 x − x0 x→x0 ∞ (dạng vô ñịnh ) Các dạng vô ñịnh , 0.∞, ∞-∞, 1∞ , 00 ta biến ñổi dạng ∞ ñể áp dụng tính chất trên VD3 Tính giới hạn 1)A = lim x→1 1 − x + x − − x + x3 ; 2)B= lim ( + x + + x3 ); 3)C = lim(1 + sin x) x x→−∞ x→0 tan(x − 1) HD 1) Xét f (x) = − x + x − − x + x , g(x) = tan(x − 1) trên lân cận ñiểm x0 = Nhận thấy f '(x) = 2x − − 3x − , g '(x) = + tan (x − 1), f(1) = g(1) = 0, 1− x + x (1 − x + x ) f '(1) = − , g '(1) = ≠ 0, nên f (x) f (x) − f (x) − f (1) f (x) − f (1) lim f (x) f '(1) A = lim = lim x − = lim x −1 = lim x − = x→1 x − = =− g(x) − g(1) g'(1) x→1 g(x) x→1 g(x) x→1 g(x) − x→1 g(x) − g(1) lim x→1 x −1 x −1 x −1 x −1 33 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop10.com (10) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 1 2)B= lim ( + x + + x ) = lim x(− + ( )2 + + ( )3 ) x →−∞ x →−∞ x x ðặt t= x thì + t3 − + t t → x → −∞ Ta có B= lim Xét f (t) = + t − + t , có t →0 t t t f '(t) = − , f(0) = 0, f '(0) = 0, nên (1 + t ) 1+ t2 3 B= lim t →0 + t3 − + t f (t) f (t) − f (t) − f (0) = lim = lim = lim = f '(0) = t →0 t t →0 t − t →0 t t−0 3) Ta luôn có thể chọn ñược lân cận ñiểm x0 = cho trên lân cận ñó + sinx > ðặt M = (1 + sin x) x , N = ln(M) = ln(1 + sin x) Xét hàm x co s x , f(0) = 0, f '(0) = Như + sin x ln(1 + sin x) f (x) f (x) − f (0) lim N = lim = lim = lim = f '(0) = Suy x →0 x →0 x →0 x x →0 x x−0 f (x) = ln(1 + sin x), C= lim (1 + sin x) x x →0 có f '(x) = = lim M = lim e = e N x →0 x →0 lim N x →0 = e = e Vậy C = 1 lim (1 + sin x) x x →0 = e Bài tập 14 Tính các giới hạn sau ñây ex + sin2x − cos3x − + 2x2 3x + − x − x + − 2x ; 2) lim ; 3) lim ; 4) lim ; x →0 ln + 4x − tan5x x →0 − cosx x→0 − 2x +1 x →1 sin(1 − x) 1) lim n + ax.m + bx − x.2x − sin 3x ; 6) lim (a, b ≠ 0; m, n ∈ ℕ*); 7) lim ; π − 2cos x x x →1 x − x →0 x→ 5) lim π 8) lim ln(cos x) x2 x →0 cos( cos x) sin x x − a ;9) lim ( ) (a ≠ kπ ); 10) lim ; 11) lim (sin x) tan x ; π x →a sin a x →0 sin(tan x) x→ 12) lim (cos x →±∞ 1 + sin ) x ;13) lim x x x →0 (x +2005) − 5x - 2005 x ; 1 ; 15) lim x + x + ; 14) lim − x →0 3x(1 + + 4x ) 2x( (1 + 6x) + + 6x + 1) x →−1 sin(x + 1) 16) lim x − x + 2x x →+∞ x − x + 3x n n 19) lim x −a x →a x m − a m esin 2x − esin x x − sin 2011x ; 18) lim ; sin x x →0 x →0 x + sin 2012x ;17) lim (a ∈ ℝ; m, n ∈ ℕ*) Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop10.com (11) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 2.3 10 Ứng dụng ñạo hàm ñể viết phương trình tiếp tuyến ñồ thị hàm số Nếu hàm số y = f(x) (C) có ñạo hàm x = x0 thì tiếp tuyến (C) ñiểm M(x0; f(x0)) có phương trình là y = f '(x )(x − x ) + f (x ); f '(x ) là hệ số góc tiếp tuyến (C) ñiểm M(x0; f(x0)) Nếu tiếp tuyến (C) y = f(x) có hệ số góc k thì hoành ñộ tiếp ñiểm thoả mãn PT k = f '(x) ðường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến ñồ thị hàm số y = f(x) hệ ax + b = f (x) , và nghiệm x0 hệ này chính là a = f '(x) phương trình sau có nghiệm hoành ñộ tiếp ñiểm x + ax + b x ≤ VD4 Tìm a, b ñể hàm số y = có ñạo hàm ñiểm x − x − 8x + 10 x > x0 = và ñó hãy viết phương trình tiếp tuyến ñồ thị hàm số ñiểm có hoành ñộ x0 = HD ðể hàm số có ñạo hàm ñiểm x0 = thì trước hết nó phải liên tục ñiểm này Ta phải có y(2) = lim + y(x) = lim − y(x) ⇔ y(2) = lim + (x − x − 8x + 10) = lim − (x + ax + b) x →2 x →2 x →2 x →2 ⇔ + 2a + b = −2 ⇔ b = −2a − x2 + ax − 2a − x ≤ Hàm số này có ñạo hàm ñiểm Lúc này ta viết lại y = x − x − 8x + 10 x > y(x) − y(2) y(x) − y(2) (x − x − 8x + 10) − (−2) x0 = thì lim + = lim − ⇔ lim + = x−2 x−2 x−2 x →2 x →2 x →2 (x2 + ax − 2a − 6) − (−2) = lim− ⇔ = a + ⇔ a = −4 ⇒ b = Vậy với a = –4, b = thì x −2 x→2 hàm số ñã cho có ñạo hàm ñiểm x0 = và y '(2) = Khi ñó tiếp tuyến cần tìm là y = 0.(x − 2) + (−2) ⇔ y = −2 VD5 Viết phương trình tiếp tuyến (C): y = x4 – 2x2 biết tiếp tuyến ñi qua tâm ñường tròn nội tiếp tam giác có ba ñỉnh là ba ñiểm cực trị (C) HD Dễ thấy (C) có ba ñiểm cực trị là A(–1;–1), B(1;–1), O(0;0) Gọi I là tâm ñường tròn nội tiếp tam giác OAB thì I(0; m) với –1 < m < Các ñường thẳng OA, OB, AB có phương trình x – y = 0, x + y = 0, y + = Có d(I, OA) = d(I, OB) = d(I, AB) ⇔ 10 m = m + ⇔ m = − (do − < m < 0) Vậy Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop10.com (12) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 11 I(0; − 2) ðường thẳng ñi qua I có hệ số góc a có phương trình y = ax + − (d) (tiếp tuyến ñồ thị hàm số là ñường thẳng có hệ số góc) ðường thẳng (d) là tiếp tuyến ñồ thị (C) hệ phương trình x − 2x = ax + − (1) (2) 4x − 4x = a có nghiệm Thế (2) vào (1) giá trị ta ñược 3x − 6x + − = ⇔x=± a=± 3±3 3+3 ñược tìm y=± ứng ta tìm ñược a là 3± 3+3 Do ñó 4 3+3 Tương tiếp tiếp thoả mãn yêu cầu bài toán 3± 3+3 x + − Bài tập 15 Viết phương trình tiếp tuyến ñồ thị hàm số y = x − 2x + biết tiếp x − tuyến vuông góc với ñường thẳng x – 3y + = 16 Cho y = x+2 (C) a) Viết PTTT (C) biết tiếp tuyến tạo với hai trục toạ 2x + ñộ tam giác cân b) Viết PTTT (C) các ñiểm có toạ ñộ nguyên (C) c) Chứng minh không có tiếp tuyến nào (C) ñi qua ñiểm I(− ; −2) 17 Tìm m biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ ñồ thị (C): y = x3 – 3mx2 + 4m3 là ñường thẳng tạo với hai trục toạ ñộ tam giác có diện tích 25 18 Viết PTTT ñồ thị (C): y = x − x a) Biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm A(3; 0) b) Biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng 9x + 12y – = 19 Tính diện tích hình phẳng giới hạn ñồ thị y = x3 – 3x2 + (C) và tiếp tuyến ñồ thị (C) ñiểm M(–1;1) 20 Gọi A, B là các giao ñiểm ñường thẳng y = x + m với ñồ thị y= −x + (C) và k1, k2 là hệ số góc tiếp tuyến (C) A, B Tìm 2x − m ñể tổng k1 + k2 ñạt giá trị lớn 21 a) Tìm trên trục Oy ñiểm mà từ ñó kẻ ñược tiếp tuyến tới ñồ thị hàm số y = x4 cho tiếp tuyến ñó vuông góc với 11 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop10.com (13) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 12 b) Tìm trên ñường thẳng y = ñiểm có thể kẻ ñược tiếp tuyến tới ñồ thị hàm số y = 2x − 9x + 12x + cho số tiếp tuyến ñó vuông góc với 22 Tìm m ñể ñồ thị hàm số y = 2x4 – 2(m + 4)x3 + (8m + 7)x2 – 2(3m+2)x+3 tiếp xúc với trục Ox 23 Viết PTTT ñồ thị (C) : y = x −1 giao ñiểm ñồ thị này với trục x +1 tung 24 a) Viết PTTT y = tiếp tuyến là lớn b) Viết PTTT y = x (C) biết khoảng cách từ tâm ñối xứng (C) tới x −1 4x − (C) biết tiếp tuyến hợp với trục hoành góc 45 x −1 c) Chứng minh ñồ thị y = x − 3x + x +1 (C) cắt Ox hai ñiểm phân biệt A, B Tính cosin góc tạo hai tiếp tuyến (C) A và B d) Giả sử A, B, C là ba ñiểm thẳng hàng trên ñồ thị y = x − 3x + 2(T) Các tiếp tuyến (T) A, B, C cắt (T) các ñiểm A’, B’, C’ tương ứng khác A, B, C Chứng minh A’, B’, C’ thẳng hàng x 25 Tìm a, b ñể hàm số f (x) = x ≤ ax + b x > có ñạo hàm x0 = 1, ñó hãy viết PTTT ñồ thị hàm số ñiểm có hoành ñộ x0 = 2.4 Ứng dụng ñạo hàm ñể xét tính ñơn ñiệu hàm số Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên ñoạn [a; b] và ñồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a; b) thì hàm số này ñồng biến (tương ứng nghịch biến) trên ñoạn [a; b] Nếu hàm số y = f(x) có ñạo hàm trên khoảng K và phương trình f '(x) = có hữu hạn nghiệm trên K thì: + f(x) ñồng biến trên K ⇔ f '(x) ≥ 0, ∀x ∈ K + f(x) nghịch biến trên K ⇔ f '(x) ≤ 0, ∀x ∈ K Lưu ý: thay khoảng K nửa khoảng ñoạn thì kết luận trên ñúng, thay K tập bất kì thì kết luận ñó không ñúng VD6 Tìm m ñể hàm số y = x − mx + x − 2m3 a ðồng biến trên ℝ b ðồng biến trên khoảng (0; +∞) c Khoảng nghịch biến hàm số có ñộ dài lớn 12 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop10.com (14) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT HD 13 a) Hàm số ñồng biến trên ℝ ⇔ y ' = x − 2mx + ≥ (∀x ∈ ℝ) ⇔ ∆ ' = m − ≤ ⇔ −1 ≤ m ≤ b) Hàm ñồng số biến (0; +∞) ⇔ y ' = x − 2mx + ≥ (∀x > 0) ⇔ m ≤ x2 +1 (∀x > 0) 2x trên Xét khoảng hàm số x2 +1 2x − f (x) = với x > 0, có f '(x) = , f '(x) = ⇔ x = ±1, với x > thì 2x 4x f '(x) = ⇔ x = Trên khoảng (0; +∞) dấu f '(x) phụ thuộc vào dấu tam thức 2x2 – Từ ñó ta có bảng biến thiên hàm f(x) sau x +∞ f '(x) – + +∞ +∞ f(x) x2 +1 (∀x > 0) ⇔ m ≤ Vậy hàm số ñã cho ñồng 2x biến trên khoảng (0; +∞) m ≤ Từ bảng biến thiên suy m ≤ c) ðể hàm số có khoảng nghịch biến thì trước hết y’ phải có hai nghiệm phân biệt, tức là ∆ ' > Khi ñó gọi x1, x2 là nghiệm y’ (x1< x2) thì hàm số có khoảng nghịch biến là (x1 ; x2) ðộ dài khoảng này (khoảng cách nghiệm phương trình bậc hai) là x1 − x = ∆ 4∆ ' = Vậy ñể khoảng nghịch a a biến hàm số ñã cho có ñộ dài lớn ta cần ñiều kiện ñối với tam thức y ' = x − 2mx + là ∆ ' > m > m − > ⇔ ⇔ m2 − > ⇔ 4∆ ' m < −2 a >2 2 m − > VD7 Chứng minh hàm số y = nghịch biến trên khoảng xác ñịnh x trên tập xác ñịnh thì nó không ñồng biến và không nghịch biến HD Hàm số có tập xác ñịnh D = ℝ \ {0} = (−∞; 0) ∪ (0; +∞) ðạo hàm y' = − x2 < 0, ∀x ∈ D Vì y ' = − khoảng (−∞; 0) , vì y ' = − x2 x2 < 0, ∀x ∈ (−∞; 0) nên hàm số nghịch biến trên < 0, ∀x ∈ (0; +∞) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞) Ta chọn x1 = –1 thì y1 = – 1, x2 = thì y2 = 1, ta thấy x1 < x , y1 < y nên hàm số không nghịch biến trên D Tương tự chọn giá 13 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop10.com (15) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT trị x1 = thì y1 = 14 1 , x2 = thì y2 = , x1 < x , y1 > y nên hàm số không ñồng biến trên D Vậy hàm số ñã cho nghịch biến trên khoảng xác ñịnh (−∞; 0), (0; +∞), nó không ñồng biến và không nghịch biến trên tập xác ñịnh D = ℝ \ {0} = (−∞; 0) ∪ (0; +∞) Bài tập 26 Xác ñịnh các khoảng ñơn ñiệu hàm số x 1)y = x − x ; 2)y = ; 3)y = − x + 2x 2−x 27 Tìm m ñể hàm số: a) y = x + mx + (m + 6)x − ñồng biến trên ℝ m b) y = x − (m − 1)x + 3(m − 2)x + ñồng biến trên nửa khoảng [ 2; +∞ ) 3 m c) y = −3x − mx − x + nghịch biến trên ℝ d) y = 3x + ñồng biến trên x −1 khoảng xác ñịnh 28 Tìm m ñể ñồ thị hàm số y = x3 + mx + cắt trục Ox ñúng ñiểm 29 Lập bảng biến thiên hàm a)y = x − sin x; b)y = 4x + − 2x; c)y = 2.5 số 2x + 3x x +1 Ứng dụng ñạo hàm ñể tìm cực trị hàm số Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b), ñiểm x0 ∈ (a; b), và có ñạo hàm trên các khoảng (a; x0), (x0; b) Ta có: + Nếu f '(x) > 0, ∀x ∈ (a; x ); f '(x) < 0, ∀∈ (x ; b) thì f(x) ñạt cực ñại f(x0) ñiểm x = x0 + Nếu f '(x) < 0, ∀x ∈ (a; x );f '(x) > 0, ∀∈ (x ; b) thì f(x) ñạt cực tiểu f(x0) ñiểm x = x0 Chú ý: – Nếu hàm số ñạt cực trị x0 thì f '(x ) = f '(x ) không xác ñịnh – Nếu f '(x) không ñổi dấu trên (a; b) thì f(x) không có cực trị trên (a; b) – Nếu x0 là ñiểm cực trị hàm số y = f(x) (C) thì f(x0) ñược gọi là (giá trị) cực trị hàm số, và M(x0; f(x0)) ñược gọi là ñiểm cực trị ñồ thị (C) Giả sử hàm số f(x) có ñạo hàm ñến cấp trên khoảng (a; b) và ñiểm x0 ∈ (a; b) Ta có: + Nếu f '(x ) = 0; f "(x ) < thì f(x) ñạt cực ñại f(x0) ñiểm x = x0 + Nếu f '(x ) = 0; f "(x ) > thì f(x) ñạt cực tiểu f(x0) ñiểm x = x0 14 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop10.com (16) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 15 Chú ý: Nếu f '(x ) = f "(x ) = thì chưa thể kết luận ñược hàm số có ñạt cực trị x0 hay không (chẳng hạn với f(x) = x3 thì f '(x ) = f "(x ) = và hàm số không ñạt cực trị x = 0, với f(x) = x4 thì f '(x ) = f "(x ) = và hàm số ñạt cực tiểu x = 0, với f(x) = –x4 thì f '(x ) = f "(x ) = và hàm số ñạt cực ñại x = 0) VD8 Cho hàm số y = x3 – 2x2 + mx +1 a) Tìm m ñể hàm số ñại cực tiểu x = b) Tìm m ñể hàm số có hai ñiểm cực trị dương c) Tìm m ñể hàm số có hai cực trị có tích nhỏ 31 27 HD a) Ta có y ' = 3x − 4x + m, y" = 6x − 4, và y"(1) = > nên hàm số ñã cho ñạt cực tiểu x = y '(1) = ⇔ m = Vậy với m = thì hàm số có ñiểm cực tiểu x = b) Hàm số ñã cho có ñiểm cực trị dương phương trình 3x − 4x + m = có ∆ ' = − 3m > 4 nghiệm dương phân biệt, tức là S = > ⇔ < m < Vậy với 3 m P = > < m < thì hàm số có hai ñiểm cực trị dương 31 c) Hàm số ñã cho có hai cực trị có tích nhỏ phương trình 27 3x − 4x + m = (1) có nghiệm 31 Trước hết, phương trình (1) có hai nghiệm 27 4 m phân biệt x1, x2 ∆ ' > ⇔ m < Theo ñịnh lí Viet thì x1 + x2 = , x1x = 3 phân biệt x1, x2 và y(x1).y(x2) < Lúc này ta có 2m 11 2m 11 y ( x1) = x13 – 2x12 + mx1 +1 = (3x12 − 4x1 + m)( x1 − ) + ( − )x1 + = ( − )x1 + 9 9 2m 11 y(x2 ) = ( − )x2 + Do ñó ( 3x12 − 4x1 + m = 0) Tương tự 9 31 2m 11 2m 11 31 y ( x1 ) y ( x2 ) < ⇔ (( − )x1 + )(( − )x2 + ) < 27 9 9 27 2m 11 2m 121 31 ⇔( − ) x1x + ( − )(x1 + x ) + < 9 81 27 2m m 11 2m 121 31 ⇔( − ) + ( − ) + < 9 81 27 15 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop10.com (17) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 16 ⇔ 3m3 − 8m + 22m − 17 < ⇔ m < (thoả mãn m < ) Vậy m < là các giá trị cần tìm Bài tập 30 Tìm m ñể hàm số ñạt cực tiểu x = 0: a)y = x − mx + (m + 1)x; b)y = x + mx 31 Tìm m ñể hàm số y = x3 – (m+2)x +m ñạt cực ñại x = 32 Tìm m ñể hai ñiểm cực trị ñồ thị hàm số y = –x3 + 3x2 + 3(m2 – 1)x – 3m2 – cách ñều ñiểm O 33 Tìm m ñể ñồ thị (C) y = x − (3m + 1)x + 2(m + 1) có ñiểm cực trị là ñỉnh tam giác ñều 34 Viết phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị ñồ thị m y = x − x + biết tiếp tuyến (C) ñiểm có hoành ñộ –1 là 3 ñường thẳng song song với d: 5x – y = 35 Tìm m ñể hàm số y = x + mx + a)Có hai ñiểm cực trị trái dấu b)Có hai x+m cực trị trái dấu 36 Tìm m ñể các ñiểm cực trị ñồ thị hàm số y = x3 – 3mx2 + 4m3 ñối xứng với qua ñường thẳng y = x 37 Tìm m ñể hàm số y = x3 – (2m – 1)x2 + (2 – m)x + có hai ñiểm cực trị dương 38 Tìm m ñể ñường thẳng y = x + m2 – m ñi qua trung ñiểm ñoạn thẳng nối hai ñiểm cực trị ñồ thị hàm số y = x3 – 6x2 + 9x 39 Tìm m ñể ñồ thị hàm số y = x4 – 2(m+1)x2 + m có ñiểm cực trị A, B, C (A là ñiểm cực trị nằm trên Oy) cho OA = BC 40 Chứng minh ñồ thị hàm số sau luôn có hai ñiểm cực trị và viết phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị ñó: x − m(m + 1)x + m3 + a)y = x − mx − x + m; b)y = x−m 1 41 a) Tìm m ñể hàm số f (x) = x + ax + 2x − có ñiểm cực trị b) Chứng minh hàm số y = x − 3x + x +1 (C) có ñiểm cực trị và ñó là ñiểm cực tiểu 42 Tìm a, b, c, d ñể y = ax3 + bx2 + cx + d ñạt cực tiểu x = 0, ñạt cực ñại x = 43 Tìm a, b, c ñể hàm số y = x3 + ax2 + bx + c ñạt cực tiểu – x = 1, và ñồ thị nó cắt trục Oy ñiểm có tung ñộ 44 Cho hàm số y = 2x − 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + (C) a) Chứng minh với m ñồ thị hàm số ñã cho luôn có hai ñiểm cực trị có khoảng cách không ñổi 16 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop10.com (18) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 17 c) Tìm m ñể các ñiểm cực trị hàm số ñã cho thoả mãn 2xCð – xCT = – d) Tìm m ñể các ñiểm cực trị hàm số ñã cho thoả mãn 2yCT + yCð = 16 e) Chứng minh ñường thẳng nối hai ñiểm cực trị ñồ thị hàm số ñã cho có phương không ñổi 2.6 Ứng dụng ñạo hàm ñể chứng minh bất ñẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Bảng biến thiên hàm số có thể giúp ta tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số chứng minh bất ñẳng thức ðể tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số y = f(x) trên ñoạn [a; b] ta có thể làm theo sơ ñồ sau: – Tính f '(x) , tìm các giá trị x1, x , ∈ [a; b] mà ñó f '(x) = không xác ñịnh – Tính f (x1), f (x ), , f (a), f (b) – Khi ñó max f (x) = max{f (x1),f (x2 ), ,f (a),f (b)}, f (x) = min{f (x1),f (x2 ), ,f (a),f (b)} x∈[ a;b] x∈[ a;b] VD9 Tìm giá trị lớn và nhỏ hàm số y = 6x + 10 − 4x 10 10 ; Ta có 2 4x 4x y' = 6− ;6 − =0⇔x= , 10 − 4x 10 − 4x HD Tập xác ñịnh hàm số là D= − 10 10 ) = 10; y(− ) = −3 10; y( ) = 10 2 10 Vậy max y = y( ) = 10; y = y( − ) = −3 10 2 x∈D x∈D và y( a) VD10 ab3 a + 3b + Cho a, b không ñồng thời 0, chứng minh a 3b ≤ 3a + b 4 y b) Cho hai số dương x, y Chứng minh e 2x + y < 17 x+y x Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop10.com (19) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 18 HD a) Xét hàm số f(x) = x4 – 4xb3 + 3b4 với x ∈ ℝ Có f '(x) = 4x − 4b3 , f '(x) = ⇔ x = b, f '(x) > ⇔ x > b, f '(x) < ⇔ x < b Bảng biến thiên f(x) sau x −∞ b +∞ f '(x) – + +∞ +∞ f(x) Suy f ( x ) = x – 4xb3 + 3b4 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ a – 4ab3 + 3b ≥ ⇔ ab3 a + 3b ≤ Từ ñó ñược ta 4 (do a, b không ñồng thời nên a + 3b > 0) Tương tự ta có a 3b 3a + b ≤ Cộng hai bất ñẳng thức này, vế với vế tương ứng, ta ñược ab3 a + 3b + a 3b ≤ Dấu “=” xảy 3a + b 4 a = b b) Với x, y dương ta có e y 2x + y < y x+y 2x y (1) ⇔ < ( + 1) ln(1 + ) ðặt t = + x y x x x = Bất ñẳng thức cần chứng minh trở thành y t −1 (t + 1) ln t − 2t + > (2), với t > Ta xét hàm t ln t − t + f (t) = (t + 1) ln t − 2t + 2, ∀t ∈ [1; +∞) Có f '(t) = ðặt số t g(t) = t ln t − t + ⇒ g '(t) = ln t Bảng biến thiên: t +∞ g '(t) + thì t > và +∞ g(t) Suy f '(t) > 0, ∀t > 1, và f '(1) = Do ñó f(t) ñồng biến trên nửa khoảng [1; +∞ ) Dẫn tới f(t) > f(1) hay (t + 1) ln t − 2t + > với t > Tức là (2) ñược chứng minh Vậy (1) ñược chứng minh Bài tập 45 Tìm giá trị nhỏ hàm số y = x4 + 6x3 + 11x2 + 6x 46 Chứng minh a4 + b4 ≥ ab3 + a3b với a, b 18 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop10.com (20) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 47 Chứng minh 19 x.ex a) + + 1≥ với x; b) (a x + b x ) y < (a y + b y ) x , ∀a, b > 0, x > y > 48 Chứng minh π x2 a)x > ln(1 + x), ∀x > 0; b)2sin x + tan x > 3x, ∀x ∈ (0; ); c) cos x ≥ − , ∀x ∈ ℝ 2 c)3 ≤ sin x +2 cos x 2+ ≤ 2 , ∀x ∈ ℝ d)a b < ba , ∀a > b ≥ e e)cos x + cos y ≤ + cos(xy), với số thực x, y thoả mãn x + y ≤ π 49 Chứng minh 50 a3 + 1+ x2 + x 1+ x2 + x 1+ x2 ≤ , ∀x, y, z ≥ − , x + y + z = 10 a > 0, b > 0, 2(a + b2 ) + ab = (a + b)(ab + 2) Cho P = 4( x b3 ) − 9( a2 + Tìm GTNN b2 ) a3 b2 a 51 Cho a, b, c ∈ [1; 4] , a ≥ b, a ≥ c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= b3 a b c + + 2a + 3b b + c c + a 52 Tìm giá trị lớn hàm số y = 2.7 2x − x; x ∈ (−∞;0) Ứng dụng ñạo hàm ñể khảo sát hàm số Bài tập 53 Khảo sát và vẽ ñồ 2x − a)y = ; b)y = x − 3x ; c)y = − x − x + x −1 2.8 thị hàm số Ứng dụng ñạo hàm ñể giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình Nếu f(x) là hàm số ñồng biến là hàm trên D, g(x) là hàm nghịch biến là hàm trên D thì phương trình f(x) = g(x) có không quá nghiệm trên D Nếu f(x) là hàm ñơn ñiệu trên D thì f(a) = f(b) ⇔ a = b (a, b ∈ D) Nếu f(x) ñồng biến trên D thì f (a) > f (b) ⇔ a > b (a, b ∈ D) Nếu f(x) nghịch biến trên D thì f (a) > f (b) ⇔ a < b (a, b ∈ D) Nếu a = f (x), A = max f (x) thì bất phương trình m ≥ f (x) có nghiệm trên x∈D x∈D D m ≥ a, và bất phương trình này nghiệm ñúng với x ∈ D m ≥ A Rất nhiều bài toán ñược giải dựa vào bảng biến thiên hàm số 19 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Lop10.com (21)