ứng dụng lý thuyết sai phân để giải toán trung học phổ thông

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG————— LÊ THỊ HỒNG NHUNG ỨNG DỤNG LÍ THUYẾT SAI PHÂN ĐỂ GIẢI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 0113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngườ

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

—————

LÊ THỊ HỒNG NHUNG

ỨNG DỤNG LÍ THUYẾT SAI PHÂN

ĐỂ GIẢI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - 2015

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

—————

LÊ THỊ HỒNG NHUNG

ỨNG DỤNG LÍ THUYẾT SAI PHÂN

ĐỂ GIẢI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 0113

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS LÊ HẢI TRUNG

Đà Nẵng - 2015

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.

Các số liệu kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được

ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả

Lê Thị Hồng Nhung

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 3

1.1 KHÁI NIỆM VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA SAI PHÂN 3

1.1.1 Khái niệm sai phân 3

1.1.2 Một số tính chất của sai phân 3

1.2 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ PHÂN LOẠI 6

1.2.1 Phương trình sai phân tuyến tính 6

1.2.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 7

1.2.3 Phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất cấp 1 với vế phải đặc thù 8

1.2.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 11

1.2.5 Phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất cấp 2 với vế phải đặc thù 12

1.2.6 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 14

1.3 TUYẾN TÍNH HÓA 16

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT CỦA SAI PHÂN ĐỂ GIẢI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 19

2.1 BÀI TOÁN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY 19

2.1.1 Tìm số hạng tổng quát khi biết các số hạng đầu tiên 19

2.1.2 Công thức truy hồi là biểu thức tuyến tính 21

2.1.3 Công thức truy hồi là một hệ thức tuyến tính 23

2.1.4 Công thức truy hồi là biểu thức tuyến tính với hệ số biến thiên 25 2.1.5 Công thức truy hồi dạng phân tuyến tính với hệ số hằng 26

2.2.1 Bài toán 1 27

2.2.2 Bài toán 2 30

2.2.3 Bài toán 3 31

2.2.4 Bài toán 4 33

2.3 BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 35

2.4 MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC 40

2.5 BÀI TẬP TỔNG HỢP 51

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG CỦA PHẦN MỀM MAPLE TRONG GIẢI TOÁN SAI PHÂN 62

3.1 GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC VỀ PHẦN MỀM MAPLE 62

3.2 MỘT SỐ HÀM THỰC HIỆN ĐẶC TRƯNG CỦA PHẦN MỀM MAPLE 63 3.2.1 Một số hàm cơ bản 63

3.2.2 Một số lệnh cơ bản 63

3.3 ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE TRONG GIẢI TOÁN SAI PHÂN 66 3.3.1 Ứng dụng phần mềm Maple giải phương trình sai phân 66

3.3.2 Ứng dụng phần mềm Maple giải bài toán tính tổng 75

KẾT LUẬN 79

TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (BẢN SAO) 81

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Phương pháp sai phân và phương trình sai phân được ứng dụng rộngrãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, kĩ thuật Sai phân có thể ứng dụng vàogiải gần đúng phương trình các toán tử, đặc biệt được sử dụng để giải gầnđúng phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng Bên cạnh đó,

lí thuyết sai phân và phương trình sai phân còn có nhiều ứng dụng kháctrong giải tích, chẳng hạn như : tìm số hạng tổng quát của dãy số, tìm giớihạn của dãy số, bài toán tính tổng,

Sai phân và ứng dụng của sai phân là phương pháp rất quan trọng trongtoán sơ cấp Nó không những góp phần giải quyết các bài toán về dãy số

mà còn giúp giải các bài toán khác như : phương trình hàm, đa thức, bấtđẳng thức,

Với mong muốn mang lại một sự thú vị cũng như một công cụ và phươngthức lựa chọn cho các đối tượng có sự quan tâm đến ứng dụng của lí thuyếtsai phân, được sự gợi ý của người hướng dẫn khoa học, thầy giáo – TS LêHải Trung, tôi đã chọn đề tài “ Ứng dụng lí thuyết sai phân để giảitoán trung học phổ thông ” cho luận văn thạc sĩ của mình

2 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài này là nghiên cứu các tính chất củasai phân, xây dựng phương pháp giải các bài toán dựa trên tính chất đặctrưng của chúng, đồng thời ứng dụng phần mềm Maple trong giải toán saiphân

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Các tính chất của sai phân, phân loại phương trình sai phân và ứngdụng của sai phân để giải quyết một lớp các bài toán trong chương trìnhTHPT và các bài toán thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế, Ứng dụng

phần mềm Maple để giải quyết các bài toán đã nêu.

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu sai phân của các hàm số một biến thực Trong nội dungcủa luận văn các giá trị của biến ta lấy trong tập số thực R hoặc tập số

tự nhiên N

4 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận văn, các kiến thức sử dụng nằm trong các lĩnh vực sau đây:Giải tích, Đại số, Lí thuyết sai phân,

5 Bố cục đề tài

Luận văn có cấu trúc như sau:

Mở đầu

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Chương 2: Ứng dụng tính chất của sai phân để giải một sốbài toán

Chương 3: Ứng dụng của phần mềm Maple trong giải toánsai phân

Kết luận

Tài liệu tham khảo

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này, tác giả trình bày một số kiến thức về khái niệm saiphân, một số tính chất của sai phân, các loại phương trình sai phân, tuyếntính hóa phương trình sai phân

Nội dung có thể xem thêm trong các tài liệu [7], [8],[9],[10],

1.1 KHÁI NIỆM VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA SAI PHÂN

1.1.1 Khái niệm sai phân

Giả sử f : R →R là một hàm số cho trước và h = const

Ta gọi sai phân cấp 1 của hàm f tại x là đại lượng

∆f (x) = f (x + h) − f (x)

Sai phân cấp n của f (x) là đại lượng

∆nf (x) = ∆∆n−1f (x), (n ≥ 1)

ở đây kí hiệu ∆0f (x) = f (x)

1.1.2 Một số tính chất của sai phân

Tính chất 1.1.1 ∆ là toán tử tuyến tính, nghĩa là ∀α, β ∈ R; ∀f, g

Vậy ∆(αf + βg) = α∆f + β∆g.

Tính chất 1.1.2 Nếu c = const thì ∆c = 0

Chứng minh c = const suy ra ∆c = c − c = 0

Tính chất 1.1.3 ∆n(xn) = n!hn; ∆m(xn) = 0 (m > n).Chứng minh

∆ (xn) = (x + h)n − xn = nh.xn−1 +

∆2(xn) = ∆ nxn−1h
+ = n.h∆ (xn − 1) +

= n (n − 1) h2xn−2 +

Nhận xét 1.1.1 Nếu f ∈ Cn[a; b] thì khi h đủ nhỏ ta có thể xem

1.2 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ PHÂN LOẠI

1.2.1 Phương trình sai phân tuyến tính

Định nghĩa 1.2.1 Phương trình sai phân cấp k là phương trình códạng

Nếu fn = 0 thì phương trình

anxn+k + an−1xn+k−1 + + a1xn+1+ a0xn = 0 (1.3)được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp k

Để tìm nghiệm riêng của phương trình (1.2) ta phải biết trước k giá trịban đầu x0, x1, , xk−1

Phương trình

anλn+ an−1λn−1+ + a1λ + a0 = 0 (1.4)được gọi là đa thức đặc trưng của phương trình (1.3)

Nhận xét 1.2.1 Nếu x1n và x2n là các nghiệm của phương trình (1.3)thì αx1n+ βx2n, cũng là nghiệm của phương trình (1.3), với α, β là các hằng

số tùy ý

1.2.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1

Định nghĩa 1.2.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 là phươngtrình có dạng:

(a, b là hằng số khác 0, fn là hàm của n)

Nghiệm tổng quát của (1.5) có dạng xn = xn + x∗n, trong đó:

xn là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính thuầnnhất axn+1 + bxn = 0 và có dạng xn = C.qn, với C 6= 0 và q = −a

b; x

∗ làmột nghiệm riêng bất kì của phương trình (1.5)

Định nghĩa 1.2.4 Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp

Ví dụ 1.2.1 Giải phương trình:

xn+1 − 3.xn = 0; x1 = 2

Lời giải Phương trình đặc trưng có dạng: λ − 3 = 0 ⇔ λ = 3

Nghiệm tổng quát của phương trình có dạng xn = c.3n

Với n = 1 ta có: x1 = 3.c = 2 suy ra c = 2

3.

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: xn = 2.3n−1

1.2.3 Phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhấtcấp 1 với vế phải đặc thù

Xét phương trình

A Trường hợp fn = Pm(n) là đa thức bậc m của n Khi đó:

Nếu λ 6= 1 thì x∗n = fn là đa thức cùng bậc với fn

Nếu λ = 1 thì x∗n = n.fn; fn là đa thức cùng bậc với fn

Ví dụ 1.2.2 Giải phương trình:

xn+1 = 5xn+ 3n; x1 = 5

Lời giải Phương trình đặc trưng λ − 5 = 0 suy ra λ = 5

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:xn = c.5n(c là hằng số).Nghiệm riêng của phương trình đã cho có dạng x∗n = an + b

Thay x∗n vào phương trình đã cho ta được:

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

Khi đó x∗n được xác định như sau:

Lời giải Phương trình đặc trưng λ − 3 = 0 ⇔ λ = 3

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng xn = c.3n(c là hằng số)

Nghiệm riêng của phương trình đã cho có dạng: x∗n = (an + b).2n.Thay x∗n vào phương trình đã cho ta được:

Lời giải Phương trình đặc trưng: λ − 2 = 0 ⇔ λ = 2.

Nghiệm tổng quát của phương trình có dạng:

Do đó: x∗n = −n − 1 + 3n

Suy ra xn = c.2n − n − 1 + 3n

Với n = 1, ta có: x1 = 2c − 2 + 3 = 3 suy ra c = 1

Vậy xn = 2n+ 3n− n − 1

1.2.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2

Định nghĩa 1.2.5 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 là phươngtrình có dạng:

đó xn là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất (1.10);

x∗n là một nghiệm riêng tùy ý của (1.9)

Định nghĩa 1.2.7 Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp

thì: λ = x − iy = r(cos ϕ − i sin ϕ) cũng là nghiệm của phương trình đặctrưng.

Khi đó: xn = rn(A cos nϕ + B sin nϕ) (A, B là các hằng số)

Nghiệm tổng quát của phương trình: xn = A.2n + B.3n

Theo giả thiết: x0 = 2; x1 = 3

Phương trình đặc trưng:aλ2 + bλ + c = 0

− Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm λ 6= 1 thì: x∗n = Q(n)m

− Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm đơn λ = 1 thì: x∗n = nQ(n)m

− Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép λ = 1 thì: x∗n = n2Q(n)m

Nghiệm tổng quát của phương trình: xn = xn+ x∗n,với:

xn = xn = A.3n + B.4n (A, B là các hằng số)

x∗n = a.n + b (a, b là các hằng số)

Thay x∗n vào phương trình xn+2 − 7xn+1+ 12xn = n + 1 ta được:

a(n + 2) + b − 7[a(n + 1) + b] + 12(an + b) = n + 1

b = 1136

Suy ra x∗n = 1

6n +

1136

3A + 4B + 17

36 =

−1936

trong đó Pm(n) là đa thức bậc m của n

Phương trình đặc trưng aλ2 + bλ + c = 0

− Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm λ 6= α thì x∗n = Qm(n).αn

−Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm đơnλ = αthìx∗n = n.Qm(n).αn

−Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm képλ = αthìx∗n = n2.Qm(n).αn

1.2.6 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 3

Định nghĩa 1.2.8 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 là phươngtrình có dạng

a.xn+3 + b.xn+2+ c.xn+1+ d.xn = fn (1.11)trong đó a, b, c, d là các hằng số và a 6= 0; fn là hàm số của n

Định nghĩa 1.2.9 Nếu fn ≡ 0 thì ta có phương trình sai phân tuyếntính thuần nhất cấp 3 là:

a.xn+3 + b.xn+2+ c.xn+1 + d.xn = 0 (1.12)

Nghiệm tổng quát của phương trình (1.11) có dạng xn = xn+ x∗n;

trong đó xn là nghiệm của phương trình (1.12); x∗n là một nghiệm riêngcủa phương trình (1.11)

Định nghĩa 1.2.10 Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp

x2k = a1x2k−1+ a2x2k−2 + + akxk

Nếu hệ phương trình trên có nghiệm thì ta được:

xn = α1xn−1 + α2xn−2+ + xk = αkxn−k

là dạng tuyến tính hóa của xn = ϕ(xn−1, xn−2, , xn−k)

Ngược lại, để kiểm tra điều kiện đủ, ta chứng minh quy nạp

Ví dụ 1.3.1 Tuyến tính hóa phương trình

xn = x

2 n−1 + 2

Ta chứng minh công thức đúng với n = k + 1

Nội dung có thể xem thêm trong các tài liệu [1],[3], [5],[6],

2.1 BÀI TOÁN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY

2.1.1 Tìm số hạng tổng quát khi biết các số hạng đầu tiên

Trong đó n là số thứ tự của các số trong dãy số Cho n = 0, 1, 2,

(đánh số các số bắt đầu từ 0) ta nhận được hệ phương trình:

Vậy dãy số tuân theo quy luật: yn = n2 − 3n + 1.

Số hạng đầu tiên là y0 = 1, số hạng tiếp theo số hạng 55 sẽ ứng với

Trong đó n là số thứ tự của các số trong dãy số Cho n = 0, 1, 2,

(đánh số các số bắt đầu từ 0) ta nhận được hệ phương trình:

Vậy dãy số tuân theo quy luật: yn = n3 + 3n2 − 2n − 5

Số hạng đầu tiên là y0 = −5, hai số hạng tiếp theo số hạng 471 sẽ ứngvới n = 8 và n = 9 nên sẽ là y8 = 683; y9 = 949

Ví dụ 2.1.3 Cho dãy số thực {an} xác định bởi:

a1 = 5 và an = qn

an−1n−1 + 2n−1+ 2.3n−1, với mọi n ≥ 2.a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số {an}

b) Chứng minh rằng {an} là dãy số giảm

n+1

+ 1 <



23

n

+ 1

n+1

.Bất đẳng thức (2.1) được chứng minh

2.1.2 Công thức truy hồi là biểu thức tuyến tính

Ví dụ 2.1.4 Tìm số hạng tổng quát của dãy số {xn} được cho bởi hệthức truy hồi

xn+1 = 2xn + 3n; x0 = 8 (2.2)

Lời giải Do λ = 2 6= 3 = β nên ta chọn x∗n = d.3n, thay vào phươngtrình (2.2) được d = 1 Suy ra x∗n = 3n.

Còn xn = c.2n+ 3n thay vào điều kiện ban đầu ta được c = 7

Vậy số hạng tổng quát của dãy số cho bởi xn = 7.2n + 3n

Phương trình này có nghiệm tổng quát là

un = C



−32

Ví dụ 2.1.6 Xác định số hạng tổng quát của dãy số được cho bởi hệthức truy hồi:

xn+1 = 7xn+ 7n+1; x0 = 101 (2.4)Lời giải Xem (2.4) là phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 khôngthuần nhất với hệ số hằng

Do λ = 7 = β nên ta chọn x∗n = d.n.7n Thay vào phương trình (2.4)được d = 1 Suy ra x∗n = n.7n; còn xn = C.7n

Vậy xn = C.7n+ n.7n, thay vào điều kiện ban đầu ta được C = 101.Vậy số hạng tổng quát của dãy số cho bởi xn = (101 + n).7n

Ví dụ 2.1.7 Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số (xn)

được cho bởi hệ thức :

xn+2 = 8xn+1− 16xn; x0 = 1; x1 = 16 (2.5)Lời giải Xem (2.5) là phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 thuầnnhất với hệ số hằng Ta có phương trình đặc trưng:

Vậy số hạng tổng quát của dãy số cho bởi xn = (1 + 3n).4n

2.1.3 Công thức truy hồi là một hệ thức tuyến tính

Xét bài toán: Xác định số hạng tổng quát của các dãy số {xn} , {yn}

thỏa mãn hệ thức truy hồi dạng:

Giải phương trình này ta tìm được xn.

Thay xn vào (2.6) ta tìm được yn

Giải phương trình này ta tìm được xn = 2n−1.

Thay xn vào (2.7) ta tìm được yn = 2n−1

Vậy hệ đã cho có nghiệm

2.1.5 Công thức truy hồi dạng phân tuyến tính với hệ sốhằng

Bổ đề 2.1.1 Nếu yn và zn là nghiệm của phương trình sai phân

Ví dụ 2.1.11 Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số {xn} đượccho bởi hệ thức truy hồi sau:

trong đó Pm(k) là đa thức bậc m của k

• Bước 1 Tìm đa thức bậc m + 1 của k là Qm+1(k) sao cho

b = −4

c = 113

=



n(n + 1)2

2

trong đó Pm(k) là đa thức bậc m của k.

• Bước 1 Tìm đa thức bậc m của k là Qm(k) sao cho

trong đó Pm(k) là đa thức bậc m của k.

• Bước 1 Tìm đa thức bậc m của k là Qm(k) sao cho

⇔ a = 2

x − 1; b =

3x − 1(x − 1)2 (x 6= 1)

trong đó Pr(k) là đa thức bậc r của k, Qt(k) là đa thức bậc t của k

• Bước 1 Tìm các đa thức Am(k) và Bm(k), ở đâym = max(r, t), saocho

Pr(k) cos kx + Qt(k) sin kx = ∆ [Am(k) cos kx + Bm(k) sin kx]

Lời giải Ta có Pr(k) = 1, Qt(k) = 0 là các đa thức bậc 0.

Tìm a, b sao cho cos kx = ∆(a cos kx + b sin kx)

⇔ cos kx = (a cos x+b sin x−a) cos kx+(b cos x−a sin x−b) sin kx ∀k

sinnx

2 cos

(n + 1)x2

⊕ Với x = 2kπ, ta có cos x = cos 2x = = cos nx = 1

sinnx

2 cos

(n + 1)x2



x − cos



k − 12

⊕ Nếu x 6= 2kπ thì

sin kx = − 1

sin x2



cos



n + 12

sinnx

2 sin

(n + 1)x2

sinnx2



t1cos(n + 1)x

2 + t2sin

(n + 1)x2

 nếu x = 2kπ

nếu x 6= 2kπ, (k ∈ Z)

2.3 BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Ví dụ 2.3.1 Cho dãy số {xn} xác định bởi:

xn+1 = x

2

n + 2009.xn

2010 ; x1 = 2 (n = 1, 2, )

Vậy {xn} là dãy đơn điệu tăng.

Giả sử {xn} bị chặn nên tồn tại L > 2 để lim

L = 1 (mâu thuẫn với L > 2)

Vậy {xn} có giới hạn vô hạn, tức là L = +∞ hay lim

L = 3 (mâu thuẫn với L > 5).

Do đó dãy {xn} không bị chặn trên, tức là lim

n→∞xn = +∞

Lời giải Theo cách xác định của dãy {xn} ta có:

L = 4 (mâu thuẫn với L > 5).

Do đó dãy {xn} không bị chặn trên hay lim

xn+1 − 4 = 2010 ·

(xn+1 − xn)(xn− 4)(xn+1+ 4)

Ví dụ 2.4.2 Cho dãy số {an} thỏa mãn:

a1 = a2 = 1; an = a

2 n−1 + 2

Hãy tuyến tính hóa và tìm số hạng tổng quát của dãy {an}

Chứng minh rằng an nguyên với mọi n ∈ N∗

Lời giải Giả sử an có biểu thức tuyến tính là:

an = αan−1 + βan−2 + γ (2.10)

= 15a

2 k−1 − 4ak−1.ak−2 + a2k−2− 4ak−1.ak−2+ ak−1.ak−3

ak−1

= 15a

2 k−1 − 4ak−1.ak−2