Tìm cây phủ nhỏ nhất và ứng dụng

BẢNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC Cây phủ nhỏ & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến MỤC LỤC Trang Đồ thị có hướng gọi liên thông mạnh, cặp đỉnh có đường có hướng nối chúng với II Cây phủ Cây Chứng minh Cây phủ .8 MỞ ĐẦU Lý thuyết đồ thị ngành khoa học phát triển từ lâu lại có nhiều ứng dụng đại Đồ thị cấu trúc rời rạc gồm đỉnh cạnh nối đỉnh Đây công cụ hữu hiệu để mô hình hoá giải toán nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật, kinh tế, xã hội Lý thuyết đồ thị ứng dụng rộng rãi lĩnh vực khoa học, kỹ thuật, kinh tế, xã hội dựa vào phát triển ngày mạnh lực tính toán máy tính đương đại Nó công cụ để mô hình hóa giải toán tìm kiếm tối ưu trạng thái đỉnh rời rạc tác động chuyển trạng thái đặc trưng cạnh nối đỉnh Khi nghiên cứu môn lý thuyết đồ thị, tiếp cận với nhiều khái niệm, tri thức Trong đó, khái niệm mà không nhắc tới khái niệm CÂY Cây cấu trúc liệu sử dụng rộng rãi gồm tập hợp đỉnh (nút) Một số toán liên quan đến mà tìm hiểu toán tìm phủ (cây bao trùm) Đồ thị có phủ đồ thị ta chọn đỉnh làm đỉnh gốc qua đỉnh có đường đi qua tất đỉnh lại đồ thị Cây phủ có nhiều ứng dụng toán điều khiển giao thông, nối mạng điện…Ngoài ra, sử dụng khái niệm phủ để kiểm tra tính liên thông đồ thị Trong thực tế có vấn đề đặt là: Khi ta xây dựng đường thông thương thành phố, làm để chi phí bỏ thấp ta biết trước chi phí đường thành phố Từ yêu cầu thực tế dẫn đến toán “Tìm phủ nhỏ nhất” Bài toán tìm phủ nhỏ (hay khung tối tiểu- Minimum Spanning Tree - MST) đồ thị vô hướng toán tiếng có ứng dụng Nhóm Học Viên: Nhóm 1-PP Toán sơ cấp K25 Trang Cây phủ nhỏ & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến lớn Hiện có nhiều thuật toán giải toán MST trường hợp cụ thể để giải toán thực tế Tuy nhiên hai giải thuật kinh điển để tìm phủ nhỏ thuật toán Prim thuật toán Kruskal CHƯƠNG I ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐỒ THỊ I Một số khái niệm Đồ thị có hướng đồ thị vô hướng Định nghĩa 1.1: Đồ thị vô hướng G = (V, E) gồm tập V đỉnh tập E cạnh Mỗi cạnh e ∈ E liên kết với cặp đỉnh v, w (không kể thứ tự) hình sau: v e w Định nghĩa 1.2: Đồ thị có hướng G = (V, E) gồm tập V đỉnh tập E cạnh có hướng gọi cung Mỗi cung e ∈ E liên kết với cặp đỉnh (v, w) có thứ tự hình sau: v e w Cho đồ thị (có hướng vô hướng) G = (V, E) Nếu cạnh e liên kết đỉnh v, w ta nói cạnh e liên thuộc đỉnh v, w, đỉnh v, w liên thuộc cạnh e, đỉnh v, w đỉnh biên cạnh e đỉnh v kề đỉnh w Nếu có cạnh e liên kết với cặp đỉnh v, w, ta viết e=(v,w) Nếu e cung v gọi đỉnh đầu w gọi đỉnh cuối cung e Đường đi, chu trình, tính liên thông Cho đồ thị G=(V, E) Dây µ từ đỉnh v đến đỉnh w tập hợp đỉnh cạnh nối tiếp đỉnh v kết thúc đỉnh w Số cạnh dây µ goi độ dài dây µ Nhóm Học Viên: Nhóm 1-PP Toán sơ cấp K25 Trang Cây phủ nhỏ & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Dây µ từ đỉnh v đến đỉnh w độ dài k biểu diễn sau: µ =(v, e1, v1, e2, v2, , vk-1, ek, w) Trong vi (i = 1, , k - 1) đỉnh dây e i (i = 1, , k – 1) cạnh dây liên thuộc đỉnh kề trước sau Các đỉnh cạnh dây lặp lại a Đường Đường từ đỉnh v đến đỉnh w dây từ đỉnh v đến đỉnh w, cạnh không lặp lại Đường sơ cấp đường không qua đỉnh lần Đường có hướng đồ thị có hướng dây có hướng, cung không lặp lại Đường có hướng sơ cấp đường có hướng không qua đỉnh lần Dây có hướng đồ thị có hướng dãy đỉnh cung nối tiếp (e 1, e2, …, ek) thoả mãn đỉnh cuối cung ei đỉnh đầu cung ei+1, i=1, k-1 Vòng dây có đỉnh đầu đỉnh cuối trùng Vòng có hướng dây có hướng có đỉnh đầu đỉnh cuối trùng b Chu trình Chu trình đường có đỉnh đầu đỉnh cuối trùng Chu trình có hướng đường có hướng có đỉnh đầu đỉnh cuối trùng Chu trình sơ cấp chu trình không qua đỉnh lần Chu trình có hướng sơ cấp chu trình có hướng không qua đỉnh lần c Tính liên thông Đồ thị vô hướng gọi liên thông, cặp đỉnh có đường nối chúng với Đồ thị có hướng gọi liên thông mạnh, cặp đỉnh có đường có hướng nối chúng với Đồ thị có hướng gọi liên thông yếu, đồ thị lót (vô hướng) liên thông Đồ thị có hướng gọi bán liên thông, với cặp đỉnh (u,v) tồn đường có hướng từ u đến v từ v đến u Đồ thị liên thông mạnh => Đồ thị bán liên thông => Đồ thị liên thông yếu Trọng đồ Định nghĩa: Trọng đồ (có hướng) đồ thị (có hướng) mà cạnh (cung) gán số Nhóm Học Viên: Nhóm 1-PP Toán sơ cấp K25 Trang Cây phủ nhỏ & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Trọng đồ biểu diễn G = (V, E, w), V tập đỉnh, E tập cạnh (cung) w: E -> R hàm số E w(e) trọng số cạnh (cung) e với e ∈ E Trong trọng đồ độ dài trọng số đường µ tổng trọng số đường Đồ thị Cho đồ thị G = (V, E) Đồ thị G’ = (V’, E’) gọi đồ thị G nếu: V’ ⊂ V E’ ⊂ E Nếu V’ = V, G’ gọi đồ thị phủ G Biểu diễn đồ thị Để lưu trữ đồ thị thực thuật toán khác với đồ thị máy tính cần phải tìm cấu trúc liệu thích hợp để mô tả đồ thị Việc chọn cấu trúc liệu để biểu diễn đồ thị có tác động lớn đến hiệu thuật toán Vì vậy, việc chọn lựa cấu trúc liệu để biểu diễn đồ thị phụ thuộc vào tình cụ thể (bài toán thuật toán cụ thể) Đối với toán “Cây phủ nhỏ nhất” toán biểu diễn đồ thị dạng: Ma trận kề, ma trận trọng số, danh sách cạnh (cung) danh sách kề a Ma trận kề, ma trận trọng số đồ thị vô hướng Ma trận kề : Cho đồ thị G=(V,E) có n đỉnh theo thứ tự v1, v2, …vn Ma trân kề đồ thị G ma trận vuông A=(aij)nxm aij số cạnh (khuyên) nối vi với vj Lưu ý tính bậc đỉnh khuyên tính hai bậc Ma trận kề đồ thị vô hướng đối xứng qua đường chéo Ví dụ: cho đồ thị sau b a d c f e có ma trận kề là: Đỉnh a b c d e f a 1 b 0 0 c 0 1 Nhóm Học Viên: Nhóm 1-PP Toán sơ cấp K25 d 1 0 e 1 0 f 0 1 Trang Cây phủ nhỏ & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Ma trận trọng số Cho đồ thị vô hướng G = (V,E) có n đỉnh theo thứ tự v1, v2, …vn Ma trận khoảng cách G ma trận D = (dij) xác định sau : dij = i=j w(vi,vj) (vi,vj) ∈ E ∞ (vi,vj) ∉ E b a c e Ma trận khoảng cách đồ thị sau là: Đỉnh a b c d e f a ∞ ∞ b c ∞ ∞ ∞ ∞ d f d ∞ ∞ e ∞ ∞ ∞ 6 ∞ f b Danh sách cạnh (cung) Trong trường hợp đồ thị thưa (đồ thị có số cạnh m thoả mãn bất đẳng thức m < 6n) người ta thường dùng cách biểu diễn đồ thị dạng danh sách cạnh Trong cách biểu diễn đồ thị danh sách cạnh (cung) lưu trữ danh sách tất cạnh (cung) đồ thị vô hướng (có hướng) Một cạnh (cung) e=(x,y) đồ thị tương ứng với hai biến Dau[e], Cuoi[e] Như , để lưu trữ đồ thị ta cần sử dụng 2m đơn vị nhớ Nhược điểm cách biểu diễn để xác định đỉnh đồ thị kề với đỉnh cho trước phải làm cỡ m phép so sánh (khi duyệt qua danh sách tất cạnh đồ thị) Ví dụ: Đồ thị sau b a c d e Nhóm Học Viên: Nhóm 1-PP Toán sơ cấp K25 f Trang Cây phủ nhỏ & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến có danh sách cạnh là: (a,b),(a,c),(a,e),(b,d),(c,d),(c,e),(c,f),(d,f),(f,e) lưu trữ mảng Đầu[e], Cuối[e], e=1, sau: Cạnh Đầu a a a b c c c d f Cuối b c e d d e f f e c Danh sách kề Trong nhiều vấn đề ứng dụng lý thuyết đồ thị, cách biểu diễn đồ thị dạng danh sách kề cách biểu diễn thích hợp sử dụng Trong cách biểu diễn này, với đỉnh v đồ thị lưu trữ danh sách đỉnh kề với nó, mà ta ký hiệu : Ke(v) = { u ∈ V | (v,u) ∈ E} Khi vòng lặp thực với phần tử danh sách theo thứ tự phần tử xếp viết sau: Với u ∈ Ke(v) II Cây phủ Cây Cây đồ thị liên thông không chứa chu trình Ví dụ: Đồ thị sau v1 v2 v3 v4 v v6 v7 Gốc đỉnh đặc biệt, thông thường đỉnh Mức đỉnh độ dài đường từ gốc đến đỉnh Độ cao mức lớn (tức mức đỉnh cách xa nhất) Trong ví dụ ta chọn v1 gốc v2, v3 đỉnh mức 1, đỉnh v4, v5, v6, v7 có mức 2, độ cao Định lý Cho T đồ thị n đỉnh Các mệnh đề sau tương đương: (i) T (ii) T không chứa chu trình có n-1 cạnh (iii) T liên thông có n-1 cạnh (iv) T liên thông cạnh cầu (v) Hai đỉnh nối với đường Nhóm Học Viên: Nhóm 1-PP Toán sơ cấp K25 Trang Cây phủ nhỏ & ứng dụng (vi) (vii) GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến T không chứa chu trình thêm cạnh nối hai đỉnh ta thu chu trình T liên thông thêm cạnh nối hai đỉnh ta thu chu trình Chứng minh Các mệnh đề hiển nhiên tương đương với n=1 (i)⇒(ii): Quy nạp theo số đỉnh n Giả sử với n ≤ k Cho n=k+1 Giả sử e cạnh T Loại e khỏi T ta có đồ thị T’ gồm thành phần liên thông T T2 Gọi ni , mi số đỉnh số cạnh tương ứng với T i, i=1,2 Theo giả thiết quy nạp mi = ni – , i =1,2 Vậy số cạnh T 1+ m1 + m2 = n1 + n2 – = n – (ii)⇒(iii): Bằng phản chứng Giả sử T không liên thông có k thành phần liên thông (k ≥ 2) T1, T2, , Tk Vì T không chứa chu trình nên thành phần liên thông không chứa chu trình Theo định nghĩa T1, T2, , Tk Gọi ni , mi số đỉnh số cạnh tương ứng với Ti , i=1, ,k Theo (ii) ta có: mi = ni – 1, i =1, ,k Suy số cạnh m T : m = ∑ mi = ∑ (ni – 1) = n - k mâu thuẫn với (ii) (m=n-1) (iii)⇒(iv): Việc loại bỏ cạnh T dẫn đến đồ thị n đỉnh n-2 cạnh Đồ thị liên thông Vậy cạnh T cầu (iv)⇒(v): Do T liên thông nên hai đỉnh nối với dây đường Nếu có cặp đỉnh nối với đường suy đồ thị chứa chu trình cạnh chu trình cầu được, mâu thuẫn (v)⇒(vi): Hiển nhiên T không chứa chu trình Bây ta thêm cạnh e=(u,v) Khi cạnh e đường nối u v tạo nên chu trình T (vi)⇒(vii): Hiển nhiên (vii)⇒(i): T liên thông Nếu T có chu trình thêm cạnh nối hai đỉnh chu trình ta nhận chu trình, T Cây phủ Định nghĩa: Cho đồ thị G=(V,E) Cây T gọi phủ hay bao trùm G, T đồ thị phủ G Định lý : Đồ thị G = (V, E) có phủ G liên thông Chứng minh (=>): Nếu G có phủ hiển nhiên G liên thông (