cây phủ nhỏ nhất và ứng dụng

BẢNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC Stt Họ và Tên Công việc Chữ ký Nhận xét của GV 1 Trần Bá Định Chương III 2 Trương Thị Kim Ngọc Chương I 3 Huỳnh Thị Phấn Chương II 4 Phạm Thị Quý Chương II Cây phủ nhỏ nhất & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến MỤC LỤC Trang Đồ thị có hướng gọi là liên thông mạnh, nếu mọi cặp đỉnh của nó đều có đường đi có hướng nối chúng với nhau 4 a b 7 II. Cây và cây phủ 8 1. Cây 8 Chứng minh 8 2. Cây phủ 9 MỞ ĐẦU Lý thuyết đồ thị là ngành khoa học được phát triển từ lâu nhưng lại có nhiều ứng dụng hiện đại. Đồ thị là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh nối các đỉnh đó. Đây là công cụ hữu hiệu để mô hình hoá và giải quyết các bài toán trong nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật, kinh tế, xã hội Khi nghiên cứu bộ môn lý thuyết đồ thị, chúng ta được tiếp cận với nhiều khái niệm, tri thức mới. Trong đó, một khái niệm mà chúng ta không thể không nhắc tới đó là khái niệm về CÂY. Cây là một cấu trúc dữ liệu được sử dụng rộng rãi gồm một tập hợp các đỉnh (nút). Một trong số những bài toán liên quan đến cây mà chúng ta được tìm hiểu đó là bài toán tìm cây phủ (cây bao trùm). Đồ thị có cây phủ là đồ thị khi ta chọn một đỉnh làm đỉnh gốc thì qua đỉnh đó luôn có một đường đi đi qua tất cả các đỉnh còn lại của đồ thị. Cây phủ thì có nhiều ứng dụng trong các bài toán điều khiển giao thông, nối các mạng điện…Ngoài ra, chúng ta còn sử dụng khái niệm cây phủ để kiểm tra tính liên thông của một đồ thị. Trong thực tế có một vấn đề đặt ra là: Khi ta xây dựng các con đường thông thương giữa các thành phố, làm thế nào để chi phí bỏ ra là thấp nhất nếu ta biết trước được chi phí của con đường giữa 2 thành phố bất kỳ. Từ yêu cầu thực tế này dẫn đến bài toán “Tìm cây phủ nhỏ nhất”. Bài toán tìm cây phủ nhỏ nhất (hay cây khung tối tiểu- Minimmum Spanning Tree - MST) của một đồ thị vô hướng là một bài toán rất nổi tiếng và Nhóm Học Viên: Nhóm 7-PP Toán sơ cấp K24 Trang 2 Cây phủ nhỏ nhất & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến có ứng dụng rất lớn. Hiện nay đã có rất nhiều thuật toán giải quyết bài toán MST trong các trường hợp cụ thể để giải quyết các bài toán thực tế. Tuy nhiên hai giải thuật kinh điển để tìm cây phủ nhỏ nhất là thuật toán Prim và thuật toán Kruskal. CHƯƠNG I. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐỒ THỊ I. Một số khái niệm 1. Đồ thị có hướng và đồ thị vô hướng Định nghĩa 1.1: Đồ thị vô hướng G = (V, E) gồm một tập V các đỉnh và tập E các cạnh. Mỗi cạnh e ∈ E đựoc liên kết với một cặp đỉnh v, w (không kể thứ tự) như hình sau: v e w Định nghĩa 1.2: Đồ thị có hướng G = (V, E) gồm một tập V các đỉnh và tập E các cạnh có hướng gọi là cung. Mỗi cung e ∈ E được liên kết với một cặp đỉnh (v, w) có thứ tự như hình sau: v e w Cho đồ thị (có hướng hoặc vô hướng) G = (V, E). Nếu cạnh e liên kết đỉnh v, w thì ta nói cạnh e liên thuộc đỉnh v, w, các đỉnh v, w liên thuộc cạnh e, các đỉnh v, w là các đỉnh biên của cạnh e và đỉnh v kề đỉnh w. Nếu chỉ có duy nhất một cạnh e liên kết với cặp đỉnh v, w, ta viết e=(v,w). Nếu e là cung thì v gọi là đỉnh đầu và w gọi là đỉnh cuối của cung e. 2. Đường đi, chu trình, tính liên thông Cho đồ thị G=(V, E). Dây µ từ đỉnh v đến đỉnh w là tập hợp các đỉnh và cạnh nối tiếp nhau bắt đầu từ đỉnh v và kết thúc tại đỉnh w. Số cạnh trên dây µ goi là độ dài của dây µ . Nhóm Học Viên: Nhóm 7-PP Toán sơ cấp K24 Trang 3 Cây phủ nhỏ nhất & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Dây µ từ đỉnh v đến đỉnh w độ dài k được biểu diễn như sau: µ =(v, e 1 , v 1 , e 2 , v 2 , , v k-1 , e k , w). Trong đó v i (i = 1, , k - 1) là các đỉnh trên dây e i (i = 1, , k – 1) là các cạnh trên dây liên thuộc đỉnh kề trước và sau nó. Các đỉnh và cạnh trên dây có thể lặp lại. a. Đường đi Đường đi từ đỉnh v đến đỉnh w là dây từ đỉnh v đến đỉnh w, trong đó các cạnh không lặp lại. Đường đi sơ cấp là đường đi không đi qua một đỉnh quá một lần. Đường đi có hướng trong đồ thị có hướng là dây có hướng, trong đó các cung không lặp lại. Đường đi có hướng sơ cấp là đường đi có hướng không đi qua một đỉnh quá một lần. Dây có hướng trong đồ thị có hướng là dãy các đỉnh và cung nối tiếp nhau (e 1 , e 2 , …, e k ) thoả mãn đỉnh cuối của cung e i là đỉnh đầu của cung e i+1 , i=1, k-1 Vòng là dây có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau. Vòng có hướng là dây có hướng có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau. b. Chu trình Chu trình là đường đi có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau. Chu trình có hướng là đường đi có hướng có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau. Chu trình sơ cấp là chu trình không đi qua một đỉnh quá 1 lần. Chu trình có hướng sơ cấp là chu trình có hướng không đi qua một đỉnh quá một lần. c. Tính liên thông Đồ thị vô hướng gọi là liên thông, nếu mọi cặp đỉnh của nó đều có đường đi nối chúng với nhau. Đồ thị có hướng gọi là liên thông mạnh, nếu mọi cặp đỉnh của nó đều có đường đi có hướng nối chúng với nhau. Đồ thị có hướng gọi là liên thông yếu, nếu đồ thị lót (vô hướng) của nó liên thông. Đồ thị có hướng gọi là bán liên thông, nếu với mọi cặp đỉnh (u,v) bao giờ cũng tồn tại đường đi có hướng từ u đến v hoặc từ v đến u. Đồ thị liên thông mạnh => Đồ thị bán liên thông => Đồ thị liên thông yếu. Nhóm Học Viên: Nhóm 7-PP Toán sơ cấp K24 Trang 4 Cây phủ nhỏ nhất & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến 3. Trọng đồ Định nghĩa: Trọng đồ (có hướng) là đồ thị (có hướng) mà mỗi cạnh (cung) của nó được gán một số. Trọng đồ được biểu diễn bởi G = (V, E, w), trong đó V là tập các đỉnh, E là tập các cạnh (cung) và w: E -> R là hàm số trên E. w(e) là trọng số của cạnh (cung) e với mọi e ∈ E. Trong trọng đồ độ dài trọng số của đường đi µ là tổng các trọng số trên đường đi đó. 4. Đồ thị con Cho đồ thị G = (V, E). Đồ thị G’ = (V’, E’) gọi là đồ thị con của G nếu: V’ ⊂ V và E’ ⊂ E Nếu V’ = V, thì G’ gọi là đồ thị con phủ của G 5. Biểu diễn đồ thị Để lưu trữ đồ thị và thực hiện các thuật toán khác nhau với đồ thị trên máy tính cần phải tìm những cấu trúc dữ liệu thích hợp để mô tả đồ thị. Việc chọn cấu trúc dữ liệu nào để biểu diễn đồ thị có tác động rất lớn đến hiệu quả của thuật toán. Vì vậy, việc chọn lựa cấu trúc dữ liệu để biểu diễn đồ thị phụ thuộc vào từng tình huống cụ thể (bài toán và thuật toán cụ thể). Đối với bài toán “Cây phủ nhỏ nhất” thì bài toán biểu diễn đồ thị dưới dạng: Ma trận kề, ma trận trọng số, danh sách cạnh(cung) và danh sách kề. a. Ma trận kề, ma trận trọng số của đồ thị vô hướng Ma trận kề : Cho đồ thị G=(V,E) có n đỉnh theo thứ tự là v 1, v 2, …v n . Ma trân kề của đồ thị G là ma trận vuông A=(a ij)nxm trong đó a ij là số cạnh (khuyên) nối v i với v j . Lưu ý khi tính bậc của đỉnh mỗi khuyên được tính hai bậc Ma trận kề của đồ thị vô hướng luôn đối xứng nhau qua đường chéo chính Ví dụ: cho đồ thị sau a b c d e f có ma trận kề là: Nhóm Học Viên: Nhóm 7-PP Toán sơ cấp K24 Trang 5 Cây phủ nhỏ nhất & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Ma trận trọng số Cho đồ thị vô hướng G = (V,E) có n đỉnh theo thứ tự là v 1, v 2, …v n . Ma trận khoảng cách của G là ma trận D = (d ij ) xác định như sau d ij = 0 nếu i=j hoặc w(v i, v j ) nếu (v i, v j) ∈ E hoặc ∞ nếu (v i ,v j ) ∉ E Ma trận khoảng cách của đồ thị sau là: (các ô trống là ∞ ) 4 a b 2 2 5 c 1 d 3 3 6 6 f 2 e Đỉnh a b c d e f a 0 4 2 3 b 4 0 5 c 2 0 1 6 3 d 5 1 0 6 e 3 6 0 2 f 3 6 2 0 Nhóm Học Viên: Nhóm 7-PP Toán sơ cấp K24 Trang Đỉnh a b c d e f a 0 1 1 0 1 0 b 1 0 0 1 0 0 c 1 0 0 1 1 1 d 0 1 1 0 0 1 e 1 0 1 0 0 1 f 0 0 1 1 1 0 6 Cây phủ nhỏ nhất & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến b. Danh sách cạnh (cung) Trong trường hợp đồ thị thưa (đồ thị có số cạnh m thoả mãn bất đẳng thức m < 6n) người ta thường dùng cách biểu diễn đồ thị dưới dạng danh sách cạnh. Trong cách biểu diễn đồ thị bởi danh sách cạnh (cung) chúng ta sẽ lưu trữ danh sách tất cả các cạnh (cung) của đồ thị vô hướng (có hướng). Một cạnh (cung) e=(x,y) của đồ thị sẽ tương ứng với hai biến Dau[e], Cuoi[e]. Như vậy , để lưu trữ đồ thị ta cần sử dụng 2m đơn vị bộ nhớ. Nhược điểm của cách biểu diễn này là để xác định những đỉnh nào của đồ thị là kề với một đỉnh cho trước chúng ta phải làm cỡ m phép so sánh (khi duyệt qua danh sách tất cả các cạnh của đồ thị). Ví dụ: Đồ thị sau a b c d f e có danh sách cạnh là: (a,b),(a,c),(a,e),(b,d),(c,d),(c,e),(c,f),(d,f),(f,e) được lưu trữ bởi các mảng Đầu[e], Cuối[e], e=1, 9 như sau: Cạnh 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Đầu a a a b c c c d f Cuối b c e d d e f f e c. Danh sách kề Trong rất nhiều vấn đề ứng dụng của lý thuyết đồ thị, cách biểu diễn đồ thị dưới dạng danh sách kề là cách biểu diễn thích hợp nhất được sử dụng. Trong cách biểu diễn này, với mỗi đỉnh v của đồ thị chúng ta lưu trữ danh sách các đỉnh kề với nó, mà ta sẽ ký hiệu là Ke(v) = { u ∈ V | (v,u) ∈ E} Khi đó vòng lặp thực hiện với mỗi một phần tử trong danh sách này theo thứ tự các phần tử được sắp xếp trong nó sẽ được viết như sau: Với mọi u ∈ Ke(v) do <công việc>. Nhóm Học Viên: Nhóm 7-PP Toán sơ cấp K24 Trang 7 Cây phủ nhỏ nhất & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến II. Cây và cây phủ 1. Cây Cây là đồ thị liên thông không chứa chu trình. Ví dụ: Đồ thị sau là cây v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 Gốc của cây là một đỉnh đặc biệt, thông thường là đỉnh trên cùng. Mức của đỉnh là độ dài đường đi từ gốc đến đỉnh đó. Độ cao của cây là mức lớn nhất của cây (tức mức của đỉnh cách xa cây nhất). Trong ví dụ trên nếu ta chọn v 1 là gốc thì v 2 , v 3 là những đỉnh mức 1, các đỉnh v 4 , v 5 , v 6 , v 7 có mức 2, và độ cao của cây là 2. Định lý Cho T là đồ thị n đỉnh. Các mệnh đề sau tương đương (i) T là cây (ii) T không chứa chu trình và có n-1 cạnh (iii) T liên thông và có n-1 cạnh (iv) T liên thông và mỗi cạnh là cầu (v) Hai đỉnh bất kỳ được nối với nhau bởi một đường đi duy nhất (vi) T không chứa chu trình và nếu thêm một cạnh nối hai đỉnh thì ta thu được đúng 1 chu trình (vii) T liên thông và nếu thêm một cạnh nối hai đỉnh thì ta thu được đúng 1 chu trình Chứng minh Các mệnh đề trên hiển nhiên tương đương với n=1. (i)⇒(ii): Quy nạp theo số đỉnh n. Giả sử đúng với mọi n ≤ k. Cho n=k+1. Giả sử e là cạnh của T. Loại e khỏi T ta có đồ thị T’ gồm 2 thành phần liên thông T 1 và T 2 . Gọi n i , m i là số đỉnh và số cạnh tương ứng với T i, i=1,2. Theo giả thiết quy nạp m i = n i – 1 , i =1,2 Vậy số cạnh của T là Nhóm Học Viên: Nhóm 7-PP Toán sơ cấp K24 Trang 8 Cây phủ nhỏ nhất & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến 1+ m 1 + m 2 = n 1 + n 2 – 1 = n – 1 (ii)⇒(iii): Bằng phản chứng. Giả sử T không liên thông và có k thành phần liên thông (k ≥ 2) T 1 , T 2 , , T k . Vì T không chứa chu trình nên các thành phần liên thông cũng không chứa chu trình. Theo định nghĩa T 1 , T 2 , , T k cũng là cây. Gọi n i , m i là số đỉnh và số cạnh tương ứng với T i , i=1, ,k. Theo (ii) ta có: m i = n i – 1, i =1, ,k Suy ra số cạnh m của T là : m = ∑ m i = ∑ (n i – 1) = n - k mâu thuẫn với (ii) (m=n-1). (iii)⇒(iv): Việc loại bỏ cạnh bất kỳ của T dẫn đến một đồ thị n đỉnh và n- 2 cạnh. Đồ thị này không thể liên thông được. Vậy mỗi cạnh của T là cầu. (iv)⇒(v): Do T liên thông nên hai đỉnh bất kỳ của nó được nối với nhau bằng một dây đường đi. Nếu có cặp đỉnh được nối với nhau bằng 2 đường đi thì suy ra đồ thị chứa chu trình và các cạnh trên chu trình đó không thể là cầu được, mâu thuẫn. (v)⇒(vi): Hiển nhiên T không chứa chu trình. Bây giờ ta thêm cạnh e=(u,v). Khi đó cạnh e cùng đường đi nối u và v tạo nên chu trình duy nhất của T. (vi)⇒(vii): Hiển nhiên. (vii)⇒(i): T liên thông. Nếu T có chu trình thì khi thêm cạnh nối hai đỉnh trên chu trình ta sẽ nhận được 2 chu trình, vậy T là cây. 2. Cây phủ Định nghĩa: Cho đồ thị G=(V,E). Cây T gọi là cây phủ hay cây bao trùm của G, nếu T là đồ thị con phủ của G. Định lý : Đồ thị G = (V, E) có cây phủ khi và chỉ khi G liên thông. Chứng minh (=>): Nếu G có cây phủ thì hiển nhiên G liên thông. (<=): Giả sử G là đồ thị liên thông. Nếu G không có chu trình thì theo định nghĩa G là cây phủ của chính nó. Nếu G có chu trình thì ta bỏ bớt 1 cạnh (không bỏ đỉnh) trên chu trình đó. Đồ thị con thu được vẫn liên thông. Nếu vẫn còn chu trình ta lại bỏ bớt 1 cạnh, cứ tiếp tục quá trình trên cho đến khi không còn chu trình thì ta thu được cây phủ của đồ thị G. Ví dụ : Các cây T 1 và T 2 là cây phủ của đồ thị G Nhóm Học Viên: Nhóm 7-PP Toán sơ cấp K24 Trang 9 Cây phủ nhỏ nhất & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến a b c d e f g h G T 1 T 2 3. Khái niệm cây phủ nhỏ nhất Cho G=(V,E, (c ij )) là trọng đồ liên thông có trọng số (c ij ). Cây phủ T của G được gọi là cây phủ nhỏ nhất của G nếu trong số tất cả các cây phủ của G, tổng trọng số của cây T là nhỏ nhất. CHƯƠNG II. CÂY PHỦ NHỎ NHẤT I. Bài toán cây phủ nhỏ nhất 1. Bài toán thực tế Giả sử ta muốn xây dựng một hệ thống đường sắt nối n thành phố sao cho giữa hai thành phố bất kỳ đều có thể thông thương với nhau. Nếu biết trước chi phí xây dựng các tuyến đường thì bài toán đặt ra là phải xây dựng những tuyến đường nào để tổng chi phí xây dựng là ít nhất. Nếu ta coi các thành phố là đỉnh và các tuyến đường nối các thành phố là cạnh kèm theo chi phí xây dựng thì ta có trọng đồ, ví dụ như trọng đồ ở hình sau: 4 a b Nhóm Học Viên: Nhóm 7-PP Toán sơ cấp K24 Trang 10 [...]... ci j là lớn nhất Xét trọng đồ G’ = (V, E, (-c i j)) Áp dụng thuật toán tìm cây phủ nhỏ nhất Prim hoặc Kruskal (vì chúng không phụ thuộc vào dấu của trọng số) ta tìm cây phủ nhỏ nhất T* của đồ thị G’ thoả : ∑ ( i , j )∈T ⇔ (- ci j) ≥ ∑ ( i , j )∈T ' ∑ ( i , j )∈T ' ci j ≥ (- ci j), ∀ cây phủ T của đồ thị G’ ∑ ( i , j )∈T ci j, ∀ cây phủ T của đồ thị G Như vậy cây T* cũng là cây phủ lớn nhất của đồ thị... nhất Nhóm Học Viên: Nhóm 7-PP Toán sơ cấp K24 Trang 19 Cây phủ nhỏ nhất & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Cho lưới điện có n nút Đường dây nối nút i với nút j có độ tin cậy p ij Hãy tìm cây phủ T với độ tin cậy toàn phần: p(T) = ∏ ( i , j )∈T pi j là lớn nhất Bài toán này dẫn về bài toán tìm cây phủ nhỏ nhất với trọng số mỗi cạnh (i, j) là: ci j = - log2pi j Thực vậy, cho T là cây phủ nhỏ nhất. .. nhất & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến KẾT LUẬN Trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài, với sự nỗ lực và nghiêm túc của các thành viên trong nhóm, chúng em đã hoàn thành đề tài Cây phủ nhỏ nhất và ứng dụng Qua đó, giúp chúng em củng cố và nâng cao kiến thức về cách tìm cây phủ nhỏ nhất, từ đó có thể vận dụng vào việc giải quyết các bài toán thực tế để đạt hiệu quả cao Đề tài được hướng... cạnh e bằng cạnh e m, ta thu được cây phủ S’ có d(S’) ≤ d(S) Lặp lại quá trình trên ta biến đổi cây S thành cây phủ T và suy ra d(S) ≥ d(S’) ≥ ≥ d(T) Nhóm Học Viên: Nhóm 7-PP Toán sơ cấp K24 Trang 12 Cây phủ nhỏ nhất & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Ví dụ 1 Áp dụng thuật toán Prim tìm cây phủ nhỏ nhất của đồ thị sau 4 a 2 2 c b 5 1 3 6 d 3 6 f 2 e (1) Khởi tạo: T chỉ có 1 đỉnh a, không có cạnh... nhất mà khi thêm vào T không tạo chu trình (lúc đó e là cạnh của T cũng không tạo chu trình) Theo định lý trên T là cây phủ nhỏ nhất Nhóm Học Viên: Nhóm 7-PP Toán sơ cấp K24 Trang 15 Cây phủ nhỏ nhất & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Ví dụ 1 Áp dụng thuật toán Kruskal tìm cây phủ nhỏ nhất của đồ thị sau 4 a 2 2 c b 5 1 3 6 d 3 6 f 2 e (1) Khởi tạo: T:=({abcdef}, ∅), không có cạnh, số cạnh e:=0,... phụ thuộc vào độ dài cáp nối cần sử dụng) Hãy tìm cách nối mạng sao cho tổng chi phí nối mạng là nhỏ nhất Vì vây, bài toán đặt ra dẫn về bài toán tìm cây phủ nhỏ nhất trên đồ thị đầy đủ n đỉnh, mỗi đỉnh tương ứng với một máy, với độ dài trên các các cạnh chính là chi phí nối hai máy tương ứng II Bài toán cây phủ lớn nhất Cho G = (V, E, (ci j)) là đồ thị liên thông có trọng số (c i j) Tìm cây phủ T của.. .Cây phủ nhỏ nhất & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến 2 2 c 5 1 3 6 d 3 6 f 2 e Khi đó bài toán quy về tìm cây phủ bé nhất của đồ thị 2 Bài toán tổng quát Cho G(V, E, (ci j)) là trọng đồ liên thông có trọng số (c i j) Tìm cây phủ T của G có trọng số: d(T) = ∑c i , j∈E ij là nhỏ nhất 3 Định lý ( Điều kiện cần và đủ) a Phát biểu: Cho G=(V,E, (cij)) là đồ... lý) Thay cạnh e bằng cạnh ei, ta thu được cây phủ S’ có d(S’) ≤ d(S), vì c(e) ≥ c(ej) ≥ c(ei) Do S’ chỉ có k-1 cạnh không thuộc T nên theo giả thiết qui nạp d(S) ≥ d(S’) ≥ d(T) Nhóm Học Viên: Nhóm 7-PP Toán sơ cấp K24 Trang 11 Cây phủ nhỏ nhất & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến II Các thuật toán tìm cây phủ nhỏ nhất 1 Thuật toán Prim a Thuật toán + Đầu vào: Đồ thị G=(V,E) có trọng số Các đỉnh... Cây phủ nhỏ nhất & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến (3) Thêm cạnh: Trong các cạnh không thuộc T, cạnh (e,d) có độ dài nhỏ nhất là 2 và không cùng các cạnh của T tạo thành chu trình Thêm (e,d) vào T, ta có: T=({abcde},{(a,b),(a,e),(e,d)}, d(T)=d(T)+2=5, số cạnh e=3 (2) Kiểm tra: Số cạnh của T là 3, sang bước (3) (3) Thêm cạnh: Trong các cạnh không thuộc T, cạnh (d,c) có độ dài nhỏ nhất là 1 và. .. T là cây phủ nhỏ nhất và T’ là cây phủ bất kỳ Ta có: ∑ (-log2pij) ≤ ( i , j )∈T ⇔ ⇔ ⇔ ∑ ( i , j )∈T (log2pij) ≥ log2( (i∏ pij) ≥ , j )∈T ∏ ( i , j )∈T pij ∑ ( i , j )∈T ' ≥ (-log2pij) ∑ ( i , j )∈T ' (log2pij) log2( (i∏T ' pij) , j )∈ ∏ ( i , j )∈T ' pij Vậy T là cây phủ có độ tin cậy toàn phần lớn nhất Nhóm Học Viên: Nhóm 7-PP Toán sơ cấp K24 Trang 20 Cây phủ nhỏ nhất & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần . là cây phủ nhỏ nhất. Nhóm Học Viên: Nhóm 7-PP Toán sơ cấp K24 Trang 15 Cây phủ nhỏ nhất & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Ví dụ 1. Áp dụng thuật toán Kruskal tìm cây phủ nhỏ nhất. cấp K24 Trang 7 Cây phủ nhỏ nhất & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến II. Cây và cây phủ 1. Cây Cây là đồ thị liên thông không chứa chu trình. Ví dụ: Đồ thị sau là cây v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 Gốc. T 1 T 2 3. Khái niệm cây phủ nhỏ nhất Cho G=(V,E, (c ij )) là trọng đồ liên thông có trọng số (c ij ). Cây phủ T của G được gọi là cây phủ nhỏ nhất của G nếu trong số tất cả các cây phủ của G, tổng