Đề tài cấu hình tổ hợp nâng cao ứng dụng

BẢNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Mục lục Trang MỞ ĐẦU Lý thuyết tổ hợp phần quan trọng toán học rời rạc chuyên nghiên cứu xếp đối tượng.Thông thường phần tử hữu hạn việc phân bố chúng phải thoả mãn điều kiện định đó, tùy theo yêu cầu toán cần nghiên cứu Chủ đề nghiên cứu từ kỷ 17 câu hỏi tổ hợp nêu công trình nghiên cứu trò chơi may rủi Liệt kê, đếm, xếp đối tượng có tính chất phần quan trọng lý thuyết tổ hợp Một toán khác lý thuyết tổ hợp việc tạo cách xếp theo kiểu Vấn đề quan trọng mô máy tính Chúng ta đưa thuật toán tạo cách xếp theo nhiều kiểu khác Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25 Trang Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Các toán tổ hợp có đặc trưng bùng nổ tổ hợp với số cấu hình tổ hợp khổng lồ Việc giải chúng đòi hỏi khối lượng tính toán khổng lồ (có trường hợp hàng chục năm) Vì thời gian dài, mà ngành toán học phép tính vi phân, phép tính tích phân, phương trình vi phân…phát triển vũ bảo, nằm phát triển ứng dụng toán học Tình thay đổi từ xuất máy tính phát triển toán học hữu hạn Nhiều vấn đề tổ hợp giải máy tính Từ chỗ nghiên cứu trò chơi, tổ hợp trở thành ngành toán học phát triển mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng lĩnh vực toán học phát triển mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng lĩnh vực toán học, tin học… Trong lý thuyết tổ hợp, cấu hình tổ hợp nâng cao phương pháp giúp giải toán đếm nhanh hiệu nhiều Nó có nhiều ứng dụng hay thực tế tính toán CHƯƠNG I ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP I LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN Có thể nói tư tổ hợp đời từ sớm Vào thời nhà Chu Trung Quốc người ta biết tới hình vuông bí ấn Thời cổ Hi-Lạp, kỷ trước Công Nguyên, nhà triết học Kxenokrat biết cách tính số từ khác lập từ bảng chữ cho trước Nhà toán học Pitagor học trò tìm nhiều số có tính chất đặc biệt Chẳng hạn 36 tổng số chẵn số lẻ đầu tiên, mà tổng lập phương số tự nhiên 36 = + + + + + + + = 13 + 23 + 33 Từ định lý Pitagor người ta tìm số mà bình phương tổng bình phương số khác Các toán đòi hỏi phải có nghệ thuật tổ hợp định Một số toán tiếng lịch sử: Bài toán tháp Hà Nội Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25 Trang Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Bài toán Edouard Lucas đưa vào cuối kỷ 19 Bài toán phát biểu sau: Có cọc, cọc thứ có n đĩa kích thước khác xếp chồng nhau, đĩa nhỏ nằm đĩa lớn Hãy chuyển đĩa từ cọc thứ sang cọc thứ ba, sử dụng cọc trung gian thứ hai, cho đảm bảo đĩa nhỏ đĩa lớn Hãy đếm số lần di chuyển đĩa Tìm phương án di chuyển đĩa tối ưu Ta có số lần di chuyển là: 2n – Khi n = 64, ta có số lần di chuyển : 18 446 744 073 709 551 615 Bài toán xếp n cặp vợ chồng Bài toán Lucas đưa vào năm 1891 Bài toán phát biểu sau : Có n cặp vợ chồng cần xếp vào bàn tròn cho cặp ngồi gần Có cách xếp ? Từ yêu cầu toán dẫn đến việc nghiên cứu khái niệm quan trọng số phân bố đến năm 1934 có lời giải Số cách xếp : 2.n ! Un, Un số phân bố Ta có bảng giá trị sau nói lên bùng nổ tổ hợp ghê gớm số phân bố n= 10 11 Un = 13 80 579 738 43 387 439 792 890 741 Hình vuông la tinh Hình vuông la tinh cấp n hình vuông gồm số 1, 2, 3, … , n - 1, n thỏa mãn tổng hàng tổng cột bằng: 1+2+…+n= n(n + 1) Hình vuông la tinh chuẩn cấp n hình vuông la tinh cấp n có dòng đầu cột đầu 1, 2,…, n Bảng sau hình vuông la tinh chuẩn cấp 7 7 7 7 Công thức tính số hình vuông la tinh đến bỏ ngơ Tuy nhiên ta lập chương trình liệt kê tất hình vuông la tinh chuẩn Dưới số giá trị: n= ln = 1 56 408 16 942 080 Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25 Trang Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến (ln số hình vuông la tinh chuẩn cấp n) II SƠ LƯỢC VỀ TOÁN HỌC TỔ HỢP Qua toán ta thấy toán tổ hợp đa dạng, liên quan tới nhiều lĩnh vực khoa học đời sống khác Nói cách tổng quát lý thuyết tổ hợp nghiên cứu việc phân bố, xếp phần tử nhiều tập hợp, thỏa mãn số điều kiện Mỗi cách phân bố, xếp gọi cấu hình tổ hợp Cấu hình tổ hợp Cho tập hợp A1, …, An Giả sử S sơ đồ xếp phân tử A1, …, An mô tả quy tắc xếp R1, …, Rm điều kiện ràng buộc lên xếp theo sơ đồ S Khi xếp phần tử A1, …, An thỏa mãn điều kiện R1, …, Rm gọi cấu hình tổ hợp tập A1, …, An Ví dụ: Bài toán tháp Hà Nội A tập hợp n đĩa S sơ đồ xếp đĩa cọc R1 điều kiện lần chuyển đĩa từ cọc sang cọc khác R2 điều kiện đĩa nằm lớn đĩa nằm Cấu hình tổ hợp cách xếp đĩa cọc thoả mãn điều kiện R R2 Bài toán tổ hợp 2.1 Bài toán tồn Mục tiêu toán tồn chứng minh tồn không tồn cấu hình tổ hợp Có nhiều toán loại khó việc cố gắng giải chúng thúc đẩy nhiều hướng nghiên cứu toán học 2.2 Bài toán đếm Nội dung toán đếm trả lời câu hỏi “Có cấu hình tổ hợp thuộc dạng xét” Phương pháp đếm cấu hình thường dựa vào số quy tắc, nguyên lí đếm phân rã đưa cấu hình tổ hợp đơn giản Khi việc xác định xác số cấu hình tổ hợp gặp khó khăn, ước lượng cận cận Bài toán đếm áp dụng vào công việc tính xác suất hay tính độ phức tạp thuật toán 2.3 Bài toán liệt kê Các toán loại nghiên cứu thuật toán hiệu để xây dựng tất cấu hình tổ hợp cho Nhiều vấn đề lĩnh vực khác thường Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25 Trang Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến đưa toán liệt kê kiểm tra xem cấu hình tổ hợp có thỏa mãn tính chất cho trước hay không ? 2.4 Bài toán tối ưu tổ hợp Trong nhiều vấn đề, cấu hình tổ hợp gán giá trị số (chẳng hạn hiệu sử dụng hay chi phí thực ) Khi toán tối ưu tổ hợp nghiên cứu thuật toán tìm cấu hình tổ hợp có giá trị tối ưu (lớn nhỏ nhất) Một số nguyên lí 3.1 Nguyên lý nhân Giả sử cấu hình tổ hợp xây dựng qua k bước, bước thực n1 cách, bước thực n2 cách, …, bước k thực nk cách Khi số cấu hình tổ hợp n1 n2… nk Ví dụ: Có loại mặt đồng hồ (tròn, vuông, elip) loại dây (nhựa, da, kim loại, đá) Hỏi có cách chọn đồng hồ gồm mặt dây Số cách chọn có thẻ tính sau: (cách chọn mặt) * (cách chọn dây) = 12 3.2 Nguyên lý cộng Giả sử {X1, X2,…,Xn} phân hoạch tập S Khi S = X1 + X + + X n Ví dụ: An muốn mua áo sơ mi cỡ 39 40 Trong cửa hàng có áo khác cỡ 39 áo khác cỡ 40 Hỏi An có cách chọn để mua áo? Số cách chọn tính sau: (cách chọn áo cỡ 39) + (cách chọn áo cỡ 40) = 12 4.Cấu hình tổ hợp 4.1 Chỉnh hợp lặp Định nghĩa Một chỉnh hợp lặp chập k n phần tử khác có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử cho Các thành phần lặp lại Một chỉnh hợp lặp chập k n xem phần tử tích Đề Xk, với X tập n phần tử Như số tất chỉnh hợp lặp chập k n là: AR(n,k) = nk Ví dụ: Có số tự nhiên có chữ số lập từ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25 Trang Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Một số tự nhiên có chữ số tương ứng với có thứ tự thành phần phần tử, phần tử lặp lại Vậy số số tự nhiên có chữ số 4.2 Chỉnh hợp không lặp Định nghĩa Một chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử khác có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử cho Các thành phần không lặp lại Một chỉnh hợp không lặp chập k n xây dựng qua k bước sau: Chọn thành phần đầu: có n khả Chọn thành phần thứ 2: có n - khả Chon thành phần thứ k: có n – k + khả Như theo nguyên lý nhân , số tất chỉnh hợp không lặp chập k n n! phần tử là: A(n, k) = n.(n - 1) .(n – k + 1) = n − k ! ( ) Ví dụ: Có bao mhiêu số tự nhiên có chữ số đôi khác lấy từ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, Một số tự nhiên thoả yêu cầu tương ứng với chỉnh hợp chập phần tử 1, 2, 3, 4, 5, 6, Vậy số số tự nhiên thoả yêu cầu A(7,3) = 210 4.3 Hoán vị Định nghĩa Một hoán vị n phần tử khác cách xếp thứ tự phần tử Hoán vị coi trường hợp riêng chỉnh hợp không lặp chập k n k = n Ta có số hoán vị là: P(n) = n! Ví dụ: Có cách xếp 10 người khách vào dãy 10 ghế hàng ngang Số cách xếp 10 người vào 10 ghế hoán vị 10 phần tử Vậy có 10! =3628800 cách xếp 4.4 Tổ hợp Định nghĩa Một tổ hợp chập k n phần tử khác không kể thứ tự gồm k thành phần khác lấy từ n phần tử cho Nói cách khác ta coi tổ hợp chập k n phần tử khác tập có k phần tử từ n phần tử cho Ký hiệu số tổ hợp chập k n phần tử C(n, k) Ta có A(n, k) = C(n, k).k! Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25 Trang Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng Suy C(n, k) = GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến n! k!(n − k)! Ví dụ: Trong mặt phẳng cho tập hợp P gồm điểm, điểm thẳng hàng Hỏi có tam giác có đỉnh thuộc P? Một tam giác có đỉnh thuộc P tổ hợp chập tập P Vậy số tam giác có đỉnh thuộc P là: C (7,3) = 35 Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25 Trang Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến CHƯƠNG II CẤU HÌNH TỔ HỢP NÂNG CAO Hoán vị lặp Định nghĩa Hoán vị lặp hoán vị phần tử ấn định số lần lặp lại cho trước Định lý Số hoán vị lặp k phần tử khác số phần tử thứ lặp n1 lần, số phần tử thứ lặp n2 lần, , số phần tử thứ k lặp nk lần là: P( n; n1, n2, nk ) = n! , với n = n1 + n2+ ….+ nk n1 ! n2 ! nk ! Hệ Giả sử tập S có n phần tử khác nhau, có n1 phần tử kiểu 1, n2 phần tử kiểu 2, , nk phần tử kiểu k Khi số hoán vị n phần tử tập S P( n; n1, n2, , nk ) = n! n1 ! n2 ! nk ! Chứng minh Để xác định số hoán vị trước tiên nhận thấy có C(n, n1) cách giữ n1 chỗ cho n1 phần tử loại 1, lại n – n1 chỗ trống Sau có C(n- n1, n2) cách đặt n2 phần tử loại vào hoán vị, lại n – n1 – n2 chỗ trống Tiếp tục đặt phần tử loại 3, 4,…, k – vào chỗ trống hoán vị Cuối có C(n – n1 - … - nk-1, nk) cách đặt nk phần tử loại k vào hoán vị Theo quy tắc nhân ta có: C(n, n1) C(n- n1, n2) … C(n – n1 - … - nk-1, nk) = n! n1!.n ! nk ! Ví dụ Có thể nhận xâu khác cách xếp lại chữ từ SUCCESS? Giải Vì số chữ từ SUCCESS nên câu trả lời số hoán vị chữ Từ chứa chữ S, chữ C, chữ U chữ E Để xác định số xâu khác tạo ta nhận thấy có C(7,3) cách chọn chỗ cho chữ S, lại chỗ trống Có C(4,2) cách chọn chỗ cho chữ C, lại chỗ trống Có thể đặt chữ U C(2,1) cách C(1,1) cách đặt chữ E vào xâu Theo nguyên lý nhân, số xâu khác tạo là: C(7, 3) C(4, 2) C(2, 1) C(1, 1) = 7!4!2!1! 7! = = 420 3!.2 !.1!.1! 3!.4!.2!.2!.1!.1!.1!.0! Tổ hợp lặp Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25 Trang Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Định nghĩa Tổ hợp lặp chập k từ n phần tử khác nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phần tử trích từ n phần tử cho, phần tử lặp lại Định lý Giả sử X có n phần tử khác Khi số tổ hợp lặp chập k từ n phần tử X, ký hiệu CR(n, k) CR(n, k) = C(k + n - 1, n - 1) = C(k + n - 1, k) Chứng minh Mỗi tổ hợp lặp chập k từ tập n phần tử biểu diễn dãy n−1 đứng k Ta dùng n − đứng để phân cách ngăn Ngăn thứ i chứa thêm lần phần tử thứ i tập xuất tổ hợp Chẳng hạn, tổ hợp lặp chập phần tử biểu thị bởi: **| * | |*** mô tả tổ hợp chứa phần tử thứ nhất, phần tử thứ hai, phần tử thứ phần tử thứ tư tập hợp Mỗi dãy n − k ứng với xâu nhị phân độ dài n + k − với k số Do số dãy n − đứng k số tổ hợp chập k từ tập n + k − phần tử Đó điều cần chứng minh Ví dụ Giả sử ta có sách: Toán, Lí, Hóa có có photocopy Hỏi có cách chọn quyển? Giải Bài toán đặt chọn phần tử, không kể thứ tự cho phép lặp lại Mỗi cách chọn sách xác định số lượng loại sách Ta biểu diễn cách chọn sách sau: Toán xxx Lí | xx Hóa | x Trong dấu x sách chọn hai dấu gạch đứng phân cách giữa loại sách Như cách chọn sách tương ứng chọn vị trí vị trí để đặt dấu gạch | tức tổ hợp chập từ phần tử Suy số cách chọn sách là: C(8, 2) = 28 Phân hoạch thứ tự tổ hợp Định nghĩa Cho X tập n phần tử khác nhau, r≤ n S ⊂ X có r phần tử Một phân hoạch {S1, S2, , Sk} có thứ tự S gọi phân hoạch thứ tự tổ hợp chập r X Nếu r = n, gọi phân hoạch thứ tự X Cho số nguyên dương n1, n2, , nk thoả n1 + n2 + + nk = r Số phân hoạch thứ tự tổ hợp chập r X dạng {S1, S2, , Sk} có Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25 Trang 10 Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến S1 = n1 , S2 = n2 , , S k = nk ký hiệu C(n; n1, n2, , nk) Một cấu hình tổ hợp kiểu xây dựng qua bước sau Bước 1: Chọn n1 phần tử từ X cho S1, có C(n, n1) khả Bước 2: Chọn n2 phần tử từ X \S1 cho S2, có C(n− n1, n2) khả Bước k: Chọn nk phần tử từ X \ ( S1 ∪ S ∪ ∪ S k −1 ) cho Sk, có C(n−n1−n2− −nk−1, nk) khả Theo nguyên lý nhân suy C(n; n1, n2, , nk) = C(n,n1) C(n−n1,n2) C(n−n1−n2− −nk−1, nk) = n! = P(n; n1, n2, , nk, n−r) n1!.n2! nk !.(n − r )! Vậy, ta có định lý Định lý C(n; n1, n2, , nk) = n! = P(n, n1, n2, , nk, n−r) n1!.n2! nk !.(n − r )! C(n; n1, n2, , nk) gọi hệ số đa thức Ví dụ Có 17 sinh viên hội xe khác theo thứ tự có số chỗ ngồi tương ứng 4, 3, 3, 4, Hãy xác định số cách chở 17 sinh viên xe, có sinh viên phải phương tiện khác? Giải Mỗi cách chở phân hoạch thứ tự tổ hợp chập 15 17 với số phần tử tập tương ứng 4, 3, 3, 4, Vì số cách chở là: C(17; 4, 3, 3, 4, 1) = 17! = 576 568 000 4!.3!.3!.4!.1!.2! Phân hoạch không thứ tự Định nghĩa Cho X tập n phần tử khác nhau, số nguyên dương n1, n2, , nk p1, p2, , pk thoả n1.p1 + n2.p2 + + nk.pk = n Một hệ thống tập X gồm p1 tập lực lượng n1, p2 tập lực lượng n2, , pk tập lực lượng nk gọi phân hoạch không thứ tự X Định lý Số phân hoạch không thứ tự X với p1 tập lực lượng n1, p2 tập lực lượng n2, , pk tập lực lượng nk n! C ( n; n1 , , n1 , n2 , , n2 , , nk , , nk ) = p1 p p p1! p2! pk ! p1!( n1!) p2!( n2 !) pk !( nk !) k (trong tử số C ( n; n1 , , n1 , n2 , , n2 , , nk , , nk ) , số n1 lặp lại p1 lần, số n2 lặp lại p2 lần, , số nk lặp lại pk lần) Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25 Trang 11 Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Chứng minh Mỗi phân hoạch không thứ tự X với p1 tập lực lượng n1, p2 tập lực lượng n2, , pk tập lực lượng nk sinh p1!p2! pk! phân hoạch có thứ tự X với p1 tập lực lượng n1, p2 tập lực lượng n2, , pk tập lực lượng nk Mặt khác C ( n; n1 , , n1 , n2 , , n2 , , nk , , nk ) số phân hoạch có thứ tự X với p1 tập lực lượng n1, p2 tập lực lượng n2, , pk tập lực lượng nk Từ suy điều phải chứng minh Ví dụ (i) Số cách chia 12 sinh viên vào lớp học buổi sáng, buổi chiều buổi tối, lớp sinh viên C(12; 4, 4, 4) = 12! ( 4!) (phân hoạch thứ tự) (ii) Số cách chia 12 sinh viên thành nhóm, nhóm sinh viên 12! C (12;4,4,4) = ( 4!) 3! 3! (phân hoạch không thứ tự) Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25 Trang 12 Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến CHƯƠNG III ỨNG DỤNG I CẤU HÌNH TỔ HỢP CƠ BẢN Bài toán Bài toán đếm cách xếp chỗ Một tổ sinh viên có nam nữ xếp thành hàng dọc Hỏi có cách xếp hàng để hai sinh viên nữ đứng gần nhau? Giải Mỗi cách xếp hàng tương ứng với hoán vị (SV nam A1, A2, ,A7) chỉnh hợp chập (SV nữ) (khoảng trống ký hiệu dấu gạch ngang): _A1_A2_A3_A4_A5_A6_A7_ Như ta có tất 7! A(8,5) = 5040 6720 = 33 868 800 cách xếp hàng Tổng quát Ta đưa giải toán tổng quát cho trên: Cho tập A có m phần tử khác tập B có n phần tử khác Hỏi có cách xếp m + n phần tử thành hàng ngang cho hai phần tử B đứng cạnh Giải Xếp m phần tử tập A lên hàng ngang có : m! cách Để phần tử tập B không đứng cạnh ta xếp phần tử tập B vào khoảng phần tử tập A đầu Có tổng cộng m + vị trí nên số cách xếp là: A(m+1, n), n > m+1: Không có cách xếp n < m+1 n = m+1 Theo quy tắc nhân ta có m! A(m+1,n) Bài toán Bài toán đếm số đường Xét bảng hình chữ nhật gồm m  n ô vuông Hỏi có đường khác từ nút (0, 0), đến nút (n, m) cho phép cạnh ô vuông theo chiều sang phải lên Giải Mỗi đường gồm m + n đoạn, có m đoạn lên trên, n đoạn sang phải Tương ứng tổ hợp chập m (lên trên) từ m + n phần tử Hai đường khác luân phiên đoạn đứng đoạn ngang Vậy số đường là: C(n+m, m) Sau đường từ nút (0, 0) đến nút (n, m): Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25 Trang 13 Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Bài toán Bài toán phân phối Có cách phân phối n cầu giống m hộp phân biệt ? Giải • TH1 Nếu hộp có cầu, điều kiện n ≥ m Ta biểu diễn n cầu A liên tiếp có n-1 vạch phân chia A − A − A − − A − A Mỗi cách phân phối cách chọn m-1 vạch từ n-1 vạch Vậy ta có: C (n − 1, m − 1) (cách) • TH2 Nếu có hộp rỗng, điều kiện ràng buộc m n Ta biểu diễn n cầu A m số liên tiếp có m+n-1 vạch phân chia, chẳng hạn: − A − − A − A − − − A − Mỗi cách phân phối có hộp rỗng cách chọn m-1 vạch từ m+n -1 vạch Vậy ta có: C ( n + m − 1, m − 1) (cách) Nhận xét Ta để ý rằng, cách xếp đặt k.n vật thành k nhóm, nhóm có n vật phân hoạch thứ tự tổ hợp chập k.n k.n với số phần tử tương n, n, , n ứng tập 14 43 k sè n Vậy số cách xếp đặt là: C ( k n; n, n, , n) = (k n)! n !n ! n ! II CẤU HÌNH TỔ HỢP NÂNG CAO Hoán vị lặp Bài toán Số cách phân chia n đồ vật khác vào k hộp khác cho có ni vật đặt vào hộp thứ i, với i = 1, 2, , k n! n1!.n ! n k !.(n − n1 − − n k )! Ví dụ Có 12 bóng đèn, có bóng đèn đỏ, bóng đèn vàng bóng đèn xanh lắp vào 18 ổ cắm hàng Hãy đếm số phương án lắp bóng đèn Giải Khi lắp 12 bóng đèn 18 ổ cắm bao gồm loại: bóng đèn đỏ, bóng đèn vàng, bóng đèn xanh ổ cắm rỗng Như phương án lắp bóng đèn hoán vị lặp Ta có số phương án lắp bóng đèn là: Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25 Trang 14 Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng P(18;4;3;5;6)= GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến 18! = 514 594 080 4!.3!5!6! Bài toán Có cách xếp người ngồi quanh bàn tròn có 10 ghế? Giải Vì xếp quanh bàn tròn cách xếp có 10 cách xếp trùng với nên ta cố định vị trí ghế trống phần tử giống nên số cách xếp là: 9! = 6048000 3! Bài toán Cho tập A={1,2,3,4,5,6} Từ tập A lập số tự nhiên có chữ số cho: chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần Giải Viết thêm vào tập A hai chữ số chữ số Khi số số có chữ số là: 9! Trong 9! số này, ta hoán vị hai chữ số ba chữ số có 2!3! số lặp lại 9! Vậy có tất có 2!3! =30240 số cần tìm Bài toán Giả sử n k số nguyên dương cho n = 2k Chứng minh n! số nguyên 2k Giải: Xét n ký hiệu x1, x1, x2, x2, , xk, xk Ta có số hoán vị có lặp n ký hiệu là: n! n! = k 2!2! 2! 43 Suy k lân n! số nguyên 2k Tổ hợp lặp Bài toán Xếp n vật giống vào m hộp khác Giả sử có n viên bi giống m hộp, ta xếp bi vào hộp Gọi xi với i = 1, 2, 3, , m số bi hộp i Chứng minh a) Số cách xếp khác n viên bi vào m hộp C(m+n-1, n) b) Trong C(m+n-1, n) cách xếp có C(n-1, m-1) cách xếp cho tất hộp có bi Giải a) Ta biểu diễn m hộp từ m + vạch thẳng đứng, viên bi biểu diễn (*) Chẳng hạn Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25 Trang 15 Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến |**|*|***|*|…….|***| Như vạch thẳng đứng, lại m - vạch thẳng đứng n viên bi xếp theo thứ tự tuỳ ý Như số cách xếp khác số cách chọn n phần tử tập hợp m – + n phần tử (cả vạch sao) C(m+n-1, n) b) Trường hợp có viên bi tương ứng với cách biểu diễn vạch bao gồm Nhưng có tất n - khoảng trống n Vì phải xếp m - vạch vào n - khoảng trống Vì có tất cả: C(n-1, m-1) cách xếp Có cách chia 10 viên kẹo giống cho em bé? Giải Mỗi cách chia 10 viên kẹo cho em bé tương ứng với cách chọn 10 phần tử, phần tử kiểu i lặp lại ni lần (i = 3) Vây số cách chia số tổ hợp lặp chập 10 phần tử Số cách chia kẹo là: CR(3, 10) = C(12, 2) = 66 Có cách chia viên kẹo đỏ giống viên kẹo xanh giống cho em bé? Giải Mỗi cách chia viên kẹo đỏ cho em bé tương ứng với cách chọn phần tử, phần tử kiểu i lặp lại ni lần (i=1 3) Nên số cách chia kẹo đỏ cho em bé số tổ hợp lặp chập phần tử Số cách chia kẹo đỏ là: CR(3, 5) = C(7, 2) Tương tự, số cách chia kẹo xanh là: CR(3, 7) = C(9, 2) Theo nguyên lí nhân, số cách chia kẹo là: C(7, 2).C(9, 2) = 756 Có cách chia 10 viên kẹo giống cho em bé cho em có kẹo? Giải Mỗi cách chia 10 viên kẹo cho em bé cho em có kẹo coi cách đặt dấu | vào vị trí xen viên kẹo Do đó, số cách chia kẹo số tổ hợp chập phần tử Vậy số cách chia là: C(9, 2) = 36 Bài toán Tìm số nghiệm nguyên dương, nguyên không âm phương trình, bất phương trình Tìm số nghiệm không âm phương trình: x1 + x2 + x3 = 11 Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25 Trang 16 Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Giải Mỗi nghiệm nguyên không âm phương trình tương ứng với cách chọn phần tử tập có loại cho có , x1 phần tử loại 1, x2 phần tử loại 2, x3 phần tử loại Số nghiệm tổ hợp lặp chập 11 Số nghiệm CR(3, 11) = C(3+11- 1, 3-1) = C(13, 2) = 78 Tìm số nghiệm nguyên dương phương trình :x1 + x2 + x3 + x4 = 10 (1) Giải Đặt yi = xi – ∀ i = 1, 2, 3, Khi phương trình (1) trở thành y1 + y2 + y3 + y4 = 16 (2) Ta thấy mối nghiệm nguyên dương phương trình (1) tương ứng 1-1 với nghiệm nguyên không âm phương trình (2) số nghiêm nguyên dương phương trình (1) số nghiệm nguyên không âm phương trình (2) bằng: 9! 9.8.7 CR(4, 6) = C(6+4-1, 4-1)) = C(9,3) = 3! − ! = = 84 ( ) 3.2.1 Tìm số nghiệm nguyên không âm phương trình x1 + x2 + x3 + x4 = 20 (1) thỏa điều kiện: x1 ≤ 3; x2 ≥ 2; x3 >4 (*) Giải.Ta viết điều kiện cho thành: x1 ≤ 3; x2 ≥ 2; x3 ≥ 5, ta xét điều kiện sau x2 ≥ 2; x3 ≥ (**), x1 ≥ 4; x2 ≥ 2; x3 ≥ (***) Gọi S1, S2, S3 số nghiệm nguyên không âm phương trình (1) thỏa điều kiện (*), (**), (***) Ta có S1 = S2 - S3 Đặt x1’ = x1, x2’ = x2 – 2, x3’ = x3 – 5, x4’ = x4 Kết hợp (**) phương trình (1) trở thành: x1’ + x2’ + x3’ + x4’ = 13 (2) Số nghiệm nguyên không âm phương trình (1) thỏa điều kiện (**) số nghiệm nguyên không âm phương trình (2) Vậy số nghiệm nguyên không âm phương trình (1) thỏa điều kiện (**) là: CR(4, 13) = C(13+4-1, 4-1) = C(16, 3) =560 = S2 Tương tự ta đặt x1’ = x1 – 4, x2’ = x2 – 2, x3’ = x3 – 5, x4’ = x4 Kết hợp (***) phương trình (1) trở thành: x1’ + x2’ + x3’ + x4’ = (3) Số nghiệm nguyên không âm phương trình (1) thỏa điều kiện (***) số nghiệm nguyên không âm phương trình (3) Vậy số nghiệm nguyên không âm phương trình (1) thỏa điều kiện (***) là: CR(4, 9) = C(9+4-1, 4-1) = C(12, 3) = 220 = S3 Vậy số nghiệm nguyên không âm phương trình (1) thỏa điều kiện (*) S1 = S2 – S3 = 560 – 220 =340 Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25 Trang 17 Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng Bất phương trình : x1 + x2 + x3 ≤ 11 GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến (1) có nghiệm nguyên không âm? Giải Cách1 Ta đưa toán: Phương trình thứ k: x1 + x2 + x3 = k (k=0 11) có nghiệm nguyên không âm Khi đó, số nghiệm nguyên không âm bất phương trình (1) tổng số nghiệm nguyên không âm phương trình thứ k (k = 11) Xét phương trình thứ k: x1 + x2 + x3 = k (*) Mỗi nghiệm nguyên không âm phương trình (*) tương ứng với cách chọn k phần tử, phần tử kiểu i lặp lại xi lần, i=1 Vậy số nghiệm nguyên không âm (*) số tổ hợp lặp chập k phần tử: CR(3, k) Vậy số nghiệm nguyên không âm bất phương trình (1) là: 11 11 k =0 k =0 ∑ CR(3, k ) = ∑ C (3 + k − 1, 2) = C (2, 2) + C (3, 2) + + C (12, 2) + C (13; 2) = 364 Nhận xét Thật khó khăn phức tạp để giải toán x1 + x2 + x3 ≤ m m nhận giá trị lớn Vì vậy, toán có cách giải hay tổng quát sau: Cách Ta chọn ẩn phụ x4 cho: x1 + x2 + x3 + x4 = 11 (2) (Tức với số ( x1 , x2 , x3 ) thoả bất phương trình (1), x4 = 11 − ( x1 + x2 + x3 ) ) Khi đó, số nghiệm nguyên không âm bất phương trình (1) tương ứng với số nghiệm nguyên không âm phương trình (2) Như ta có kết quả: CR( 4,11) = C (14, 3) = 364 Bài toán Trong kỳ thi kết thúc môn toán tổ hợp có 10 câu hỏi Có cách gán điểm cho câu hỏi tổng số điểm 100 câu điểm  10 ∑ xi = 100 Giải Ta gọi xi số điểm cần gán cho câu thứ i, i = 10 thoả:  i =1  x ≥ 5, ∀i = 10  i Như ta có số cách gán điểm cho câu hỏi số nghiệm nguyên phương trình: x1 + x2 + + x10 = 100 cho xi ≥ 5, ∀i = 10 Vậy kết CR (10,50) = C (59,9) Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25 Trang 18 Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Phân hoạch thứ tự không thứ tự Bài toán 10 Có cách chia 12 sinh viên thành nhóm, nhóm sinh viên, có nhóm học tiếng Anh, nhóm học tiếng Pháp? Giải Chọn nhóm nhóm để bố trí học tiếng Anh có C(3, 2) cách Mỗi phương án chia 12 sinh viên thành nhóm, nhóm sinh viên phân hoạch không thứ tự tổ hợp 12 với tập lực lượng Như vây, số cách chia 12! 3!( 4!) C(3, 2)=17325 Bài toán 11 Chứng minh Ðịnh lý đa thức : Nếu n số nguyên dương ( x1 + x2 + + xm ) n = Trong C (n, r1 , r2 , , rm ) = ∑ r1 + r2 + + rm = n C (n, r1 , r2 , , rm ) x1r1 x2r2 xmrm n! hệ số đa thức r1 !r2 ! rm ! r r r Chứng minh Các số hạng khai triển có dạng x1 x2 xm , đó: m r1 + r2 + + rm = n Số hạng xuất từ việc chọn r1 nhân tử x1 , r2 nhân tử x2 , , rm nhân tử xm Mỗi cách chọn phân hoạch thứ tự tổ hợp chập n n với số phần tử tập tương ứng r1 , r2 , , rm Vậy có C ( n, r1 , r2 , , rm ) cách chọn Áp dụng1 Tìm hệ số x3 y z khai triển ( x + y − z ) Giải Cách Áp dụng định lý đa thức ta có: Trong khai triển ( x + y − 3z )7 , số hạng chứa x3 y z có dạng: C (7;3, 2, 2) x (2 y ) ( −3 z ) Suy hệ số x3 y z là: C (7;3, 2, 2)22 (−3)2 = 36 7! = 7560 3!2!2! Cách Sử dụng nhị thức Newton 7 k k k −k k i i k −i −k Ta có: ( x + y − 3z ) = ∑ C7 ( x + y ) (−3z ) = ∑∑ C7 Ck x (2 y ) (−3z ) k =1 Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25 k =1 i =1 Trang 19 Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến k = ∑∑ (−3)7 − k C7k 2k −i Cki x i y k −i z −k k =1 i =1 i = i =  Số hạng chứa x3 y z tương ứng: k − i = ⇔  k = 7 − k =  Suy hệ số x3 y z là: (−3) C75 22.C53 = 7560 Áp dụng Có số hạng khai triển biểu thức ( x + y + z )100 ? 100 C (100; r1 , r2 , r3 ) x r y r z r Giải Ta có: ( x + y + z ) = r + r ∑ + r =100 1 2 3 Nhận xét rằng, số số hạng khai triển tương ứng với số số nguyên không âm (r1 , r2 , r3 ) khác thoả điều kiện: r1 + r2 + r3 = 100 Hay số nghiệm nguyên không âm phương trình: r1 + r2 + r3 = 100 Vậy có CR (3,100) = C (102, 2) = 5151 (số hạng) Tổng quát: Số số hạng khai triển biểu thức ( x1 + x2 + + xm ) n là: CR (n, m) = C (n + m − 1, n − 1) Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25 Trang 20 Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến KẾT LUẬN Lý thuyết tổ hợp phần quan trọng toán học rời rạc chuyên nghiên cứu phân bố phần tử vào tập hợp Các toán đếm, liệt kê với trợ giúp máy tính giải với cấu hình tổ hợp nâng cao Đề tài “Cấu hình tổ hợp nâng cao ứng dụng” hệ thống lại cấu hình tổ hợp Sau mở rộng cấu hình tổ hợp nang cao Các cấu hình ứng dụng rộng rãi thật tế, cụ thể toán phân bố đồ vật Các ứng dụng minh họa ví dụ, toán cụ thể dễ hiểu Đề tài hướng dẫn nhiệt tình thầy PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Tập thể nhóm xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Mặc dù cố gắng đề tài không tránh khỏi thiếu sót Tập thể nhóm mong nhận ý kiến thầy bạn để đề tài hoàn thiện Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25 Trang 21 Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Quốc Chiến, Giáo trình Lý thuyết tổ hợp, Đại học Đà Nẵng Ngô Đắc Tân, Lý thuyết tổ hợp đồ thị, NXB ĐH Quốc gia Hà Nội 2004 Nguyễn Viết Đồng, Tập hợp, ánh xạ, phép đếm Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25 Trang 22 ... giúp máy tính giải với cấu hình tổ hợp nâng cao Đề tài Cấu hình tổ hợp nâng cao ứng dụng hệ thống lại cấu hình tổ hợp Sau mở rộng cấu hình tổ hợp nang cao Các cấu hình ứng dụng rộng rãi thật tế,... Cấp K25 Trang 12 Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến CHƯƠNG III ỨNG DỤNG I CẤU HÌNH TỔ HỢP CƠ BẢN Bài toán Bài toán đếm cách xếp chỗ Một tổ sinh viên có... Trang Đề Tài: Cấu hình tổ hợp nâng cao & ứng dụng GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến đưa toán liệt kê kiểm tra xem cấu hình tổ hợp có thỏa mãn tính chất cho trước hay không ? 2.4 Bài toán tối ưu tổ hợp