cấu hình tổ hợp nâng cao và ứng dụng

Một bài toán khác trong lý thuyết tổ hợp là việc tạo ra các cách sắp xếp theo một kiểu nào đó.. chơi, tổ hợp đã trở thành ngành toán học phát triển mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng trong các l

Stt Họ và Tên Công việc Chữ

ký Nhận xét của GV

2 Trương Thị Kim Ngọc Chương II

MỤC LỤC Trang

đó là một phần quan trọng của lý thuyết tổ hợp

Một bài toán khác trong lý thuyết tổ hợp là việc tạo ra các cách sắp xếp theo một kiểu nào đó Vấn đề này rất quan trọng trong các mô phỏng máy tính Chúng

ta cũng sẽ đưa ra những thuật toán tạo các cách sắp xếp theo nhiều kiểu khác nhau

Các bài toán tổ hợp có đặc trưng bùng nổ tổ hợp với số cấu hình tổ hợp khổng lồ Việc giải chúng đòi hỏi một khối lượng tính toán khổng lồ (có trường hợp mất hàng chục năm) Vì vậy trong thời gian dài, khi mà các ngành toán học như phép tính vi phân, phép tính tích phân, phương trình vi phân…phát triển như

vũ bảo, thì nó như nằm ngoài sự phát triển và ứng dụng của toán học Tình thế thay đổi từ khi xuất hiện máy tính và sự phát triển của toán học hữu hạn Nhiều vấn đề tổ hợp đã được giải quyết trên máy tính Từ chỗ chỉ nghiên cứu các trò

chơi, tổ hợp đã trở thành ngành toán học phát triển mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học phát triển mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực toán học, tin học…

Trong lý thuyết tổ hợp, cấu hình tổ hợp nâng cao là phương pháp giúp giải các bài toán đếm nhanh và hiệu quả hơn rất nhiều Nó có nhiều ứng dụng hay trong thực tế và trong tính toán

CHƯƠNG I ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP

I LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN

Có thể nói tư duy tổ hợp ra đời từ rất sớm Vào thời nhà Chu Trung Quốc người ta đã biết tới những hình vuông bí ấn Thời cổ Hi-Lạp, thế kỷ 4 trước Công Nguyên, nhà triết học Kxenokrat đã biết cách tính số các từ khác nhau lập từ bảng chữ cái cho trước Nhà toán học Pitagor và học trò đã tìm ra nhiều số có

tính chất đặc biệt Chẳng hạn 36 không những là tổng 4 số chẵn và 4 số lẻ đầu

tiên, mà còn là tổng lập phương của 3 số tự nhiên đầu tiên

36 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 1 3 + 2 3 + 3 3

Từ định lý Pitagor người ta cũng đã tìm ra những số mà bình phương của nó

bằng tổng bình phương của 2 số khác Các bài toán như vậy đòi hỏi phải có nghệ

thuật tổ hợp nhất định

Một số bài toán nổi tiếng trong lịch sử:

1 Bài toán tháp Hà Nội

Bài toán này do Edouard Lucas đưa ra vào cuối thế kỷ 19 Bài toán phát

biểu như sau: Có 3 cọc, cọc thứ nhất có n đĩa kích thước khác nhau xếp chồng

nhau, đĩa nhỏ nằm trên đĩa lớn Hãy chuyển các đĩa từ cọc thứ nhất sang cọc thứ

ba, sử dụng cọc trung gian thứ hai, sao cho luôn đảm bảo đĩa nhỏ trên đĩa lớn Hãy đếm số lần di chuyển đĩa Tìm phương án di chuyển đĩa tối ưu

Ta có số lần di chuyển là: 2 n – 1 Khi n = 64, ta có số lần di chuyển là :

18 446 744 073 709 551 615

2 Bài toán xếp n cặp vợ chồng

Bài toán này cũng do Lucas đưa ra vào năm 1891 Bài toán phát biểu như

sau : Có n cặp vợ chồng cần xếp vào bàn tròn sao cho không có cặp nào ngồi gần

nhau Có bao nhiêu cách xếp như vậy ?

Từ yêu cầu của bài toán dẫn đến việc nghiên cứu một khái niệm quan

trọng là số phân bố và mãi đến năm 1934 mới có lời giải Số cách xếp là :

2.n ! U n

trong đó Un là số phân bố Ta có bảng giá trị sau nó nói lên sự bùng nổ tổ hợp

ghê gớm của số phân bố

3 Bài toán đường đi quân ngựa trên bàn cờ

Cho bàn cờ vua với kích thước 8  8 = 64 ô Tìm đường đi của quân ngựa qua tất cả các ô, mỗi ô chỉ 1 lần, và quay về ô xuất phát Người ta chứng minh

16 19 34 61 40 57 10 23

4 Hình vuông la tinh

Hình vuông la tinh cấp n là hình vuông gồm các số 1, 2, 3, … , n - 1, n

thỏa mãn tổng mỗi hàng và tổng mỗi cột đều bằng nhau và bằng:

(ln là số hình vuông la tinh chuẩn cấp n)

II SƠ LƯỢC VỀ TOÁN HỌC TỔ HỢP

Qua các bài toán trên ta thấy bài toán tổ hợp rất đa dạng, liên quan tới nhiều lĩnh vực khoa học và đời sống khác nhau Nói một cách tổng quát thì lý thuyết tổ hợp nghiên cứu việc phân bố, sắp xếp các phần tử của một hoặc nhiều tập hợp, thỏa mãn một số điều kiện nào đó Mỗi cách phân bố, sắp xếp như thế gọi là một cấu hình tổ hợp

1 Cấu hình tổ hợp

Cho các tập hợp A1 , …, A n Giả sử S là sơ đồ sắp xếp các phân tử của A 1 ,

…, A n được mô tả bằng các quy tắc sắp xếp và R1 , …, R m là các điều kiện ràng buộc lên mỗi sắp xếp theo sơ đồ S Khi đó mỗi sắp xếp các phần tử của A1 , …, A n

thỏa mãn các điều kiện R1 , …, R m gọi là một cấu hình tổ hợp trên các tập A1 , …,

A n

2 Bài toán tổ hợp

2.1 Bài toán tồn tại

Mục tiêu của bài toán tồn tại là chứng minh sự tồn tại hoặc không tồn tại của cấu hình tổ hợp nào đó Có nhiều bài toán loại này rất khó và việc cố gắng giải chúng đã thúc đẩy nhiều hướng nghiên cứu toán học

Ví dụ Cho n là số nguyên dương

A là tập hợp n x n điểm: A = { [i, j] | i, j = 1, , n }

S là tập hợp 2n điểm trong A

R là điều kiện không có 3 điểm trong S thẳng hàng

Với 2 ≤ ≤n 15 cấu hình tổ hợp tồn tại Nhưng bài toán vẫn chưa có lời giải với

n>15.

2.2 Bài toán đếm

Nội dung bài toán đếm là trả lời câu hỏi “Có bao nhiêu cấu hình tổ hợp thuộc dạng đang xét” Phương pháp đếm cấu hình thường dựa vào một số quy tắc, nguyên lí đếm và phân rã đưa về các cấu hình tổ hợp đơn giản Khi việc xác định chính xác số cấu hình tổ hợp gặp khó khăn, có thể ước lượng cận trên và cận dưới của nó Bài toán đếm được áp dụng vào những công việc như tính xác suất hay tính độ phức tạp thuật toán

Ví dụ Đếm số nghiệm nguyên dương của phương trình: x + y +z = 10.

2.3 Bài toán liệt kê

Các bài toán loại này nghiên cứu những thuật toán hiệu quả để xây dựng tất

cả các cấu hình tổ hợp đã cho Nhiều vấn đề trong các lĩnh vực khác nhau thường được đưa về bài toán liệt kê và kiểm tra xem các cấu hình tổ hợp có thỏa mãn tính chất cho trước hay không ?

Ví dụ Liệt kê tất cả các hoán vị của n phần tử.

2.4 Bài toán tối ưu tổ hợp

Trong nhiều vấn đề, một cấu hình tổ hợp được gán một giá trị bằng số (chẳng hạn như hiệu quả sử dụng hay chi phí thực hiện ) Khi đó bài toán tối ưu

tổ hợp nghiên cứu những thuật toán tìm cấu hình tổ hợp có giá trị tối ưu (lớn nhất hoặc nhỏ nhất)

3 Một số nguyên lí cơ bản

3.1 Nguyên lý nhân

Giả sử một cấu hình tổ hợp được xây dựng qua k bước, bước 1 có thể được thực hiện n1 cách, bước 2 có thể được thực hiện n2 cách, …, bước k có thể được thực hiện nk cách Khi đó số cấu hình tổ hợp là

Định nghĩa Một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ

có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử đã cho Các thành phần có thể được

lặp lại

Một chỉnh hợp lặp chập k của n có thể xem như một phần tử của tích Đề - các X k,

với X là tập n phần tử Như vậy số tất cả các chỉnh hợp lặp chập k của n là:

AR(n,k) = n k

Ví dụ 1 Tính số các dãy nhị phân có độ dài n:

Mỗi dãy nhị phân có độ dài n là một bộ có thứ tự gồm n thành phần được chọn trong tập {0, 1} Do đó số dãy nhị phân có độ dài n là: 2 n

Ví dụ 2

Biển số ô tô có 6 chữ cái và 2 chứ cái đầu tiên trong 26 chữ cái (không dùng

chữ O và I) Hỏi số ô tô được đăng ký nhiều nhất là bao nhiêu?

Giải

Gọi X là tập hợp các chữ cái nằm trong bảng đăng ký., suy ra X có 24 phần tử (Vì không dùng chữ O và I) Vì vậy ta có AR(24, 2) = 24 2 cách chọn 2 chữ số đầu tiên Gọi Y là tập hợp các chữ số dùng tỏng bản đăng ký, suy ra Y có 10 phần tử

Vì vậy có AR(10, 6)= 10 6 cách chọn 6 chữ số Do đó theo quy tắc nhân có tất cả

242 106 biển số ô tô

4.2 Chỉnh hợp không lặp

Định nghĩa Một chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử khác nhau là

một bộ có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử đã cho Các thành phần không

được lặp lại

Một chỉnh hợp không lặp chập k của n có thể được xây dựng qua k bước kế

tiếp như sau:

Ví dụ 1 Có 10 vận động viên thi chạy Hỏi có bao nhiêu cách dự đoán các vận

động viên về nhất, nhì, ba Biết rằng các vận động viên đều có cùng khả năng

Giải.

Số cách dự đoán là số cách chọn có thứ tự 3 trong 10 vận động viên

A(10, 3) =10.9.8=720 cách dự đoán.

Ví dụ 2

Có bao nhiêu số có 4 chữ số được tạo thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3,4, 5 thoả

mãn không chữ số nào được lặp lại?

Định nghĩa Một tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ không

kể thứ tự gồm k thành phần khác nhau lấy từ n phần tử đã cho Nói cách khác ta

có thể coi một tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau là một tập con có k phần tử

a Có n đội thi đấu vòng tròn Hỏi phải tổ chức bao nhiêu trận đấu?

b Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài 32 mà trong đó có đúng 6 số 1?

CHƯƠNG II CẤU HÌNH TỔ HỢP NÂNG CAO

1 Hoán vị lặp

Định nghĩa Hoán vị lặp là hoán vị trong đó mỗi phần tử được ấn định số

lần lặp lại cho trước

Định lý Số hoán vị lặp của k phần tử khác nhau trong đó số phần tử thứ

Hệ quả Giả sử tập S có n phần tử khác nhau, trong đó có n1 phần tử kiểu 1, n2

phần tử kiểu 2, , nk phần tử kiểu k Khi đó số các hoán vị n phần tử của tập S là

1 n n k

n

n

Ví dụ Có thể nhận được bao nhiêu xâu khác nhau bằng cách sắp xếp lại các chữ

cái của từ SUCCESS?

Giải.

Vì một số chữ cái của từ SUCCESS là như nhau nên câu trả lời không

phải là số hoán vị của 7 chữ cái được Từ này chứa 3 chữ S, 2 chữ C, 1 chữ U và

1 chữ E Để xác định số xâu khác nhau có thể tạo ra được ta nhận thấy có C(7,3)

cách chọn 3 chỗ cho 3 chữ S, còn lại 4 chỗ trống Có C(4,2) cách chọn 2 chỗ cho

Định nghĩa Tổ hợp lặp chập k từ n phần tử khác nhau là một nhóm không

phân biệt thứ tự gồm k phần tử trích từ n phần tử đã cho, trong đó các phần tử có

Ví dụ 1.

Giả sử ta có 3 quyển sách: Toán, Lí, Hóa và mỗi quyển có ít nhất có 6 bản photocopy Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 quyển?

Giải.

Bài toán đặt ra là chọn 6 phần tử, không kể thứ tự và cho phép lặp lại Mỗi

cách chọn sách được xác định duy nhất bởi số lượng của mỗi loại sách Ta có thể biểu diễn mỗi cách chọn sách như sau:

Toán Lí Hóa

Trong đó 6 dấu x chỉ quyển sách chọn và hai dấu gạch đứng chỉ phân cách giữa giữa các loại sách Như vậy mỗi cách chọn sách tương ứng chọn 2 vị trí trong 8 vị trí để đặt 2 dấu gạch | tức là tổ hợp chập 2 từ 8 phần tử Suy ra số cách chọn sách là: C(8, 2) = 28

Ví dụ 2 Tìm số bộ nghiệm không âm của phương trình: x1 + x 2 + x 3 = 11.

Giải.

Mỗi bộ nghiệm nguyên không âm của phương trình tương ứng với một cách

chọn 1 phần tử của 1 tập có 3 loại sao cho có :

Định nghĩa Cho X là tập n phần tử khác nhau, r≤ n và S⊂ X có r phần

tử Một phân hoạch {S1 , S 2 , , S k} có thứ tự của S gọi là một phân hoạch thứ tự

tổ hợp chập r của X Nếu r = n, thì gọi là phân hoạch thứ tự của X.

Cho các số nguyên dương n1 , n 2 , , n k thoả n1+ + + =n2 n k r Số các phân hoạch thứ tự tổ hợp chập r của X dạng {S1 , S 2 , ., S k} có

S =n S =n S =n được ký hiệu là C(n; n1 , n 2 , , n k) Một cấu hình tổ

hợp kiểu này được xây dựng qua các bước như sau

Bước 1: Chọn n1 phần tử từ X cho S1, có C(n, n1) khả năng.

Bước 2: Chọn n2 phần tử từ X \S1 cho S2, có C(n− n 1 , n 2) khả năng.

1 n n n r n

n

k − = P(n; n1 , n 2 , , n k , n−r)

1 n n n r n

n

k − = P(n, n1 , n 2 , , n k , n−r) C(n; n1 , n 2 , , n k ) được gọi là hệ số đa thức.

Ví dụ.

Có 17 sinh viên đi dạ hội bằng 5 xe khác nhau theo thứ tự có số chỗ ngồi

tương ứng là 4, 3, 3, 4, 1 Hãy xác định số cách chở 17 sinh viên bằng 5 xe, trong

đó có 2 sinh viên phải đi bằng phương tiện khác?

= 8 576 568 000.

4 Phân hoạch không thứ tự

Định nghĩa Cho X là tập n phần tử khác nhau, các số nguyên dương n1 ,

n 2 , , n k và p1 , p 2 , , p k thoả

n 1 p 1 + n 2 p 2 + + n k p k = n Một hệ thống các tập con của X gồm p1 tập lực lượng n1, p2 tập lực lượng

n 2, , pk tập lực lượng nk gọi là phân hoạch không thứ tự của X.

;

2 1

2 2 1 1

k

k k p p p

n n n n n n n C

= ( ) ( ) ( )p k

k k p p

n p n

p n p

n

!

!

2 2 1 1

(trong tử số C n n( ; , , , , , , , , ,1 n n1 2 n2 n k n k), số n1 lặp lại p1 lần, số n2 lặp lại p2 lần, , số nk lặp lại pk lần).

(i) Số cách chia 12 sinh viên vào 3 lớp học buổi sáng, buổi chiều và buổi tối,

mỗi lớp 4 sinh viên là

C(12; 4, 4, 4) = ( )3

!4

!12

(phân hoạch thứ tự)

(ii) Số cách chia 12 sinh viên thành 3 nhóm, mỗi nhóm 4 sinh viên là

!3

)4,4,4

;12(

C

= ( )4! 3!

!123(phân hoạch không thứ tự)

CHƯƠNG III ỨNG DỤNG

I CẤU HÌNH TỔ HỢP CƠ BẢN

Bài toán 1 Bài toán đếm cách xếp chỗ

1 Một tổ sinh viên có 7 nam và 5 nữ xếp thành hàng dọc Hỏi có bao nhiêu

cách xếp hàng để không có hai sinh viên nữ đứng gần nhau?

Giải Mỗi cách xếp hàng tương ứng với một hoán vị của 7 (SV nam A1, A2, ,A7) và một chỉnh hợp chập 5 (SV nữ) của 8 (khoảng trống ký hiệu bằng

Giải Xếp m phần tử của tập A lên hàng ngang có : m! cách Để các phần

tử của tập B không đứng cạnh nhau ta xếp các phần tử của tập B vào khoảng giữa các phần tử của tập A và 2 đầu Có tổng cộng m + 1 vị trí nên số cách xếp là: A(m+1, n).

n > m+1: Không có cách sắp xếp

n < m+1 hoặc n = m+1 Theo quy tắc nhân ta có m! A(m+1,n)

2 Có bao nhiêu cách xếp k bit 0 và m bit 1 trên hàng ngang sao cho không

có 2 bit 0 kề nhau?

Giải Các bit 0 được xếp chen vào m +1 khoảng trống giữa các bit 1

Như vậy ta có số cách xếp là:

C(m +1,k).

Chú ý rằng để có lời giải phải thoả m ≥ k

3 Có bao nhiêu cách xếp k bit 0 và m bit 1 trên vòng tròn được đánh số từ

1 đến m +k (vị trí m+k kề với vị trí 1) sao cho không có 2 bit 0 kề nhau?

Giải

Cố định vị trí 1 Ta có 2 trường hợp.

• Trường hợp vị trí 1 là bit 0 Lúc này phải xếp bit 1 vào vị trí 2 và

vị trí m+k Ta còn m−2 bit 1 và k−1 bit 0 và quay lại bài toán trên Như vậy số

cách xếp trong trường hợp này là :

C m− k−

• Trường hợp vị trí 1 là bit 1 Ta còn m−1 bit 1 và k bit 0 và quay lại

bài toán trên Như vậy số cách xếp trong trường hợp này là:

Chú ý rằng để có lời giải phải thoả m ≥ k

Bài toán 2 Bài toán đếm số đường đi

Bài 1 Xét một bảng hình chữ nhật gồm m  n ô vuông Hỏi có bao nhiêu đường đi khác nhau từ nút (0, 0), đến nút (n, m) nếu chỉ cho phép đi trên cạnh các

ô vuông theo chiều sang phải hoặc lên trên

Giải

Mỗi đường đi gồm m + n đoạn, trong đó có m đoạn lên trên, và n đoạn sang phải Tương ứng tổ hợp chập m (lên trên) từ m + n phần tử Hai đường đi khác

nhau bởi sự luân phiên của các đoạn đứng và đoạn ngang Vậy số đường đi là:

C(n+m, m) Sau đây là một đường đi từ nút (0, 0) đến nút (n, m):

Bài 2 Cho lưới các ô

vuông kích thước n x n Các đường đi từ nút (0, 0) đến (n, n) gọi là tốt nếu nó không vượt lên trên đường chéo chính Các đường khác gọi là xấu Hãy đếm số

Số Gn gọi là số Catalan (mang tên nhà toán học Bỉ Eugene

Catalan,1814−1894)

Bài toán 3 Bài toán phân phối

1 Có bao nhiêu cách phân phối n quả cầu giống nhau và m hộp phân biệt ?

Giải.

• TH1 Nếu hộp nào cũng có quả cầu, khi đó điều kiện n m≥

Ta biểu diễn n quả cầu A liên tiếp có n-1 vạch phân chia.

A A A− − − − −A A Mỗi cách phân phối là một cách chọn m-1 vạch từ n-1 vạch.

Giải Ta chứng minh bằng quy nạp.

Gọi L k n k( , ) là số cách chia k.n vật thành k nhóm, mỗi nhóm có n vật

Rõ ràng số cách xếp nhóm đầu tiên là C k n n( , ).

Số vật còn lại là k.n – n được chia thành k -1 nhóm, mỗi nhóm có n vật Số

cách chia đó là: L k n n k( − , −1).

Vậy ta có công thức truy hồi: L k n k( , )=C k n n L k n n k( , ) ( − , −1).

Tiếp tục như vậy đến khi còn 2n vật, thì số cách chia 2n vật thành 2 nhóm, mỗi nhóm có n vật là C n n(2 , ) cách Cuối cùng, chỉ còn n vật để chia thành 1

Bài toán 4 Số cách phân chia n đồ vật khác nhau vào trong k hộp khác nhau sao

cho có ni vật được đặt vào trong hộp thứ i, với i = 1, 2, , k bằng

!5

!3

!

4

!18

= 514 594 080

Bài toán 5 Có bao nhiêu cách sắp xếp 7 người ngồi quanh một bàn tròn có 10

chiếc ghế?

Giải