Tổ Hợp Toán Học (TL)

Trần Quốc Chiến Tổ hợp Chương 1: Nhập môn tổ hợp 1.1 Sơ lược lịch sử Có thể nói tư tổ hợp đời từ sớm Vào thời nhà Chu Trung quốc người ta biết đến hình vuông thần bí Thời cổ Hi-lạp, kỷ thứ trước Công nguyên, nhà triết học Kxenokrat biết cách tính số từ khác lập từ bảng chữ cho trước Nhà toán học Pitagor học trò tìm nhiều số có tính chất đặc biệt Chẳng hạn 36 tổng số chẵn số lẻ đầu tiên, mà tổng lập phương số tự nhiên 36 = + + + + + + + = 13 + 23 + 33 Từ định lý Pitagor người ta tìm số mà bình phương tổng bình phương số khác Các toán đòi hỏi phải có nghệ thuật tổ hợp định Tuy nhiên nói rằng, lý thuyết tổ hợp hình thành ngành toán học vào kỷ 17 loạt công trình nghiên cứu nhà toán học xuất sắc Pascal, Fermat, Euler, Leibnitz, Các toán tổ hợp có đặc trưng bùng nổ tổ hợp với số cấu hình tổ hợp khổng lồ Việc giải chúng đòi hỏi khối lượng tính toán khổng lồ (có trường hợp hàng chục năm) Vì thời gian dài, mà ngành toán học Phép tính vi phân, Phép tính tích phân, phương trình vi phân, phát triển vũ bão, dường nằm phát triển ứng dụng toán học Tình thay đổi từ xuất máy tính phát triển toán học hữu hạn Nhiều vấn đề tổ hợp giải máy tính Từ chỗ nghiên cứu trò chơi, tổ hợp trở thành ngành toán học phát triển mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng lĩnh vực toán học, tin học Chúng ta tìm hiểu số toán tổ hợp tiếng lịch sử  Bài toán tháp Hà nội Chương Nhập môn tổ hợp 1-1 Trần Quốc Chiến Tổ hợp Bài toán Edouard Lucas đưa cuối kỷ 19 (Ông người đưa dãy Fibonacci) Bài toán phát biểu sau Có cọc, cọc thứ có n đĩa kích thước khác xếp chồng nhau, đĩa nhỏ nằm đĩa lớn Hãy chuyển đĩa từ cọc thứ sang cọc thứ ba, sử dụng cọc trung gian thứ hai, cho đảm bảo đĩa nhỏ đĩa lớn Hãy đếm số lần di chuyển đĩa Tìm phương án di chuyển đĩa tối ưu Số lần di chuyển 2n  Khi n = 64, ta có số lần di chuyển là: 18 446 744 073 709 551 615  Bài toán xếp n cặp vợ chồng Bài toán Lucas đưa năm 1891 Bài toán phát biểu sau Có n cặp vợ chồng cần xếp vào bàn tròn cho cặp ngồi gần Có cách xếp ? Bài toán dẫn đến việc nghiên cứu khái niệm quan trọng số phân bố đến năm 1934 có lời giải Số cách xếp 2.n!.Un Un số phân bố Bảng sau cho thấy bùng nổ tổ hợp ghê gớm số phân bố n= Un = 13 80 10 11 579 738 43 387 439 792 890 741  Bài toán đường quân ngựa bàn cờ Cho bàn cờ vua với kích thước  = 64 ô Tìm đường quân ngựa qua tất ô, ô lần, quay ô xuất phát Người ta chứng minh tổng quát rằng: Trên bàn cờ vuông có số cạnh chẵn lớn tồn đường Đường Euler (1759) có tính chất: hiệu ô đối xứng qua tâm bàn cờ 32 Chương Nhập môn tổ hợp 1-2 Trần Quốc Chiến Tổ hợp 37 62 43 56 35 60 41 50 44 55 36 61 42 49 34 59 63 38 53 46 57 40 51 48 54 45 64 39 52 47 58 33 26 15 20 16 19 32 13 22 25 14 21 27 17 10 29 18 28 31 23 12 24 11 30 Đường Beverle (1848) có tính chất : tổng ô cột hàng 260 30 47 52 48 51 29 44 53 31 46 49 50 28 43 54 25 27 55 42 32 45 56 41 26 33 62 15 20 24 39 58 16 19 34 61 40 57 10 23 63 14 17 36 21 12 59 38 18 35 64 13 60 37 22 11  Hình vuông la tinh Hình vuông la tinh cấp n hình vuông gồm số 1, 2, , n1, n thoả mãn tổng hàng tổng cột + + + n = n(n  1) Hình vuông la tinh chuẩn cấp n hình vuông la tinh cấp n có dòng đầu cột đầu 1, 2, , n Bảng sau hình vuông la tinh chuẩn cấp Chương Nhập môn tổ hợp 1-3 Trần Quốc Chiến Tổ hợp 7 7 7 Công thức tính số hình vuông la tinh đến bỏ ngỏ Tuy nhiên ta lập chương trình liệt kê tất hình vuông la tinh chuẩn Dưới số giá trị n= ln = 1 56 408 16 942 080 (ln số hình vuông la tinh chuẩn cấp n)  Hình lục giác thần bí Năm 1910 Clifford Adams đưa toán hình lục giác thần bí sau: Trên 19 ô lục giác điền số từ đến 19 cho tổng theo sáu hướng lục giác (= 38) Sau 47 năm trời kiên nhẫn cuối ông ta tìm lời giải Nhưng sơ ý đánh thảo ông tốn thêm năm để khôi phục lời giải Năm 1962 Adams công bố lời giải Đây lời giải Chương Nhập môn tổ hợp 1-4 Trần Quốc Chiến Tổ hợp 15 14 13 11 10 18 12 17 16 19 Chương Nhập môn tổ hợp 1-5 Trần Quốc Chiến Tổ hợp 1.2 Bài toán tổ hợp Qua toán ta thấy toán tổ hợp đa dạng, liên quan tới nhiều lĩnh vực khoa học đời sống khác Có thể nói cách tổng quát lý thuyết tổ hợp nghiên cứu việc phân bố, xếp phần tử nhiều tập hợp, thoả mãn số điều kiện Mỗi cách phân bố, xếp gọi cấu hình tổ hợp  Cấu hình tổ hợp Cho tập hợp A1, , An Giả sử S sơ đồ xếp, phân bố phần tử A1, , An, mô tả quy tắc xếp R1, , Rm điều kiện ràng buộc lên xếp theo sơ đồ S Khi xếp, phân bố phần tử A1, , An thoả mãn điều kiện R1, , Rm gọi cấu hình tổ hợp tập A1, , An  Ví dụ Xét bố trí quân cờ bàn cờ vua Mỗi cờ coi cấu hình tổ hợp Ở ta định nghĩa A tập hợp quân cờ trắng B tập hợp quân cờ đen S sơ đồ xếp quân cờ bàn cờ R hệ thống điều kiện xác định luật cờ vua  Ví dụ Bài toán tháp Hà nội A tập hợp n đĩa S sơ đồ xếp đĩa cọc R1 điều kiện lần chuyển đĩa từ cọc sang cọc khác R2 điều kiện đĩa nằm lớn đĩa nằm Cấu hình tổ hợp cách xếp đĩa cọc thỏa điều kiện R1 R2  Ví dụ Bài toán đường quân ngựa bàn cờ A tập hợp ô bàn cờ, biểu diễn sau Chương Nhập môn tổ hợp 1-6 Trần Quốc Chiến Tổ hợp A = { [i, j]  i, j = 1, , } S sơ đồ xếp tất cảc ô A thành vòng khép kín R điều kiện từ ô vòng đến ô kề theo quy tắc quân ngựa  Các dạng toán tổ hợp Với cấu hình tổ hợp ta thường gặp dạng toán sau: toán tồn tại, toán đếm, toán liệt kê toán tối ưu Bài toán tồn Mục tiêu toán tồn chứng minh tồn không tồn cấu hình tổ hợp Có toán loại khó việc cố gắng giải chúng thúc đẩy phát triển nhiều hướng nghiên cứu toán học  Ví dụ Cho n nguyên dương A tập hợp n  n điểm A = { [i, j]  i, j = 1, , n } S tập hợp 2n điểm A R điều kiện điểm S thẳng hàng Với  n  15 cấu hình tổ hợp tồn Nhưng toán chưa có lời giải với n > 15 Bài toán đếm Nội dung toán đếm trả lời câu hỏi “Có cấu hình tổ hợp thuộc dạng xét ?” Phương pháp đếm cấu hình tổ hợp thường dựa vào số quy tắc, nguyên lý đếm phân rã đưa cấu hình tổ hợp đơn giản Khi việc xác định xác số cấu hình tổ hợp gặp khó khăn, ước lượng cận cận Bài toán đếm áp dụng vào công việc tính xác suất hay tính độ phức tạp thuật toán Chương Nhập môn tổ hợp 1-7 Trần Quốc Chiến Tổ hợp  Ví dụ Đếm số tập tập hợp  Ví dụ Đếm số nghiệm nguyên dương phương trình x + y + z = 10 Bài toán liệt kê Các toán loại nghiên cứu thuật toán hiệu để xây dựng tất cấu hình tổ hợp cho Nhiều vấn đề lĩnh vực khác thường đưa toán liệt kê kiểm tra xem cấu hình tổ hợp có thoả mãn tính chất cho trước hay không  Ví dụ Liệt kê tất hoán vị n phần tử Bài toán tối ưu tổ hợp Trong nhiều vấn đề, cấu hình tổ hợp gán giá trị số (chẳng hạn hiệu sử dụng, hay chi phí thực hiện) Khi toán tối ưu tổ hợp nghiên cứu thuật toán tìm cấu hình tổ hợp có giá trị tối ưu (lớn nhỏ nhất)  Ví dụ (Bài toán ba lô) Một nhà thám hiểm dùng ba lô trọng lượng không b để mang đồ vật Có n đồ vật 1, 2, , n Đồ vật thứ j có trọng lượng aj giá trị sử dụng c j, j=1,2, ,n Hỏi nhà thám hiểm cần mang theo đồ vật để tổng giá trị sử dụng lớn ? Chương Nhập môn tổ hợp 1-8 ... Chương Nhập môn tổ hợp 1-4 Trần Quốc Chiến Tổ hợp 15 14 13 11 10 18 12 17 16 19 Chương Nhập môn tổ hợp 1-5 Trần Quốc Chiến Tổ hợp 1.2 Bài toán tổ hợp Qua toán ta thấy toán tổ hợp đa dạng, liên... dạng toán tổ hợp Với cấu hình tổ hợp ta thường gặp dạng toán sau: toán tồn tại, toán đếm, toán liệt kê toán tối ưu Bài toán tồn Mục tiêu toán tồn chứng minh tồn không tồn cấu hình tổ hợp Có toán. .. khoa học đời sống khác Có thể nói cách tổng quát lý thuyết tổ hợp nghiên cứu việc phân bố, xếp phần tử nhiều tập hợp, thoả mãn số điều kiện Mỗi cách phân bố, xếp gọi cấu hình tổ hợp  Cấu hình tổ