Maple trong so hoc nhom1

1 MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI GIỚI THIỆU CHƯƠNG 1: MAPLE TRONG SỐ HỌC I Số nguyên Thương, số dư ñồng dư Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ Số nguyên tố Số nguyên tố Phương trình nghiệm nguyên II Số thực III Số phức .11 CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG .13 KẾT LUẬN 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO 21 LỜI GIỚI THIỆU Các phần mềm phát triển cho ngành Toán ñã ñạt ñến tầm cao cho nhu cầu chuyên không chuyên Mathematica, Matlab, Maple, Ngoài vài ñiểm chung dành tính toán ñơn giản, chúng có ñặc ñiểm phát triển khác tùy theo ngành phát triển Trong Mathematica có ñiểm mạnh tính toán biểu thức với biến kí hiệu Matlab mạnh với tính toán số cụ thể kĩ thuật lập trình dựa tảng ma trận, Maple lại thích hợp với việc giảng dạy toán, học toán việc ứng dụng toán ngành kỹ thuật, kinh tế số hữu tỉ vô tỉ ñược biểu diễn qui xác Maple phần mềm phổ dụng dễ dùng, với việc kích thích học trò tương tác máy tính theo bùng nổ công nghệ thông tin, muốn ñưa Maple vào dạy học nhà trường phổ thông, cụ thể ñó Số học Nhóm xin trình bày ñề tài: “MAPLE VÀ ỨNG DỤNG TRONG SỐ HỌC” với hi vọng dạy học sinh cách vận dụng khả tính toán máy tính ñối với toán số học Các thao tác Maple Số học vài toán ứng dụng ñược trình bày tiểu luận Vì kiến thức, thông tin thời gian có hạn nên ñề tài không tránh khỏi thiếu sót, nhóm xin ghi nhận ý kiến ñóng góp Chúng xin chân thành cảm ơn! STT Họ tên Công việc(theo mục lục) Phan Thị Thanh Phượng Chương Tống Thiên Long Chương Huỳnh Thị Kim Thoa Chương Võ Thị Nguyệt Chương .Việt Chương Chữ ký Nhận xét giáo viên CHƯƠNG 1: MAPLE TRONG SỐ HỌC I Số nguyên Ta ký hiệu * Tập hợp số nguyên: Z * Tập số tự nhiên: N 1.1.Thương, số dư ñồng dư 1.1.1.ðịnh nghĩa Cho a, b số nguyên Ta nói a chia hết b, kí hiệu a | b, tồn số nguyên c thỏa mãn b=a.c Ta nói a ñồng dư b modulo n (n>0), a=b[n], n | (b – a) 1.1.2.Mệnh ñề Quan hệ =[n] quan hệ tương ñương với n nguyên dương 1.1.3.Hệ Với a, b nguyên, n, k nguyên >0, ta có: a =b[n] => b =a[n] 1.1.4.Các hàm Maple Cho a, b số nguyên * Hàm iquo(a,b): Trả thương a chia b * Hàm irem (a,b): Trả số dư a chia b + Ví dụ O iquo 28, 5 (1) (2) O irem 28, * Hàm iquo (a,b,r ) : trả thương a chia b, lưu số dư vào r * Hàm irem (a,b,q ) : trả số dư a chia b, lưu thương vào q + Ví dụ: O restart : O iquo 28, 5,'r' ; r; (3) (4) O irem 28, 5,'q' ; q; 2.Ước chung lớn bội chung nhỏ Cho x1, x2, ,xn số nguyên dương 2.1.ðịnh nghĩa Ước số chung lớn (uccln) x1, x2, ,xn số nguyên dương lớn chia hết x1, x2, ,xn Bội số chung nhỏ x1, x2, ,xn số nguyên dương nhỏ bội x1, x2, ,xn 2.2.ðịnh lý Cho x1, x2, ,xn số nguyên dương Ký hiệu u ước số chung lớn b bội số chung nhỏ x1, x2, ,xn Khi ñó ta có: u = uccln(x1, x2, ,xn) * Thuật toán Euclide tìm uscln + ðầu vào: Số nguyên a, b, a>b + ðầu ra: uscln(a,b) + Phương pháp: (1) ñặt r(0):=a, r(1):=b, i:=1 (2) Biết r(i-1), r(i) tính r(i+1): r(i+1):=r(i) mod r(i-1) ( số dư r(i) chia cho r(i-1)) Nếu r(i+1)=0, r(i) uscln(a,b), kết thúc b = bscnn(x1, x2, ,xn) Nếu r(i+1)0, ñặt i:=i+1 quay lại bước (2) + Sơ ñồ tính Số dư: r(0) Thương: r(1) r(2) r(n-1) q(1) q(2) q(n-1) r(n) r(n+1)=0 q(n) + Ví dụ: Tìm uscln(9100, 1848) Số dư: 9100 1848 Thương: 1708 140 12 28 Suy uscln (9100,1848)=28 * ðề tính bscnn(a1,a2, ,ak), ta tính uscln(a1,a2, ,ak), sau ñó ñặt bscnn(a1,a2, ,ak):=(a1*a2* *ak)/(uscln(a1,a2, ,ak))^(k-1) 2.3.Các hàm MAPLE Cho a1,a2, ,ak số nguyên * Hàm igcd(a1,a2, ,ak): trả ước chung lớn a1,a2, ,ak * Hàm ilcm(a1,a2, ,ak): trả bội số chung nhỏ a1,a2, ,ak + Ví dụ: O igcd 16, 32, 44 (5) (6) 36 (7) 36 (8) O igcd 0, 18, 81 O ilcm 3, 36, O ilcm K12, 3, 36 3.Số nguyên tố 3.1.ðịnh nghĩa: Cho x1, x2, xn số nguyên dương Ta nói x1, x2, xn nguyên tố nhau, uscln(x1, x2, xn )=1 * ðịnh lý Bezout: Cho x1, x2, ,xn số nguyên dương Khi ñó x1, x2, xn số nguyên tố tồn số nguyên u1,u2, ,un thỏa: u1.x1+u2.x2+ +un.xn=1 *Hệ quả: Cho a, b số nguyên dương, nguyên tố Khi ñó tồn số nguyên u, v thỏa: a.u+b.v=1, * Thuật toán giải phương trình: ax+by=1 (uscln(a,b)=1) Theo thuật toán Euclide ta có dãy Số dư: r(0)=a> Thương: r(1)=b> q(1) r(2)> q(2) >r(n-1)> q(n-1) r(n)> r(n+1)=0 q(n) thỏa r(0)=r(1)q(1)+r(2); r(1)=r(2)q(2)+r(3); ;r(n-2)=r(n-1)q(n-1)+r(n); r(n-1)=r(n)q(n) r(n) =uscln(a,b)=1 Từ ñó ta xây dựng số u,v thỏa mãn phương trình sau 1=r(n-2)-r(n-1).q(n-1) =r(n-2)-[r(n-3)-r(n-2)q(n-2)]q(n-1) =r(n-2)[1+q(n-2)q(n-1)]-r(n-3)q(n-1) =r(0).u+r(1).v=a.u+b.v *Ví dụ: Giải phương trình : 693.x+680.y =1 *Giải Trước tiên ta tìm ước số chung lớn a=693 b=680 theo thuật toán Euclide Ta có sơ ñồ sau Số dư: 693 Thương: Từ ñó ta có: 680 13 1 52 1=13-3.4=13-3.(680-52.13)=157.13-3.680=157.(693-1.680)-3.680= 693.157 -680.160 Suy nghiệm phương trình x=157 y= -160 + Ghi chú: Phương trình a.x+b.y=uscln(a,b) giải phương pháp tương tự 3.2.Các hàm MAPLE Cho a,b số nguyên * Hàm igcdex(a,b,u,v): trả ước số chung lớn a,b giải phương trình a.u+ b.v =UCLN(a,b) với nghiệm lưu vào biến u, v Ví dụ: O d d igcdex 15, 45,'u','v' ; u, v; d := 15 1, (9) 15 = 15 (10) O 15$u C45$v = d 4.Số nguyên tố 4.1.ðịnh nghĩa Số nguyên dương p số nguyên tố, p>1 chia hết cho 4.2.ðịnh lý Mọi số nguyên >1 phân tích thành tích thừa số nguyên tố 4.3.ðịnh lý Tập hợp số nguyên tố vô hạn 4.4.Các hàm MAPLE * Hàm isprime (p): trả true p số nguyên tố, false p số nguyên tố * Hàm ithprime(n): trả số nguyên tố thứ n, * Hàm nextprime(n): trả số nguyên tố nhỏ > n * Hàm prevprime(n): trả số nguyên tố lớn < n * Hàm ifactor(n): trả phân tích thừa số nguyên tố n 8 +Ví dụ: O restart : O ithprime 11 (11) 17 (12) (13) 6700417 (14) O nextprime 13 O prevprime 11 O ifactor C1 ; 641 5.Phương trình nghiệm nguyên 5.1.Hàm maple * Hàm isolve(f(x,y,z,…)=a): Trả nghiệm nguyên phương trình f(x,y,z,…) = a theo ẩn x, y, z,… +Ví dụ: O restart : O isolve 2$x K1$y = 1,'t' ; x = t, y = K1 C2 t (15) x = K1, y = , x = 1, y = (16) (17) x = C2 m C5 n, y = m, z = m C3 n (18) O isolve x K4$ y = 1,'t' O nops % O isolve 3$x C4$y K5$z = 6, m, n Ghi chú: Ký hiệu _Z1 tham số nhận giá trị nguyên Muốn biểu diễn nghiệm theo tham số khác, ta khai báo tham số hàm isolve sau: * Hàm isolve(f(x,y,z, )=a, {,, }): trả nghiệm biểu diễn theo tham số ,, O rerstar : (19) 2 O isolve 2$x Ky = 4,'t' x =K K C K C 1C 2 t C1 t C1 t C1 t C1 t C1 , x=K C 1K 2 t C1 1C 2 t C1 , x= , y =K 1C K 1K 2 t C1 K 1K 2 t C1 t C1 K 1K 2 K 1K , y = 1C 2 t C1 , y =K 1C 1C (20) t C1 ,y= t C1 t C1 , x= t C1 K K 1 C 1K 2 t C1 O isolve 2$x C3$y K4$z = x = K3 _Z1C2 _Z2, y = _Z1, z = _Z2 O isolve 2$x C3$y K4$z = 6, m, n (21) x = K3 m C2 n, y = m, z = n (22) Chú ý: Trường hợp phương trình nghiệm nguyên Maple cho kết Null (rỗng không hiển thị hình) Ví dụ : O isolve x = ; II.Số thực * Hàm Whattype(): trả kiểu số gồm: + integer: kiểu số nguyên + fraction: kiểu phân số + float: kiểu số thập phân chấm ñộng 10 *Ghi chú: Hàm không áp dụng cho kiểu khác * Hàm Float (a,b): trả số a.10^b + Ví dụ: O whattype 45 O whattype integer (23) fraction (24) float (25) 2000 (26) symbol (27) function (28) O whattype 1.2 O Float 2, O whattype gammar O whattype ln x * Hàm convert(a, fraction): trả dạng phân số số thập phân a + Ví dụ: O convert 1.234, fraction 617 500 (29) * Hàm convert(a,confrac,t): Lưu vào biến t dãy phân số tiệm cận ñến số vô tỉ a Ví dụ: O restart : O convert sqrt , confrac, t 1, 5, 3, 1, 1, 40, 5, 1, 1, 25, (30) O t; (31) 11 1, 19 25 44 1785 8969 10754 19723 503829 1027381 , , , , , , , , , 16 21 37 1501 7542 9043 16585 423668 863921 (31) O evalf t 1., 1.200000000, 1.187500000, 1.190476190, 1.189189189, 1.189207195, 1.189207107, 1.189207122, 1.189207115, 1.189207115, 1.189207115 (32) III Số phức *Hàm evalc(z) trả dạng a+Ib số phức z + Ví dụ: O restart : O zd sqrt C3$I C5$I z := K I 29 29 1/ C3 I (33) O evalc z / 15 1/ C CI K C 29 29 29 29 * Hàm Re(z): trả phần thực số phức z (34) * Hàm Im(z):trả phần ảo số phức z +Ví dụ: O Re z / 15 C 29 29 (35) O Im z 1/4 K C 29 29 * Hàm conjugate(z): trả số phức liên hợp số phức z (36) O conjugate z 1/ C I K3 I 29 29 * Hàm abs(z): trả modun số phức z * Hàm evalf(z): trả số phức dạng a+Ib với a, b số thập phân (37) 12 +Ví dụ: O abs z 29 29 C9 (38) O evalf z 0.5992556631C0.001860842241 I (39) 13 CHƯƠNG : ỨNG DỤNG Bài 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình 5x^2-4x*y+y^2=169 Giải O isolve x^2K4 x * y Cy^2 = 169 ; x = K13, y = K26 , x = K12, y = K29 , x = K12, y = K19 , x = K5, y = K22 , x = K5, y (40) = , x = 0, y = K13 , x = 0, y = 13 , x = 5, y = K2 , x = 5, y = 22 , x = 12, y = 19 , x = 12, y = 29 , x = 13, y = 26 Bài 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình 3*x - 4*y=7 O restart : O isolve 3$ xK4 $y = 7,'t' ; x = C4 t, y = C3 t Bài 3: Viết phương trình tham số ñường thẳng * x K5 * y = 20 (41) O restart : O isolve 4$x K5$y = 20, t ; x = C5 t, y = t Bài 4: Viết phương trình tham số mặt phẳng : a 3$ x C4$y K7 z C20 = (42) b) 2*x+ 3*y + 5*z = Giải: a) O isolve 3$x C4$y K7$z C20 = 0, m, n ; x = K2 Cm C7 n, y = m, z = Cm C3 n (43) b) O restart : O isolve * x C * y C * z = 5, m, n ; x = K4 m K5 n, y = m, z = Cm C2 n (44) 14 O isolve * x C * y C * z K5 = 0, m, n ; x = K4 m K5 n, y = m, z = Cm C2 n Bài 5: Tìm tọa ñộ nguyên ñường cong : y= (2*x^2+5*x+3)/(x+1) (45) Giải O restart : O isolve y = 2$x C5$x C3 ,'t' x C1 x = K1 Ct, y = C2 t (46) O restart : Bài 6: Cho s1:={11,101,1001,10001,100001,10000001} Hãy ñếm số phần tử s1; viết dãy phần tử s1; lấy từ s1 phần tử thứ 4;kiểm tra xem 10010 có thuộc s1 không;chuyển s1 qua dạng danh sách; kiểm tra xem phần tử cuối s1 có phải số nguyên tố không, không phân tích thừa số nguyên tố; tìm ước chung lớn bội chung nhỏ 1001 10001 giải phương trình :1001* x+10001*y=uscln(1001,10001);tìm thương phần dư chia 10001 cho 1001 O s1 d 11, 101, 1001, 10001, 100001, 10000001 s1 := 11, 101, 1001, 10001, 100001, 10000001 (47) O nops s1 ; (48) 11, 101, 1001, 10001, 100001, 10000001 (49) 10001 (50) O op s1 ; O op 4, s1 O member 10010, s1 false (51) O convert s1, list 11, 101, 1001, 10001, 100001, 10000001 (52) 15 O isprime 10000001 ; false (53) O ifactor 10000001 11 909091 (54) (55) 10011001 (56) O igcd 1001, 10001 O ilcm 1001, 10001 O igcdex 1001, 10001,'x','y' ; x; y; 4446 K445 (57) (58) 992 (59) O iquo 10001, 1001 O irem 10001, 1001 Bài 7: kiểm tra số Phecma thứ 6,thứ 7,thứ 8,thứ 9,thứ 10 có phải số nguyên tố không, phân tích số phecma thứ thừa số nguyên tố O isprime C1 ; false (60) (61) false (62) false (63) false (64) false (65) O isprime C1 ; O isprime C1 O isprime C1 ; 10 O isprime C1 ; 16 O ifactor C1 ; 67280421310721 274177 (66) Bài : Tìm số nguyên tố thứ 100, sau ñó tìm số nguyên tố kề trước số nguyên tố kề sau Giải : O restart : O ithprime 100 ; 541 (67) 523 (68) 547 (69) O prevprime 541 ; O nextprime 541 Bài 9: Cho số phức z= *I+2)/(1-I) Viết z dạng a+b*I,xác ñịnh phần thực, phần ảo,tìm số phức liên hợp, môdun số phức z, viết số phức z dạng a+b*I với a,b số thập phân O restart : O zd $IC2 KI z := 1 C I 2 I C2 (70) C1 CI (71) O evalc z K C1 O Re z K C1 (72) O Im z (73) 17 C1 (73) O conjugate z 1 K I 2 KI C2 (74) O abs z 2 (75) O evalf z 0.1339745960 C1.866025404 I (76) O Bài 10: Tìm tất nghiệm nguyên phương trình x^3-x^2-3*x+2=0 O isolve x Kx K3$x C2 = x=2 (77) Bài 11: Lan có bìa hình chữ nhật kích thước 75cm 105cm Lan muốn cắt bìa thành mảnh nhỏ hình vuông cho bìa ñược cắt hết, không thừa mảnh Tính ñộ dài lớn cạnh hình vuông? ( số ño cạnh hình vuông nhỏ số tự nhiên ) Giải: Do số ño cạnh hình vuông số tự nhiên bìa ñược cắt hết nên ñộ dài cạnh hình vuông phải ước chung 75 105 ðộ dài lớn cạnh hình vuông ước chung lớn 75 105 O igcd 75, 105 ; 15 (78) ðáp số: 15cm Bài 12: ðội văn nghệ trường có 48 nam 72 nữ huyện ñể biểu diễn Muốn 18 phục vụ nhiều ñịa ñiểm, ñội dự ñịnh chia thành tổ gồm nam nữ, số nam ñược chia ñều vào tổ, số nữ Hỏi chia ñược nhiều thành tổ? Bài giải: Số tổ ñược chia nhiều ước chung lớn 48 72 O igcd 48, 72 ; 24 (79) ðáp số: 24 tổ Bài 13: Hai bạn An Bách học trường hai lớp khác An 10 ngày lại trực nhật, Bách 12 ngày lại trực nhật Lần ñầu hai bạn trực nhật vào ngày Hỏi sau ngày hai bạn lại trực nhật? Bài giải: Số ngày sau ñó hai bạn lại trực nhật bội chung nhỏ 10 12 O ilcm 10, 12 ; 60 (80) ðáp số: 60 ngày Bài 14: Có 64 người ñi tham quan loại xe: loại xe 12 chỗ ngồi loại xe chỗ ngồi Biết số người ñi vừa ñủ số ghế ngồi, hỏi loại có xe? Giải: Gọi số loại xe 12 chỗ ngồi x, số loại xe chỗ ngồi y Khi ñó x, y nguyên không âm thỏa mãn phương trình: 12x + 7y = 64 O isolve 12$x C7$y = 64,'t' ; x = C7 t, y = K12 t ðể x, y nguyên không âm t phải (81) 19 ðáp số: xe 12 chỗ ngồi xe chỗ ngồi Bài 15: Xét toán cổ : Một trăm trâu Một trăm bó cỏ Trâu ñứng ăn năm Trâu nằm ăn ba Lụ khụ Trâu già Ba bó Hỏi loại trâu có con? Giải Gọi số Trâu ñứng x, số Trâu nằm y, số Trâu già z (với quy ước toán, Trâu già không ñứng không nằm).Ta có O isolve x Cy Cz = 100, 5$x C3$y C z = 100 , m x = K100 C4 m, y = 200 K7 m, z = m O solve evalf (82) !K100 C4$m,K100 C4$m ! 100, ! 200 K7$m, 200 K7 $m ! 100, ! 3$m, 3$m ! 100 , m 25 ! m, m ! 28.57142857 (83) O x d 1$2 O x d m/K100 C4$m x := m/K100 C4 m (84) y := m/200 K7 m (85) z := m/3 m (86) 18 78 (87) O y d m/200 K7$m O z d m/3$m O x 26 ; y 26 ; z 26 ; O x 27 ; y 27 ; z 27 20 11 81 (88) 12 84 (89) O x 28 ; y 28 ; z 28 ; O Vậy toán có nghiệm, số Trâu ñứng, Trâu nằm, Trâu già :(4;18;78) (8;11;81) (12;4;84) KẾT LUẬN Maple thực ñược hầu hết phép toán chương trình toán ñại học phổ thông với giao diện thân thiện dễ dùng Ở ñây ñã trình bày bước số học vấn ñề liên quan, giới thiệu câu lệnh, hàm phổ dụng Maple chương trình tính toán ña dạng, lại ñược cập nhật năm nên truyền tải giới thiệu hết Các bước tiếp cận tiểu luận giúp người ñọc làm quen với chương trình sau tự khai phá tìm hiểu ñược nhiều Nhóm ñã dành nhiều thời gian nghiên cứu, thảo luận, ñược hướng dẫn nhiệt tình, chu ñáo Thầy PGS.TSKH Trần Quốc Chiến, thời gian thực hạn chế nên chắn ñề tài không tránh khỏi thiếu sót Xin ghi nhận ñóng góp Thầy bạn học viên lớp Chúng lần chân thành cảm ơn giảng dạy hướng dẫn nhiệt tình Thầy dành cho Xin cảm ơn người ñi trước ñã giúp ñỡ hoàn thành ñề tài 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] PGS.TSKH Trần Quốc Chiến - Giáo trình phần mềm toán học - 2008 (Lưu hành nội bộ) [2] HÀ HUY KHOÁI - SỐ HỌC-Chuyên ñề bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học phổ thông [3] Phạm Huy ðiển - Tính toán, lập trình giảng dạy toán học Maple - NXB Khoa học Kỹ thuật  ... tính theo bùng nổ công nghệ thông tin, muốn ñưa Maple vào dạy học nhà trường phổ thông, cụ thể ñó Số học Nhóm xin trình bày ñề tài: MAPLE VÀ ỨNG DỤNG TRONG SỐ HỌC” với hi vọng dạy học sinh cách... 5.Phương trình nghiệm nguyên 5.1.Hàm maple * Hàm isolve(f(x,y,z,…)=a): Trả nghiệm nguyên phương trình f(x,y,z,…) = a theo ẩn x, y, z,… +Ví dụ: O restart : O isolve 2$x K1$y = 1,'t' ; x = t, y =... (18) O isolve x K4$ y = 1,'t' O nops % O isolve 3$x C4$y K5$z = 6, m, n Ghi chú: Ký hiệu _Z1 tham số nhận giá trị nguyên Muốn biểu diễn nghiệm theo tham số khác, ta khai báo tham số hàm isolve