Tiểu luận sai phân Toán Học

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM    - BÀI TIỂU LUẬN Đề tài: LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN RUNGHE-KUTTA CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG SO SÁNH VỚI LƯỢC ĐỒ ADAMS GVHD : TS Lê Hải Trung Nhóm học viên: Phan Thanh Phượng Nguyễn Thị Nguyệt Tống Thiên Long Nguyễn Thế Việt Huỳnh Thị Kim Thoa Đà Nẵng, tháng 12 năm 2012 PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC Đề tài: So sánh lược đồ sai phân Runghe_Kutta lược đồ sai phân Adams STT Họ tên Công việc Phan Thanh Phượng Nguyễn Thị Nguyệt Tống Thiên Long Nguyễn Thế Việt Huỳnh Thị Kim Thoa Cơ sở lý thuyết Ứng dụng Ứng dụng Cơ sở lý thuyết Viết báo cáo Chữ ký Nhận xét GVHD MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU .3 Chương 1: Cơ sở lý thuyết 1.1 Khái quát lược đồ sai phân 1.1.1 Khái niệm lược đồ 1.1.2 Cấp xác lược đồ .4 1.1.3 Tốc độ hội tụ nghiệm sai phân 1.1.4 Cấp xấp xỉ 1.2 Lược đồ sai phân Runghe-Kutta 1.2.1 Sự ổn định phương pháp Runge-Kutta bậc hai .9 1.2.2 Sự ổn định phương pháp Runge-Kutta bậc bốn 10 1.3 Lược đồ sai phân Adams 11 1.4 So sánh lược đồ Runghe-Cutta lược đồ Adams .11 Chương : Ứng dụng .13 KẾT LUẬN .18 TÀI LIỆU THAM KHẢO 18 GVHD: TS Lê Hải Trung Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25 Trang Đề tài: So sánh lược đồ sai phân Runghe_Kutta lược đồ sai phân Adams LỜI MỞ ĐẦU Phương pháp sai phân (hay gọi phương pháp lưới) phương pháp áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật Nội dung đưa toán cần xét việc giải phương trình sai phân hệ phương trình sai phân (tức hệ thức hệ thức liên hệ giá trị hàm số điểm khác hàm số đối số nguyên) Phương pháp sai phân phương pháp hiệu để giải toán vi phân thường toán đạo hàm riêng Người ta xem phương pháp vạn để giải toán lĩnh vực Trong toán học ứng dụng có nhiều toán liên quan đến phương trình vi phân Việc giải phương trình vi phân yêu cầu quan trọng thực tiễn Trong đại đa số trường hợp, với toán có hệ số biến thiên, toán miền nghiệm tường minh có phức tạp Vì vậy, ta phải nhờ tới phương pháp xấp xỉ để tìm nghiệm gần Tập hợp điểm ta dùng để lập phương trình sai phân thay cho phương trình vi phân gọi lược đồ sai phân Đôi người ta gọi phương trình sai phân nhận lược đồ sai phân Với thành tựu máy tính nay, thời gian giải toán vi phân tính giây, hay người ta thường nói, so sánh với thời gian viết vế phải Nhưng nhu cầu thực tiễn phát triển lý thuyết toán học, nhà toán học tìm nhiều phương pháp để giải gần phương trình vi phân thường như: phương pháp chuỗi Taylor, phương pháp Runghe-Kutta, phương pháp Adams,… Hiện nay, người ta dùng phương pháp sai phân để xét chứng minh tồn nghiệm toán vi phân Vậy phương pháp sai phân có nhiều điểm khác biệt hay tương đồng với nhau? Trong tiểu luận Nhóm so sánh hai phương pháp(hay hai lược đồ sai phân): Runghe-Cutta Adams GVHD: TS Lê Hải Trung Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25 Trang Đề tài: So sánh lược đồ sai phân Runghe_Kutta lược đồ sai phân Adams Chương 1: Cơ sở lý thuyết 1.1 Khái quát lược đồ sai phân 1.1.1 Khái niệm lược đồ Xét phương trình vi phân: du + Au = 0, ≤ x ≤ 1, u ( ) = b dx (1) Ta xét lược đồ sai phân đơn giản sau: - Chia đoạn [ 0,1] thành N đoạn nhỏ điểm chia = x0 < x1 < < xN = - Khi ta có xi +1 − xi = hi gọi bước lưới thứ i - Tập điểm xi , i = 0,1, , N gọi lưới - Các điểm xi , i = 1, 2, , N − điểm lưới trong, x0 , xN điểm lưới biên Trong phương trình (1) ta thay đạp hàm tỷ sai phân được: u ( x + h) − u ( x) + Au ( x ) = h (2) -Khi đó, tập hợp điểm ta dùng để viết (2) thay cho (1) gọi lược đồ sai phân Bản thân phương trình sai phân (2) người ta gọi lược đồ sai phân -Như vậy, ta sử dụng điểm x x + h nên lược đồ sai phân điểm -Nếu hi = h, ∀i ( h > ) lưới ký hiệu ωh = { ih, i = 0, , N } gọi lưới -Giá trị hàm số u ( xi ) ký hiệu: ui , i = 0, , N gọi hàm lưới 1.1.2 Cấp xác lược đồ Giải phương trình (1) vi phân ta có nghiệm là: GVHD: TS Lê Hải Trung Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25 Trang Đề tài: So sánh lược đồ sai phân Runghe_Kutta lược đồ sai phân Adams u ( x + h) − u ( x − h) h2 = u ' ( x ) + u "' ( x ) + o ( h ) 2h u ( x ) = b.e − Ax ⇒ u ( xn ) = b.e − Axn nghiệm (1)   Để đơn giản người ta xét lưới ωh = ih, h =  , i = 0,1, , N  Khi N  đó, u0 = u ( ) = b , (2) có dạng: un +1 − un + Aun = ⇔ un +1 = ( − Ah ) un , u0 = b h (3) Giải phương trình sai phân ta nghiệm: xn un = ( − Ah ) b = ( − Ah ) h b n Để khảo sát giảm sai số δ ( x ) h = ( − Ah ) xn h Ta : δ ( xn ) = hb giảm ta khai triển N A2 xn − Axn e + o ( h ) = o ( h ) (tức sai số δ ( x ) dần tới h → δ ( x ) có cấp 1) Ta nói lược đồ sai phân (3) có cấp Ví dụ: Cho lược đồ: u ( x + h) − u ( x − h) + Au ( x ) = 0, u0 = u ( ) = b 2h (4) Đây lược đồ sai phân điểm ta sử dụng diểm x + h, x, x − h có độ xác cấp 1.1.3 Tốc độ hội tụ nghiệm sai phân -Nếu giá trị ban đầu u1 cho với độ xác cấp h nghiệm sai phân có sai số cấp h , tức lược đồ sai phân có độ xác cấp -Nếu giá trị ban đầu u1 cho với độ xác cấp h nghiệm sai phân có sai số cấp h Vậy đó, cấp xác nghiệm sai phân không thay đổi GVHD: TS Lê Hải Trung Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25 Trang Đề tài: So sánh lược đồ sai phân Runghe_Kutta lược đồ sai phân Adams 1.1.4 Cấp xấp xỉ Xét hai phương trình (2) (4), ta thấy lược đồ sai phân (2) xác thấp lược đồ sai phân (4) Hai lược đồ khác chỗ xấp xỉ du u ( x + h) − u ( x ) u ( x + h) − u ( x − h) dx h 2h Thật vậy, dùng khai triển Taylor Ta có: u ( x + h) − u ( x) h = u ' ( x ) + u " ( x ) + o ( h ) có xấp xỉ cấp h u ( x + h) − u ( x − h) h2 = u ' ( x ) + u "' ( x ) + o ( h ) có xấp xỉ cấp 2h Chúng ta lầm tưởng rằng: cấp hội tụ nghiệm làm cho cấp xấp xỉ đạo hàm Điều không lược đồ sai phân dùng phải có điều kiện ổn định Một lược đồ gọi không ổn định nghiệm sai phân un không hội tụ nghiệm u ( xn ) phương trình vi phân 1.2 Lược đồ sai phân Runghe-Kutta Phương pháp Runghe-Kutta phương pháp ước lượng giá trị nghiệm y ( t ) phương trình vi phân đưa dạng dy = f ( t , y ) với giá trị dt khởi đầu: ( t0 , y ( t0 ) ) Từ điểm khởi đầu ( t0 , y ( t0 ) ) , phương pháp ước lượng điểm biến t dịch chuyển đoạn h Điều có nghĩa điểm : ( t0 + h, y ( t0 + h ) ) tiếp tục suy điểm (t + 2h, y ( t0 + 2h ) ) , , ( t0 + nh, y ( t0 + nh ) ) Ở bước dịch h giá trị trung h gian y f liên quan đến phần dịch tính toán Mô tả cụ thể phương pháp Runghe-Kutta bậc 4: GVHD: TS Lê Hải Trung Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25 Trang Đề tài: So sánh lược đồ sai phân Runghe_Kutta lược đồ sai phân Adams  y′( x) = f ( x, y )  y (a ) = α Xét toán Cauchy  (1) Giả sử ta tìm giá trị gần yi y ( xi ) muốn tính yi +1 y ( xi +1 ) Trước hết ta viết công thức Taylor: y ( xi +1 ) = y ( xi ) + hy′( xi ) + h2 hm (m) h m +1 ( m +1) y′′( xi ) + ×××+ y ( xi ) + y (c ) m! m! với c ∈ ( xi , xi +1 ) và: y ′( xi ) = f [ xi , y ( xi ) ] d k −1 y ( xi ) = k −1 f [ xi , y ( xi ) ] dx (k ) Ta viết lại (1) dạng: yi +1 − yi = hy ′( xi ) + h2 hm ( m) h m +1 ( m +1) y′′( xi ) + ×××+ y ( xi ) + y (c ) m! m! (2) Ta kéo dài khai triển Taylor để kết xác Để tính yi' , yi'' , ta dùng phương pháp Runge-Kutta cách đặt: yi +1 − yi = r1k1( i ) + r2 k2( i ) + r3 k3( i ) + r4 k 4( i ) (3) đó:  k1( i ) = hf ( xi , yi )  (i) (i )  k2 = hf ( xi + ah, yi + α k1 )  (i) (i ) (i )  k3 = hf ( xi + bh, yi + β k1 + γ k2 )   (4) ta cần xác định hệ số a, b, ; α , β , γ , ; r1 , r2 cho vế phải (3) khác với vế phải (2) vô bé cấp cao có h Khi dùng công thức Runge-Kutta bậc hai ta có: (i)  k1 = hf ( xi , yi )  (i) (i )  k2 = hf ( xi + ah, yi + α k1 ) (5) yi +1 − yi = r1k1( i ) + r2 k2( i ) (6) Ta có: GVHD: TS Lê Hải Trung Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25 Trang Đề tài: So sánh lược đồ sai phân Runghe_Kutta lược đồ sai phân Adams y ' = f  x, y ( x )  y ′′( x ) = f x′ [ x, y ( x) ] + f y′ [ x, y ( x) ] Do vế phải (2) là: hf ( xi , yi ) + h2  f x′( xi , yi ) + f y′( xi , yi )  y ′( x) + ×××  (7) Mặt khác theo (5) theo công thức Taylor ta có: k1(i ) = hf ( xi , yi ) = hyi′ k2(i ) = h[ f ( xi , yi ) + ahf x′( xi , yi ) + α k1( i ) f y′( xi , yi ) + ×××] Do vế phải (6) là: h(r1 + r2 ) f ( xi , yi ) + h [ar2 f x′( xi , yi ) + α r2 yi′ f y′( xi , yi )] + ××× (8) Bây cho (7) (8) khác vô bé cấp O ( h ) ta tìm hệ số chưa biết cân số hạng chứa h chứa h :  r1 + r2 =    a.r1 =  α r2 = Như vậy: Nếu a =  α = a  2a −  , với a chọn  r1 = a    r2 = 2a  r1 =  Lúc ta nhận công thức Euler  r2 = 1   r1 = Nếu a =  Lúc ta nhận công thức Euler cải tiến r =  2 Một cách tương tự nhận công thức Runge - Kutta bậc Công thức hay dùng tính toán thực tế : GVHD: TS Lê Hải Trung Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25 Trang Đề tài: So sánh lược đồ sai phân Runghe_Kutta lược đồ sai phân Adams Cho trước ( t0 , y ( t0 ) ) Ở bước thứ j tổng quát, thực phép tính sau: k0 = f ( t j , y j ) h h   k1 = f  t j + , y j + k0 ÷ 2   h h   k2 = f  t j + , y j + k1 ÷ 2   k3 = f ( t j + h, y j + hk2 ) Suy giá trị ước lượng y ( t j +1 ) : y j +1 = y j + ( k0 + 2k1 + 2k + k3 ) h 1.2.1 Sự ổn định phương pháp Runge-Kutta bậc hai Xét phương pháp Runge-Kutta bậc hai cho phương trình thử Ta có: k1 = hf ( x n , t n ) = λhx n ; k = hf ( x n + k1 , t n + h) = λh( x n + k1 ) = λh( x n + λhx n ) = λh(1 + λh ) x n x n +1  1 λ2 h  ( ) ( ( ) ) = x n + k1 + k = x n + λ h + λ h + λ h x n = 1 + λ h + 2    x n  λ2 h σ ≤ Để phương pháp ổn định , σ = + λh + Trường hợp λ số thực Khi + λh + λ2 h ≤ hay − ≤ λh ≤ Trường hơp λ = iω ảo, ω ≠ Khi σ = + ω h > Phương pháp không ổn định Trường hợp λ = λ R + iλ I số phức Khi + λh + λ2 + λ2I  λ2 h  = 1 + λ R h + R h  + i ( λ I + λ R λ I ) số phức 2   GVHD: TS Lê Hải Trung Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25 Trang Đề tài: So sánh lược đồ sai phân Runghe_Kutta lược đồ sai phân Adams Đặt + λh + λ2 h = e iθ tìm nghiệm phức λh phương trình bậc hai theo giá trị θ Nhận xét σ = với giá trị θ 1.2.2 Sự ổn định phương pháp Runge-Kutta bậc bốn Xét phương pháp Runge-Kutta bậc bốn cho phương trình thử Ta có: k1 = hf ( x n , t n ) = λhx n ; k    λh  k = λh x n +  = λh( x n + λhx n ) = λh1 +  xn ; 2     λh λ h k    λh    k = λh x n +  = λh x n + λh1 + +  x n  = λh1 + 2         λh λ h k = λh( x n + k ) = λh x n + λh1 + +   Và x n +1 = x n +   x n ;     λ h λ3 h   x n  = λh1 + λh +  xn +      2 3 4   ( k1 + 2k + 2k + k ) = 1 + λh + λ h + λ h λ h  x n 3! 4!   λ h λ3 h λ h σ ≤ + Để phương pháp ổn định , σ = + λh + 3! 4! Trường hợp λ số thực Khi − 2.785 ≤ λh ≤ Trường hơp λ = iω ảo, ω ≠ Khi ≤ λh ≤ 2 Trường hợp λ = λ R + iλ I số phức Đặt + λh + λ h λ3 h λ h + = e iθ 3! 4! tìm nghiệm phức λh phương trình bậc bốn theo giá trị θ Nhận xét σ = với giá trị θ Miền ổn định Hình GVHD: TS Lê Hải Trung Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25 Trang 10 Đề tài: So sánh lược đồ sai phân Runghe_Kutta lược đồ sai phân Adams 1.3 Lược đồ sai phân Adams Phương pháp Adams phương pháp ước lượng giá trị nghiệm y ( t ) phương trình vi phân đưa dạng y ' = f ( y, t ) với k + giá trị khởi đầu: ( t0 , y ( t0 ) ) , , ( tk , y ( tk ) ) Ta tìm giá trị ước lượng điểm biến t dịch chuyển đoạn h Tuy nhiên giá trị trung gian tham khảo biến t với giá trị dịch chuyển h mà giá trị tham khảo giá trị y trước Phương pháp dựa khai triển lân cận Maclaurin Mô tả cụ thể phương pháp: (với k = ) Cho trước ( t0 , y ( t0 ) ) , ( t1 , y ( t1 ) ) , ( t2 , y ( t2 ) ) Ở bước thứ j tổng quát, thực phép tính sau: y j +1 = y j + ( h 23 f ( t j , y j ) − 16 f ( t j −1 , y j −1 ) + f ( t j −2 , y j −2 ) 12 ) 1.4 So sánh lược đồ Runghe-Cutta lược đồ Adams Khác nhau: Phương pháp Runghe-Cutta - Cần cặp giá trị khởi đầu Phương pháp Adams - Cần nhiều cặp giá trị khởi đầu (k+1 cặp) - Giá trị trung gian tham khảo để tính - Giá trị trung gian tham khảo để tính điểm nằm điểm nằm h  y  t j + ÷, 2   h  h  f  t j + , y  t j + ÷÷    y ( t j − h ) , y ( t j − 2h ) , , y ( t j − kh ) ( f (t ) ( − kh, y ( t − kh ) ) ) f t j − h, y ( t j − h ) , f t j − 2h, y ( t j − 2h ) , , - Runghe-Cutta coi phương pháp “non-memory” j j - Do giá trị khứ sử dụng lại, phương pháp Adams gọi GVHD: TS Lê Hải Trung Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25 Trang 11 Đề tài: So sánh lược đồ sai phân Runghe_Kutta lược đồ sai phân Adams phương pháp có “memory” Giống nhau: - Đều phương pháp ước lượng giá trị cụ thể cho hàm y ( t ) với y ( t ) nghiệm phương trình vi phân đưa dạng: - Đều ước lượng bước, mở rộng từ điểm khởi đầu thông qua vòng lặp - Đều phương pháp dựa xấp xỉ theo bậc hàm đa thức (khai triển Maclaurin) GVHD: TS Lê Hải Trung Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25 Trang 12 Đề tài: So sánh lược đồ sai phân Runghe_Kutta lược đồ sai phân Adams Chương : Ứng dụng 2.1 Phương pháp Runge-Kutta 2.1.1 Bài toán dy 2 Giải toán giá trị ban đầu dx = x + y , y (0) = phương pháp RungeKutta X y với h = 0,01 y với h = 0,005 y với h = 0,0025 0,5 2.0670 2.0670 2.0670 0,6 2.6440 2.6440 2.6440 0,7 3.6529 3.6529 3.6529 0,8 5.8486 5.8486 5.8486 0,9 14.3048 14.3049 14.3049 Bảng cho kết phương pháp Runge - Kutta đoạn [0,0; 0,9] với bước h = 0,1; h = 0,005 h = 0,0025 Tuy khó khăn gần điểm x = 0,9 Nhưng kết luận y(0,5) ≈ 2,0670 X 0,1 0,3 y với h = 0,1 1.1115 1.4397 y với h = 0,05 1.1115 1.4397 y với h = 0,025 1.1115 1.4397 2.1.2 Bài toán Dùng phương pháp Runge - Kutta để giải toán giá trị ban đầu sau dy = x + y, y (0) = dx x Có nghiệm xác y(x) = 2e - x - Lấy h = 0.5, ta có k1 = + = k2 = (0 + 0.25) + [1 + (0.25).(1)] = 1.5 k3 = (0 + 0.25) + [1 + (0.25).1.5] = 1.625 k4 = 0.5 + [(1 + 0.5) (1.625)] = 2.3125 GVHD: TS Lê Hải Trung Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25 Trang 13 Đề tài: So sánh lược đồ sai phân Runghe_Kutta lược đồ sai phân Adams Do đó: y1 = + 0.5 + [ + 2.1.5 + 2.1.625 + 2.3125] ≈ 1.7969 Tương tự thực bước ta có k1 = 0.5 + 1.7969 = 2.969 k2 = 0.5 + 25 + 1.7969 + 0.25.k1 k3 = 0.5 + 0.25 + 1.7969 + 0.25k2 k4 = 1+ 1.7969 + 0.25k3 2.2 So sánh Phương pháp Runge-Kutta Phương pháp Adams 2.2.1 Bài toán 3: Tìm xấp xỉ nghiệm phương trình vi phân y ( x) đoạn [1,2], biết: xy ' = x − y + y , thỏa điều kiện đầu y ( 1) = Nghiệm phương trình y ( x ) = ± x , với điều kiện đầu y ( 1) = , suy y ( x ) = x Kết dùng để so sánh với nghiệm thực Giải: Tính toán xấp xỉ hàm y ( x) thực nghiệm y ( x) * Dùng phương pháp Runge-Kutta bậc 4: y ' = x2 − y2 + y x Khởi đầu từ điều kiện đầu: y ( 1) = , tính toán điểm với h=0.1, ta có kết tính toán đoạn [1,2] chương trình Matlab bên trái bảng x2 − y2 + y x Khởi đầu từ điều kiện đầu: y ( 1) = , y ( 1.1) = 1.1 , y ( 1.2 ) = 1.2 , (chú ý * Dùng phương pháp Adams với k = 2: y ' = điều kiện đầu cần nhiều thông tin hơn: cặp giá trị khởi đầu), tính toán điểm với h=0.1, ta có kết tính toán đoạn [1,2] chương trình Matlab bên phải bảng Chú ý: Phần in nghiêng bôi đậm phần liệu biết, điều kiện đầu để khởi động trình xấp xỉ Bảng 1: Kết tính toán Bài toán 3: Runge-Kutta X y 1.0000000000000 1.000000000000000 GVHD: TS Lê Hải Trung Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25 Adams x y 1.00000000000 1.00000000000 Trang 14 Đề tài: So sánh lược đồ sai phân Runghe_Kutta lược đồ sai phân Adams 1.10000000000000 1.20000000000000 1.30000000000000 1.40000000000000 1.50000000000000 1.60000000000000 1.70000000000000 1.80000000000000 1.90000000000000 2.00000000000000 1.104210180700229 1.211042813112049 1.318053559644893 1.424824911269229 1.531453832081012 1.637753151103550 1.743759916191817 1.849425652623294 1.954759209204868 2.059959647804608 1.10000000000 1.10000000000 1.20000000000 1.20000000000 1.30000000000 1.30000000000 1.40000000000 1.40000000000 1.50000000000 1.50000000000 1.60000000000 1.60000000000 1.70000000000 1.70000000000 1.80000000000 1.80000000000 1.90000000000 1.90000000000 2.00000000000 2.00000000000 Ở nghiệm thực kết ước lượng vẽ đồ thị để dễ so sánh Phương pháp Runge-Kutta cho kết bên trái hình phương pháp Adams cho kết bên phải hình Độ dịch h = 0.01 Hình 2: Kết đồ thị cho Bài toán 2.2.2 Bài toán π π  Tìm nghiệm phương trình vi phân đoạn  , + 0.5 : 2  y ln y π  y'= y  ÷= e , thỏa điều kiện đầu sin x ( ) 2 Nghiệm thực phương trình y ( x ) = e x tg  ÷ 2 Kết dùng để so sánh với nghiêm thực Giải: y ln y Dùng phương pháp Runge-Kutta bậc 4: y ' = sin x ( ) GVHD: TS Lê Hải Trung Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25 Trang 15 Đề tài: So sánh lược đồ sai phân Runghe_Kutta lược đồ sai phân Adams π  Khởi đầu từ điều kiện đầu: y  ÷ = e , tính toán điểm 2 π π  với h=0.05, ta có kết tính toán đoạn  , + 0.5 chương trình 2  Matlab bên trái bảng 2: y ln y Dùng phương pháp Adams với k=2: y ' = sin x ( )  π  π  tg  y = e Khởi đầy từ điều kiện ban đầu:  ÷ , y  + 0.05 ÷ = e 2 2   π + 0.2  ÷  π  tg  y  + 0.1÷ = e  2  π + 0.1  ÷  , (chú ý điều kiện đầu cần nhiều thông tin hơn: cặp giá trị khởi đầu), tính toán điểm với h=0.05, ta có kết π π  tính toán đoạn  , + 0.5 chương trình Matlab bên trái bảng 2  Bảng 2: Kết tính toán Bài toán 4: Runge-Kutta x Adams y 1.570796326794 2.718281828459 1.620796326794 2.860069824145 1.670796326794 3.017413869262 1.720796326794 3.192985231660 1.770796326794 3.390068631151 1.820796326794 3.612741184469 1.870796326794 3.866115431139 1.920796326794 4.156673992120 1.970796326794 4.492737415287 2.020796326794 4.885129081214 2.070796326794 5.348137406503 Chú ý: Phần in nghiêng bôi x y 1.570796326794 1.620796326794 1.670796326794 1.7207963267948 1.7707963267948 1.8207963267948 1.8707963267948 1.9207963267948 1.9707963267948 2.0207963267948 2.0707963267948 đậm phần liệu 2.71828182845904 2.86134848448742 3.02029826720742 3.19768347469934 3.39701140136231 3.62250091136207 3.87942494004382 4.17448524214145 4.51630246528023 4.91611449208914 5.38879047611274 biết, điều kiện đầu để khởi động trình xấp xỉ Ở nghiệm thực kết ước lượng vẽ đồ thị để dễ so sánh Phương pháp Runge-Kutta cho kết bên trái hình phương pháp Adams cho kết bên phải hình Độ dịch h = 0.05 GVHD: TS Lê Hải Trung Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25 Trang 16 Đề tài: So sánh lược đồ sai phân Runghe_Kutta lược đồ sai phân Adams Hình 3: Kết đồ thị cho Bài toán Nhận xét chung : - Càng xa điểm (các điểm) khởi đầu sai số cao! - Adams cho kết xác Runge-Kutta thông tin ban đầu cung cấp nhiều (Adams cần tới cặp giá trị khởi tạo k=2 Runge-Kutta cần cặp) GVHD: TS Lê Hải Trung Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25 Trang 17 Đề tài: So sánh lược đồ sai phân Runghe_Kutta lược đồ sai phân Adams KẾT LUẬN Phương pháp sai phân phương pháp hiệu để giải toán vi phân thường toán đạo hàm riêng Người ta xem phương pháp vạn để giải toán lĩnh vực Trong toán học ứng dụng có nhiều toán liên quan đến phương trình vi phân Việc giải phương trình vi phân yêu cầu quan trọng thực tiễn Được tiếp cận với phương pháp sai phân qua môn học “Phương Pháp Sai Phân” giảng dạy nhiệt tình Thầy TS.Lê Hải Trung giúp tiếp cận với phương trình vi phân cách cụ thể Nhằm mở rộng kiến thức học Nhóm nghiên cứu đề tài “Lược đồ sai phân Rughe-Kutta cho phương trình vi phân thường so sánh với lược đồ Adams” Xin chân thành cảm ơn thầy có buổi dạy nhiệt tình để chúng em có kiến thức định môn học ! TÀI LIỆU THAM KHẢO Giáo trình “Phương trình sai phân số ứng dụng” _ Lê Đình Thịnh_Đặng Đình Châu_Lê Đình Định_Phan Văn Hạp http://mathworld.wolfram.com/AdamsMethod.html GVHD: TS Lê Hải Trung Nhóm Học viên: Nhóm 1_ PP Toán Sơ Cấp K25 Trang 18 ... lược đồ sai phân Runghe_Kutta lược đồ sai phân Adams KẾT LUẬN Phương pháp sai phân phương pháp hiệu để giải toán vi phân thường toán đạo hàm riêng Người ta xem phương pháp vạn để giải toán lĩnh... nghiệm sai phân -Nếu giá trị ban đầu u1 cho với độ xác cấp h nghiệm sai phân có sai số cấp h , tức lược đồ sai phân có độ xác cấp -Nếu giá trị ban đầu u1 cho với độ xác cấp h nghiệm sai phân có sai. .. sai phân để xét chứng minh tồn nghiệm toán vi phân Vậy phương pháp sai phân có nhiều điểm khác biệt hay tương đồng với nhau? Trong tiểu luận Nhóm so sánh hai phương pháp(hay hai lược đồ sai phân) :