Tiểu luận sai phân long

LỜI MỞ ĐẦU Phương pháp sai phân (hay gọi phương pháp lưới) phương pháp áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật Nội dung đưa toán cần xét việc giải phương trình sai phân hệ phương trình sai phân ( tức hệ thức hệ thức liên hệ giá trị hàm số điểm khác hàm số đối số nguyên) Phương pháp sai phân phương pháp hiệu để giải toán vi phân thường toán đạo hàm riêng Người ta xem phương pháp vạn để giải toán lĩnh vực Trong toán học ứng dụng có nhiều toán liên quan đến phương trình vi phân Việc giải phương trình vi phân yêu cầu quan trọng thực tiễn Trong đại đa số trường hợp, với toán có hệ số biến thiên, toán miền nghiệm tường minh có phức tạp Vì vậy, ta phải nhờ tới phương pháp xấp xỉ để tìm nghiệm gần Tập hợp điểm ta dùng để lập phương trình sai phân thay cho phương trình vi phân gọi lược đồ sai phân Đôi người ta gọi phương trình sai phân nhận lược đồ sai phân Tuy với thành tựu máy tính nay, thời gian giải toán vi phân tính giây, hay người ta thường nói, so sánh với thời gian viết vế phải Nhưng nhu cầu thực tiễn phát triển lý thuyết toán học, nhà toán học tìm nhiều phương pháp để giải gần phương trình vi phân thường ( phương pháp chuỗi Taylor, phương pháp Runghe-Kutta, phương pháp Ađam,…) Hiện nay, người ta dùng phương pháp sai phân để xét chứng minh tồn nghiệm toán vi phân Vậy phương pháp sai phân có nhiều điểm khác biệt hay tương đồng với nhau? Trong so sánh hai phương pháp(hay hai lược đồ sai phân): Runghe-Cutta Ađam Chương 1: Cơ sở lý thuyết 1.1 Khái quát lược đồ sai phân: 1.1.1 Khái niệm lược đồ: Xét phương trình vi phân: du + Au = 0, ≤ x ≤ 1, u ( ) = b dx (1) Ta xét lược đồ sai phân đơn giản sau: - Chia đoạn [ 0,1] thành N đoạn nhỏ điểm chia = x0 < x1 < < xN = - Khi ta có xi +1 − xi = hi gọi bước lưới thứ i - Tập điểm xi , i = 0,1, , N gọi lưới - Các điểm xi , i = 1, 2, , N − điểm lưới trong, x0 , xN điểm lưới biên Trong phương trình (1) ta thay đạp hàm tỷ sai phân được: u ( x + h) − u ( x) + Au ( x ) = h (2) -Khi đó, tập hợp điểm ta dùng để viết (2) thay cho (1) gọi lược đồ sai phân Bản thân phương trình sai phân (2) người ta gọi lược đồ sai phân -Như vậy, ta sử dụng điểm x x + h nên lược đồ sai phân điểm -Nếu hi = h, ∀i ( h > ) lưới ký hiệu ωh = { ih, i = 0, , N } gọi lưới -Giá trị hàm số u ( xi ) ký hiệu: ui , i = 0, , N gọi hàm lưới 1.1.2 Cấp xác lược đồ: Giải phương trình (1) vi phân ta có nghiệm là: u ( x + h) − u ( x − h) h2 = u ' ( x ) + u "' ( x ) + o ( h ) 2h u ( x ) = b.e − Ax ⇒ u ( xn ) = b.e − Axn nghiệm (1)   Để đơn giản người ta xét lưới ωh = ih, h =  , i = 0,1, , N  Khi đó, N  u0 = u ( ) = b , (2) có dạng: un +1 − un + Aun = ⇔ un +1 = ( − Ah ) un , u0 = b h (3) Giải phương trình sai phân ta nghiệm: xn un = ( − Ah ) b = ( − Ah ) h b n Để khảo sát giảm sai số δ ( x ) h = Ta : δ ( xn ) xn giảm ta khia triển ( − Ah ) h N A2 xn − Axn = hb e + o ( h ) = o ( h ) (tức sai số δ ( x ) dần tới h → δ ( x ) có cấp 1) Ta nói lược đồ sai phân (3) có cấp Ví dụ: Cho lược đồ: u ( x + h) − u ( x − h) + Au ( x ) = 0, u0 = u ( ) = b 2h (4) Đây lược đò sai phân điểm ta sử dụng diểm x + h, x, x − h x + h, x, x − h có độ xác cấp 1.1.3 Tốc độ hội tụ nghiệm sai phân: -Nếu giá trị ban đầu u1 cho với độ xác cấp h nghiệm sai phân có sai số cấp h , tức lược đồ sai phân có độ xác cấp -Nếu giá trị ban đầu u1 cho với độ xác cấp h nghiệm sai phân có sai số cấp h Vậy cấp xác nghiệm sai phân không thay đổi 1.1.4 Cấp xấp xỉ: Xét hai phương trình (2) (4), ta thấy lược đồ sai phân (2) xác thấp lược đồ sai phân (4) Hai lược đồ khác chỗ xấp xỉ du dx u ( x + h) − u ( x) u ( x + h) − u ( x − h) h 2h Thật vậy, dùng khai triển Taylor Ta có: u ( x + h) − u ( x) h = u ' ( x ) + u " ( x ) + o ( h ) có xấp xỉ cấp h u ( x + h) − u ( x − h) h2 = u ' ( x ) + u "' ( x ) + o ( h ) có xấp xỉ cấp 2h Chúng ta lầm tưởng rằng: cấp hội tụ nghiệm làm cho cấp xấp xỉ đạo hàm Điều không lược đồ sai phân dùng phải có điều kiện ổn định Một lược đồ gọi không ổn định nghiệm sai phân un không hội tụ nghiệm u ( xn ) phương trình vi phân 1.2 Lược đồ sai phân Runghe-Kutta: Phương pháp Runghe-Kutta phương pháp ước lượng giá trị nghiệm y ( t ) phương trình vi phân đưa dạng dy = f ( t , y ) với giá trị khởi dt đầu: ( t0 , y ( t0 ) ) Từ điểm khởi đầu ( t0 , y ( t0 ) ) , phương pháp ước lượng điểm biến t dịch chuyển đoạn h Điều có nghĩa điểm : (t + h, y ( t + h ) ) tiếp tục suy điểm (t + 2h, y ( t0 + 2h ) ) , , ( t0 + nh, y ( t0 + nh ) ) Ở bước dịch h giá trị trung gian h y f liên quan đến phần dịch tính toán Mô tả cụ thể phương pháp (Runghe-Kutta bậc 4): Cho trước ( t0 , y ( t0 ) ) Ở bước thứ j tổng quát, thực phép tính sau: k0 = f ( t j , y j ) h h   k1 = f  t j + , y j + k ÷ 2   h h   k2 = f  t j + , y j + k1 ÷ 2   k3 = f ( t j + h, y j + hk2 ) Suy giá trị ước lượng y ( t j +1 ) : y j +1 = y j + ( k0 + 2k1 + 2k2 + k3 ) h 1.2.1 Sự ổn định phương pháp Runge-Kutta bậc hai: Xét phương pháp Runge-Kutta bậc hai cho phương trình thử Ta có: k1 = hf ( x n , t n ) = λhx n ; k = hf ( x n + k1 , t n + h) = λh( x n + k1 ) = λh( x n + λhx n ) = λh(1 + λh ) x n x n +1 = x n + 2  ( k1 + k ) = x n + ( λh + λh(1 + λh ) ) x n = 1 + λh + λ h 2    x n  λ2 h σ ≤ Để phương pháp ổn định , σ = + λh + λ2 h ≤ hay − ≤ λh ≤ Trường hợp λ số thực Khi + λh + Trường hơp λ = iω ảo, ω ≠ Khi σ = + ω h > Phương pháp không ổn định Trường hợp λ = λ R + iλ I số phức Khi + λh + Đặt + λh + λ2 + λ2I  λ2 h  = 1 + λ R h + R h  + i ( λ I + λ R λ I ) số phức 2   λ2 h = e iθ tìm nghiệm phức λh phương trình bậc hai theo giá trị θ Nhận xét σ = với giá trị θ 1.2.2 Sự ổn định phương pháp Runge-Kutta bậc bốn: Xét phương pháp Runge-Kutta bậc bốn cho phương trình thử Ta có: k1 = hf ( x n , t n ) = λhx n ; k    λh  k = λh x n +  = λh( x n + λhx n ) = λh1 +  xn ; 2     λh λ h k2    λh    k = λh x n +  = λh x n + λh1 + +  x n  = λh1 + 2 2         λh λ h k = λh( x n + k ) = λh x n + λh1 + +   Và x n +1 = x n +   x n ;     λ h λ3 h   x n  = λh1 + λh +  xn +      2 3 4   ( k1 + 2k + 2k + k ) = 1 + λh + λ h + λ h λ h  x n 3! 4!   λ h λ3 h λ h + Để phương pháp ổn định σ ≤ , σ = + λh + 3! 4! Trường hợp λ số thực Khi − 2.785 ≤ λh ≤ Trường hơp λ = iω ảo, ω ≠ Khi ≤ λh ≤ 2 Trường hợp λ = λ R + iλ I số phức Đặt + λh + λ h λ3 h λ h + = e iθ tìm 3! 4! nghiệm phức λh phương trình bậc bốn theo giá trị θ Nhận xét σ = với giá trị θ Miền ổn định Hình 1.3 Lược đồ sai phân Phương pháp Ađam: Ađam phương pháp ước lượng giá trị nghiệm y ( t ) phương trình vi phân đưa dạng y ' = f ( y, t ) với k + giá trị khởi đầu: ( t0 , y ( t0 ) ) , , ( tk , y ( tk ) ) Ta tìm giá trị ước lượng điểm biến t dịch chuyển đoạn h Tuy nhiên giá trị trung gian tham khảo biến t với giá trị dịch chuyển h mà giá trị tham khảo giá trị y trước Phương pháp dựa khai triển lân cận Maclaurin Mô tả cụ thể phương pháp: (với k = ) Cho trước ( t0 , y ( t0 ) ) , ( t1 , y ( t1 ) ) , ( t2 , y ( t2 ) ) Ở bước thứ j tổng quát, thực phép tính sau: y j +1 = y j + ( h 23 f ( t j , y j ) − 16 f ( t j −1 , y j −1 ) + f ( t j −2 , y j −2 ) 12 ) 1.4 So sánh: Khác nhau: Phương pháp Runghe-Cutta - Cần cặp giá trị khởi đầu Phương pháp Ađam - Cần nhiều cặp giá trị khởi đầu (k+1 cặp) - Giá trị trung gian tham khảo để tính - Giá trị trung gian tham khảo để tính điểm nằm điểm nằm h  y  t j + ÷, 2   h  h  f  t j + , y  t j + ÷÷    y ( t j − h ) , y ( t j − 2h ) , , y ( t j − kh ) ( f (t ) ( − kh, y ( t − kh ) ) ) f t j − h, y ( t j − h ) , f t j − 2h, y ( t j − 2h ) , , - Runghe-Cutta coi phương pháp “non-memory” j j - Do giá trị khứ sử dụng lại, phương pháp Ađam gọi - Phương pháp dựa xấp xỉ tuyến tính phương pháp có “memory” - Phương pháp dựa xấp xỉ theo bậc hàm đa thức (khai triển Maclaurin) Giống nhau: - Đều phương pháp ước lượng giá trị cụ thể cho hàm y ( t ) với y ( t ) nghiệm phương trình vi phân đưa dạng: - Đều ước lượng bước, mở rộng từ điểm khởi đầu thông qua vòng lặp Chương : Ứng dụng 2.1 Bài toán 1: Giải toán giá trị ban đầu dy = x + y , y (0) = phương dx pháp Runge-Kutta X 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 y với h = 0,01 2.0670 2.6440 3.6529 5.8486 14.3048 y với h = 0,005 2.0670 2.6440 3.6529 5.8486 14.3049 y với h = 0,0025 2.0670 2.6440 3.6529 5.8486 14.3049 Bảng cho kết phương pháp Runge - Kutta đoạn [0,0; 0,9] với bước h = 0,1; h = 0,005 h = 0,0025 Tuy khó khăn gần điểm x = 0,9 Nhưng kết luận y(0,5) ≈ 2,0670 X 0,1 0,3 y với h = 0,1 1.1115 1.4397 y với h = 0,05 1.1115 1.4397 y với h = 0,025 1.1115 1.4397 2.2 Bài toán 2: Dùng phương pháp Runge - Kutta để giải toán giá trị ban đầu sau dy = x + y, y (0) = dx x Có nghiệm xác y(x) = 2e - x - Lấy h = 0,5, với h = x + y, ta có k1 = + = k2 = (0 + 0,25) + [1 + (0,25).(1)] = 1,5 k3 = (0 + 0,25) + [1 + (0,25).1,5] = 1,625 k4 = 0,5 + [(1 + 0,5) (1,625)] = 2,3125 Do đó: y1 = + 0,5 + [ + 2.1,5 + 2.1,625 + 2,3125] ≈ 1,7969 Tương tự thực bước ta có k1 = 0,5 + 1,7969 = 2,2969 k2 = 0,5 + 0, 25 + 1,7969 + 0,25.k1 k3 = 0,5 + 0,25 + 1,7969 + 0,25k k = 1+ 1,7969 + 0,25k3 Ví dụ 1: Tìm xấp xỉ nghiệm phương trình vi phân y ( x) đoạn [1,2], biết: xy ' = x − y + y , thỏa điều kiện đầu y ( 1) = Nghiệm phương trình y ( x ) = ± x , với điều kiện đầu y ( 1) = , suy y ( x ) = x Kết dùng để so sánh với nghiệm thực Giải: Tính toán xấp xỉ hàm y ( x) thực nghiệm y ( x) * Dùng phương pháp Runge-Kutta bậc 4: y ' = x2 − y + y x Khởi đầu từ điều kiện đầu: y ( 1) = , tính toán điểm với h=0.1, ta có kết tính toán đoạn [1,2] chương trình Matlab bên trái bảng x2 − y + y x Khởi đầu từ điều kiện đầu: y ( 1) = , y ( 1.1) = 1.1 , y ( 1.2 ) = 1.2 , (chú ý * Dùng phương pháp Adams với k = 2: y ' = điều kiện đầu cần nhiều thông tin hơn: cặp giá trị khởi đầu), tính toán điểm với h=0.1, ta có kết tính toán đoạn [1,2] chương trình Matlab bên phải bảng Chú ý: phần bôi xám phần liệu biết, điều kiện đầu để khởi động trình xấp xỉ Bảng 1: Kết tính toán Ví dụ 1: Runge-Kutta x 1.00000000000000 1.10000000000000 1.20000000000000 1.30000000000000 1.40000000000000 1.50000000000000 1.60000000000000 1.70000000000000 1.80000000000000 1.90000000000000 2.00000000000000 y 1.000000000000000 1.104210180700229 1.211042813112049 1.318053559644893 1.424824911269229 1.531453832081012 1.637753151103550 1.743759916191817 1.849425652623294 1.954759209204868 2.059959647804608 Adams x 1.00000000000 1.10000000000 1.20000000000 1.30000000000 1.40000000000 1.50000000000 1.60000000000 1.70000000000 1.80000000000 1.90000000000 2.00000000000 y 1.00000000000 1.10000000000 1.20000000000 1.30000000000 1.40000000000 1.50000000000 1.60000000000 1.70000000000 1.80000000000 1.90000000000 2.00000000000 Ở nghiệm thực kết ước lượng vẽ đồ thị để dễ so sánh Phương pháp Runge-Kutta cho kết bên trái hình phương pháp Adams cho kết bên phải hình Độ dịch h = 0.01 Hình 1: Kết đồ thị cho Ví dụ π π  Ví dụ 2: Tìm nghiệm phương trình vi phân đoạn  , + 0.5 : 2  y ln y π  y'= y  ÷= e , thỏa điều kiện đầu sin x ( ) 2 Nghiệm thực phương trình y ( x ) = e  x tg  ÷ 2 Kết dùng để so sánh với nghiêm thực y ln y Dùng phương pháp Runge-Kutta: y ' = sin x ( ) π  Khởi đầu từ điều kiện đầu: y  ÷ = e , tính toán điểm với 2 π π  h=0.05, ta có kết tính toán đoạn  , + 0.5 chương trình Matlab 2  bên trái bảng 2: y ln y Dùng phương pháp Adams với k=2: y ' = sin x ( ) Khởi đầy từ điều kiện ban đầu:  π + 0.2  ÷  π  tg  y  + 0.1÷ = e  2   tg  π  π y  ÷ = e , y  + 0.05 ÷ = e  2 2  π + 0.1  ÷  , (chú ý điều kiện đầu cần nhiều thông tin hơn: cặp giá trị khởi đầu), tính toán điểm với h=0.05, ta có kết tính toán π π  đoạn  , + 0.5 chương trình Matlab bên trái bảng 2  Kết tính toán Ví dụ 2: Runge-Kutta x 1.570796326794897 1.620796326794897 1.670796326794897 1.720796326794897 1.770796326794897 y 2.718281828459046 2.860069824145512 3.017413869262638 3.192985231660636 3.390068631151312 Adams x 1.570796326794897 1.620796326794897 1.670796326794897 1.720796326794897 1.770796326794897 y 2.718281828459046 2.861348484487429 3.020298267207424 3.197683474699343 3.397011401362318 1.820796326794897 1.870796326794897 1.920796326794897 1.970796326794897 2.020796326794897 2.070796326794897 3.612741184469464 3.866115431139968 4.156673992120922 4.492737415287411 4.885129081214274 5.348137406503780 1.820796326794897 1.870796326794897 1.920796326794897 1.970796326794897 2.020796326794897 2.070796326794897 3.622500911362077 3.879424940043827 4.174485242141456 4.516302465280232 4.916114492089147 5.388790476112742 Chú ý: phần bôi xám phần liệu biết, điều kiện đầu để khởi động trình xấp xỉ Ở nghiệm thực kết ước lượng vẽ đồ thị để dễ so sánh Phương pháp Runge-Kutta cho kết bên trái hình phương pháp Adams cho kết bên phải hình Độ dịch h = 0.05 Hình 2: Kết đồ thị cho Ví dụ Nhận xét chung : - Càng xa điểm (các điểm) khởi đầu sai số cao! - Adams cho kết xác Runge-Kutta thông tin ban đầu cung cấp nhiều (Adams cần tới cặp giá trị khởi tạo k=2 RungeKutta cần cặp) KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO Giáo trình “Phương trình sai phân số ứng dụng” _ Lê Đình Thịnh_Đặng Đình Châu_Lê Đình Định_Phan Văn Hạp http://mathworld.wolfram.com/AdamsMethod.html  ... nghiệm sai phân: -Nếu giá trị ban đầu u1 cho với độ xác cấp h nghiệm sai phân có sai số cấp h , tức lược đồ sai phân có độ xác cấp -Nếu giá trị ban đầu u1 cho với độ xác cấp h nghiệm sai phân có sai. .. sai phân được: u ( x + h) − u ( x) + Au ( x ) = h (2) -Khi đó, tập hợp điểm ta dùng để viết (2) thay cho (1) gọi lược đồ sai phân Bản thân phương trình sai phân (2) người ta gọi lược đồ sai phân. .. Điều không lược đồ sai phân dùng phải có điều kiện ổn định Một lược đồ gọi không ổn định nghiệm sai phân un không hội tụ nghiệm u ( xn ) phương trình vi phân 1.2 Lược đồ sai phân Runghe-Kutta: