ứng dụng đạo hàm để giải toán trung học phổ thông

SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO BẮC NINH TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG YÊN PHONG SỐ NGUYỄN VĂN XÁ ðỀ TÀI ỨNG DỤNG ðẠO HÀM ðỂ GIẢI TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG (BỘ MƠN TỐN) ֠ Năm học 2011 – 2012 SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO BẮC NINH TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG YÊN PHONG SỐ NGUYỄN VĂN XÁ ðỀ TÀI ỨNG DỤNG ðẠO HÀM ðỂ GIẢI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG (BỘ MƠN TỐN) Năm học 2011 – 2012 MỤC LỤC MỤC LỤC PHẦN MỘT – MỞ ðẦU PHẦN HAI – NỘI DUNG CHƯƠNG MỘT – CỞ SỞ LÍ LUẬN ðỀ TÀI CHƯƠNG HAI – GIẢI QUYẾT VẤN ðỀ 2.1 Ứng dụng ñạo hàm để tính tổng tìm hệ số đa thức 2.2 Ứng dụng ñạo hàm ñể tính giới hạn 2.3 Ứng dụng đạo hàm để viết phương trình tiếp tuyến ñồ thị hàm số 10 2.4 Ứng dụng ñạo hàm ñể xét tính đơn điệu hàm số 12 2.5 Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị hàm số 14 2.6 Ứng dụng ñạo hàm ñể chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 17 2.7 Ứng dụng ñạo hàm ñể khảo sát hàm số 19 2.8 Ứng dụng ñạo hàm ñể giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình N BA – KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ TÀI LIỆU THAM KHẢO 19 25 26 PHẦN MỘT MỞ ðẦU LÍ DO CHỌN ðỀ TÀI ðạo hàm nội dung quan trọng tốn học bậc THPT Nó vừa đối tượng, cơng cụ hữu hiệu ñể giải nhiều vấn ñề phức tạp tốn THPT Vận dụng đạo hàm để giải tốn THPT nội dung trọng tâm chương trình ôn thi Tốt nghiệp THPT, luyện thi ðại học, bồi dưỡng học sinh giỏi Qua việc thực ñề tài này, tác giả mong muốn làm rõ khía cạnh khai thác đạo hàm để giải tốn thường gặp chương trình, qua xây dựng cho học sinh phương pháp chủ ñạo hình thành kĩ việc giải toán này, phục vụ tốt cho việc dạy học mơn tốn THPT MỤC ðÍCH, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Qua ñề tài này, tác giả cố gắng làm sáng tỏ mối liên hệ ñạo hàm với số dạng tốn chương trình THPT, từ cách tự nhiên hình thành cho học sinh phương pháp giải dạng tốn đó, làm tiền đề để em tự đọc tài liệu liên quan tới vấn ñề ðỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Các toán bậc THPT thường gặp kì thi Tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh ðại học, thi Học sinh giỏi PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phân tích, tổng hợp từ tài liệu liên quan, hướng dẫn học sinh chia nhóm nghiên cứu theo chủ đề cụ thể, từ đúc rút nhận xét xúc tích, trình bày nhận xét theo hệ thống logic Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh PHẦN HAI NỘI DUNG - CHƯƠNG MỘT CƠ SỞ LÍ LUẬN ðỀ TÀI 1.1 ðịnh nghĩa đạo hàm Cho hàm số y = f(x) xác ñịnh tập D ñiểm x ∈ D Giả sử tồn khoảng (a; b) cho x ∈ (a; b) ⊂ D Nếu tồn giới hạn hữu hạn f (x) − f (x ) = A số A gọi đạo hàm hàm số f(x) ñiểm x0 x − x0 x→x0 lim f (x) − f (x ) ðạo hàm x − x0 x→x0 kí hiệu f '(x ) y '(x ), f '(x ) = lim hàm số ñiểm x0 (nếu có) số Hàm số có ñạo hàm x0 liên tục x0 Khi giải toán cần lưu ý f(x) − f(x0 ) f(x) − f(x0 ) f(x) − f(x0 ) = A ⇔ lim+ = lim− = A x − x0 x − x0 x − x0 x→x0 x→x0 x→x0 f '(x0 ) = A ⇔ lim Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm điểm thuộc khoảng K ta nói f(x) có đạo hàm K hàm số f '(x), x ∈ K, ñược gọi (hàm) ñạo hàm f(x) K ðạo hàm hàm số (nếu có) khảng (có thể mở rộng tập) hàm số ðạo hàm cấp cao f (k) (x) = (f (k −1) (x)) ' Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Ứng dụng ñạo hàm để giải tốn THPT VD Cho hàm số f(x) có đạo hàm ℝ thoả mãn f ( 2x ) = ( cosx ) f ( x ) – 2x với x Tính f '(0) định nghĩa 1.2 Các tính chất đạo hàm (những cơng thức giả sử hai vế ñều có nghĩa) 1) (c)' = 0; (x)' = 1; (x n )' = n.x n −1; ( n x ) = n n x n −1 2) (sin x)' = cos x; (cos x)' = − sin x; (tan x)' = + tan x = (cot x)' = −1 − cot x = − sin x cos x ; 3) (a x )' = a x ln a; (log a | x |)' = x.ln a u u 'v − uv' 4) (u + v − w)' = u '+ v'− w '; (k.u)' = k.u '; (uv)' = u 'v + uv'; ( )' = ; v v2 (u(v(x)))' = u '(v).v'(x) Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh - CHƯƠNG HAI GIẢI QUYẾT VẤN ðỀ 2.1 Ứng dụng đạo hàm để tính tổng tìm hệ số đa thức Nhờ đạo hàm ta tính số tổng (hoặc chứng minh ñẳng thức) mà số hạng thường có dạng (k+1)xkak ðối với đa thức f (x) = a + a1x + + a n x n f (k) (0) ta dễ thấy a k = , k! qui ước đạo hàm cấp hàm số f(x) hàm số f(x); a + a1 + + a n = f (1), a − a1 + a − a + + (−1)n a n = f (−1) VD1 Cho ña thức f(x) = (1 + x – x12)2011+ (1 – x + x11)2012 Tìm hệ số số hạng chứa x đa thức Tính tổng tất hệ số bậc lẻ đa thức Tính tổng hệ số bậc lớn hay ña thức HD Ta có f '(x) = 2011(1 + x − x12 )2010 (1 − 12x11 ) + 2012(1 − x + x11 )2011.(−1 + 11x10 ) ðể cho tiện ta kí hiệu f (x) = a + a1x + + a n x n (với n = 12×2011 = 24132) Hệ số số hạng chứa x ña thức f(x) a1 = f '(0) = 2011 − 2012 = −1 1! a + a1 + + a n = f (1) = 2, a − a1 + a − a + + (−1)n a n = f (−1) = f (1) − f (−1) tổng hệ số bậc lẻ f(x) a1 + a + + a 24131 = = 2 Do nên Ta có a0 = f(0) = 2, a + a + + a n = (a + a1 + + a n ) − a − a1 = − − (−1) = VD2 Chứng minh C1n + 22 Cn2 + + n 2Cnn = n(n + 1)2n − , ∀n ∈ ℕ, n ≥ HD Ta có (1 + x ) n = n ∑ k =0 C nk x k ⇒ n (1 + x ) n −1 = ⇒ n(1 + x)n −1 + n(n − 1)x(1 + x)n − = thu ñược n ∑ k =1 C kn kx k −1 ⇒ nx (1 + x) n −1 = n ∑ C kn kx k k =1 n ∑ Cnk k x k −1, thay x = vào ñẳng thức cuối k =1 2 Cn + Cn + + n 2Cnn = n(n + 1)2n − , ∀n ∈ ℕ, n ≥ Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Ứng dụng đạo hàm để giải tốn THPT Nhận xét Ta có n 2C0n + (n − 1) C1n + + 22 Cnn − + 12 Cnn −1 = n(n + 1)2n − , ∀n ∈ ℕ, n ≥ Bài tập Khai triển f(x) = (1 – x + x2)2011 + (1 + x3)2012 thành dạng f (x) = a + a1x + + a 6030 x 6030 Tính tổng A = a1 − 2a + 3a + + 6029a 6029 − 6030a 6030 Giả sử (1 + x)n = a + a1x + + a n x n , n ∈ ℕ * Biết tồn số nguyên a k −1 a k a k +1 = = 24 Tính tổng 2.1.a + 3.2.a + 4.3.a + + n.(n − 1).a n dương k (1 ≤ k ≤ n) cho a) Chứng minh C1n + 2C2n + 3C3n + + nCnn < (n!.n), ∀n ∈ ℕ, n > b) Chứng minh nC0n − (n − 1)C1n + + (−1)n − Cnn − + (−1)n −1 Cnn −1 = 0, ∀∈ ℕ * Cho y = a0x + a1x3 + a 2x5 + + a n x2n +1 + thoả mãn (1− x2)y'− xy =1, ∀x ∈(−1;1) Tìm hệ số a , a1, , a n Cho số nguyên dương n ≥ thoả mãn ñẳng thức A3n + C3n = 35(n − 1)(n − 2) Tính tổng sau ñây S1 = C1n + 2Cn2 + + nCnn ; S2 = 22Cn2 − 32 C3n + + (−1)n n2Cnn ; S3 = 1+ 2x + 3x2 + + nxn−1; S4 = sinx + sin2x + + sinnx; S5 = cosx + 2cos2x + + ncosnx; S6 = C0n + 2C1n + + (n +1)Cnn Chứng minh n2n C0n + (n − 1)2n −1C1n + + 2Cnn −1 = 2n.3n −1, ∀n ∈ ℕ * Tìm n biết +1 C12n +1 − 2.2.C22n +1 + 3.22 C32n +1 − 4.23 C42n +1 + + (2n + 1)22n C2n 2n +1 = 2005 (n ∈ ℕ*) Cho khai triển a a a a + + + n = 4096 22 2n (1 + 2x)n = a + a1x + + a n x n , n ∈ ℕ * Gọi ak số lớn Biết số a , a1, , a n , (a k = max{a i ,i = 0, n}) Tính tổng S = a + a1 + 2a + 3a + + (k − 1)a k −1 + (k + 1)a k +1 + + na n n (Tức S = a + (∑ i.a i ) − ka k ) i =1 Cho khai triển (1 − 2x)n = a + a1x + + a n x n , n ∈ ℕ * Biết a + a1 + a = 71 Tính tổng S = 12 a1 + 22 a + 32 a + 42 a + (52 − 1)a + 62 a + + n 2a n 10 Cho C0n + C1n + C2n = 211 Tính tổng S = 12 C0n A11 + 22 C1n A12 + 32 C2n A13 + + 11 Tìm số nguyên dương n thoả mãn C1n + 3Cn2 + 32 C3n + + 3n −1Cnn = (n + 1)2 Cnn A1n +1 2200 − Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 12 Chứng minh 1 99 198 100 199 100.C100 ( )99 − 101.C100 ( )100 + − 199.C100 ( ) + 200.C100 ( ) = 2 2 1 1 2011 , n ∈ ℕ, n ≥ Tính tổng tất hệ số 13 Cho + + + + = A A3 A A n 2012 bậc lớn ña thức f (x) = (1– 2x).(x2 + 1)n Ứng dụng đạo hàm để tính giới hạn 2.2 Dựa vào ñịnh nghĩa ñạo hàm hàm số điểm tính chất đạo hàm ta tính số gới hạn dạng vơ định f (x) có dạng lim , f (0) = 0, ta vận dụng trực tiếp ñịnh x→x0 x f (x) nghĩa ñạo hàm hàm số ñiểm, thu ñược lim = f '(0) x→x0 x ðể tính giới hạn Nếu hàm f(x) g(x) có đạo hàm lân cận ñiểm x0 f(x0) = f(x) − f(x0 ) f(x) − f(x0 ) lim x − x0 x − x0 f '(x0 ) f(x) x→x0 g(x0) = 0, g '(x ) ≠ lim = lim = = , g(x) − g(x0 ) g'(x0 ) x→x0 g(x) x→x0 g(x) − g(x0 ) lim x − x0 x − x0 x→x0 ∞ (dạng vơ định ) Các dạng vơ định , 0.∞, ∞-∞, 1∞ , 00 ta biến ñổi dạng ∞ ñể áp dụng tính chất VD3 Tính giới hạn 1)A = lim x→1 1 − x + x − − x + x3 ; 2)B= lim ( + x + + x3 ); 3)C = lim(1 + sin x) x x→−∞ x→0 tan(x − 1) HD 1) Xét f (x) = − x + x − − x + x , g(x) = tan(x − 1) lân cận ñiểm x0 = Nhận thấy f '(x) = 2x − − 3x − , g '(x) = + tan (x − 1), f(1) = g(1) = 0, 1− x + x (1 − x + x ) f '(1) = − , g '(1) = ≠ 0, nên f (x) f (x) − f (x) − f (1) f (x) − f (1) lim f (x) f '(1) = lim x − = lim x −1 = lim x − = x→1 x − = =− A = lim g(x) − g(1) g'(1) x→1 g(x) x→1 g(x) x→1 g(x) − x→1 g(x) − g(1) lim x→1 x −1 x −1 x −1 x −1 33 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 1 2)B= lim ( + x + + x ) = lim x(− + ( )2 + + ( )3 ) x →−∞ x →−∞ x x ðặt t= x + t3 − + t t → x → −∞ Ta có B= lim Xét f (t) = + t − + t , có t →0 t t t f '(t) = − , f(0) = 0, f '(0) = 0, nên (1 + t ) 1+ t2 3 B= lim t →0 + t3 − + t f (t) f (t) − f (t) − f (0) = lim = lim = lim = f '(0) = t →0 t t →0 t − t →0 t t−0 3) Ta ln chọn lân cận ñiểm x0 = cho lân cận ñó + sinx > ðặt M = (1 + sin x) x , N = ln(M) = ln(1 + sin x) Xét hàm x co s x , f(0) = 0, f '(0) = Như + sin x ln(1 + sin x) f (x) f (x) − f (0) lim N = lim = lim = lim = f '(0) = Suy x →0 x →0 x →0 x x →0 x x−0 f (x) = ln(1 + sin x), C= lim (1 + sin x) x x →0 có f '(x) = = lim M = lim e = e N x →0 x →0 lim N x →0 = e = e Vậy C = 1 lim (1 + sin x) x x →0 = e Bài tập 14 Tính giới hạn sau ex + sin2x − cos3x − + 2x2 3x + − x − x + − 2x ; 2) lim ; 3) lim ; 4) lim ; x →0 ln + 4x − tan5x x →0 − cosx x→0 − 2x +1 x →1 sin(1 − x) 1) lim n + ax.m + bx − x.2x − sin 3x ; 6) lim (a, b ≠ 0; m, n ∈ ℕ*); 7) lim ; π − 2cos x x x →1 x − x →0 x→ 5) lim π 8) lim ln(cos x) x2 x →0 cos( cos x) sin x x − a ;9) lim ( ) (a ≠ kπ ); 10) lim ; 11) lim (sin x) tan x ; π x →a sin a x →0 sin(tan x) x→ 12) lim (cos x →±∞ 1 + sin ) x ;13) lim x x x →0 (x +2005) − 5x - 2005 x ;   1  ; 15) lim x + x + ; 14) lim  − x →−1 sin(x + 1) x →0  3x(1 + + 4x ) 2x( (1 + 6x) + + 6x + 1)    16) lim x − x + 2x x →+∞ x − x + 3x n n 19) lim x −a x →a x m − a m esin 2x − esin x x − sin 2011x ; 18) lim ; sin x x →0 x →0 x + sin 2012x ;17) lim (a ∈ ℝ; m, n ∈ ℕ*) Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Ứng dụng đạo hàm để giải tốn THPT 12 b) Tìm đường thẳng y = điểm kẻ tiếp tuyến tới ñồ thị hàm số y = 2x − 9x + 12x + cho số tiếp tuyến vng góc với 22 Tìm m ñể ñồ thị hàm số y = 2x4 – 2(m + 4)x3 + (8m + 7)x2 – 2(3m+2)x+3 tiếp xúc với trục Ox 23 Viết PTTT ñồ thị (C) : y = x −1 giao ñiểm ñồ thị với trục x +1 tung 24 a) Viết PTTT y = tiếp tuyến lớn b) Viết PTTT y = x (C) biết khoảng cách từ tâm ñối xứng (C) tới x −1 4x − (C) biết tiếp tuyến hợp với trục hồnh góc 45 x −1 c) Chứng minh ñồ thị y = x − 3x + x +1 (C) cắt Ox hai ñiểm phân biệt A, B Tính cosin góc tạo hai tiếp tuyến (C) A B d) Giả sử A, B, C ba ñiểm thẳng hàng ñồ thị y = x − 3x + 2(T) Các tiếp tuyến (T) A, B, C cắt (T) ñiểm A’, B’, C’ tương ứng khác A, B, C Chứng minh A’, B’, C’ thẳng hàng  x 25 Tìm a, b ñể hàm số f (x) =  x ≤ ax + b x > có đạo hàm x0 = 1, viết PTTT ñồ thị hàm số ñiểm có hồnh độ x0 = 2.4 Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu hàm số Nếu hàm số y = f(x) liên tục ñoạn [a; b] ñồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng (a; b) hàm số đồng biến (tương ứng nghịch biến) ñoạn [a; b] Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng K phương trình f '(x) = có hữu hạn nghiệm K thì: + f(x) đồng biến K ⇔ f '(x) ≥ 0, ∀x ∈ K + f(x) nghịch biến K ⇔ f '(x) ≤ 0, ∀x ∈ K Lưu ý: thay khoảng K nửa khoảng đoạn kết luận đúng, thay K tập kết luận khơng VD6 Tìm m để hàm số y = x − mx + x − 2m3 a ðồng biến ℝ b ðồng biến khoảng (0; +∞) c Khoảng nghịch biến hàm số có độ dài lớn 12 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT HD 13 a) Hàm số ñồng biến ℝ ⇔ y ' = x − 2mx + ≥ (∀x ∈ ℝ) ⇔ ∆ ' = m − ≤ ⇔ −1 ≤ m ≤ b) Hàm ñồng số biến (0; +∞) ⇔ y ' = x − 2mx + ≥ (∀x > 0) ⇔ m ≤ x2 +1 (∀x > 0) 2x Xét khoảng hàm số x2 +1 2x − f (x) = với x > 0, có f '(x) = , f '(x) = ⇔ x = ±1, với x > 2x 4x f '(x) = ⇔ x = Trên khoảng (0; +∞) dấu f '(x) phụ thuộc vào dấu tam thức 2x2 – Từ ta có bảng biến thiên hàm f(x) sau x +∞ f '(x) – + +∞ +∞ f(x) x2 +1 (∀x > 0) ⇔ m ≤ Vậy hàm số ñã cho ñồng 2x biến khoảng (0; +∞) m ≤ Từ bảng biến thiên suy m ≤ c) ðể hàm số có khoảng nghịch biến trước hết y’ phải có hai nghiệm phân biệt, tức ∆ ' > Khi gọi x1, x2 nghiệm y’ (x1< x2) hàm số có khoảng nghịch biến (x1 ; x2) ðộ dài khoảng (khoảng cách nghiệm phương trình bậc hai) x1 − x = ∆ 4∆ ' = Vậy ñể khoảng nghịch a a biến hàm số cho có độ dài lớn ta cần ñiều kiện ñối với tam thức y ' = x − 2mx + ∆ ' >  m >  m − > ⇔ ⇔ m2 − > ⇔   4∆ '  m < −2  a >2 2 m − >  VD7 Chứng minh hàm số y = nghịch biến khoảng xác ñịnh x tập xác định khơng đồng biến khơng nghịch biến HD Hàm số có tập xác ñịnh D = ℝ \ {0} = (−∞; 0) ∪ (0; +∞) ðạo hàm y' = − x2 < 0, ∀x ∈ D Vì y ' = − khoảng (−∞; 0) , y ' = − x2 x2 < 0, ∀x ∈ (−∞; 0) nên hàm số nghịch biến < 0, ∀x ∈ (0; +∞) nên hàm số nghịch biến khoảng (0; +∞) Ta chọn x1 = –1 y1 = – 1, x2 = y2 = 1, ta thấy x1 < x , y1 < y nên hàm số không nghịch biến D Tương tự chọn giá 13 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Ứng dụng ñạo hàm để giải tốn THPT trị x1 = y1 = 14 1 , x2 = y2 = , x1 < x , y1 > y nên hàm số khơng đồng biến D Vậy hàm số ñã cho nghịch biến khoảng xác ñịnh (−∞; 0), (0; +∞), khơng đồng biến khơng nghịch biến tập xác ñịnh D = ℝ \ {0} = (−∞; 0) ∪ (0; +∞) Bài tập 26 Xác ñịnh khoảng ñơn ñiệu hàm số x 1)y = x − x ; 2)y = ; 3)y = − x + 2x 2−x 27 Tìm m để hàm số: a) y = x + mx + (m + 6)x − ñồng biến ℝ m b) y = x − (m − 1)x + 3(m − 2)x + ñồng biến nửa khoảng [ 2; +∞ ) 3 m c) y = −3x − mx − x + nghịch biến ℝ d) y = 3x + ñồng biến x −1 khoảng xác định 28 Tìm m ñể ñồ thị hàm số y = x3 + mx + cắt trục Ox ñúng ñiểm 29 Lập bảng biến thiên hàm a)y = x − sin x; b)y = 4x + − 2x; c)y = 2.5 số 2x + 3x x +1 Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị hàm số Giả sử hàm số y = f(x) liên tục khoảng (a; b), ñiểm x0 ∈ (a; b), có đạo hàm khoảng (a; x0), (x0; b) Ta có: + Nếu f '(x) > 0, ∀x ∈ (a; x ); f '(x) < 0, ∀∈ (x ; b) f(x) đạt cực ñại f(x0) ñiểm x = x0 + Nếu f '(x) < 0, ∀x ∈ (a; x );f '(x) > 0, ∀∈ (x ; b) f(x) ñạt cực tiểu f(x0) ñiểm x = x0 Chú ý: – Nếu hàm số ñạt cực trị x0 f '(x ) = f '(x ) khơng xác định – Nếu f '(x) khơng đổi dấu (a; b) f(x) khơng có cực trị (a; b) – Nếu x0 ñiểm cực trị hàm số y = f(x) (C) f(x0) ñược gọi (giá trị) cực trị hàm số, M(x0; f(x0)) ñược gọi ñiểm cực trị đồ thị (C) Giả sử hàm số f(x) có ñạo hàm ñến cấp khoảng (a; b) ñiểm x0 ∈ (a; b) Ta có: + Nếu f '(x ) = 0; f "(x ) < f(x) đạt cực đại f(x0) điểm x = x0 + Nếu f '(x ) = 0; f "(x ) > f(x) đạt cực tiểu f(x0) ñiểm x = x0 14 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 15 Chú ý: Nếu f '(x ) = f "(x ) = chưa thể kết luận hàm số có đạt cực trị x0 hay không (chẳng hạn với f(x) = x3 f '(x ) = f "(x ) = hàm số khơng đạt cực trị x = 0, với f(x) = x4 f '(x ) = f "(x ) = hàm số ñạt cực tiểu x = 0, với f(x) = –x4 f '(x ) = f "(x ) = hàm số ñạt cực ñại x = 0) VD8 Cho hàm số y = x3 – 2x2 + mx +1 a) Tìm m ñể hàm số ñại cực tiểu x = b) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị dương c) Tìm m để hàm số có hai cực trị có tích nhỏ 31 27 HD a) Ta có y ' = 3x − 4x + m, y" = 6x − 4, y"(1) = > nên hàm số ñã cho ñạt cực tiểu x = y '(1) = ⇔ m = Vậy với m = hàm số có điểm cực tiểu x = b) Hàm số cho có điểm cực trị dương phương trình 3x − 4x + m = có  ∆ ' = − 3m >  4  nghiệm dương phân biệt, tức S = > ⇔ < m < Vậy với 3  m  P = > < m < hàm số có hai điểm cực trị dương 31 c) Hàm số cho có hai cực trị có tích nhỏ phương trình 27 3x − 4x + m = (1) có nghiệm 31 Trước hết, phương trình (1) có hai nghiệm 27 4 m phân biệt x1, x2 ∆ ' > ⇔ m < Theo định lí Viet x1 + x2 = , x1x = 3 phân biệt x1, x2 y(x1).y(x2) < Lúc ta có 2m 11 2m 11 y ( x1) = x13 – 2x12 + mx1 +1 = (3x12 − 4x1 + m)( x1 − ) + ( − )x1 + = ( − )x1 + 9 9 2m 11 y(x2 ) = ( − )x2 + Do ( 3x12 − 4x1 + m = 0) Tương tự 9 31 2m 11 2m 11 31 y ( x1 ) y ( x2 ) < ⇔ (( − )x1 + )(( − )x2 + ) < 27 9 9 27 2m 11 2m 121 31 ⇔( − ) x1x + ( − )(x1 + x ) + < 9 81 27 2m m 11 2m 121 31 ⇔( − ) + ( − ) + < 9 81 27 15 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 16 ⇔ 3m3 − 8m + 22m − 17 < ⇔ m < (thoả mãn m < ) Vậy m < giá trị cần tìm Bài tập 30 Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x = 0: a)y = x − mx + (m + 1)x; b)y = x + mx 31 Tìm m để hàm số y = x3 – (m+2)x +m ñạt cực ñại x = 32 Tìm m để hai điểm cực trị ñồ thị hàm số y = –x3 + 3x2 + 3(m2 – 1)x – 3m2 – cách ñều ñiểm O 33 Tìm m để đồ thị (C) y = x − (3m + 1)x + 2(m + 1) có điểm cực trị ñỉnh tam giác ñều 34 Viết phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị ñồ thị m y = x − x + biết tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ –1 3 đường thẳng song song với d: 5x – y = 35 Tìm m để hàm số y = x + mx + a)Có hai điểm cực trị trái dấu b)Có hai x+m cực trị trái dấu 36 Tìm m ñể ñiểm cực trị ñồ thị hàm số y = x3 – 3mx2 + 4m3 ñối xứng với qua đường thẳng y = x 37 Tìm m ñể hàm số y = x3 – (2m – 1)x2 + (2 – m)x + có hai điểm cực trị dương 38 Tìm m để đường thẳng y = x + m2 – m ñi qua trung ñiểm ñoạn thẳng nối hai ñiểm cực trị ñồ thị hàm số y = x3 – 6x2 + 9x 39 Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2(m+1)x2 + m có điểm cực trị A, B, C (A ñiểm cực trị nằm Oy) cho OA = BC 40 Chứng minh ñồ thị hàm số sau ln có hai điểm cực trị viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó: x − m(m + 1)x + m3 + a)y = x − mx − x + m; b)y = x−m 1 41 a) Tìm m để hàm số f (x) = x + ax + 2x − có điểm cực trị b) Chứng minh hàm số y = x − 3x + x +1 (C) có điểm cực trị điểm cực tiểu 42 Tìm a, b, c, d ñể y = ax3 + bx2 + cx + d ñạt cực tiểu x = 0, ñạt cực ñại x = 43 Tìm a, b, c để hàm số y = x3 + ax2 + bx + c ñạt cực tiểu – x = 1, ñồ thị cắt trục Oy ñiểm có tung ñộ 44 Cho hàm số y = 2x − 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + (C) a) Chứng minh với m ñồ thị hàm số cho ln có hai điểm cực trị có khoảng cách khơng đổi 16 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Ứng dụng đạo hàm để giải tốn THPT 17 c) Tìm m để điểm cực trị hàm số ñã cho thoả mãn 2xCð – xCT = – d) Tìm m để điểm cực trị hàm số ñã cho thoả mãn 2yCT + yCð = 16 e) Chứng minh ñường thẳng nối hai ñiểm cực trị ñồ thị hàm số ñã cho có phương khơng đổi 2.6 Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Bảng biến thiên hàm số giúp ta tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số chứng minh bất đẳng thức ðể tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số y = f(x) đoạn [a; b] ta làm theo sơ đồ sau: – Tính f '(x) , tìm giá trị x1, x , ∈ [a; b] mà f '(x) = khơng xác định – Tính f (x1), f (x ), , f (a), f (b) – Khi max f (x) = max{f (x1),f (x2 ), ,f (a),f (b)}, f (x) = min{f (x1),f (x2 ), ,f (a),f (b)} x∈[ a;b] x∈[ a;b] VD9 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y = 6x + 10 − 4x  10 10  ;  Ta có  2  4x 4x y' = 6− ;6 − =0⇔x= , 10 − 4x 10 − 4x HD Tập xác ñịnh hàm số D= − 10 10 ) = 10; y(− ) = −3 10; y( ) = 10 2 10 ) = −3 10 Vậy max y = y( ) = 10; y = y( − 2 x∈D x∈D y( VD10 a) ab3 a + 3b + Cho a, b khơng đồng thời 0, chứng minh a 3b ≤ 3a + b 4 y b) Cho hai số dương x, y Chứng minh e 2x + y < 17 x+y x Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 18 HD a) Xét hàm số f(x) = x4 – 4xb3 + 3b4 với x ∈ ℝ Có f '(x) = 4x − 4b3 , f '(x) = ⇔ x = b, f '(x) > ⇔ x > b, f '(x) < ⇔ x < b Bảng biến thiên f(x) sau x −∞ b +∞ f '(x) – + +∞ +∞ f(x) Suy f ( x ) = x – 4xb3 + 3b4 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ a – 4ab3 + 3b ≥ ⇔ ab3 a + 3b ≤ Từ ñược ta 4 (do a, b không ñồng thời nên a + 3b > 0) Tương tự ta có a 3b 3a + b ≤ Cộng hai bất ñẳng thức này, vế với vế tương ứng, ta ñược ab3 a + 3b + a 3b ≤ Dấu “=” xảy 3a + b 4 a = b b) Với x, y dương ta có e y 2x + y < y x+y 2x y (1) ⇔ < ( + 1) ln(1 + ) ðặt t = + x y x x x = Bất ñẳng thức cần chứng minh trở thành y t −1 (t + 1) ln t − 2t + > (2), với t > Ta xét hàm t ln t − t + f (t) = (t + 1) ln t − 2t + 2, ∀t ∈ [1; +∞) Có ðặt số f '(t) = t g(t) = t ln t − t + ⇒ g '(t) = ln t Bảng biến thiên: t +∞ g '(t) + t > +∞ g(t) Suy f '(t) > 0, ∀t > 1, f '(1) = Do f(t) đồng biến nửa khoảng [1; +∞ ) Dẫn tới f(t) > f(1) hay (t + 1) ln t − 2t + > với t > Tức (2) ñược chứng minh Vậy (1) ñược chứng minh Bài tập 45 Tìm giá trị nhỏ hàm số y = x4 + 6x3 + 11x2 + 6x 46 Chứng minh a4 + b4 ≥ ab3 + a3b với a, b 18 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Ứng dụng đạo hàm để giải tốn THPT 47 Chứng minh 19 x.ex a) + + 1≥ với x; b) (a x + b x ) y < (a y + b y ) x , ∀a, b > 0, x > y > 48 Chứng minh x2 π a)x > ln(1 + x), ∀x > 0; b)2sin x + tan x > 3x, ∀x ∈ (0; ); c) cos x ≥ − , ∀x ∈ ℝ 2 c)3 ≤ sin x +2 cos x 2+ ≤ 2 , ∀x ∈ ℝ d)a b < ba , ∀a > b ≥ e e)cos x + cos y ≤ + cos(xy), với số thực x, y thoả mãn x + y ≤ π 49 Chứng minh 50 a3 + 1+ x2 + x 1+ x2 + x 1+ x2 ≤ , ∀x, y, z ≥ − , x + y + z = 10 a > 0, b > 0, 2(a + b2 ) + ab = (a + b)(ab + 2) Cho P = 4( x b3 ) − 9( a2 + Tìm GTNN b2 ) a3 b2 a 51 Cho a, b, c ∈ [1; 4] , a ≥ b, a ≥ c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= b3 a b c + + 2a + 3b b + c c + a 52 Tìm giá trị lớn hàm số y = 2.7 2x − x; x ∈ (−∞;0) Ứng dụng ñạo hàm ñể khảo sát hàm số Bài tập 53 Khảo sát vẽ ñồ 2x − a)y = ; b)y = x − 3x ; c)y = − x − x + x −1 2.8 thị hàm số Ứng dụng ñạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình Nếu f(x) hàm số đồng biến hàm D, g(x) hàm nghịch biến hàm D phương trình f(x) = g(x) có khơng q nghiệm D Nếu f(x) hàm đơn điệu D f(a) = f(b) ⇔ a = b (a, b ∈ D) Nếu f(x) ñồng biến D f (a) > f (b) ⇔ a > b (a, b ∈ D) Nếu f(x) nghịch biến D f (a) > f (b) ⇔ a < b (a, b ∈ D) Nếu a = f (x), A = max f (x) bất phương trình m ≥ f (x) có nghiệm x∈D x∈D D m ≥ a, bất phương trình nghiệm với x ∈ D m ≥ A Rất nhiều tốn giải dựa vào bảng biến thiên hàm số 19 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Ứng dụng ñạo hàm ñể giải tốn THPT 20 VD11 Gải phương trình 3sin13 x − 3cos13 x + sin x + sin ( π 3π − x) + 3cos 2x + sin(x − ) = HD PT ⇔ 3sin13 x + sin x − 3sin x + 3sin x = 3cos13 x + cos3 x − 3cos2 x + 3cos x (1) Xét hàm f (t) = 3t13 + t − 3t + 3t, số có f '(t) = 39t12 + 3t − 6t + = 39t12 + 3(t − 1)2 > 0, ∀t ∈ ℝ, nên f(t) ñồng biến ℝ Ta có (1) ⇔ f (sin x) = f (cos x) ⇔ sin x = cos x ⇔ x = π + kπ , k ∈ ℤ VD12 Tìm m để hệ sau có nghiệm  4x + 3y + x + y + = 3x + 5xy + 2y + 3x + 2y (1)   37  x + y + x − y ≥ m − 3m + 3m + (2) 12  HD Ta ñặt u = 3x + 2y ≥   v = x + y ≥ hệ cho ñược viết thành  u + v + 2v + = 2uv + 2u u + v2 + 2v + = 2uv + 2u (do u, v ≥ 0)   ⇔  37 2 37  v + 2u − 5v ≥ m3 − 3m + 3m +  v + 2u − 5v ≥ m − 3m + 3m + 12  12  u = v +  ⇔ 37 Ta xét hàm số f (v) = −3v + 5v + với − + + ≥ − + + 3v 5v m 3m 3m  12 v ≥ 0, có f '(v) = −6v + 5, có bảng biến thiên v f '(v) + – 49 12 +∞ f(v) −∞ Từ bảng biến thiên hệ cuối ta thấy hệ cho có nghiệm m3 − 3m + 3m + m ≤ 20 37 49 ≤ ⇔ ⇔ (m − 1)3 ≤ ⇔ m ≤ Vậy hệ cho có nghiệm 12 12 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT VD13 Biện 21 luận theo m số nghiệm hệ phương trình 2x − (y + 2)x + xy = m   x + x − y = − 2m  2x3 − (y + 2)x2 + xy = m m = −x + 2x − x −x4 + 2x3 − x ⇔ Xét hàm số HD  f(x) = 2x − 2x + 2x2 − 2x +1  x + x − y = − 2m y = x + x + 2m − xác định ℝ, đạo có f '(x) = −4x + 10x − 12x − 8x − (2x − 2x + 1)2 = hàm 2 (2x − 1)(4x − 4x + − 3)(−8x + 8x − − 3) (2x − 2x + 1)2 , có bảng biến thiên x 1− −1 −∞ f '(x) + 1+ −1 2 – + 2− +∞ – 2− f(x) − −∞ −∞ Nhận thấy số nghiệm hệ phương trình ban ñầu số nghiệm phương trình m = f(x) Căn vào bảng biến thiên ta có kết luận: 2− 2− – Hệ phương trình cho có nghiệm m = m < − – Hệ phương trình cho có nghiệm m = − 2− – Hệ phương trình ñã cho có nghiệm − < m < – Hệ phương trình cho vơ nghiệm m > VD14 Giải bất phương trình a) x + 12 + log52 (3 + x) ≥ − x + 4; b)x5 + 4x 2x −1 > 2(2x2 +1) 2x −1 − x HD a) x + 12 + log52 (3 + x ) ≥ − x + ⇔ x + 12 + log52 (3 + x ) − + x + ≥ (1) Xét hàm số D = [ 0; +∞ ) 21 f (x) = x + 12 + log 52 (3 + x ) − + x + Hàm số liên tục D với tập xác định có đạo hàm Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Ứng dụng ñạo hàm để giải tốn THPT 22 log5 (3 + x ) 1 + + > 0, ∀x ∈ (0; +∞), nên f(x) ñồng x + 12 33 (x + 4)2 x (3 + x ) ln biến D Hơn f(4) = nên (1) ⇔ f (x) ≥ f (4) ⇔ x ≥ Vậy bất phương trình cho có nghiệm x ≥ f '(x) = b)x5 + 4x 2x −1 > 2(2x2 +1) 2x −1 − x ⇔ x5 + x > ( 2x −1)5 + 2x −1 ⇔ f (x) > f( 2x −1)  x ≥ Vậy bất  x ≠ (với hàm f(x) = x5 + x ñồng biến ℝ) ⇔ x > 2x − ⇔  1  phương trình cho có tập nghiệm S =  ;1 ∪ (1; +∞ ) 2  VD15 Giải hệ phương trình  x + y + + = 4(x + y)2 + 3(x + y)  x − y = (y − x)(xy + 2)  a)  ; b)  ;  x + y = 2x − y =   tan x − tan y = (1 + x + y ) y − (1 + x + y ) x  c)  1− y − x 3 +5 = 2(1 + − 10x + y ) 2x − y = (y − x)(xy + x + y2 ) 2 x + x = y + y3 (1) HD a) Hệ ⇔  Xét hàm ⇔ (2)  x + y2 =  x + y = f (x) = x + x có đạo hàm f (x) = x ln + 3x > 0, ∀x ∈ ℝ, nên f(x) ñồng biến ℝ Như (1) ⇔ f (x) = f (y) ⇔ x = y, vào (2) ta x2 = Do x = y = ±1 Vậy hệ cho có nghiệm (1; 1), (–1; –1) b) ðặt t = x + y phương trình hệ phương trình cho trở thành t + + = 4t + 3t ⇔ 4t + 3t − t + − = (3) Xét hàm f (t) = 4t + 3t − t + − f '(t) = 8t + 9t + − 3t 3t + 3t liên tục [0; +∞ ), có > 0, ∀t ∈ (0; +∞), nên f(t) đồng biến [0; +∞) Lại có 1 1 f ( ) = nên (3) ⇔ f (t) = f ( ) ⇔ t = ⇒ x + y = Suy hệ phương trình 2 2    x =  x + y = cho tương ñương với  ⇔ Vậy hệ phương trình cho có 2x − y = y = −   nghiệm ( ; − ) 22 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Ứng dụng đạo hàm để giải tốn THPT 23 từ phương trình thứ hai vào hệ, sau xét hàm số Nhận xét Cũng rút y = 2x − phương trình thứ f (x) = 72x − 72x + 16 + 4x − − 12x − π π  x + y ≥ 0, x ≤ 1, y ≤ x ≠ + kπ, y ≠ + mπ; k, m ∈ ℤ (*) Từ ⇔ c) ðiều kiện:  2 x + y ≥ 0, x ≤ 1, y ≤ 1,9 − 10x + y ≥  − 10x + y ≥ ñiều kiện này, dễ thấy x < −1 x + y < (mâu thuẫn), x ≥ −1, π π tương tự y ≥ −1 Vậy ta có x, y ∈[−1;1] ⊂ (− ; ) 2 Hàm số f (t) = tan t có f '(t) = + tan t > nên f(t) ñồng biến khoảng xác ñịnh Suy f(t) ñồng biến ñoạn [−1;1] Ta lưu ý thêm + x + y ≥ Như vậy: - Với −1 ≤ x < y ≤ thoả mãn điều kiện (*) tan x − tan y < 0, (1 + x + y) y − (1 + x + y)x ≥ nên phương trình đầu hệ cho khơng nghiệm - Với −1 ≤ y < x ≤ thoả mãn điều kiện (*) tan x − tan y > 0, (1 + x + y) y − (1 + x + y)x ≤ nên phương trình đầu hệ cho khơng nghiệm - Với x = y ∈ [−1;1] thoả mãn ñiều kiện (*) phương trình đầu hệ cho nghiệm Vậy phương trình đầu hệ cho tương đương với x = y Hệ phương trình cho tương ñương với  x = y ∈ [0;1]  x = y ∈ [0;1] ⇔  1− x  1− x 1− x 1− x + = + − + = + − 2(1 9x ) x (1)   Ta đặt t = − x ≤ t ≤ phương trình (1) trở thành 3t + 5t = 6t + (2) Xét hàm g(t) = 3t + 5t − 6t − ñoạn [0; 1], có g '(t) = 3t ln + 5t ln − 6, g ''(t) = 3t ln + 5t ln > Suy hàm g '(t) ñồng biến [0;1] Lại có g '(0) = ln + ln − < 0, g '(1) = 3ln + ln − > 0, g '(t) liên tục, nên tồn t ∈ (0;1) cho g '(t ) = Hơn g '(t) < 0, ∀t ∈ (0; t ); g '(t) > 0, ∀t ∈ (t ;1) Lập bảng biến thiên ta suy ñược g(t) ≤ 0, ∀t ∈ [0;1], dấu “=” xảy t = t = Do đo (2) có nghiệm t = 0, t = Tức (1) có nghiệm x = 0, x = Thử lại thấy cặp giá trị x = y = 0, x = y = thoả mãn hệ phương trình cho Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm: (0; 0), (1; 1) Bài tập  + x + − y = m  + x + − y = m ,   + y + − x = m  + y + − x = m 54 Tìm m để hai hệ phương trình  có nghiệm 23 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 24 55 Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình 19  y ( 3x + − − x).2 = 2( − 3x + 8) b)  ; x y + log2 x = x y e − e = (log2 y − log2 x)(xy +1) a)  ; 2 x + y =  x + x2 − 2x + = 1+ 3y−1 x y2 −x2 x + 2010 2009 =   e = y + y +1 ; c)  ; d)  ; e)  y + 2010 y + y2 − 2y + = 1+ 3x−1  ey = x + x2 +1 3log3(x + 2y + 6) = 1+ 2log2(x + y + 2) f) 2x2 − 2x + − x + x +1 − x2 + 3x − = 0; g)log2012( x4 + x2 + 2x + ) = x2 + 2x − 3; x + 2x + 4x + h)sin11 x − cos2011 x = cos11 x − sin2011 x; i)log3(x +1) ≥ log2 x; j)e x − x ≤ x + − e2 x ; k)(5x − 6)2 − 1 ; l)2x + 3x + 4x = 6x + 3; m)ex − e−x 2.ln(x + 1+ x2 ); = x2 − 5x − x −1 (4x2 +1)x + (y − 3) − 2y = n)tanx − tan 1− x2 = 1− x 2; o)  2 4x + y + − 4x = 56 Tìm m để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm a)(x3 + 3x2 +1) ≤ m( x − x −1)2011; b)log(x3 + x2 − 2m) = log(1− 2x); c) x3 − 2x x −1 = m; d)2x+2 1+x − 1+x + 1−x +m = 1− x − 1+ x + m− x; e)3 x −1 + m x +1 = x2 −1; f) x2 + mx + = 2x +1; g)m(1+ 5)x + (m+ 2)( −1)x = (2m+1)2x; h)6sinx − 4sin3 x + m = 0; 2 3x y − 2y − m =  x + y = 4, x ≥ x + y = 3, x ≥ x + y − xy = i)  ; j)  ; k)  ; l)  ; 2 3y2x − 2x2 − m =  x + + y + ≤ m  x + + y + = m  x +1 + y +1 = m m) x2 + x −1 − x2 − x +1 = m; n)sinx + 1−sin2x = m− cosx 57 Chứng minh với số nguyên dương n, phương trình x 2n +1 + 2011x + 2012 = ln có nghiệm 58 a) Tìm m để bất phương trình x(4x + m) ≤ nghiệm với x ∈ [0;1] b) Tìm m để bất phương trình 4log5 (5x) − 6log5 x ≤ m.3log5 (25x ) nghiệm ñúng với x > 59 Chứng minh với m ≠ phương trình x − (m + 10)x + = có nghiệm phân biệt, có nghiệm thuộc khoảng (-3; 3), nghiệm cịn lại nằm ngồi ñoạn [-3; 3] 60 a) Chứng minh phương trình x − x + = có nghiệm b) Chứng minh phương trình (x + 1) x = x x +1 có nghiệm dương c) Tìm nghiệm dương phương trình 1 1+ 1+ x ln(1 + ) x − x ln(1 + ) x − x x x2 24 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh PHẦN BA - KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Tác giả cho rằng, việc khai thác tốt kiến thức ñạo hàm ñể giải toán THPT yêu cầu quan trọng kiến thức lẫn kĩ ñối với học sinh ôn thi ðại học học sinh ñội tuyển thi Học sinh giỏi cấp Giáo viên dạy nên ý tới việc hình thành thói quen phân tích tốn, thói quen đặt địi hỏi phải giải tốn theo nhiều hướng khác nhau, nhằm phát triển tư cho học sinh Liên quan tới đề tài này, có nhiều tài liệu tham khảo, tài liệu trọn vẹn bề, có nhiều tài liệu tỏ hữu ích ñáng quan tâm Vì tác giả kiến nghị Nhà trường tạo ñiều kiện cho thư viện trường mua bổ sung số tài liệu (có liệt kê mục Tài liệu tham khảo) ñể phục vụ cho việc dạy học mơn Tốn trường, đực biệt phân mơn Giải tích 25 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Ứng dụng đạo hàm để giải tốn THPT 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO [01] Bộ Giáo dục ðào tạo, Sách Giáo khoa, Sách Giáo viên, Sách tập, Tài liệu hướng dẫn thực chuẩn kiến thức – kĩ Toán 10, 11, 12, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2011 [02] Phan ðức Chính (chủ biên), Các giảng luyện thi mơn Tốn, tập ba, Nhà xuất Giáo dục, 2001 [03] Nguyễn Thuỷ Thanh, Phương pháp giải dạng toán THPT, tập hai: Giải tích, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2011 [04] Các ñề thi Tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh ðại học, Cao ñẳng, thi Học sinh giỏi năm [05] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam 26 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh ... 10 2.4 Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu hàm số 12 2.5 Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị hàm số 14 2.6 Ứng dụng ñạo hàm ñể chứng minh bất ñẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số... HAI – GIẢI QUYẾT VẤN ðỀ 2.1 Ứng dụng đạo hàm để tính tổng tìm hệ số ña thức 2.2 Ứng dụng đạo hàm để tính giới hạn 2.3 Ứng dụng ñạo hàm ñể viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm. .. Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh Ứng dụng ñạo hàm để giải tốn THPT 2.3 10 Ứng dụng đạo hàm để viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Nếu hàm số y = f(x) (C) có ñạo hàm x =