Ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN *** PHÙNG ĐỨC THÀNH ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TỐN PHỔ THƠNG LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội , Năm 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Phùng Đức Thành ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TỐN PHỔ THƠNG LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60 46 40 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Đình Sang Hà Nội , Nm 2011 Mửc lửc Lới nõi u BÊng kỵ hiằu Kin thức chu'n b 1.1 1.2 CĂc nh lỵ cì b£n cıa h Cỉng thøc Taylor p dưng cỉng thøc Taylor v o gi£i mºt sŁ b i to¡n v• h m a thøc 2.1 p dưng gi£i ph÷ìng tr… 2.2 p dưng v o gi£i ph÷ìng 2.3 p dưng cỉng thøc Tayl h m a thøc p dửng cĂc nh lỵ cỡ bÊn ca h m kh£ vi v o gi£i c¡c b i to¡n ph thổng 3.1 nh lỵ Rolle v Ăp dửng 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.2 nh lỵ Lagrange v Ăp d 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.3 nh lỵ Cauchy v Ăp döng 3.3.1 3.3.2 K‚t lu“n T i li»u tham kh£o Líi nâi ƒu ⁄o h m l mºt kh¡i ni»m r§t quan trång gi£i t‰ch to¡n håc v câ nhi•u øng dưng c¡c ng nh khoa håc kh¡c nh÷ kinh t‚, cỡ hồc, vt lỵ v kắ thut Ngay toĂn håc, ⁄o h m l y‚u tŁ quan trång v ữổc ứng dửng nhiãu lắnh vỹc nhữ Ăp dửng v o gi£i c¡c b i to¡n v• ⁄i sŁ, gi£i t‰ch hay c¡c b i to¡n h…nh håc m ta th÷íng g°p c¡c k… thi to¡n quŁc gia v thi Olympic to¡n quŁc t‚ Trong ch÷ìng tr…nh to¡n håc phŒ thỉng, nhi•u b i to¡n câ øng dưng ⁄o h m Xu§t ph¡t tł c¡c ành l‰ cỡ bÊn vã h m s khÊ vi ta thĐy xuĐt hiằn khÊ nông chứng minh sỹ tỗn ti nghiằm ho°c t…m nghi»m cıa mºt ph÷ìng tr…nh, h» ph÷ìng tr…nh cho trữợc, t khai trin Taylor cõ th Ăp dửng v o gi£i c¡c b i to¡n li¶n quan ‚ h m a thức.Vợi suy nghắ õ, chúng tổi  chån • t i Ùng dưng ⁄o h m ” gi£i c¡c b i to¡n phŒ thæng ” l m lun vôn ca mnh BÊn lun vôn gỗm ba ch÷ìng , líi nâi ƒu , k‚t lu“n v hai phư lưc : Ch÷ìng Ki‚n thøc chu'n bà: Ch÷ìng n y tr…nh b y c¡c t‰nh ch§t cì b£n cıa h m kh£ vi c§p mºt v c§p cao ca h m s mt bin trản R s ữổc ¡p dưng c¡c phƒn sau nh÷: C¡c ành l‰ cì b£n v• h m kh£ vi v cỉng thøc Taylor Ch÷ìng p dưng cỉng thøc Taylor v o gi£i mºt sŁ b i to¡n v• h m a thức: XuĐt phĂt t ỵ dũng cổng thức Taylor ca h m a thøc v o gi£i c¡c b i toĂn vã giÊi phữỡng trnh bc ba, phữỡng trnh bc bn tng quĂt bng cĂch ữa phữỡng trnh vã dng khuy‚t v øng döng v o gi£i c¡c b i toĂn vã ỗ th h m a thức Chữỡng p dưng c¡c ành l‰ cì b£n cıa h m kh£ vi v o gi£i c¡c b i to¡n phŒ thỉng: Phƒn ƒu cıa ch÷ìng n y l mºt sŁ øng döng cıa ành l ‰ Rolle: ¡p döng ành l Rolle v cĂc hằ quÊ xt sỹ tỗn t⁄i nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh, ¡p dưng v o gi£i phữỡng trnh cho trữợc Phn tip theo l cĂc ¡p döng cıa ành l‰ Lagrange v c¡c h» qu£ v o gi£i c¡c b i to¡n nh÷: gi£i ph÷ìng trnh, hằ phữỡng trnh, chứng minh bĐt flng thức Phn cuŁi ch÷ìng l c¡c øng dưng cıa ành l‰ Cauchy: ¡p dưng v o gi£i h» ho¡n vỈng quanh v chøng minh b§t flng thøc mºt bi‚n ” ho n th nh lun vôn n y em xin chƠn th nh cÊm ỡn tợi ngữới thy knh mn PGS.TS Nguyn nh Sang  d nh nhiãu thới gian hữợng dÔn, ch dy sut thới gian xƠy dỹng ã t i cho ‚n ho n th nh lu“n vôn Em cụng xin chƠn th nh cÊm ỡn tợi c¡c thƒy cỉ gi¡o khoa To¡n - Cì -Tin hồc, Ban GiĂm hiằu, Phặng Sau i hồc trữớng HKHTN ¢ t⁄o i•u ki»n thu“n lỉi suŁt thíi gian hồc ti trữớng Mc dũ cõ nhiãu c gng thới gian v nông lỹc cặn hn ch nản bÊn lun vôn khổng trĂnh khọi cĂc thiu sõt, rĐt mong ữổc cĂc thy cổ giĂo v cĂc bn gõp ỵ xƠy dỹng Tổi xin chƠn th nh c£m ìn H Nºi, ng y 20 th¡ng 11 nôm 2011 Hồc viản Phũng ức Th nh BÊng cĂc kỵ hiằu vit tt N cĂc s tỹ nhi¶n N t“p c¡c sŁ tü nhi¶n kh¡c Z t“p c¡c sŁ nguy¶n Z + t“p c¡c sŁ nguy¶n dữỡng Z cĂc s nguyản Ơm R cĂc sŁ thüc R t“p c¡c sŁ thüc kh¡c R + t“p c¡c sŁ thüc d÷ìng R t“p c¡c sŁ thüc ¥m i ìn £o C t“p c¡c sŁ phức ch dÔn lch sò ch dÔn lch sò Ch÷ìng Ki‚n thøc chu'n bà 1.1 C¡c nh lỵ cỡ bÊn ca h m khÊ vi nh ngh¾a 1.1.1 Cho kho£ng (a; b) R, h m sŁ f : (a; b) ! R Ta nâi r‹ng h m f ⁄t cüc ⁄i àa ph÷ìng (t÷ìng øng cüc tiu a phữỡng) ti x0 (a; b), nu tỗn t⁄i mºt sŁ > cho (x ; x0 + ) (a; b) v f(x) f(x 0) (t÷ìng øng f(x) f(x0)) vỵi måi x (x0 ; x0 + ) i”m x0 m ÷ỉc gåi chung l i”m cỹc tr ca h m f nh lỵ 1.1.2 (Fermat) Cho kho£ng (a; b) R v N‚u i”m c f (c) = nh lỵ 1.1.3 (Rolle) GiÊ sò h m f : [a; b] ! R thäa m¢n: (a) f li¶n tưc tr¶n [a:b], (b) kh£ vi kho£ng (a; b), (c) f(a) = f(b) Khi â tỗn ti t nhĐt mt im c (a; b) cho f (c) = nh lỵ 1.1.4 (Lagrange) Gi£ sß h m f : [a; b] ! R cõ cĂc tnh chĐt: (a) f liản tửc trản [a; b], (b) kh£ vi kho£ng (a; b) Khi õ tỗn ti t nhĐt mt im c (a; b) cho: f (c)(b a) = f(b) f(a) Nhn xt: nh lỵ Rolle l trữớng hổp riảng ca nh lỵ Lagrange Cổng thức (1:1) ữổc gồi l cæng thøc sŁ gia hœu h⁄n Lagrange Cæng thøc n y cặn ữổc vit dữợi dng: lĐy a = x0, b = x0 + x, th… b a = x, x0 < c < x0 + x n¶n ta vit c dữợi dng c = x0 + x, (0; 1) Khi õ, (1:1) ữổc vit dữợi dng f(x0 + x) f(x0) = f (x0 + x) x H» qu£ 1.1.5 Gi£ sß f : [a; b] ! R li¶n tưc tr¶n [a; b] v kh£ vi kho£ng (a; b) Khi â: (a) N‚u f (x) = vỵi måi x (b) 0 N‚u f (x) > (f (x) < 0) vỵi måi x (a; b) th… f t«ng (gi£m) thüc sü trản [a; b] nh lỵ 1.1.6 (Cauchy) GiÊ sò cĂc h m f; g : [a; b] ! R câ cĂc tnh chĐt: f v g liản tửc trản [a; b], f, g kh£ vi tr¶n (a; b) Khi õ tỗn ti c (a; b) cho 0 [f(b) f(a)]g (c) = [g(b) g(a)]f (c) Hìn nœa, n‚u g (x) kh¡c vỵi måi x (a; b) th… cæng thøc (1:2) câ d⁄ng f (c) g (c) Nhn xt: nh lỵ Lagrange l trữớng hổp riảng ca nh lỵ Cauchy vợi h m g(x) = x 1.2 Cæng thøc Taylor Ta dịng cỉng thøc Taylor thøc Ta câ: ” x§p x mt h m s bng mt a nh lỵ 1.2.1 (Cổng thức Taylor vợi s dng Lagrange) GiÊ sß h m sŁ f : (a; b) ! R câ ⁄o h m ‚n c§p (n + 1) kho£ng (a; b), x (a; b) Khi â, vỵi måi x (a; b), ta câ: n f(x) = X (k) f (x0) (x k! x k=0 â c l i”m n‹m giœa x v Nh“n x†t: V… c n‹m giœa x v x0 n¶n (1:4) câ th vit dữợi dng sau: n f(x) = X k=0 (k) f (x0) (x k! k x0) + x v 91 cĂc h m khÊ vi trản (0; x) vợi mồi x > Theo Cauchy, ta cõ tỗn ti x0 (0; x) cho: l f(x) f(0) f g(x) g(0) p = 1 x0 2 = t(t + 1) Ta câ h (t) = Suy h(t) h(1) = Tł (*) suy ra: BĐt flng thức (2) tữỡng ữỡng vợi: Xt h m f(x) = p 92 Theo Cauchy, ta câ: f(x) g(x) 16 =p =3x0 h =3(t 4(t + 2) Ta câ t =3t(t + 1) p Tł â suy ra: f(x) B i t“p 3.3.2.5 Vỵi måi x < 0, chøng minh r‹ng: 1+x+ Líi gi£i (a) Chøng minh (1): (1) , x + 93 v g(x) = e x x0 (x; 0) ( X†t h m h(x) = + x + V“y vỵi måi x0 < th… ta câ h(x0) > h(0), hay l Tł (*) v (**) suy x x+ + e x , x2 x3 + x + + < ex ) (1): (b) Chøng minh (2): (2) , e x x g(x) = e l c¡c h m kh£ vi trản R, theo nh lỵ Cauchy, tỗn ti x0 (x; 0), vỵi måi x < 0, cho: f(x) f(0) g(x) g(0) x X†t h m h(x) = (1 + x)e Ta câ x x x h (x) = e + (1 + x)e ( 1) = e (1 94 V“y vỵi måi x < 0, suy h(x0) < h(0), hay l Tł (***) v (****) suy x) = x xe > 0; 8x < 0: , x e 1, k N, hay l ta câ c¡c b§t flng thøc óng k x4j j=1 (4j X k x4j j=1 (4j X x4k + (4k)! x4k+1 + (4k + 1)! Ta chøng minh (a) v (b) cơng óng vỵi n = k + 1, hay cƒn chøng minh x x 2! + x4k 0, cho l f(x) g(x) f(x) , g(x) 96 p döng gi£ thi‚t quy n⁄p, suy sin x0 Tł (*) v Chøng minh (7): T÷ìng tü, ta x†t v q(x) = x0 (0; x) (0; +1), vỵi måi x > 0, cho p(x) q(x) p(x) ,q(x) p dưng b§t flng thøc (5) suy ra: x40k+2 p(x) q(x) < (4k + 2)! x k+2 = , p(x) < q(x) ) (7): (4k + 2)! Chøng minh (6): X†t h m h(x) = cos x v x4k+4 m(x) = (4k + 4)! 97 l c¡c h m kh£ vi tr¶n R, theo Cauchy, suy tỗn ti x0 (0; x) (0; +1), vỵi måi x > 0, cho h(x) ,m(x) (do h(0) = m(0) = 0) h(x) m(x) p döng (7) suy ra: x40k+3 < (4k + 3)! x k+3 = , h(x) < g(x) ) (6): (4k + 3)! Chøng minh (8): X†t h m l(x) = sin x v t(x) = t⁄i x0 (0; x) (0; +1), vỵi måi x > 0, cho: p dưng b§t l(x) t(x) flng thøc (6) suy ra: 98 K‚t lu“n Sau thíi gian håc t“p t⁄i Khoa To¡n - Cì -Tin håc , Tr÷íng ⁄i håc Khoa håc Tü nhi¶n , HQG H Nºi ÷ỉc c¡c thƒy cỉ trüc ti‚p gi£ng d⁄y v h÷ỵng dÔn c biằt l PGS.TS Nguyn nh Sang , em  ho n th nh lun vôn vợi ã t i Ùng döng ⁄o h m ” gi£i c¡c b i toĂn ph thổng Lun vôn  t ữổc mt s kt quÊ : Lun vôn  khai th¡c ÷ỉc c¡c øng dưng cıa ⁄o h m v o gi£i c¡c b i to¡n tr÷ìng tr…nh to¡n håc phŒ thỉng kh¡ hi»u qu£ v cho líi gi£i àp, to ữổc niãm am mả tm tặi v sĂng t⁄o håc t“p to¡n cıa håc sinh Lu“n vôn  hằ thng hõa v phƠn loi ữổc cĂc dng toĂn cỡ bÊn vợi nhiãu v dử minh hồa ¡p dưng ph÷ìng ph¡p gi£i to¡n phong phó k–m c¡c b i t“p tham kh£o ÷ỉc tr‰ch tł c¡c k… thi håc sinh giäi to¡n quŁc gia v thi olimpic to¡n quŁc t‚ , v… v“y b£n lu“n v«n câ th” l m t i li»u tham kh£o cho håc sinh cĂc lợp chuyản toĂn ph thổng v sinh viản nôm thứ nhĐt cĂc trữớng i hồc khoa hồc cỡ bÊn Lun vôn  th hiằn ữổc hữợng nghiản cứu, sĂng to cĂc phữỡng phĂp ứng dửng mợi cıa ⁄o h m v o gi£i c¡c b i toĂn ph thổng Mt s hữợng phĂt trin ti‚p theo : ành l‰ Lagrange v c¡c h» qu£ câ th” ¡p döng v o gi£i c¡c b i toĂn vã dÂy s , t biằt l cĂc b i toĂn vã chứng minh sỹ tỗn ti giợi hn ca dÂy s hay tnh giợi hn ca dÂy h m sŁ d⁄ng xn+1 = f(xn), â f(x) l h m sŁ thäa m¢n c¡c gi£ thi‚t cıa ành l‰ Lagrange Trong v‰ dư 3.3.1.8 câ • c“p ‚ vĐn ã cõ tham s v cho lới giÊi àp, ta cõ th Ăp dửng hữợng n y cho cĂc b i toĂn bĐt phữỡng trnh cõ tham s 99 T i li»u tham kh£o Ti‚ng vi»t Tỉ V«n Ban, Gi£i t‰ch nhœng b i t“p n¥ng cao, NXBGD, 2005 Trƒn øc Long, Nguy„n …nh Sang, Ho ng QuŁc To n, Gi¡o tr…nh gi£i t‰ch, B i t“p gi£i t‰ch t“p I, II, Nh xu§t b£n HQG H Ni, 2007 Nguyn Vôn Mu, Mt s chuyản ã giÊi tch bỗi dữùng hồc sinh giọi trung hồc ph thổng, NXBGD, 2010 Nguyn Vôn Mu, DÂy s v ¡p döng, a thøc v ¡p döng, NXBGD, 2004 Nguyn Vôn Mu, a thức i s v phƠn thức hœu t , NXBGD, 2008 Th.S Nguy„n V«n Nho, Olympic toĂn hồc chƠu Ă thĂi bnh dữỡng, NXBGD, 2004 o n Qnh, Trƒn Nam Dơng, Nguy„n Vơ L÷ìng, °ng Hịng Th›ng, T i li»u chuy¶n to¡n ⁄i sŁ v gi£i t‰ch 11, NXBGD, 2010 PGS TS Vô Dữỡng Thửy, 40 nôm olympic toĂn hồc quc t, NXBGD, 2003 T⁄p ch‰ to¡n håc tuŒi tr·, C¡c b i thi olympic to¡n trung håc phŒ thæng Vi»t Nam, NXBGD, 2007 100 Ti‚ng anh 10 W.J.Kackor, M.T.Nowak, Problem in mathematical analysis I, Real number, Sequences and Series, AMS, 2000 11 W.J.Kackor, M.T.Nowak, Problem in mathematical analysis II, Con-tinuity and differentiation , AMS, 2001 101 ... KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Phùng Đức Thành ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TỐN PHỔ THƠNG LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60 46 40 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA... khoa håc kh¡c nh÷ kinh t, cỡ hồc, vt lỵ v kắ thut Ngay to¡n håc, ⁄o h m l y‚u tŁ quan trång v ữổc ứng dửng nhiãu lắnh vỹc nhữ Ăp dưng v o gi£i c¡c b i to¡n v• ⁄i sŁ, gi£i t‰ch hay c¡c b i to¡n h…nh... câ øng dưng ⁄o h m Xu§t ph¡t tł c¡c ành l‰ cì b£n v• h m sŁ kh£ vi ta thĐy xuĐt hiằn khÊ nông chứng minh sỹ tỗn ti nghi»m ho°c t…m nghi»m cıa mºt ph÷ìng tr…nh, h» ph÷ìng trnh cho trữợc, t khai