skkn ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán trong đề thi đại học cao đẳng và học sinh giỏi môn toán

Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012-2013 Trang 1 Phần I: MỞ ĐẦU I. Lí do chọn đề tài: Trong các kỳ thi đại học, cao đẳng và học sinh giỏi chúng ta thường bắt gặp các dạng toán quen thuộc như giải PT, HPT, BPT, HBPT; tìm GTLN, GTNN của hàm số; tìm điều kiện có nghiệm của PT, BPT, HPT, HBPT; chứng minh bất đẳng thức hay tính giới hạn hàm số. Đó là những dạng toán khó đối với học sinh, có nhiều bài không thể giải được bằng phương pháp đại số thông thường, kinh điển hoặc có thể giải được nhưng gặp nhiều khó khăn, phức tạp. Hơn nữa ứng dụng của đạo hàm đối với môn Toán cấp THPT rất lớn khi mà chương trình sách giáo khoa đã giảm tải. Nhiều bài toán trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng, thi tuyển sinh sau đại học, thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế có thể ứng dụng đạo hàm để giải và phương pháp đó thường cho đáp án gọn hơn phương pháp đại số. Theo tác giả thống kê tại phụ lục, đáp án chính thức đề thi tuyển sinh vào Đại học môn Toán các khối A, B, D từ năm 2002 (năm bắt đầu thi theo đề chung của Bộ Giáo dục và Đào tạo) đến năm 2012 (không kể Cao đẳng, không kể bài đầu tiên về khảo sát hàm số và bài toán phụ trong bài đầu tiên) do Bộ Giáo dục và Đào tạo công bố có tới 27 bài toán có thể sử dụng phương pháp ứng dụng đạo hàm để giải. Hơn nưa với chương trình phân ban sách giáo khoa viết theo tinh thần giảm tải đa bỏ qua các nội dung so sánh một số với các nghiệm tam thức bậc hai ở chương trình đại số lớp 10 làm cho việc giải các bài toán chứa tham số gặp khó khăn. Tuy nhiên tài liệu viết chuyên sâu, hệ thống về những ứng dụng của đạo hàm để giải các bài toán trong kỳ thi tuyển sinh vào Đại học không nhiều và học sinh thường gặp khó khăn, lúng túng trong việc nhận diện, giải quyết dạng toán. Do đó việc chọn lựa một đề tài sáng kiến kinh nghiệm nhằm góp phần thực hiện chủ trương lớn đó của tỉnh, của ngành là việc làm phù hợp với thực tiễn, thể hiện tình yêu nghề và trách nhiệm của người cán bộ, giáo viên trong ngành. Chính vì vậy tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: "Ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán trong đề thi Đại học, Cao đẳng và học sinh giỏi môn Toán". II. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu: Tìm hiểu đối tượng học sinh trường trung học phổ thông Nguyễn Tất Thành. Kết quả nghiên cứu được khảo sát trong các tiết giảng ôn luyện thi Đại học, Cao đẳng và học sinh giỏi môn Toán cho các em học sinh. Các dạng toán giải PT, BPT, HPT, HBPT; tìm GTLN, GTNN của hàm số; chứng minh bất đẳng thức; các bài toán chứa tham số trong chương trình toán phổ thông và trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học, chọn học sinh giỏi các cấp. Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012-2013 Trang 2 Phân loại các dạng toán thường gặp và phương pháp giải mỗi dạng. III. Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh nhận dạng được các PT, HPT, BPT, HBPT; tìm GTLN, GTNN của hàm số; chứng minh bất đẳng thức; các bài toán chứa tham số có thể ứng dụng đạo hàm để giải. Trang bị cho học sinh về một phương pháp mang lại hiệu quả rõ nét. Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo. Nâng cao khả năng tự học, tự bồi dưỡng và khả năng giải các bài toán trong kỳ thi tuyển sinh vào Đại học môn Toán. IV. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu: Điểm mới trong kết quả nghiên cứu: Hệ thống hoá các dạng toán, đưa ra phương pháp chung về việc ứng dụng đạo hàm để giải các dạng toán này. Giúp học sinh nhận thấy hiệu quả rõ rệt của phương pháp so với phương pháp đại số thông thường. Chẳng hạn như: Với các PT, BPT, HPT, HBPT không chứa tham số, ta sử dụng các tính chất về tính đơn điệu của hàm số để giải. Với các PT, BPT, HPT, HBPT có chứa tham số, ta tìm cách cô lập tham số về một vế rồi sử dụng các mệnh đề để giải. Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012-2013 Trang 3 Phần II: NỘI DUNG A. CƠ SỞ LÍ LUẬN: Chương trình giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện của từng lớp học; bồi dưỡng học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh. Quá trình dạy học với các nhiệm vụ cơ bản là hình thành tri thức, rèn luyện các kỹ năng hoạt động nhận thức, hình thành thái độ tích cực được xây dựng trên quá trình hoạt động thống nhất giữa thầy và trò, trò và trò, tính tự giác, tích cực tổ chức, tự điều khiển hoạt động học nhằm thực hiện tốt các nhiệm vụ đã được đề ra. B. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ: Qua thực tiễn học tập và giảng dạy, tôi nhận thấy ứng dụng của đạo hàm trong giải các bài toán cấp THPT rất lớn nhưng học sinh thường không mạnh dạn, tự tin sử dụng công cụ đắc lực này trong giải toán vì: Đạo hàm là phần kiến thức mới với học sinh, gắn liền với toán học hiện đại, học sinh bắt đầu được làm quen ở cuối chương trình lớp 11. Trong khi đó từ cấp Trung học cơ sở đến cấp THPT học sinh đã được tiếp xúc với rất nhiều bài toán về giải PT, HPT, BPT, HBPT; tìm GTLN, GTNN của hàm số; chứng minh bất đẳng thức; các bài toán chứa tham số và đã quen sử dụng các phương pháp giải toán đại số kinh điển để giải. Sách giáo khoa viết về ứng dụng của đạo hàm không nhiều và đa số theo chương trình cũ do đó học sinh không nhận diện được các dạng toán và chưa được hướng dẫn một cách hệ thống phương pháp để giải quyết bài toán trọn vẹn. Số lượng bài toán có thuộc các dạng toán nêu trên xuất hiện ngày càng nhiều trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học, cao đẳng và học sinh giỏi những năm gần đây và phương pháp sử dụng để giải chủ yếu là sử dụng phương pháp ứng dụng của đạo hàm: Năm 2007 có 3 bài, năm 2008 có 2 bài, năm 2009 có 2 bài, năm 2010 có 3 bài, năm 2011 có 4 bài, năm 2012 có 6 bài. C. CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Trong thực tiễn giảng dạy cho học sinh tôi đã giúp học sinh hệ thống dạng toán và phương pháp giải các dạng toán theo các chương như sau: Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012-2013 Trang 4 Chương 1 SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TÍNH GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Bài toán tính giới hạn của hàm số dạng vô định 0 0 , thườ ng th ự c hi ệ n theo cách phân tích thành nhân t ử để kh ử dang vô đị nh, nh ư trong sách giáo khoa đ ã trình bày, đ ôi lúc còn có th ể s ử s ụ ng ph ươ ng pháp g ọ i h ạ ng t ử v ắ ng. Ở đ ây s ẻ trình bày thêm m ộ t cách gi ả i khác, đ ó là s ử d ụ ng đị nh ngh ĩ a đạ o hàm để tính gi ớ i h ạ n. L ư u ý ch ọ n hàm s ố f(x) Kiến thức vận dụng - S ử d ụ ng đị nh ngh ĩ a đạ o hàm; - Đạ o hàm các hàm s ố s ơ c ấ p c ơ b ả n; - Gi ớ i h ạ n h ữ u h ạ n. 1. Các ví dụ minh họa Ví dụ 1. Tính giới hạn: 2 1 3 2 5 7 lim 1 x x x L x → − − + = − Đề thi vào Đại học Tài chính Kế toán năm 2001) Phân tích và lời giải - Bài toán này không th ể kh ử d ạ ng vô đị nh b ằ ng nhân l ượ ng liên h ợ p. - Có th ể gi ả i theo ph ươ ng pháp g ọ i h ạ ng t ử v ắ ng L ờ i gi ả i sau trình bày theo ph ươ ng pháp đạ o hàm: Xét hàm s ố 2 3 7 ( ) 5f x x x − + = − Ta có f(1) = 0 ( ) 2 2 3 1 2 '( ) 2 5 3 7 x f x x x − = − − + 1 1 5 '(1) 4 6 12 f = = − − − Ta có 1 1 ( ) (1) lim '(1) 5 1 lim( 1) 2 24 x x f x f f x L x → → − − = = = − + Ví dụ 2. Tính giới hạn sin2x sin 0 sin lim x x x e e L → − = (Đề thi vào Đại học Hàng hải TP HCM năm 1999) Phân tích và lời giải Sáng ki ế n kinh nghi ệ m N ă m h ọ c 2012-2013 Trang 5 - Bài toán này không th ể kh ử d ạ ng vô đị nh b ằ ng nhân l ượ ng liên h ợ p ho ặ c g ọ i h ạ ng t ử v ắ ng. - Có th ể áp d ụ ng đị nh lí 0 1 lim x x e x → − để tính gi ớ i h ạ n. L ờ i gi ả i sau trình bày theo ph ươ ng pháp đạ o hàm: Xét hàm s ố sin2x sin ( ) x f x e e = − . Ta có f(0) = 0 ( ) ( ) sin2x sin '( ) 2cos2 cos x f x x e x e = − 0 0 ( ) (0) lim '(0) 1 0 1 sin 1 1 lim x x f x f f x L x x → → − − = = = = Ví dụ 3. Tính giới hạn 4 tan 1 lim 2cos 2 x L x x π − = → − Phân tích và lời giải - Bài toán này có th ể kh ử d ạ ng vô đị nh b ằ ng nhân l ượ ng liên h ợ p; - L ờ i gi ả i b ằ ng ph ươ ng pháp đạ o hàm. Xét hàm s ố ( ) tan 1 f x x = − và 2 ( ) 2cosg x x = − . Ta có 0; 0 4 4 g f π π             = = 2 1 1 4 '( ) ' 2cos tan f x f x x π   ⇒ =     = 1 4 '( ) 2sin 'g x x g π   ⇒ = −     = − 4 4 4 4 4 4 ( ) ( ) lim ' 1 1 1 ( ) ' 4 lim 4 x x f x f f x L g x g g x π π π π π π π π → →                   − − = = = = − − − − 2. Bài tập tương tự: Tính các gi ớ i h ạ n sau: 1) 0 3 2 1 2 1 lim sin x x x L x → + − + = 2) 0 lim x x x a L x a α → − = − 3) 33 0 3 2 1 1 lim x x x x L x → + + + − = 4) ( ) 2 9 0 2009 1 5 2009 lim x x x L x → + − − = Sáng ki ế n kinh nghi ệ m N ă m h ọ c 2012-2013 Trang 6 5) 2 2 0 3 cos lim x x x L x → − = 6) 0 3 2 1 3 1 lim x x x L x → − + + = Chương II ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ A. Tóm tắt lý thuyết: 1. Định nghĩa: Cho hàm s ố ( ) = y f x có TX Đ là D S ố M đượ c g ọ i là GTLN c ủ a hàm s ố n ế u ( ) ( ) 0 0 : ≤ ∀ ∈    ∃ ∈ =   f x M x D x D f x M Kí hi ệ u ( ) x D M Maxf x ∈ = S ố m đượ c g ọ i là GTNN c ủ a hàm s ố n ế u ( ) ( ) 0 0 : ≥ ∀ ∈    ∃ ∈ =   f x m x D x D f x m Kí hi ệ u ( ) ∈ = x D m Minf x Nhận xét: Theo đ ó GTLN, GTNN c ủ a hàm s ố có th ể không t ồ n t ạ i. Để tìm GTLN, GTNN c ủ a hàm s ố h ọ c sinh th ườ ng đ ã đượ c làm quen v ớ i m ộ t s ố ph ươ ng pháp nh ư - Ph ươ ng pháp s ử d ụ ng các B Đ T. - Ph ươ ng pháp tam th ứ c b ậ c hai. - Ph ươ ng pháp s ử d ụ ng t ậ p giá tr ị c ủ a hàm s ố . Đ ó là nh ữ ng ph ươ ng pháp đạ i s ố thông th ườ ng, tuy nhiên ta có th ể s ử d ụ ng m ộ t ph ươ ng pháp khá hi ệ u qu ả là s ử d ụ ng đạ o hàm. 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn Để tìm GTLN, GTNN c ủ a hàm s ố ( ) = y f x trên đ o ạ n [ ] , a b v ớ i ( ) = y f x là hàm s ố liên t ụ c trên đ o ạ n [ ] , a b và có đạ o hàm trong kho ả ng ( ) , a b ta th ự c hi ệ n theo các b ướ c nh ư sau: Bước 1: Tính đạ o hàm ' y r ồ i tìm nh ữ ng giá tr ị c ủ a bi ế n s ố trong kho ả ng ( ) , a b làm cho ' 0 = y . Gi ả s ử ta tìm đượ c các nghi ệ m là 1 2 , x x B ướ c 2: Tính các giá tr ị ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 , , , f a f b f x f x B ướ c 3: K ế t qu ả [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) { } 1 2 , , , , , ∈ = x a b Min f a f b f x f x Miny Sáng ki ế n kinh nghi ệ m N ă m h ọ c 2012-2013 Trang 7 [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) { } 1 2 , , , , , ∈ = x a b Max f a f b f x f x Maxy 3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên khoảng. Để tìm GTLN, GTNN c ủ a hàm s ố ( ) = y f x trên kho ả ng ta th ự c hi ệ n theo các b ướ c nh ư sau: B ướ c 1: Tìm Mi ề n xác đị nh B ướ c 2: Tính đạ o hàm ' y , sau đ ó gi ả i ph ươ ng trình ' 0 = y B ướ c 3: L ậ p b ả ng bi ế n thiên c ủ a hàm s ố (thông th ườ ng trong tr ườ ng h ợ p hàm s ố không đơ n đ i ệ u trên t ậ p c ầ n tìm) B ướ c 4: T ừ b ả ng bi ế n thiên c ủ a hàm s ố ta k ế t lu ậ n đượ c GTLN, GTNN B. Ví dụ minh hoạ: I. Hàm một biến Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN c ủ a hàm s ố 20 20 sin cos = + y x x Lời giải: Nh ậ n xét 20 20 20 20 sin cos sin cos 2 2 π π     + + + = +         x x x x Nên hàm s ố đ ã cho tu ầ n hoàn v ớ i chu kì 2 π = T Do đ ó ta ch ỉ c ầ n tìm GTLN, GTNN c ủ a hàm s ố trên m ộ t chu kì là đ o ạ n 0, 2 π       Ta có ( ) 18 18 ' 20sin cos sin cos= ⋅ − y x x x x Do đ ó cos 0 2 ' 0 sin 0 0 sin cos 4 π π  =  =    = ⇔ = ⇔ =     =  =   x x y x x x x x Tính giá trị ( ) 9 1 0 1; ; 1 4 2 2 π π     = = =         y y y Từ đó suy ra 1 = Maxy , 9 1 2 = Miny Ví dụ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số ( ) sin 2 cos = = + x y f x x với [ ] 0, π ∈ x Lời giải: Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012-2013 Trang 8 Xét hàm số đã cho trên đoạn [ ] 0, π ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 cos 2 cos sin 1 2cos ' 2 cos 2 cos + + + = = + + x x x x y x x ( ) 2 1 2cos 1 2 ' 0 0 cos 2 3 2 cos π + = ⇔ = ⇔ = − ⇔ = + x y x x x Ta có ( ) ( ) 2 1 0 0, , 0 3 3 π π   = = =     f f f V ậ y [ ] 0, 1 3 π ∈ = x Maxy đạ t đượ c khi 2 3 π =x [ ] 0, 0 π ∈ = x Miny đạ t đượ c khi 0 = x ho ặ c π = x Ví dụ 3: Tìm GTLN, GTNN c ủ a hàm s ố ( ) 2 2 = = + − y f x x x Lời giải: Điều kiện 2 2 0 2 2 − ≥ ⇔ − ≤ ≤ x x Suy ra tập xác định của hàm số đã cho là 2, 2   = −   D Ta có 2 2 2 2 2 0 2 ' ' 0 2 1 2 2 ≥  − −  = ⇒ = ⇔ − = ⇔ ⇔ =  − =  −  x x x y y x x x x x x Tính ( ) ( ) ( ) 2 2; 1 2; 2 2 − = − = = f f f Vậy 2 1 ∈ = = x D khi x Maxy 2 2 ∈ = − = − x D khi x Miny Ví dụ 4: Tìm GTNN của ( ) 2 2 ( 1) − − + = x a x a f x x với ( ) 2 0 1 0 < ≤ − + > x a a a Lời giải Ta có: 2 2 2 1 '( ) 1 1 − = − ≤ − + a a f x x a a * N ế u 2 1 '( ) 0 0 1 ( ) ≥ ⇒ ≤ ∀ < ≤ − + ⇒ a f x x a a f x ngh ị ch bi ế n ( ) 2 2 2 2 1 ( ) 1 ( 1) 1 − + ⇒ ≥ − + = − − − + a a f x f a a a a a Sáng ki ế n kinh nghi ệ m N ă m h ọ c 2012-2013 Trang 9 V ớ i ( ) 2 1 1 = − + ≥ x a a a thì Min 2 2 2 1 ( ) 1 1 − + = − + − + a a f x a a a * N ế u 0 1 ( ) 0 < < ⇒ = a f x có nghi ệ m = x a B ả ng bi ế n thiên: T ừ b ả ng bi ế n thiên suy ra: ( ) ( ) 1 ≥ = + f x f a a V ớ i (0;1) = ∈ x a thì inf ( ) 1 = + M x a Bài tập tương tự: Bài 1 . Tìm GTLN và GTNN c ủ a các hàm s ố sau: a) 24 cos12 3sin8 = − − y x x x v ớ i , 6 6 π π   ∈ −     x b) 1 9 = − + − y x x trên đ o ạ n [ ] 3,6 Bài 2. Tìm GTLN và GTNN c ủ a hàm s ố 2 4 y x x = + − Bài 3. Câu IV.1 khối D năm 2003 Tìm GTLN và GTNN c ủ a hàm s ố 2 1 1 x y x + = + trên đ o ạ n [ ] 1;2 − . Bài 4. Câu II.2 khối B năm 2004 Tìm GTLN và GTNN c ủ a hàm s ố 2 ln x y x = trên đoạn 3 1; e     . Bài 5. Câu VII.b khối D năm 2011 Tìm GTNN và GTLN của hàm số 2 2 3 3 1 x x y x + + = + trên đoạn [ ] 0; 2 . II. Hàm hai biến Biến đổi giả thiết và biểu thức cần tìm GTLN, GTNN để tìm mối quan hệ giữa chúng rồi tìm cách đặt ẩn phụ hợp lý, đưa biểu thức đã cho về hàm một biến để khảo sát. 1. Các ví dụ minh họa Ví dụ1. Khối D năm 2009 x 0 2 a a 1 − + a f’ - 0 + f a 1 + Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012-2013 Trang 10 Cho các số thực không âm , x y thay đổi và thoả mãn 1 x y + = . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức ( ) ( ) 2 2 4 3 4 3 25 S x y y x xy = + + + . Phân tích: T ừ gi ả thi ế t 1 x y + = có th ể đư a bài toán v ề m ộ t ẩ n không? Khai tri ể n bi ể u th ứ c S c ố g ắ ng làm xu ấ t hi ệ n x y + để s ử d ụ ng gi ả thi ế t. Chú ý các h ằ ng đẳ ng th ứ c : 2 2 2 3 3 2 2 ( ) 2 ( )( ) x y x y xy x y x y x xy y + = + − + = + − + Sau khi khai tri ể n và th ế vào 1 x y + = , ta có : 2 2 16 2 12 S x y xy = − + V ậ y đế n đ ây ta có th ể ngh ĩ đế n vi ệ c có th ể đư a S v ề hàm m ộ t bi ế n s ố n ế u ta đặ t : t xy = C ầ n ch ặ n bi ế n t b ằ ng cách s ử d ụ ng b ấ t đẳ ng th ứ c : 2 ( ) 0 4 x y xy + ≤ ≤ . Lời giải Do 1 x y + = nên ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 2 2 2 16 12 9 25 16 12 3 34 16 2 12 S x y x y xy xy x y x y xy x y xy xy xy = + + + +   = + + − + +   = − + Đặ t t xy = , ta đượ c ( ) 2 2 1 1 16 2 12; 0 0; 4 4 4 x y S t t xy t +   = − + ≤ ≤ = ⇒ ∈     . Xét hàm s ố ( ) 2 16 2 12 f t t t = − + trên đ o ạ n 1 0; 4       ( ) ( ) 1 1 0; 0; 4 4 1 25 1 191 max ; min 4 2 16 16 f t f f t f                 = = = =         Giá tr ị l ớ n nh ấ t c ủ a S b ằ ng 25 2 khi ( ) 1 1 1 ; ; 1 2 2 4 x y x y xy + =     ⇔ =    =     . Giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a S b ằ ng 191 16 khi ( ) ( ) 2 3 2 3 ; ; 1 4 4 1 2 3 2 3 16 ; ; 4 4 x y x y xy x y    + − =    + =      ⇔   =   − +    =       [...]... a Bài 7 Cho x, y ≥ 0 và x + y = 1 Tìm Max, Min c a S = 3x + 9 y Bài 6 Cho ab ≠ 0 Tìm GTNN c a y = Bài 8 Tìm GTLN, GTNN c a y = sin 6 x + cos 6 x + a sin x cos x Bài 9 Tìm GTLN, GTNN c a y = sinx + cos2x + sinx 1 + sin 2x 1 + tgx  π − (a − 1) + a v i x ∈ 0;  1 − sin 2x 1 − tgx  4 2 2 2 Bài 11 Cho x + y + z = 1 Tìm GTLN, GTNN c a P = x + y + x + xy + yz + zx Bài 10 Tìm GTLN, GTNN c a y = Bài. .. xy + yz + zx Bài 10 Tìm GTLN, GTNN c a y = Bài 12 Cho x, y là các s th c th a mãn x + y − 1 = 2 x − 4 + y + 1 1 2 Tìm GTLN, GTNN c a bi u th c P = ( x + y ) − 9 − x − y + x+ y II Hàm ba bi n i v i b t ng th c nhi u bi n, ta có th kh o sát l n lư t t ng bi n m t b ng cách ch n m t bi n làm tham s bi n thi n và c nh các bi n còn l i, bài toán lúc này tr thành b t ng th c m t bi n Luôn có tâm th nhìn... m t hàm theo bi n z, còn x, y là h ng s Kh o sát hàm s v i i u ki n ã cho suy ra giá tr nh nh t c a P, t c là : P( x, y, z ) ≥ P( x, y ) - Kh o sát hàm P( x, y ) , ây có th ưa P( x, y ) v hàm s m t bi n không ? - B ng cách t n ph t = x y ưa P( x, y ) v hàm m t bi n Tìm GTLN c a hàm s m t bi n này - V y P( x, y, z ) ≥ P( x, y ) = P(t ) ≥ 34 33 L i gi i x y z + + 2x + 3y y + z z + x Xem ây là hàm. ..  D ng 2: Bài toán PT, HPT, BPT, HBPT có ch a tham s I Phương pháp gi i D ng toán thư ng g p là tìm giá tr tham s m PT, BPT có nghi m V i d ng toán này ta có th th c hi n theo các bư c như sau: Bư c 1: Bi n i PT, BPT v d ng f ( x ) = g ( m ) (ho c f ( x ) ≥ g ( m ) , ho c f ( x ) ≤ g ( m ) ) Bư c 2: Tìm t p xác nh D c a hàm s f ( x ) Bư c 3: Tính f ' ( x ) Bư c 4: L p b ng bi n thi n c a hàm s Bư c... x ) và max f ( x ) x∈D x∈D T ó v n d ng m t trong các m nh ã nêu ph n ki n th c bên trên rút ra k t lu n cho bài toán Lưu ý: Trư ng h p PT, BPT ch a các bi u th c ph c t p ta làm như sau: - t t = ϕ ( x) - T i u ki n r ng bu c c a n s x , tìm i u ki n c a n s t - ưa PT, BPT n s x v PT, BPT n s t ta ư c f ( t ) = h ( m ) (ho c f ( t ) ≥ h ( m ) , ho c f ( t ) ≤ h ( m ) ) - L p b ng bi n thi n c a hàm. .. f(x) ≤ g(x) ho c f(x) ≥ A và g(x) ≤ A ho c ngư c l i - Sau ó ta xét d u ng th c x y ra Bên c nh ó ta cũng s d ng k t qu : + N u hàm f(x) ng bi n và hàm g(x) ngh ch bi n (ho c ngư c l i) trên cùng m t mi n xác nh thì th c a hàm y = f(x) và y = g(x) n u c t nhau thì c t nhau t i m t i m duy nh t T ó: phương trình f(x) = g(x) ch có th có nghi m duy nh t ho c vô nghi m + N u f(t) là hàm ơn i u trên D thì f(x)... mà ta c n tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t dư i d ng là m t hàm s ta s d ng ư c công c hi u qu trong bài toán là o hàm Sơ t ng quát Trang 14 Sáng ki n kinh nghi m Năm h c 2012-2013 Gi s tìm c c tr c a bi u th c ba bi n x, y, z là P( x, y, z ) v i i u ki n T nào ó Bư c 1 Xem P( x, y, z ) là hàm theo bi n x , còn y, z là h ng s Kh o sát hàm này tìm c c tr v i i u ki n T Ta ư c: P( x, y, z ) ≥ g ( y,... c:   P = a 2 + 2b 2 + 3c 2 − 2a − 24c + 2060 Chương III NG D NG O HÀM CH NG MINH B T NG TH C ch ng minh b t ng th c d ng: f(x)>g(x) ta th c hi n như sau: - Xét hàm s h(x)= f(x)-g(x) - Tìm mi n xác nh c a h(x) - Tính o hàm c p m t và gi i phương trình h′(x)=0 - L p b ng bi n thi n T b ng bi n thi n suy ra b t ng th c c n ch ng minh - Các trư ng h p : + Ch ng minh f(x)≥A nghĩa là ch ng minh minf(x)≥A,... sát hàm bi n a là f (a ) v i 0 < a < L i gi i: a+c 1 và a < 1 − ac c Thay vào bi u th c P ta ư c: 2 2 2(a + c) 3 1 −2+ 2 , (0 < a < ) P= 2 + 2 c a + 1 (a + 1)(c 2 + 1) c +1 1 ( x + c) 2 1 Xét hàm s : f ( x) = 2 + 2 − 1 v i 0 < x < và coi c là tham s 2 c x + 1 ( x + 1)(c + 1) c>0  1 −2c( x 2 + 2cx − 1) Ta có : f '( x) = = 0 ⇔ x0 = −c + c 2 + 1 ∈  0;  (1 + x 2 )2 (1 + c 2 )  c Ta có b ng bi n thi n... , b = 2 thì MaxS = 2 3 8 2 Bài t p tương t : Bài 1 Cho ba s dương a, b, c th a mãn i u ki n 21ab + 2bc + 8ca ≤ 12 1 2 3 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P = + + a b c 3b 2 + b3c 2 + c3a 2 > a 2b3 + b 2c3 + c 2 a3 Bài 2 Cho a>b>c>0 CMR: a Bài 3 Cho x, y, z > o CMR: x4 + y4 + z4 + xyz(x + y + z) ≥ xy(x2 + y2 ) + yz( y2 + z2 ) + zx(z2 + x2 ) Bài 4 Cho a, b, c ∈  0;2  và a + b + c = 3 Tìm GTLN, GTNN . Nhiều bài toán trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng, thi tuyển sinh sau đại học, thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế có thể ứng dụng đạo hàm để giải và phương. bộ, giáo viên trong ngành. Chính vì vậy tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: " ;Ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán trong đề thi Đại học, Cao đẳng và học sinh giỏi môn Toán& quot;. . lượng bài toán có thuộc các dạng toán nêu trên xuất hiện ngày càng nhiều trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học, cao đẳng và học sinh giỏi những năm gần đây và phương pháp sử dụng để giải chủ