skkn ỨNG DỤNG hệ THẶNG dư GIẢI các bài TOÁN số học

Các bài toán số học làthách thức của bao thế hệ học sinh trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi HSGtoán các cấp, như kỳ thi chọn HSG cấp tỉnh, kỳ thi HSG cấp Quốc gia, OlympicQuốc tế và nhi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN TỤY

BẢN ĐĂNG KÍ SÁNG KIẾN NĂM HỌC 2014 – 2015

ĐỀ TÀI: ỨNG DỤNG HỆ THẶNG DƯ

GIẢI CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC

NGƯỜI THỰC HIỆN:

1) ĐẶNG ĐÌNH SƠN TỔ: TOÁN – TIN 2) AN VĂN TÂN PHÒNG: KT&KĐCL SỞ GDĐT TỈNH NINH BÌNH

I ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lí do chọn đề tài

Số học là một môn khoa học có vai trò rất quan trọng trong việc rèn luyện

tư duy sáng tạo cho học sinh Thế giới những con số cũng thật gần gũi, thânquen nhưng cũng đầy bí ẩn Tư duy số học rất tự nhiên nhưng thực sự rất phứctạp đòi hỏi người học, nghiên cứu phải có tư duy cao Các bài toán số học làthách thức của bao thế hệ học sinh trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi (HSG)toán các cấp, như kỳ thi chọn HSG cấp tỉnh, kỳ thi HSG cấp Quốc gia, OlympicQuốc tế và nhiều bài toán số học vẫn còn là thách thức của cả nhân loại Số học

có một sức hút và một vẻ đẹp kì lạ, chính vì vậy nó được gọi là “Bà chúa của

Toán học”.

Việc học tập môn số học trong chương trình toán trung học của các emhọc sinh gặp rất nhiều khó khăn bởi nhiều lí do Trong đó phần lớn là do việctiếp cận các bài toán số học một cách không tự nhiên, không cơ bản, do đókhông hình thành được tư duy số học cho các em nên các em thường bế tắc khigiải các bài toán số học Với mong muốn trang bị cho người học một cách tiếpcận tốt với bộ môn số học là lí do các tác giả viết đề tài này

2 Mục đích nghiên cứu

Cách tiếp cận, xây dựng hệ thống kiến thức số học qua lí thuyết về Hệ

thặng dư có thể coi là cách tiếp cận tự nhiên nhất cho người học Ngay từ khi

mới học về những con số ở các lớp tiểu học, trung học cơ sở khi giải các bàitoán về chia hết, chẳng hạn chứng minh một biểu thức f(n) (n nguyên) chia hếtcho 3 chúng ta đã biết xét các trường hợp n = 3k, n = 3k + 1, n = 3k + 2 (k là sốnguyên), mô hình chung chúng ta đã hiểu rằng tập số nguyên được chia thành 3phần (3 lớp thặng dư modulo 3), khi đó chúng ta chỉ làm việc với ba số 0, 1, 2 là

ba đại diện của ba phần ({0, 1, 2} là một hệ thặng dư đầy đủ modulo 3) Như

vậy chúng ta đã tiếp cận với Hệ thặng dư từ những bài học lọt lòng về số học.

Tiếp cận các bài toán số học bằng lí thuyết về Hệ thặng dư là mục đích

nghiên cứu đề tài này của các tác giả

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các kiến thức về Hệ thặng dư, các định

lí cơ bản của số học và các bài toán số học trong chương trình toán học trunghọc phổ thông, từ các bài tập cơ bản đến các bài tập khó trong các kỳ thi họcsinh giỏi toán cấp tỉnh, cấp quốc gia và Olympic toán quốc tế

4 Phạm vi ứng dụng của đề tài

Bản sáng kiến này được sử dụng cho các em học sinh học học tập môn sốhọc, ôn thi học sinh giỏi toán THPT cấp tỉnh, cấp quốc gia và Olympic toán

quốc tế Sáng kiến cũng được sử dụng cho các thầy cô giáo dạy bộ môn Toán vàbồi dưỡng học sinh giỏi THPT.

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy ở các lớp chuyên toán và công tác tổchức các kì thi chọn học sinh giỏi, chọn đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia

Nghiên cứu qua các tài liệu, semina, mạng internet…

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 HỆ THẶNG DƯ

Tập hợp các số dư trong phép chia các số nguyên cho số nguyên dương n

là {0, 1, 2, …, n – 1} Như vậy tập số nguyên được chia thành n lớp thặng dưmodulo n, trong đó hai số nguyên thuộc cùng một lớp nếu chúng có cùng số dưkhi chia cho n (đồng dư theo modulo n) Mỗi lớp ta chọn một đại diện, tập hợp

các đại diện của các lớp gọi là một Hệ thặng dư đầy đủ modulo n Các thông

tin thu được từ hệ thặng dư giúp chúng ta nghiên cứu tính chất của tập sốnguyên tập số nguyên Như vậy hệ thặng dư giúp ta nghiên cứu tính chất củamột tập vô hạn thông qua một tập hữu hạn

1.1 Hệ thặng dư đầy đủ

Định nghĩa: Với n là một số nguyên dương, hệ thặng dư đầy đủ

(HTDĐĐ) modulo n là tập hợp gồm n số nguyên mà hai số bất kì không có cùng

số dư khi chia cho n

Ví dụ:

HTDĐĐ nguyên dương nhỏ nhất modulo n: {1, 2, 3,…, n}

HTDĐĐ có giá trị tuyệt đối nhỏ nhất modulo (2n+1): {–n, –(n–1),…,1, 0,

1, 2,…, n}

Từ định nghĩa hệ thặng dư đầy đủ modulo n suy ra một số tính chất sau:

Tập hợp n số nguyên {x1, x2, x3,…, xn} là một HTDĐĐ modulo n khi vàchỉ khi “Nếu xi  xj (modn) thì i = j với mọi i, j {1, 2,…, n}”.

Cho {x1, x2, x3,…, xn} là một HTDĐĐ modulo n, khi đó với mỗi sốnguyên x luôn tồn tại duy nhất i {1, 2,…, n} thỏa mãn x  xi (modn)

Cho {x1, x2, x3,…, xn} là một HTDĐĐ modulo n và hai số nguyên a, bthỏa mãn (a, n) = 1, khi đó:{ax1+b, ax2+b, ax3+b,…, axn+b} là một HTDĐĐmodulo n

Cho f (x ,x , , x ) là một đa thức n biến với hệ số nguyên và {a1 2 n 1, a2,…,

an}, {b1, b2, …, bn} là các HTDĐĐ modulo n ta luôn có:

f (a ,a , ,a ) f (b ,b , ,b )(mod n)

Khi chỉ nghiên cứu các số nguyên tố cùng nhau với số nguyên dương n

ta sử dụng khái niệm hệ thăng dư thu gọn modulo n.

1.2 Hệ thặng dư thu gọn

Nhận xét: Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu (n) là số các số nguyên

dương nguyên tố cùng nhau với n và nhỏ hơn n Ta có: k

i 1 i

1(n) n 1

trong đó {p ,p , ,p } là tập hợp các ước nguyên tố của n.1 2 k

Định nghĩa: Tập hợp các số nguyên {x1, x2, x3,…, x(n)} gọi là một hệthặng dư thu gọn (HTDTG) modulo n nếu các số xi đều nguyên tố cùng nhau với

n và hai số bất kì không đồng dư với nhau theo modulo n

Nhận xét:

Cho {x1, x2, x3,…, x(n)} là một HTDTG modulo n Khi đó với mọi sốnguyên x nguyên tố cùng nhau với n luôn tồn tại duy nhất i {1, 2,…, x(n)} thỏamãn x  xi (modn)

Cho {x1, x2, x3,…, x(n)} là một HTDĐĐ modulo n và số nguyên a thỏamãn (a, n) = 1, khi đó:{ax1, ax2, ax3,…, axn} là một HTDĐĐ modulo n

Cho {x1, x2, x3,…, x(n)} là một HTDĐĐ modulo n Khi đó với mọi thuộc{x1, x2, x3,…, x(n)} luôn tồn tại duy nhất x thuộc {x , x , , x1 2 (n )} thỏa mãn

xx 1(mod n) (x, x gọi là nghịch đảo modunlo n) và nếu x y thì x y

Chứng minh:

Vì x {x1, x2, x3,…, x(n)} nên x nguyên tố cùng nhau với n, do đó {xx1,

xx2, xx3,…, xx(n)} là một HTDĐĐ modulo n Suy ra tồn tại duy nhất i {1, 2,

…, x(n)} thỏa mãn xxi  1(modn)

Trong nhận xét trên có thể tổng quát hơn: Cho {x1, x2, x3,…, x(n)} là mộtHTDĐĐ modulo n và số nguyên a nguyên tố cùng nhau với n Khi đó với mọithuộc {x1, x2, x3,…, x(n)} luôn tồn tại duy nhất x thuộc {x , x , , x1 2 (n )} thỏamãn xx a(mod n) và nếu x y thì x y

Từ định nghĩa và các tính chất của hệ thặng dư ta có thể áp dụng để giải các bài chứng minh đồng dư, chia hết; chứng minh tồn tại các số tự

nhiên, tìm các số nguyên thỏa mãn các qua hệ đồng dư, chia hết; tính tổng phần nguyên, phần lẻ.

2 ỨNG DỤNG HỆ THẶNG DƯ CHỨNG MINH MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN CỦA SỐ HỌC

Phương trình đông dư ax b(mod n) có nghiệm khi và chỉ khi ước chunglớn nhất d của a và n cũng là ước của b Khi đó phương trình có đúng d nghiệm(mỗi nghiệm là một lớp thặng dư modulo n)

+ Giả sử (p 1)! 1(mod p), suy ra p không có ước dương nào ngoài 1

3 ỨNG DỤNG HỆ THẶNG DƯ GIẢI MÔT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC

2

 thỏa mãn

a ax(mod p) 

Nếu a thuộc {1;2; ;p 1}

2

 thì lấy b là a ta có:

a)  

p 1 2 2

i 1

1 (p-1)! p

i 1

1 (p-1)! p

i 1

1 (p-1)! p

i 1

1 (p-1)! p

p 1 ( 1) 2.4 (8k) 2 1.2 (4k) 2 !(mod p)

x {1,2,3, ,p 1}  thỏa mãn xx 2(mod p)

Nếu không tồn tại x thuộc {1,2,3, ,p 1} sao cho 2

x  2(modp)thì

{1,2,3, ,p 1} được chia thành p 1

2

 tập {x,x} thỏa mãn xx 2(mod p) Suy ra

k 1

akp

thuộc {1;2; ;p 1 } thỏa mãn 2  2

x  x  0(mod p)

4 MỘT SỐ BÀI TẬP

1 Cho đa thức Q(x) = (p – 1)xp – x – 1 (p là một số nguyên tố lẻ).Chứngminh rằng: Với mọi số nguyên m luôn tồn tai số nguyên n thỏa mãn Q(n) – m chia hết cho pp

.

2 Cho a, b là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, b > 1 Chứngminh rằng với mọi số nguyên N, tồn tại duy nhất cặp số nguyên x, y thỏa mãnđiều kiện N = ax + by và 0 ≤ x < b

3 Cho a, b là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau Chứng minhrằng N = ab – a – b là số nguyên lớn nhất không biểu diễn được dưới dạng ax +

by với x, y là các số nguyên không âm Hơn nữa, với mọi p, q nguyên với p + q

= N, có đúng một trong hai số p, q biểu diễn được dưới dạng ax + by với x, y làcác số nguyên không âm (mà ta sẽ gọi tắt là biểu diễn được)

4 Cho số nguyên dương n và số nguyên tố p lớn hơn n+1 Chứng minh

rằng đa thức

x x x P(x) 1

n 1 2n 1 pn 1

    

   không có nghiệm nguyên

5 Cho dãy số (an) được xác định bởi 1 n n 1 n *

2

a 1,a a  a , n N

 

    Chứngminh rằng dãy số (an) chứa vô hạn số nguyên chia hết cho 7

8 Tính tổng:

k 2015

i 1

17 11

5 TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Hà Huy Khoái (2004), Số học, Nhà XB Giáo dục.

[2] Titu Andresscu and Dorin Andrica, Number Theory, Structures, Examples

and Problems, Springer

III KẾT LUẬN

Sáng kiến đưa ra cách tiếp cận bài toán số học qua Hệ thăng dư, giúp các

em học sinh dễ dàng tiếp thu hệ thống kiến thức số học, hình thành tư duy sốhọc một cách tự nhiên

Sáng kiến đã được các tác giả ứng dụng thực tế trong giảng dạy các lớpchuyên toán và tập huấn đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia, đã thu được nhữngkết quả rất tốt Các em học sinh đã tiếp thu các kiến thức số học tốt hơn, vậndụng và giải được nhiều bài tập khó trong các kì thi Góp phần nâng cao thànhtích học sinh giỏi Quốc gia môn toán trong các năm học qua

Các tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của bạn bè đồngnghiệp

Ninh Bình, tháng 05 năm 2015

Các tác giả