SKKN ỨNG DỤNG đạo hàm để GIÚP học SINH GIẢI QUYẾT các bài TOÁN THỰC tế TRONG đề THI THPT QUỐC GIA

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DUNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIÚP HỌC SINH GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA Người thực hiện: Hoàng Thị Xuân Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn THANH HỐ, NĂM 2019 MỤC LỤC Mục TT I Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận 2.2 Thực trạng 2.3 Cơ sở lý thuyết 2.4 Ứng dụng đạo hàm toán chuyển động 2.5 2.6 Ứng dụng đạo hàm tốn tính diện tích, tính thể tích Ứng dụng đạo hàm tốn kinh tế 13 2.7 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 20 III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 22 3.1 Kết luận 22 3.2 Kiến nghị 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO I.MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tàà̀i Mục tiêu giáo dục phổ thông phải phục vụ sống Do kiến thức học sinh học phải gắn liền với thực tế Chính lẽ mà nhà giáo dục khơng ngừng chỉnh sửa cải cách nội dung giảng dạy cho phù hợp với yêu cầu xã hội Toán học bắt nguồn từ thực tiễn, lí thuyết tốn học dù trừu tượng đến đâu tìm thấy ứng dụng chúng thực tế sống: có nhiều tốn liên quan đến tối ưu hóa nhằm đạt lợi ích cao phải tính tốn thể để làm cho chi phí sản xuất thấp mà lợi nhuận đạt cao , tốn tính tốn vận tốc,và tốn kinh tế Chính lẽ mà viết sáng kiến: “ƯNG DUNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIÚP HỌC SINH GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA” Trong phạm vi sáng kiến mình, tơi đề cập tới áp dụng đạo hàm vào toán thực tiễn, cụ thể dùng cơng cụ đạo hàm để xét tính tối ưu tốn vận tốc, diện tích, thể tích, khoảng cách, góc tốn kinh tế 1.2 Mục đích nghiên cứu - Cung cấp số tập tương đôi phong phú, đa dạng vê ứng dụng đạo hàm có tác dụng tốt để rèn luyện tư mềm dẻo, linh hoạt, khéo léo cho học sinh - Thơng qua học sinh làm tốt tập liên quan 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế - Áp dụng vào giảng dạy cho học sinh lớp 12 năm học 2017-2018 trường THPT Nguyễn Trãi 1.4 Phương pháp nghiên cứu Tìm hiểu đọc sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí, mạng internet, đề thi thử THPT Quốc Gia trường THPT, chuyên đề có liên quan Quan sát việc học tập học sinh, tham khảo ý kiến thầy cô giáo tổ môn II NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận Công cụ đạo hàm dùng hiệu toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hay tính tốn tối ưu tốn kinh tế Để giúp học sinh tích cực, chủ động học mơn Tốn - mơn Khoa học tự nhiên khơ khan người giáo viên cần phải sáng tạo phương pháp giảng dạy, dạy học gắn với thực tế; từ kết dạy học đạt cao 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Khi dạy học sinh trung học phổ thơng lớp 12, tơi nhận thấy em có phần hạn chế việc giải toán thực tế, em ngại tập dạng Hơn nhận thấy công cụ đạo hàm giải phần lớn tốn thực tế Xuất phát từ thực trạng tơi thiết nghĩ cần tăng cường rèn luyện cho học sinh khả giải tình thực tiễn liên quan đến việc ứng dụng đạo hàm 2.3 Cơ sở lý thuyết 2.3.1 Phương pháp giải bàà̀i tốn: Tìm GTNN, GTLN hàm số y = f(x) tập số D đạo hàm Phương pháp chung: Lập bảng biến thiên hàm số tập số D Căn vào bảng biến thiên để kết luận Trong trường hợp D đoạn [a; b] f(x) liên tục D làm sau: Tính đạo hàm y’ Tìm nghiệm y’ đoạn [a; b] giả sử nghiệm x1, x2 Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2) KL: Số lớn (nhỏ nhất) số GTLN, (NN) f(x) [a; b] 2.3.2 Các bước làà̀m bàà̀i toán thực tế ứng dụng đạo hàà̀m Bước 1: Dựa giả thiết yếu tố đề bài, ta diễn tả tốn“dưới dạng ngơn ngữ Tốn học” Đặt biến , biểu diễn đại lượng theo biến, tìm điều kiện tồn chúng ràng buộc, liên hệ với giả thiết đề Trong mục 2.3.1: Cơ sở lý thuyết tham khảo từ TLTK số 1,2 Bước 2: Dựa vào kiến thức liên quan đến vấn đề thực tế kinh tế, đời sống, khoa học kỹ thuật Vật lý, Hóa học, Sinh học, Ta thiết lập hoàn chỉnh hàm số phụ thuộc theo biến Bước 3: Sử dụng công cụ đạo hàm hàm số để khảo sát giải tốn hình thành bước Lưu ý điều kiện ràng buộc biến số kết thu có phù hợp với toán thực tế cho chưa 2.4 ỨỨ́ng dụng đạo hàà̀m bàà̀i toán chuyển động 2.4.1 Một số ví dụ: Bàà̀i 1: Một đồn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ nhà ga Quãng đường (theo đơn vị mét t (theo đơn vị giây mà vận tốc Bàà̀i giải v m/s m ) đoàn tàu hàm số thời gian s 6t t3 s ) cho phương trình Tìm thời điểm t đồn tàu đạt giá trị lớn ? v t 12t 3t Vận tốc đoàn tàu là: v ' t t=4 v ' t12-3t vt Lập BBT ta có đạt gía trị lớn t=4 Vậy thời điểm t=4 vận tốc đoàn tàu đạt giá trị lớn Bàà̀i 2: Độ giảm huyết áp bệnh nhân xác định công thức G x 0, 024x 30 x , x liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp (x tính mg) Tìm lượng thuốc để tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp để huyết áp giảm nhiều Bàà̀i giải 0;30 Gx Bài toán trở thành: Tìm GTLN hàm số đoạn Ta có: G ' x 0, 024x 30 x ' 1, 44x 0, 072x x G ' x 1, 44x 0, 072x x G 0 G Suy 20 G 30 96 max G x G 20 96 20 Vậy lượng thuốc để tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp để huyết áp giảm nhiều là: 20 mg Trong mục 2.4.1: Bài1,2 tham khảo từ TLTK số 2.4.2 Một số bàà̀i vận dụng s 9t t Bàà̀i 1: Một vật chuyển động theo quy luật với t (giây) khoảng thời gian tính từ vật bắt đầu chuyển động s (mét) quãng đường vật di chuyển khoảng thời gian Hỏi khoảng thời gian giây, kể từ bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt ? A 27 m/s B 15 m/s C.100 m/s Bàà̀i 2: Một vật chuyển động theo quy luật D.54 m/s s t 6t với t (giây) khoảng thời gian tính từ vật bắt đầu chuyển động s (mét) quãng đường vật di chuyển khoảng thời gian Hỏi khoảng thời gian giây, kể từ bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt ? A 144 (m/s) B 36 (m/s) Bàà̀i 3: Một chất điểm chuyển động theo phương trình s t tính giây chất điểm đạt giá trị lớn s S C 243 (m/s) D tính mét C t 3s Bàà̀i 4: Một vật chuyển động theo quy luật A t 5s m 27 (m/s) 2t 18t2 2t 1, Tính thời gian vận tốc B t 6s D t 1s với t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động s (mét) quãng đường vật thời gian Hỏi khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt ? A 216 (m/s) B 30 (m/s) C 400 (m/s) D 54 (m/s) Bàà̀i 5: Có hố rộng 50m, dài 200m Một vận động viên chạy phối hợp với bơi (bắt buộc hai) cần từ góc qua góc đối diện cách chạy bơi Sau chạy bao xã (quảng đường x) nên chạy xuống bơi để đến đích nhan nhất? Biết vận tốc bơi 1.5m/s, vận tốc chạy 4.5m/s Giá trị x gần bằng: A 100 B 153 C 160 D 182 2.5 ỨỨ́ng dụng đạo hàà̀m bàà̀i tốn diện tích, thể tích 2.5.1 Một số ví dụ: Bàà̀i 1: Cho nhơm hình vng cạnh a Người ta cắt bốn góc bốn hình vng nhau, gập nhơm lại hình vẽ để hộp Trongkhơngmụcnắp2.4.Tìm.2:Bàicạnh3,4,5củađượchìnhthamvngkhảotừbịTLTKcắtsaosố7 cho thể tích khối hộp lớn Trong mục 2.5.1: Bài tham khảo từ TLTK số Bàà̀i giải Gọi x độ dài cạnh hình vng bị cắt x V x xa 2x2 a x Thể tích khối hộp là: a 0;a x Bài tốn trở thành: Tìm Ta có: V '( x ) V '( x ) x cho V(x) lớn a x a 6x a x a Bảng biến thiên: xa Từ BBT ta có V(x) lớn Bàà̀i 2: Cho bìa hình chữ nhật có chiều dài AB = 60cm chiều rộng BC = 40cm Người ta cắt hình vng, hình vng có cạnh x cm, gập bìa lại để hộp có nắp đậy (tham khảo hình vẽ bên dưới) Giá trị x cho thể tích khối hộp lớn Bàà̀i giải Điều kiện: < x < 20 V = x 40 - 2x 60 - = 3x - 120x2 +1200x x Thể tích khối hộp c hữ nhật: ( ) Xét hàm số: f x = 3x - 120x2 +1200x khoảng ( 0;20 () é f '( x = 9x - 240x + 1200 = Û ê ê ) x = 20 l 20 ê ê x= Ta có: 20 ë ) ( ) ( ) n x= Hàm số đạt giá trị lớn khoảng Bình luận: Qua hai tốn ta cần lưu ý: ( 0;20 ) Một là, khâu tìm điều kiện cho biến cần đặt quan trọng Chúng ta khơng nên ghi theo cách hiểu số đo đại số số dương mà phải tìm điều kiện xác định ẩn Hai là, khơng thuộc cơng thức tính thể tích khối hộp xem tốn khơng thể giải tiếp Điều đòi hỏi người giải phải biết cách vận dụng kiến thức học vào toán thực tế Ba là, biết chuyển sang tốn tìm GTLN,NN Bàà̀i 3: Bạn A muốn làm thùng hình trụ khơng đáy từ ngun liệu mảnh tơn hình tam giác ABC có cạnh 90 (cm) Bạn muốn cắt mảnh tơn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu ( với M, N thuộc cạnh BC; P Q tương ứng thuộc cạnh AC AB) để tạo thành hình trụ có chiều cao MQ Thể tích lớn thùng mà bạn A làm là: A Q P B C M Bàà̀i giải N Gọi I trung điểm BC Suy I trung điểm MN Đặt MN = x ( x 90 ); MQ BM AI BI R Gọi R bán kính trụ f(x) Xét Khi đó: ( x 90 x ) với max f ( x ) 13500 x (0;90) x MQ V( T x 90 (90 x) x ) 3(90 x ) 2 ( x 90 x ) x= 60 13500 Vậy thể tích lớn đạt là: ABCD 5dm Bàà̀i 4: Từ bìa hình vng có cạnh , người ta cắt bỏ bốn BNC CPD DQA tam giác cân AMB , , Với phần lại, người ta gấp lên ghép lại để thành hình chóp tứ giác Hỏi cạnh đáy khối chóp để thể tích lớn nhất? 3x Cạnh hình vng S x2 Tổng diện tích tam giác hình vng S' x S' S x 18 S' x 3x 18 18 - + S 18 Vậy cạnh tam giác cần tìm : 9+4 40cm Bàà̀i 6: Từ khúc gỗ trịn hình trụ có đường kính , cần xả thành xà có tiết diện ngang hình vng bốn miếng phụ tơ màu xám hình vẽ Tìm chiều rộng x miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang lớn Bàà̀i giải Gọi x , y chiều rộng dài miếng phụ Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang S S MNPQ 4xy MN Cạnh hình vuông S 20 2 MP 40 20 cm xy 800 4xy (1) Ta có x AB MN AB 20 BD 20 40 20 14 Trong mục 2.5.1: Bài tham khảo từ TLTK số x 20 10 Lại có AB AD BD y2 800 80 x 4022x 20 4x2 2 y 1600 800 80 x y 4x2 S 800 x 800 80 x x Xét hàm số f x 800 x 80 x 4x4 , với Thế vào f x 1600 x 240 x 800 800 x 80 x 4x4 x 0;20 10 có 16 x 16 x 100 15 x x2 0;20 10 x x 0;20 10 x f 16x 100 15x x2 34152 x Ta có x 53415 Khi 2 giá trị thỏa mãn toán 200cm Bàà̀i 7: Cho gỗ hình vng cạnh Người ta cắt gỗ có ABC hình tam giác vng từ gỗ hình vng cho hình vẽ sau AB x x 60 cm Biết cạnh góc vng tam giác ABC tổng độ dài cạnh góc vuông AB với cạnh huyền ABC BC 120cm Tìm x để tam giác có diện tích lớn 200 B x A 120-x C Bàà̀i giải Ta có độ dài cạnh AC BC2 AB2 120 x x ABC là: S AB.AC x 14400 240x Diện tích tam giác 14400 240x 15 Xét hàm số f x x 14400 240x 240x Ta có: f với x 60 120 x 14400 240 x x14400 14400 360x 14400 240x ; f x x 40 0; 60 Bảng biến thiên: Vậy f x S max x max 40 ABC x 40cm Vậy tam giác có diện tích lớn 2.5.2 Một số bàà̀i vận dụng Bàà̀i 1: Với đĩa phẳng hình trịn thép bán kính R, phải làm phễu cách cắt hình quạt đĩa gấp phần cịn lại thành hình nón Gọi độ dài cung trịn hình quạt cịn lại x Tìm x để thể tích khối nón tạo thành nhận giá trị lớn x A 2R x B 2R x C 2R 3 x D Bàà̀i 2: Trong số hình trụ có diện tích tồn phần R chiều cao R A R C Bàà̀i 3: h S R bán kính khối trụ tích lớn ; h 2S S 3 S ;h S 4 R B R S ;h S 2 S ;h S 6 D 50 cm Cho miếng tơn hình trịn có bán kính Biết hình nón tích lớn diện tích tồn phần hình nón diện tích miếng tơn Khi hình nón có bán kính đáy là: A 10 cm B 50 cm C 20 cm D 25 cm Bàà̀i 4: Một công ty mỹ phẩm chuẩn bị mẫu sản phẩm dưỡng da mang tên Ngọc Trai với thiết kế khối cầu viên ngọc trai, bên khối trụ nằm nửa khối cầu để đựng kem dưỡng hình vẽ Theo 16 Trong mục 2.5.2: Bài 1,2,3,4 tham khảo từ TLTK số 5,6 R 3cm dự kiến, nhà sản xuất có dự định để khối cầu có bán kính Tìm thể tích lớn khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi bìa hộp lớn (với mục đích thu hút khách hàng) A 108 cm3 B 54 cm C 18 cm3 D 45 cm3 2.6 ỨỨ́ng dụng đạo hàà̀m bàà̀i toán kinh tế 2.6.1 Một số ví dụ: Bàà̀i 1: Một cửa hàng bán long Châu Thành với giá bán 50.000 đồng Với giá bán hàng bán khoảng 40 Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính cửa hàng giảm 5000 đồng số long bán tăng thêm 50 Xác định giá bán để hàng thu lợi nhuận lớn nhất, biết giá nhập ban đầu 30.000 đồng Bàà̀i giải 5x Gọi số tiền cần giảm bưởi bán để đạt lợi nhuận lớn Khi đó, lợi nhuận thu tính cơng thức f x 50 x 50 x 40 30 50 x 40 f x20 x 50 x 40 50 x 3x Ta có 50 16 16 x x 2max f x 16 50 x 50 Vậy giá bán bưởi Bàà̀i 2: Ơng Bình có tất 20 f 42 10 nghìn đồng hộ cho thuê Biết cho thuê hộ với giá triệu đồng tháng hộ có người thuê Nhưng lần tăng giá cho thuê hộ thêm chẵn 200 nghìn đồng có thêm 17 16 10 hộ bị bỏ trống Hỏi tăng giá lên mức tiền tháng ơng Bình thu tổng số tiền nhiều tháng? Trong mục 2.6.1 : Bài 1,2 tham khảo từ TLTK số 7( x,8> 0) Lời giải Gọi x số lần tăng 200 nghìn đồng để ơng Bình thu tổng số tiền nhiều tháng ( 20 - x ) Khi ơng Bình cho th số phịng là: phịng Tổng số tiền ơng Bình thu tháng là: f ( x ) = ( 20 - x )( 2.000.000 + 200.000 x ) = 200.000 - x +10 x +200 max f x f (5) x = Dấu '' = '' xảy Vậy ơng Bình thu tổng số tiền nhiều tháng ông tăng giá lên mức triệu đồng tháng Bàà̀i 3: Ơng Bình đặt thợ làm bể cá, ngun liệu kính suốt, 220500 cm3 khơng có nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật tích chứa nước Biết tỉ lệ chiều cao chiều rộng bể Xác định diện tích đáy bể cá để tiết kiệm nguyên vật liệu Bàà̀i giải Gọi a , b, h chiều rộng, chiều dài đáy chiều cao hình hộp chữ nhật h h 3a a thể tích Theo ra, ta có 73500 V abh 220500 a b 73500 b a S ab 2bh a Diện tích cần để làm bể 6a2 a2 14500 a 257250 257250 3 a 257250 a a a a 257250 a 35 b 60 6a a Dấu “=” xảy Bàà̀i 4: Ơng An có ao diện tích mật độ 73500 a.3a 20 500m2 73500.3a a2 257250 7350 a Vậy S a.b 2100 cm2 dùng để nuôi cá Vụ cá năm ông nuôi với m tổng khối lượng cá thu 15 Biết thả giảm m2 khối lượng cá tăng lên 0,5kg Hỏi vụ tới ông An cần phải thả cá giống để tổng 18 khối lượng cá thu cao ? (Giả sử khơng có hao hụt q trình chăn ni khối lượng cá nhau) Bàà̀i giải Trong mục 2.6.1 : Bài 3,4 tham khảo từ TLTK số ,8 Theo giả thiết: Giảm mật độ / m2 tăng 0,5 kg/con Suy giảm x con/m2 (0 < x < 20, x số nguyên) tăng 0,125.x kg f ( x) 500.(20 x).(1,5 0,125x) Và tổng khối lượng cá thu là: Lập bảng biến thiên thấy f(x) đạt giá trị lớn x = Vậy ông An cần phải thả 8000 cá giống để tổng khối lượng cá thu cao Bàà̀i 5: Một người bán gạo muốn đóng thùng tơn đựng gạo tích khơng đổi m3 , thùng tơn hình hộp chữ nhật có đáy hình vuông, không nắp 100000 / m2 Trên thị trường, giá tôn làm đáy thùng , giá tôn làm thành xung 50000 / m2 quanh thùng Hỏi người bán gạo cần đóng thùng đựng gạo với cạnh đáy để chi phí mua nguyên liệu nhỏ nhất? Bàà̀i giải: Gọi cạnh đáy cạnh bên thùng tôn a b (điều kiện: a b Ta tích thùng tơn là: V a2b y b ) a2 Suy ra: ab.50000 100000a2 Chi phí để sản xuất thùng tôn là: y 1600000 100000a2 a a Khảo sát hàm với Suy ra: 1600000 a 100000a2 1600000 200000 a a Khi đó, ta có bảng biến thiên sau: a2 Dựa vào bảng biến thiên ta có a y 19 2m Vậy người bán gạo cần đóng thùng đựng gạo với cạnh đáy Bàà̀i 6: Một người cần từ khách sạn A bên bờ biển đến đảo C Biết khoảng cách từ đảo C đến bờ biển 10km khoảng cách từ khách sạn A đến điểm B bờ gần đảo C 40km Người đường thủy đường đường thủy (như hình vẽ) Biết kinh phí đường thủy 5USD/km, đường 3USD/km Hỏi người phải đường khoảng để kinh phí nhỏ nhất? (AB=40km, BC=10km) Bàà̀i giải: Giả sử người phải đường khoảng x (km) với 0