SKKN một số kỹ thuật giúp học sinh giải quyết nhanh bài toán góc trong không gian

1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Mỗi nội dung chương trình tốn phổ thơng có vai trị quan trọng việc hình thành phát triển tư học sinh Trong trình giảng dạy, giáo viên phải đặt đích giúp học sinh nắm kiến thức bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo, từ tạo thái độ động học tập đắn Thực tế dạy học cho thấy cịn có nhiều vấn đề cần phải giải học sinh học hình cịn yếu, đặc biệt phải vẽ thêm đường phụ, chưa hình thành kỹ năng, kỹ xảo, q trình giải tốn hình học khơng gian Đặc biệt từ năm học 2017 – 2018, chương trình Toán 11 đưa vào kỳ thi THPT Quốc gia, học sinh sử dụng kết mơn Tốn để xét Đại học – Cao đẳng cần phải làm câu hỏi mức độ vận dụng, đặc biệt câu hỏi vận dụng góc hình học khơng gian Để làm câu hỏi dạng địi hỏi học sinh việc học tốt kiến thức hình học khơng gian cịn phải biết vận dụng linh hoạt phương pháp để từ quy tốn khó dễ phù hợp với kiến thức có, đặc biệt kỹ phân tích, xác định phương pháp tính tốn nhanh để đạt yêu cầu kiến thức lẫn thời gian câu hỏi trắc nghiệm Từ thực tiễn giảng dạy bồi dưỡng học sinh ôn thi đại học nhiều năm, với kinh nghiệm trình giảng dạy, tác giả trăn trở vấn đề nên chọn đề tài “Một số kỹ thuật giúp học sinh giải nhanh tốn góc khơng gian”để giúp em có hướng làm hiệu mà rút ngắn thời gian 1.2 Mục đích nghiên cứu Để giải tốn góc, thường xác định góc tính giá trị góc Nhưng để giải toán phương pháp yêu cầu học sinh phải biết cách xác định đường vẽ phụ, mà điều lúc đơn giản, nên gặp tốn khó học sinh thường gặp khó khăn để định hướng cho việc tìm lời giải Qua thực tế giảng dạy, tác giả rút kinh nghiệm nhỏ việc xác định góc hình học không gian “Một số kỹ thuật giúp học sinh giải nhanh tốn góc khơng gian”là đề tài giúp em học sinh khơng cịn e ngại giải tập liên quan đến góc hình học khơng gian, cịn giúp em giải toán trắc nghiệm cách hiệu thời gian ngắn 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu số vấn đề sau: Nêu hướng giải tốn tìm góc nhanh khơng gian 1.3.1 Góc đường thẳng mặt phẳng 1.3.2 Góc mặt phẳng mặt phẳng Ngồi đối tượng nghiên cứu khác em học sinh lớp 11A5; 11A7 trường THPT Sầm Sơn 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.4.1 Tìm hiểu thực tế giảng dạy, học tập số trường tỉnh 1.4.2 Nghiên cứu tài liệu 1.4.3 Thực nghiệm 1.4.4 Nhận xét Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Vấn đề nghiên cứu dựa sở nội dung góc hình học khơng gian chương trình hình học 11 Khi giải tập tốn, người học phải trang bị kỹ suy luận, liên hệ cũ mới, toán làm toán Các tập chuyên đề phải thiết kế theo hệ thống chuẩn bị sẵn từ dễ đến khó nhằm phát triển tư cho học sinh trình giảng dạy, phát huy tính tích cực học sinh Hệ thống tập giúp em học sinh tiếp cận nắm bắt kiến thức nhất, phát triển khả tư duy, khả vận dụng kiến thức học cách linh hoạt vào giải tốn trình bày lời giải Từ học sinh có hứng thú động học tập tốt Trong trình giảng dạy nội dung góc hình học khơng gian lớp 11 ôn thi THPT Quốc gia lớp 12, thấy kỹ giải tốn góc học sinh cịn yếu, đặc biệt tốn trắc nghiệm đòi hỏi thời gian ngắn đa số em bỏ qua Do cần phải cho học sinh tiếp cận tốn cách dễ dàng, thiết kế trình tự giảng hợp lí giảm bớt khó khăn giúp học sinh nắm kiến thức bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo lĩnh hội kiến thức mới, xây dựng kỹ làm toán trắc nghiệm khách quan, từ đạt kết cao kỳ thi 2.1.1 Góc hai đường thẳng 2.1.1.1 [1] Định nghĩa góc hai đường thẳng ' ' Góc hai đường thẳng góc hai đường thẳng qua điểm song song (hoặc trùng) với 2.1.1.2 Cách xác định góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng khơng gian Từ điểm O đó, ta ' ' vẽ hai đường thẳng song song (hoặc trùng) với ' ' Khi góc hai đường thẳng góc hai đường thẳng 2.1.1.3 Chú ý 0 ;900 Góc hai đường thẳng có giá trị đoạn 2.1.2 Góc đường thẳng mặt phẳng 2.1.2.1 [1] Định nghĩa góc đường thẳng mặt phẳng ( P) ta nói góc Nếu đường thẳng a vng góc với mặt phẳng ( P) 90 đường thẳng a mặt phẳng (P) Nếu đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng góc a ' ( P) hình chiếu a gọi góc đường thẳng a mặt phẳng (P) 2.1.2.2 Cách xác định góc đường thẳng mặt phẳng Khi a khơng vng góc với mặt phẳng ( P) a cắt ( P) điểm O , ta lấy ( P) điểm A tùy ý a khác điểm O Gọi H hình chiếu A lên P AOH góc a 2.1.2.3 Chú ý 0 () ;90 Góc đường thẳng mặt phẳng có giá trị đoạn 2.1.3 Góc hai mặt phẳng 2.1.3.1 [1] Định nghĩa góc hai mặt phẳng Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng 2.1.3.2 Cách xác định góc hai mặt phẳng P Q Giả sử hai mặt phẳng cắt theo giao tuyến Từ điểm I P nằm ta dựng đường thẳng a nằm mặt phẳng vng góc Q với dựng đường thẳng b nằm mặt phẳng vng góc với Góc hai mặt phẳng P Q góc hai đường thẳng a b 2.1.3.3 Chú ý 00;900 Góc mặt phẳng mặt phẳng có giá trị đoạn 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Nội dung góc hình học khơng gian lớp 11 phần kiến thức tương đối khó với học sinh Học sinh nhanh quên không vận dụng kiến thức học vào giải toán Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm 2018, 2019 nội dung đưa hình thức trắc nghiệm Với thực để giúp học sinh có định hướng tốt q trình giải tốn góc, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen tiếp cận toán, khai thác yếu tố đặc trưng tốn để tìm lời giải Trong việc hình thành cho học sinh kỹ quy lạ quen, quy chưa biết có Chính đề tài đưa giúp giáo viên hướng dẫn tốn góc cho học sinh với cách tiếp cận dễ hơn, giúp học sinh có điều kiện hồn thiện phương pháp rèn luyện tư sáng tạo thân, chuẩn bị tốt cho kì thi THPT Quốc gia Vì vậy, tơi mong muốn đồng nghiệp học sinh ngày vận dụng tốt kiến thức góc hình học khơng gian để đưa giải pháp nhằm giải tốn góc cách nhanh chóng, xác hiệu 2.3 Các giải pháp thực 2.3.1 Cơng thức tính góc đường thẳng mặt phẳng P Cho đường thẳng AB không song song với mặt phẳng , gọi góc P C AB P đường thẳng AB mặt phẳng , đặt Thì ta có sin d ( A, P ) d ( B , P ) (1) d ( A, C ) d ( B , C) Nếu B AB P Chú ý: Cho tứ diện sin BCD ta có ta có sin d ( A, P ) d ( A, B ) d ( A, P ) AB ABCD gọi góc đường thẳng AB mặt phẳng d ( A, BCD ) 3V ABCD AB AB.S BCD Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng đáy SA a Góc đường thẳng SC mặt phẳng SAB , tan nhận giá trị giá trị sau tan A B tan C tan2 D tan3 Phân tích Đây tốn xác định góc đường thẳng mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (1) Lời giải S A D B Ta có SC tan Vậy SAB S nên C sin d (C , SAB ) BC a d (C , S ) SC a 3 Chọn A Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Đường thẳng SA SA a vuông góc với mặt phẳng đáy Góc đường thẳng SB mặt SAC phẳng , hệ thức sau cos 14 sin 14 cos sin B C D A 14 14 14 14 Phân tích Đây tốn xác định góc đường thẳng mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (1) Lời giải S A D B SAC S C sin Ta có SB d ( B , SAC ) d ( B , S) nên d ( B ,SAC ) Do SA SAC nên a d ( B , AC) SB d(B,S) a 14 14 14 14 Chọn B Vậy Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc với mặt phẳng đáy ABCD , đáy ABCD sin hình chữ nhật có AD 3a , AC 5a Góc hai mặt phẳng ABCD 450 SCD Gọi góc đường thẳng SD mặt phẳng SBC Hệ thức sau cos cos 14 cos2 cos 17 D A B C 5 Phân tích Đây tốn xác định góc đường thẳng mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (1) Lời giải S A D C B Gọi góc hai mặt phẳng ABCD Ta có SCD sin ABCD CD nên d ( S , ABCD ) SA SCD d ( S , CD ) SD SA SA2 AD2 SA 3a Mặt khác SD SBC S nên d ( D, SBC ) d ( A,( SBC)) sin d(D,S) cos 1 SA AB S D SD 2 17 Chọn D Vậy Ví dụ Cho lăng trụ đứng ABC tam giác vuông A , ABC A ' B ' C ', đáy AA ' a AC a Gọi G trọng tâm tam giác ABC I trung , BC 2a ABC điểm cạnh A ' B' Gọi góc đường thẳng IG mặt phẳng Tính cos A cos 2 115 B cos 115 C cos 17 D cos Phân tích Đây tốn xác định góc đường thẳng mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (1) Lời giải A' I C' B' A M G C B Gọi M trung điểm AB Ta có IG ABC G nên Mà MG a CM sin d ( I , ABC ) d(I,G) sin cos AA' IG IM2 MG2 115 115 Vậy d ( A ',( ABC )) Chọn A Ví dụ 5.[4] (Đề thi THPTQG năm 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SB a Góc đường thẳng SB mặt phẳng đáy 0 0 A 60 B 90 C 30 D 45 Phân tích Đây tốn xác định góc đường thẳng mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (1) Lời giải S A D B Ta có SB C B nên ABCD sin( SB ,( ABCD)) d ( S ,( ABCD )) SB AB2 S A S B d(S,B) SB 600 Chọn A Vậy ( SB ,( ABCD)) Ví dụ 6.[5] (Đề thi thử THPTQG Trường Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - lần năm 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD nửa lục giác AB BC CD a SAC SBD Hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ABCD , góc 60 SAD SC ABCD Tính sin góc đường thẳng SC mặt phẳng 3 6 3 A B C D Phân tích Đây tốn xác định góc đường thẳng mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (1) Lời giải S D A B Vì SC ABCD C sin SC , ABCD SAD S C nên d ( S , ABCD ) SH dS,C SC sin SC , SAD Ta có SC H nên S H SH2 HC2 d (C , SAD ) SH a d ( H , SAD ) dC,S SC Mà d (H, SAD ) HS d H, SAD a d (H, AD) 3 Do sin SC , SAD Chọn A Ví dụ 7.[6] (Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 11- Sở GD & ĐT Quãng Ngãi 2019) AD a , AB a Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, ; O giao điểm SO ABCD AC BD , SO vng góc với mặt phẳng đường thẳng SC mặt phẳng SAD , tính sin a Gọi góc Phân tích Đây tốn xác định góc đường thẳng mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (1) Lời giải S A D O B Ta có SC sin d (C , SAD ) d (C , S ) nên a SAD S d (O , SAD ) 12 SO Mà sin C 1AD) d (O , 22 d ( O , SAD ) SC SC SO OC2 ; a6 Vậy Ví dụ 8.[6] (Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 11- Sở GD & ĐT Hà Tĩnh - 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình chữ nhật tâm O , cạnh AB a , AD a Gọi SA SB SC SD M,N trung điểm cạnh góc đường thẳng MN mặt phẳng SA, BC ABCD Biết 600 SBD Tính sin góc đường thẳng MN mặt phẳng Phân tích Đây tốn xác định góc đường thẳng mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (1) Lời giải S P M A D I O B K SO N C ABCD Vì SA SB SC SD nên d ( M , ABCD ) sin MN , ABCD Ta có MN d(M,N) ( ABCD ) N nên Gọi I hình chiếu M lên MN MI IN SO SO 2 IK SO MN ABCD KN2 SO 13a2 16 a 39 Gọi P trung điểm SD Suy Khi MNCP hình bình hành nên MN song song với CP Do sin MN , SBD SBD sin CP , P Mà CP SBD d ( C , SBD ) sin CP , SBD d (C , P) nên d (C , SBD ) 2a 1 d (C , P ) CP MN CB CD2 ; sin MN , SBD sin CP , SBD a 13 Vậy 65 2.3.2 Cơng thức tính góc mặt phẳng mặt phẳng ABC Cho tứ diện ABCD gọi góc mặt phẳng BCD sin ta có d ( A, BCD ) d ( A, BC ) Với BC sin ABC BCD mặt phẳng d ( D , ABC ) (2) d ( D , BC) , tổng quát ta có: d A, BCD 3V d A, BC 2S S ABCD ABC BCD Chú ý: Ta có cơng thức đổi khoảng cách sau d ( A, BCD ) Cho tứ diện ABCD ta có d ( B ,( ACD )) d ( A, CD) d ( B , CD) ,trong BCD ACD CD 10 Cơng thức thực công thức đổi đỉnh sử dụng công thức thể sin tích để tính khoảng cách, nhiên cơng thức số (2) ta dễ dàng chứng minh mà khơng cần thơng qua khái niệm thể tích lớp 12 Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng đáy phẳng ABCD tan , tan SA a Góc mặt phẳng SCD mặt nhận giá trị giá trị sau A B tan C tan2 D tan3 Phân tích Đây tốn xác định góc hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2) Lời giải S A D B C sin Ta có SCD Vậy tan d ( S , ABCD ) ABCD CD nên d ( S , CD ) S A S D a a 2 Chọn B Ví dụ 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B , ABCD AB BC a AD a đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đường thẳng SC mặt phẳng ABCD 450 , , Góc Tính góc hai mặt phẳng SAD SCD A 300 B 450 C 600 D 900 Phân tích Đây tốn xác định góc hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2) Lời giải 11 S A D B C Vì SC Do nên sin 45 ABCD C SA sin( SC ,( ABCD))d ( S , ABCD ) d(S,C) SA a d ( A, SCD ) d 600 SCD SD nên ( A, SD) Vậy SC sin 2 SA2 AC2 Mặt khác SAD SA SA 1 AC 2a2 1 SA 2a2 1 AD 2a2 4a2 Chọn C có đường cao SA 2a , tam giác ABC Ví dụ 11 Cho hình chóp S ABC vng C có AB a , CAB 30 Gọi H hình chiếu A SC Gọi SAB SBC góc hai mặt phẳng sin A sin Tính C sin 42 B sin D sin Phân tích Đây tốn xác định góc hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2) Lời giải S H C A B 12 d ( A, SBC ) SA sin SA SBC SB nên sin 42 d ( A, SB) Ta có SAB AC2 AB2 42 Vậy Chọn B Ví dụ 12.[5] (Đề thi thử THPTQG Sở GD & ĐT Thanh Hóa năm 2019) Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh a Gọi M trung điểm SC Tính góc hai mặt phẳng 600 A 300 B MBD 450 C ABCD 900 D Phân tích Đây tốn xác định góc hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2) Lời giải S M A D H B Ta có MBD ABCD BD nên d ( M ,( ABCD )) sin C d ( M , BD ) d ( S ,( ABCD )) SH 2 MH SC2 HC2 SC2 SC 2 45 Vậy Chọn C Ví dụ 13.[5] (Đề thi thử THPTQG Sở GD & ĐT Bắc Giang năm 2019) AB a , AD 2a Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, Cạnh SA ABCD vng góc với đáy , SA a Tính tang góc hai mặt phẳng SBD ABCD 5 5 A B C D Phân tích Đây tốn xác định góc hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2) Lời giải 13 S A D B Ta có SBD C BD nên ABCD sin(( SBD ),( ABCD)) d ( S , ( ABCD )) SA d ( S , BD) SA d ( A, BD) 1 d (A, BD) 4a2 (A,BD) AB AD a2 d2 sin(( SBD ),( ABCD )) Suy Mà tan SBD , ABCD5 Chọn B Ví dụ 14 [5] (Đề thi thử THPTQG Trường Trần Phú – Hà Tĩnh - lần năm 2019) OB OC a OA OB OC Cho tứ diện OABC có , , Tính góc hai mặt phẳng A 300 đôi vuông góc 6,OA a ABC OBC B 600 C 900 D 450 Phân tích Đây tốn xác định góc hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2) Lời giải A O C M B sin ABC , OBC Ta có ABC d ( A, OBC ) OA d ( A, BC ) AM OBC BC nên 14 AB BM Mà AM OA OB BM ABC , OBC Vậy sin 2a ABC , OBC 300 Chọn A Ví dụ 15.[5](Đề thi thử THPTQG Trường Quỳnh Lưu - lần năm 2019) Cho hình chóp góc với đáy Gọi ABCD hình vuông, cạnh bên SA a vuông M trung điểm cạnh SD Cơsin góc tạo hai mặt S ABCD có đáy phẳng AMC SAC 22 2 10 D C B A Phân tích Đây tốn xác định góc hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2) Lời giải S M A J I H B C sin AMC Ta có AMC , SAC SAC AC nên Mà d ( M , SAC ) d ( M , AC ) MJ MI IJ DH 3a AMC , SAC d ( M , SAC ) d ( M , AC) d D , SAC Do sin D a 2 cos AMC , SAC 2 Chọn B 2.4 Hiệu nghiên cứu Tác giả thực việc áp dụng cách làm nhiều năm với mức độ khác lớp khóa học lớp khóa học khác Đề tài thực giảng dạy lớp 11A5 năm học 2018-2019 Trường THPT Sầm Sơn Trong trình học đề tài này, học sinh thực thấy tự tin, tạo cho học sinh niềm đam mê, u thích mơn tốn, mở cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo cho học sinh tự học, tự nghiên cứu Kết quả, học sinh tích cực tham gia giải tập, nhiều em tiến bộ, nắm vững kiến thức bản, nhiều em vận dụng tốt toán cụ thể Qua kiểm tra nội dung này, thi học kỳ, thi thử THPT Quốc gia, nhận thấy nhiều em có tiến rõ rệt đạt kết tốt Cụ thể sau: 2.4.1 Về mặt định lượng Đối với lớp 11A7 cho em sử dụng phương pháp sách giáo khoa để giải, cịn lớp 11A5 tơi hướng dẫn kỹ thuật tính góc đường thẳng mặt phẳng, tính góc hai mặt phẳng cắt nên làm em sử dụng phương pháp để giải Kết khảo sát: Lớp 11A7 (43 học sinh) - học sinh đạt 10 điểm - học sinh đạt từ điểm đến 9,5 điểm - học sinh đạt từ 6,5 điểm đến 7,5 điểm - 21 học sinh đạt từ điểm đến điểm - 12 học sinh điểm 60 50 40 Giỏi 30 Khá Trung bình Yếu 20 10 Giỏi Khá Trung bình Yếu Lớp 11A5 (40 học sinh) - học sinh đạt 10 điểm - 10 học sinh đạt từ điểm đến 9,5 điểm - 18 học sinh đạt từ 6,5 điểm đến 7,5 điểm - học sinh đạt từ điểm đến điểm - học sinh điểm 16 50 45 40 35 30 25 20 15 10 Giỏi Khá Trung bình Yếu Giỏi Khá Trung bình Yếu 2.4.2 Về mặt định tính Tác giả thăm dị ý kiến học sinh giáo viên dự sau tiết giảng thực nghiệm sau: - Các em học sinh hỏi ý kiến cho biết giảng vừa dễ hiểu vừa dễ nhớ tỏ hứng thú học tập Ngồi ra, cịn rèn luyện cho em kĩ tự lập suy nghĩ giải vấn đề học tập - Các giáo viên đánh giá cao hiệu giảng Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Đề tài “Một số kỹ thuật giúp học sinh giải nhanh toán góc khơng gian” nhằm mục đích xây dựng mơ hình tính góc đưa hệ thống tập tương ứng với mơ hình giúp em học sinh có phương pháp làm tập hình học không gian hiệu thời gian ngắn nhất.Đề tài tác giả áp dụng dạy lớp 11A5 thấy kết khả quan, học sinh hứng thú, tiếp thu nhanh vận dụng có hiệu Đồng thời với cách định hướng phương pháp giúp cho thân dễ dàng tiếp xúc định hướng cho học sinh giải tốn góc Bài viết đồng tình ủng hộ cao giáo viên tổ chun mơn triển khai trình bày tổ Trong tương lai, tác giả tiếp tục nghiên cứu phương pháp phát triển theo hướng tính góc hình học khơng gian chưa có sẵn đường cao hình chóp, hình lăng trụ Nếu làm tốt cơng việc này, giúp cơng việc học tốn học sinh trở nên nhẹ nhàng giúp em có kết tốt kỳ thi: học kỳ, thi THPT Quốc gia hay kỳ thi học sinh giỏi 3.2 Kiến nghị 17 Qua trình nghiên cứu áp dụng đề tài vào giảng dạy nhận thấy “Một số kỹ thuật giúp học sinh giải nhanh tốn góc khơng gian”có thể áp dụng hiệu cho tất đối tượng học sinh Đề tài phù hợp với đối tượng học sinh lớp 11 học sinh ôn thi THPT Quốc gia Đồng thời dựa định hướng phương pháp mà giáo viên sáng tạo tốn từ dễ đến khó Mặc dù cố gắng, chắn đề tài khơng tránh khỏi thiếu xót định Tác giả mong nhận quan tâm, góp ý, bổ sung từ thầy bạn bè đồng nghiệp, để đề tài hoàn thiện hơn, nhằm nâng cao lực dạy toán cho học sinh Tôi xin chân thành cảm ơn ! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN mình, khơng chép nội dung người khác Trần Thị Hường TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Văn Như Cương (Chủ biên), sách giáo khoa “hình học 11” (nâng cao), Nhà Xuất Bản Giáo Dục Việt Nam [2] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), sách giáo khoa “hình học 11” (cơ bản), Nhà Xuất Bản Giáo Dục Việt Nam [3] Nguyễn Thế Thạch (Chủ biên), “Hướng dẫn thực chuẩn kiến thức, kỹ mơn Tốn lớp 11”,Nhà Xuất Bản Giáo Dục Việt Nam [4] Đề thi THPT Quốc gia năm 2018 [5] Các đề thi thử THPT Quốc gia trường năm 2019 [6] Các đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 11 năm 2019 18 ... đề học tập - Các giáo viên đánh giá cao hiệu giảng Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Đề tài ? ?Một số kỹ thuật giúp học sinh giải nhanh toán góc khơng gian? ?? nhằm mục đích xây dựng mơ hình tính góc. .. học sinh giỏi 3.2 Kiến nghị 17 Qua trình nghiên cứu áp dụng đề tài vào giảng dạy nhận thấy ? ?Một số kỹ thuật giúp học sinh giải nhanh tốn góc khơng gian? ??có thể áp dụng hiệu cho tất đối tượng học. .. trình bày lời giải Từ học sinh có hứng thú động học tập tốt Trong trình giảng dạy nội dung góc hình học khơng gian lớp 11 ôn thi THPT Quốc gia lớp 12, thấy kỹ giải tốn góc học sinh cịn yếu, đặc