Một số kỹ thuật giúp học sinh giải quyết nhanh bài toán góc trong không gian

1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Mỗi nội dung chương trình tốn phổ thơng có vai trò quan trọng việc hình thành phát triển tư học sinh Trong trình giảng dạy, giáo viên phải đặt đích giúp học sinh nắm kiến thức bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo, từ tạo thái độ động học tập đắn Thực tế dạy học cho thấy có nhiều vấn đề cần phải giải học sinh học hình yếu, đặc biệt phải vẽ thêm đường phụ, chưa hình thành kỹ năng, kỹ xảo, q trình giải tốn hình học khơng gian Đặc biệt từ năm học 2017 – 2018, chương trình Toán 11 đưa vào kỳ thi THPT Quốc gia, học sinh sử dụng kết mơn Tốn để xét Đại học – Cao đẳng cần phải làm câu hỏi mức độ vận dụng, đặc biệt câu hỏi vận dụng góc hình học khơng gian Để làm câu hỏi dạng đòi hỏi học sinh việc học tốt kiến thức hình học khơng gian phải biết vận dụng linh hoạt phương pháp để từ quy tốn khó dễ phù hợp với kiến thức có, đặc biệt kỹ phân tích, xác định phương pháp tính tốn nhanh để đạt yêu cầu kiến thức lẫn thời gian câu hỏi trắc nghiệm Từ thực tiễn giảng dạy bồi dưỡng học sinh ôn thi đại học nhiều năm, với kinh nghiệm trình giảng dạy, tác giả trăn trở vấn đề nên chọn đề tài “Một số kỹ thuật giúp học sinh giải nhanh tốn góc khơng gian”để giúp em có hướng làm hiệu mà rút ngắn thời gian 1.2 Mục đích nghiên cứu Để giải tốn góc, thường xác định góc tính giá trị góc Nhưng để giải toán phương pháp yêu cầu học sinh phải biết cách xác định đường vẽ phụ, mà điều lúc đơn giản, nên gặp tốn khó học sinh thường gặp khó khăn để định hướng cho việc tìm lời giải Qua thực tế giảng dạy, tác giả rút kinh nghiệm nhỏ việc xác định góc hình học không gian “Một số kỹ thuật giúp học sinh giải nhanh tốn góc khơng gian”là đề tài giúp em học sinh khơng e ngại giải tập liên quan đến góc hình học khơng gian, giúp em giải toán trắc nghiệm cách hiệu thời gian ngắn 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu số vấn đề sau: Nêu hướng giải tốn tìm góc nhanh khơng gian 1.3.1 Góc đường thẳng mặt phẳng 1.3.2 Góc mặt phẳng mặt phẳng Ngồi đối tượng nghiên cứu khác em học sinh lớp 11A5; 11A7 trường THPT Sầm Sơn 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.4.1 Tìm hiểu thực tế giảng dạy, học tập số trường tỉnh 1.4.2 Nghiên cứu tài liệu 1.4.3 Thực nghiệm 1.4.4 Nhận xét Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Vấn đề nghiên cứu dựa sở nội dung góc hình học khơng gian chương trình hình học 11 Khi giải tập tốn, người học phải trang bị kỹ suy luận, liên hệ cũ mới, toán làm toán Các tập chuyên đề phải thiết kế theo hệ thống chuẩn bị sẵn từ dễ đến khó nhằm phát triển tư cho học sinh trình giảng dạy, phát huy tính tích cực học sinh Hệ thống tập giúp em học sinh tiếp cận nắm bắt kiến thức nhất, phát triển khả tư duy, khả vận dụng kiến thức học cách linh hoạt vào giải tốn trình bày lời giải Từ học sinh có hứng thú động học tập tốt Trong trình giảng dạy nội dung góc hình học khơng gian lớp 11 ôn thi THPT Quốc gia lớp 12, thấy kỹ giải tốn góc học sinh yếu, đặc biệt tốn trắc nghiệm đòi hỏi thời gian ngắn đa số em bỏ qua Do cần phải cho học sinh tiếp cận tốn cách dễ dàng, thiết kế trình tự giảng hợp lí giảm bớt khó khăn giúp học sinh nắm kiến thức bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo lĩnh hội kiến thức mới, xây dựng kỹ làm toán trắc nghiệm khách quan, từ đạt kết cao kỳ thi 2.1.1 Góc hai đường thẳng 2.1.1.1 [1] Định nghĩa góc hai đường thẳng Góc hai đường thẳng 1  góc hai đường thẳng  '1  '2 qua điểm song song (hoặc trùng) với 1  2.1.1.2 Cách xác định góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1  khơng gian Từ điểm O đó, ta vẽ hai đường thẳng  '1  '2 song song (hoặc trùng) với 1  Khi góc hai đường thẳng  '1  '2 góc hai đường thẳng 1  2.1.1.3 Chú ý � 00 ;900 � � Góc hai đường thẳng có giá trị đoạn � 2.1.2 Góc đường thẳng mặt phẳng 2.1.2.1 [1] Định nghĩa góc đường thẳng mặt phẳng Nếu đường thẳng a vng góc với mặt phẳng ( P) ta nói góc đường thẳng a mặt phẳng ( P) 90 Nếu đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng ( P ) góc a hình chiếu a ' ( P ) gọi góc đường thẳng a mặt phẳng ( P) 2.1.2.2 Cách xác định góc đường thẳng mặt phẳng Khi điểm a khơng vng góc với mặt phẳng ( P) A tùy ý a khác điểm O Gọi H a cắt ( P) điểm O , ta lấy hình chiếu A lên ( P)  � góc a ( P) AOH   2.1.2.3 Chú ý � ;90 � � Góc đường thẳng mặt phẳng có giá trị đoạn � 2.1.3 Góc hai mặt phẳng 2.1.3.1 [1] Định nghĩa góc hai mặt phẳng Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng 2.1.3.2 Cách xác định góc hai mặt phẳng Giả sử hai mặt phẳng  P   Q  cắt theo giao tuyến điểm I nằm vng góc với   ta dựng đường thẳng a  Từ nằm mặt phẳng  P  dựng đường thẳng b nằm mặt phẳng  Q  vng góc với b  Góc hai mặt phẳng  P   Q  góc hai đường thẳng a 2.1.3.3 Chú ý � 00 ;900 � � � Góc mặt phẳng mặt phẳng có giá trị đoạn 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Nội dung góc hình học khơng gian lớp 11 phần kiến thức tương đối khó với học sinh Học sinh nhanh quên không vận dụng kiến thức học vào giải toán Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm 2018, 2019 nội dung đưa hình thức trắc nghiệm Với thực để giúp học sinh có định hướng tốt trình giải tốn góc, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen tiếp cận tốn, khai thác yếu tố đặc trưng toán để tìm lời giải Trong việc hình thành cho học sinh kỹ quy lạ quen, quy chưa biết có Chính đề tài đưa giúp giáo viên hướng dẫn toán góc cho học sinh với cách tiếp cận dễ hơn, giúp học sinh có điều kiện hồn thiện phương pháp rèn luyện tư sáng tạo thân, chuẩn bị tốt cho kì thi THPT Quốc gia Vì vậy, tơi mong muốn đồng nghiệp học sinh ngày vận dụng tốt kiến thức góc hình học khơng gian để đưa giải pháp nhằm giải tốn góc cách nhanh chóng, xác hiệu 2.3 Các giải pháp thực 2.3.1 Cơng thức tính góc đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng đường thẳng sin   AB AB không song song với mặt phẳng  P  , gọi  góc mặt phẳng  P  , đặt  C  AB � P  Thì ta có d ( A,  P  ) d ( B,  P  )  (1) d ( A, C ) d ( B, C ) sin   d ( A,  P  )  d ( A,  P  ) d ( A, B ) AB Nếu  B  AB � P  ta có Chú ý: Cho tứ diện ABCD gọi  góc đường thẳng  BCD  ta có sin   d ( A,  BCD  ) AB  AB mặt phẳng 3VABCD AB.S BCD Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  a Góc đường thẳng SC mặt phẳng  SAB   , tan  nhận giá trị giá trị sau A tan   B tan   D tan   C tan   Phân tích Đây tốn xác định góc đường thẳng mặt phẳng nên ta sử dụng cơng thức (1) Lời giải Ta có SC � SAB    S  nên Vậy tan   sin   d (C ,  SAB  ) BC a    d (C , S ) SC a 3 Chọn A Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  a Góc đường thẳng SB mặt phẳng  SAC   , hệ thức sau cos   14 14 sin   14 14 cos   14 sin   14 A B C D Phân tích Đây tốn xác định góc đường thẳng mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (1) Lời giải Ta có SB � SAC   S nên sin   d ( B,  SAC  ) d ( B, S ) a d ( B,  SAC  ) d ( B, AC ) 14    SA � SAC  SB 14 a Do nên d ( B, S ) Vậy sin   14 14 Chọn B Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc với mặt phẳng đáy  ABCD  , đáy ABCD hình chữ nhật có AD  3a, AC  5a Góc hai mặt phẳng  SCD   ABCD  45 Gọi  góc đường thẳng SD mặt phẳng  SBC  Hệ thức sau cos   cos   14 cos   2 cos   17 A B C D Phân tích Đây tốn xác định góc đường thẳng mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (1) Lời giải Gọi  góc hai mặt phẳng  SCD   ABCD  Ta có  SCD  � ABCD   CD nên sin   d ( S ,  ABCD  ) SA   d ( S , CD) SD SA SA2  AD  � SA  3a Mặt khác SD � SBC    S nên 1  SA AB  2 SD d ( D,  SBC  ) d ( A, (SBC )) sin     d ( D, S ) SD cos   17 Chọn D Vậy Ví dụ Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' , đáy ABC tam giác vuông A, AC  a, BC  2a AA '  a Gọi G trọng tâm tam giác ABC I trung điểm cạnh cos  cos   A' B ' Gọi  góc đường thẳng IG mặt phẳng  ABC  Tính 115 cos   115 cos   2 cos   17 A B C D Phân tích Đây tốn xác định góc đường thẳng mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (1) Lời giải Gọi M trung điểm AB Ta có IG � ABC    G nên sin   d ( I ,  ABC  ) d ( A ', ( ABC )) AA '   d ( I , G) IG IM  MG a sin   � cos   MG  CM  115 115 Chọn A Vậy Mà Ví dụ 5.[4] (Đề thi THPTQG năm 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SB  2a Góc đường thẳng SB mặt phẳng đáy 0 0 A 60 B 90 C 30 D 45 Phân tích Đây tốn xác định góc đường thẳng mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (1) Lời giải Ta có SB � ABCD    B nên sin( SB, ( ABCD ))  d ( S , ( ABCD)) SA   d (S , B) SB SB  AB  SB Vậy ( SB, ( ABCD))  60 Chọn A Ví dụ 6.[5] (Đề thi thử THPTQG Trường Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - lần năm 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD nửa lục giác AB  BC  CD  a Hai mặt phẳng  SAC   SBD  vng góc với mặt phẳng ABCD , góc SC ABCD 600 Tính sin góc đường thẳng SC mặt phẳng  SAD  3 A B C D Phân tích Đây tốn xác định góc đường thẳng mặt phẳng nên ta sử dụng cơng thức (1) Lời giải Vì SC � ABCD    C nên sin  SC ,  ABCD    Ta có d ( S ,  ABCD  ) SH   d  S, C  SC SC � SAD    S  nên SH SH  HC sin  SC ,  SAD    � SH  a d (C ,  SAD  ) d ( H ,  SAD  )   d  C, S  SC Mà 1 a   � d  H ,  SAD    d ( H ,  SAD  ) HS d ( H , AD) 2 sin  SC ,  SAD    3 Chọn A Do Ví dụ 7.[6] (Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 11- Sở GD & ĐT Quãng Ngãi 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AD  2a, AB  a ; O giao điểm AC BD , SO vng góc với mặt phẳng  ABCD  đường thẳng SC mặt phẳng  SAD  , tính sin  SO  a Gọi  góc Phân tích Đây tốn xác định góc đường thẳng mặt phẳng nên ta sử dụng cơng thức (1) Lời giải Ta có SC � SAD    S  nên d (O,  SAD  )  Mà sin   sin   1  2 SO d (O, AD) d (C ,  SAD  ) 2d (O,  SAD  )  d (C , S ) SC  a 2 ; SC  SO  OC  a Vậy Ví dụ 8.[6] (Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 11- Sở GD & ĐT Hà Tĩnh - 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình chữ nhật tâm O , cạnh AB  a, AD  2a Gọi M , N trung điểm cạnh SA, BC Biết SA  SB  SC  SD góc đường thẳng MN mặt phẳng  ABCD  600 Tính sin góc đường thẳng MN mặt phẳng  SBD  Phân tích Đây tốn xác định góc đường thẳng mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (1) Lời giải Vì SA  SB  SC  SD nên SO   ABCD  Ta có MN �( ABCD)   N  Gọi I hình chiếu nên M sin  MN ,  ABCD   d ( M ,  ABCD  ) SO   d (M , N ) MN lên  ABCD  SO SO 13a  IK  KN   4 16 MN  MI  IN  a 39 Gọi P trung điểm SD Suy Khi MNCP hình bình hành nên MN song song với CP SO  Do sin  MN ,  SBD    sin  CP,  SBD   Mà CP � SBD    P nên d (C ,  SBD  )  1  CB CD sin  CP,  SBD     2a ; d (C ,  SBD  ) d (C , P) d (C , P)  CP  MN  sin  MN ,  SBD    sin  CP,  SBD    a 13 65 Vậy 2.3.2 Cơng thức tính góc mặt phẳng mặt phẳng Cho tứ diện ABCD gọi  góc mặt phẳng  ABC  mặt phẳng sin    BCD  ta có d ( A,  BCD  ) d ( D,  ABC  )  (2) d ( A, BC ) d ( D, BC ) Với BC   ABC  � BCD  , tổng quát ta có: sin   d  A,  BCD   d  A, BC   3VABCD 2S ABC S BCD Chú ý: Ta có cơng thức đổi khoảng cách sau d ( A,  BCD  ) Cho tứ diện ABCD ta có d ( B, ( ACD ))  d ( A, CD ) d ( B, CD ) ,trong  BCD  � ACD   CD 10 Cơng thức thực cơng thức đổi đỉnh sử dụng cơng thức thể tích để tính khoảng cách, nhiên cơng thức sin  số (2) ta dễ dàng chứng minh mà khơng cần thơng qua khái niệm thể tích lớp 12 Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  a Góc mặt phẳng  SCD  mặt phẳng  ABCD   , tan  nhận giá trị giá trị sau A tan   3 B tan   C tan   D tan   Phân tích Đây tốn xác định góc hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2) Lời giải Ta có  SCD  � ABCD   CD nên sin   d (S ,  ABCD  ) SA a    d ( S , CD) SD a 2 Vậy tan   Chọn B Ví dụ 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B, đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  , AB  BC  a, AD  2a Góc đường thẳng SC mặt phẳng  ABCD  45 Tính góc  hai mặt phẳng  SAD   SCD  A   30 B   45 C   60 D   90 Phân tích Đây tốn xác định góc hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2) Lời giải 0 0 11 Vì SC � ABCD    C nên  Do SA SA  AC 2 sin 450  sin( SC , ( ABCD))  � SA  a d ( S ,  ABCD  ) SA   d (S , C ) SC Mặt khác  SAD  � SCD   SD nên sin   d ( A,  SCD  )  d ( A, SD ) 1  SA AC  1  SA AD 1  2 2a 2a  1  2 2a 4a Vậy   60 Chọn C Ví dụ 11 Cho hình chóp S ABC có đường cao SA 2a , tam giác ABC 0 � vuông C có AB  2a, CAB  30 Gọi H hình chiếu A SC Gọi  góc hai mặt phẳng  SAB   SBC  Tính sin  sin   7 sin   42 sin   sin   A B C D Phân tích Đây tốn xác định góc hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2) Lời giải 12 sin   d ( A,  SBC  ) d ( A, SB)  Ta có  SAB  � SBC   SB nên sin   1  SA AC  42 1  SA AB 42 Chọn B Vậy Ví dụ 12.[5] (Đề thi thử THPTQG Sở GD & ĐT Thanh Hóa năm 2019) Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh a Gọi M trung điểm SC Tính góc  hai mặt phẳng  MBD   ABCD  A   60 B   30 C   45 D   90 Phân tích Đây tốn xác định góc hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2) Lời giải 0 0 Ta có  MBD  � ABCD   BD nên 1 d ( S , ( ABCD )) SH d ( M , ( ABCD)) SC  HC 2 sin    2   d ( M , BD) MH SC SC Vậy   45 Chọn C Ví dụ 13.[5] (Đề thi thử THPTQG Sở GD & ĐT Bắc Giang năm 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  a, AD  2a Cạnh SA vuông góc với đáy  ABCD  , SA  2a Tính tang góc hai mặt phẳng  SBD   ABCD  A B C D Phân tích Đây tốn xác định góc hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2) Lời giải 13 Ta có  SBD  � ABCD   BD nên sin(( SBD), ( ABCD))  Mà d ( S , ( ABCD))  d ( S , BD) SA SA  d ( A, BD) 1 4a 2    � d ( A , BD )  d ( A, BD ) AB AD 4a sin(( SBD),( ABCD))  � tan   SBD  ,  ABCD    Chọn B Suy Ví dụ 14 [5] (Đề thi thử THPTQG Trường Trần Phú – Hà Tĩnh - lần năm 2019) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc OB  OC  a 6, OA  a Tính góc hai mặt phẳng  ABC   OBC  A 30 B 60 C 90 D 45 Phân tích Đây tốn xác định góc hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2) Lời giải Ta có  ABC  � OBC   BC nên sin   ABC  ,  OBC    d ( A,  OBC  ) OA  d ( A, BC ) AM 14 2 2 Mà AM  AB  BM  OA  OB  BM  2a Vậy sin   ABC  ,  OBC    �   ABC  ,  OBC    300 Chọn A Ví dụ 15.[5](Đề thi thử THPTQG Trường Quỳnh Lưu - lần năm 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, cạnh bên SA  2a vng góc với đáy Gọi M trung điểm cạnh SD Cơsin góc tạo hai mặt phẳng  AMC   SAC  A 2 B 10 C D Phân tích Đây tốn xác định góc hai mặt phẳng nên ta sử dụng cơng thức (2) Lời giải Ta có  AMC  � SAC   AC nên Mà d ( M ,  SAC  )  sin   AMC  ,  SAC    d ( M ,  SAC  ) d ( M , AC ) 1 a d  D,  SAC    DH  2 d ( M ,  AC  )  MJ  MI  IJ  sin   AMC  ,  SAC    3a 2 2 � cos   AMC  ,  SAC    3 Chọn B Do 2.4 Hiệu nghiên cứu Tác giả thực việc áp dụng cách làm nhiều năm với mức độ khác lớp khóa học lớp khóa học khác Đề tài thực giảng dạy lớp 11A5 năm học 2018-2019 Trường THPT Sầm Sơn Trong trình học đề tài này, học sinh thực thấy tự tin, tạo cho học sinh niềm đam mê, u thích mơn tốn, mở cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo cho học sinh tự học, tự nghiên cứu Kết quả, học sinh tích cực tham gia giải tập, 15 nhiều em tiến bộ, nắm vững kiến thức bản, nhiều em vận dụng tốt toán cụ thể Qua kiểm tra nội dung này, thi học kỳ, thi thử THPT Quốc gia, tơi nhận thấy nhiều em có tiến rõ rệt đạt kết tốt Cụ thể sau: 2.4.1 Về mặt định lượng Đối với lớp 11A7 cho em sử dụng phương pháp sách giáo khoa để giải, lớp 11A5 tơi hướng dẫn kỹ thuật tính góc đường thẳng mặt phẳng, tính góc hai mặt phẳng cắt nên làm em sử dụng phương pháp để giải Kết khảo sát: Lớp 11A7 (43 học sinh) - học sinh đạt 10 điểm - học sinh đạt từ điểm đến 9,5 điểm - học sinh đạt từ 6,5 điểm đến 7,5 điểm - 21 học sinh đạt từ điểm đến điểm - 12 học sinh điểm 60 50 40 Giỏi Khá Trung bình Yếu 30 20 10 Giỏi Khá Trung bình Yếu Lớp 11A5 (40 học sinh) - học sinh đạt 10 điểm - 10 học sinh đạt từ điểm đến 9,5 điểm - 18 học sinh đạt từ 6,5 điểm đến 7,5 điểm 16 - học sinh đạt từ điểm đến điểm - học sinh điểm 50 45 40 35 30 25 20 15 10 Giỏi Khá Trung bình Yếu Giỏi Khá Trung bình Yếu 2.4.2 Về mặt định tính Tác giả thăm dò ý kiến học sinh giáo viên dự sau tiết giảng thực nghiệm sau: - Các em học sinh hỏi ý kiến cho biết giảng vừa dễ hiểu vừa dễ nhớ tỏ hứng thú học tập Ngồi ra, rèn luyện cho em kĩ tự lập suy nghĩ giải vấn đề học tập - Các giáo viên đánh giá cao hiệu giảng Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Đề tài “Một số kỹ thuật giúp học sinh giải nhanh tốn góc khơng gian” nhằm mục đích xây dựng mơ hình tính góc đưa hệ thống tập tương ứng với mơ hình giúp em học sinh có phương pháp làm tập hình học khơng gian hiệu thời gian ngắn nhất.Đề tài tác giả áp dụng dạy lớp 11A5 thấy kết khả quan, học sinh hứng thú, tiếp thu nhanh vận dụng có hiệu Đồng thời với cách định hướng phương pháp giúp cho thân dễ dàng tiếp xúc định hướng cho học sinh giải tốn góc Bài viết đồng tình ủng hộ cao giáo viên tổ chun mơn triển khai trình bày tổ Trong tương lai, tác giả tiếp tục nghiên cứu phương pháp phát triển theo hướng tính góc hình học khơng gian chưa có sẵn đường cao hình chóp, hình lăng trụ Nếu làm tốt công việc này, giúp công việc học toán 17 học sinh trở nên nhẹ nhàng giúp em có kết tốt kỳ thi: học kỳ, thi THPT Quốc gia hay kỳ thi học sinh giỏi 3.2 Kiến nghị Qua trình nghiên cứu áp dụng đề tài vào giảng dạy nhận thấy “Một số kỹ thuật giúp học sinh giải nhanh tốn góc khơng gian”có thể áp dụng hiệu cho tất đối tượng học sinh Đề tài phù hợp với đối tượng học sinh lớp 11 học sinh ôn thi THPT Quốc gia Đồng thời dựa định hướng phương pháp mà giáo viên sáng tạo tốn từ dễ đến khó Mặc dù cố gắng, chắn đề tài không tránh khỏi thiếu xót định Tác giả mong nhận quan tâm, góp ý, bổ sung từ thầy cô bạn bè đồng nghiệp, để đề tài hồn thiện hơn, nhằm nâng cao lực dạy tốn cho học sinh Tôi xin chân thành cảm ơn ! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN mình, khơng chép nội dung người khác Trần Thị Hường TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Văn Như Cương (Chủ biên), sách giáo khoa “hình học 11” (nâng cao), Nhà Xuất Bản Giáo Dục Việt Nam [2] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), sách giáo khoa “hình học 11” (cơ bản), Nhà Xuất Bản Giáo Dục Việt Nam [3] Nguyễn Thế Thạch (Chủ biên), “Hướng dẫn thực chuẩn kiến thức, kỹ môn Toán lớp 11”,Nhà Xuất Bản Giáo Dục Việt Nam [4] Đề thi THPT Quốc gia năm 2018 [5] Các đề thi thử THPT Quốc gia trường năm 2019 [6] Các đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 11 năm 2019 18 ... thi học sinh giỏi 3.2 Kiến nghị Qua trình nghiên cứu áp dụng đề tài vào giảng dạy nhận thấy Một số kỹ thuật giúp học sinh giải nhanh tốn góc khơng gian có thể áp dụng hiệu cho tất đối tượng học. .. đề học tập - Các giáo viên đánh giá cao hiệu giảng Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Đề tài Một số kỹ thuật giúp học sinh giải nhanh tốn góc khơng gian nhằm mục đích xây dựng mơ hình tính góc. .. trình bày lời giải Từ học sinh có hứng thú động học tập tốt Trong trình giảng dạy nội dung góc hình học khơng gian lớp 11 ôn thi THPT Quốc gia lớp 12, thấy kỹ giải tốn góc học sinh yếu, đặc biệt