SKKN một số kỹ thuật giúp học sinh học tốt phương trình lượng giác

SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI HỌC -o0o BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN - Tên sáng kiến: “ Mét sè Kỹ THUậT giúp học sinh học tốt phơng trình Lợng gi¸c ” - Tác giả: NGUYỄN THỊ HƯƠNG - Mã sáng kiến: 52.05 Tháng năm 2020 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1.Lời giới thiệu Phương trình lượng giác dạng tốn quen thuộc chương trình Tốn phổ thơng, cơng thức lượng giác tương đối nhiều khó nhớ, học thuộc lòng cơng thức học sinh dễ nhầm lẫn.Mặt khác tất đề thi Đại học, cao đẳng có câu giải phương trình lượng giác câu học Vì để giúp em học sinh đạt điểm tối đa phần lượng giác kỳ thi mạnh dạn viết đề tài : « MỘT SỐ KỸ THUẬT GIÚP HỌC SINH HỌC TỐT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC » Tơi mong nhận ý kiến đóng góp chân thành q thầy cô đồng nghiệp để viết tổng quát Tên sáng kiến: « MỘT SỐ KỸ THUẬT GIÚP HỌC SINH HỌC TỐT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC » Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Nguyễn Thị Hương - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học - Số điện thoại: 0914262614 E_mail: nguyenhuong150883@gmail.com Chủ đầu tư tạo sáng kiến : - Họ tên: Nguyễn Thị Hương - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: - Toán: lớp 11 Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: 10 /9/2019 Mô tả chất sáng kiến: - Về nội dung sáng kiến: 1/ Giúp học sinh hiểu, thuộc chứng minh công thức lượng giác 2/ Giúp học sinh số nhận xét để chứng minh đẳng thức lượng giác hay rút gọn biểu thức lượng giác 3/ Giúp học sinh số nhận xét nhìn phương trình cho biết sử dụng cơng thức để đưa phương trình dạng phương trình biết cách giải 4/ Giúp học sinh nhận loại nghiệm phương trình lượng giác có điều kiện 7.1 Hiện trạng : - Cơng thức lượng giác tương đối nhiều khó nhớ, học thuộc lòng cơng thức học sinh dễ nhầm lẫn - Đứng trước việc giải phương trình lượng giác nhiều học sinh chưa định hình việc áp dụng cơng thức lượng giác để hiệu - Trong toán giải phương trình lượng giác chứa điều kiện, học sinh chưa biết loại nghiệm ngoại lai 7.2 Một số giải pháp - Đưa số kỹ thuật để giúp học sinh học thuộc công thức lượng giác giải phương trình lượng giác 7.3 Nội dung I/ CÁCH HỌC VÀ GHI NHỚ CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1/HỆ THỨC CƠ BAÛN 1/ sin2x + cos2x = 2/ tanx = sin x cos x 3/ cotx = cos x sin x 4/ tanx cotx =1 5/ + tan2x = cos x 6/ + cot 2x = sin x CÁCH NHỚ : - Cơng thức (2) (3), (4): tanx cotx nghịch đảo - Công thức (5) (6): ý mẫu tanx cosx, mẫu cotx sinx /CUNG LIÊN KẾT CÁCH NHỚ : Đóng khung trường hợp đặc biệt ghi nhớ trường hợp đặc biệt , trường hợp khơng nhắc đến thêm dấu trừ vào cos đối , sin bù , phụ chéo Hơn Π ta có tang cotang Π Hơn , chéo , sin (cos đối) Hai cung đối x vaø – x laø x vaø Π - x (sin buø) Hai cung buø cos ( Π - x) = - cos( - x) = cosxcosx sin ( Π - x) = sinx sin ( - x) = - sinx tan(- x) = - tanx tan ( Π - x) = - tanx cot (- x) = - cotx cot ( Π - x) = - cotx (phuï chéo) Hai cung phụ x Π –x Hai cung Π x Π + x Π - x) = sinx Π sin ( - x) = cosx Π tan( - x) = co tx Π cot ( - x) = tanx cos ( Π + x) = - cosx cos( Hai cung cos( sin ( Π + x) = - sinx sin ( Π + x) = - sinx tan ( Π + x) = tanx cot ( Π + x) = cotx Π laø x vaø Π +x Π + x) = Π + x) = - co tx Π cot( + x) = - tanx tan( 3/COÂNG THỨC CỘNG cos(a – b ) = cosa.cosb + sina.sinb CÁCH NHỚ : cos(a + b ) = cosa.cosb - sina.sinb Cos cos cos , sin sin Sin sin cos , cos sin ( a + b) = sina.cosb +sinb cosa sin Cos trái dấu , sin sin ( a – b) = sina.cosb – sinb cosa tan a − tan b + tan a tan b tan a + tan b tan ( a + b) = − tan a tan b cot b cot a − cot ( a + b) = cot b + cot a cot b cot a + cot ( a – b) = cot b − cot a tan ( a – b) = 4/CÔNG THỨC NHAÂN cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – = – 2sin2a – 3cosa sin 2a = sina.cosa – 4sin3a tan 2a = tan a − tan a cos3a = cos3a sin 3a = 3sina tan3a = tan a − tan a − tan a 5/CÔNG THỨC HẠ BAÄC cos2 a = + cos 2a sin2a = − cos 2a tan2a = − cos 2a + cos 2a 6/CÔNG THỨC TÍNH biến đổi sina , cosa , tana ( t = tan a ) sina = 2t 1+ t2 , cosa = 1− t2 1+ t2 , 7/CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH tan a = a+b a−b cos 2 CÁCH NHƠ : Ù Cos cộng cos hai a+b a−b sin cosa - cosb = - sin cos cos 2 Cos trừ cos a+b a−b cos sina + sinb = sin trừ hai sin sin 2 Sin cộng sin a+b a−b hai sin cos cos sin sina - sinb = 2 sin( a + b) tan a + tanb = CÁCH NHỚ : tang cộng với cos a cos b tang ta Bằng sin hai đứa chia cos cosa + cosb = cos 2t 1− t2 tan a - tanb = sin(a − b) cos a cos b 8/CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG : CÁCH NHƠ : Ù ( ) ( ) [ cos a + b + cos a − b ] cosa.cosb = cos nhân cos cos coäng sina.sinb = − [ cos( a + b ) − cos( a − b ) ] cos 1 Sin nhân sin trừ cos trừ sina.cosb = [ sin ( a + b ) + sin ( a − b ) ] 2 cos Sin nhân cos sin cộng II/ BIỂU DIỄN GĨC CUNG TRÊN ĐƯỜNG TRỊN LƯỢNG GIÁC B1: Đưa dạng x = α +k 2π ( k ∈ Z, n ∈ ¥ * ) n B2: Cho k nhận giá trò từ đến (n-1) k = ⇔ x = α , x biểu diễn điểm M1 2π k =1⇔ x =α + , x biểu diễn điểm M2 n 2π k = ⇔ x = α + , x biểu diễn điểm M3 n k = n − ⇔ x = α + (n − 1) 2π , x biểu diễn n điểm Mn Ví dụ :Tìm điểm biểu diễn cung x : π π 1/ x = + 2kπ (k ∈ Z ) 2/ x = + kπ (k ∈ Z ) 6 π kπ + (k ∈ Z ) 3/ x = Giải: 1/ x = π π 2π + 2kπ ⇔ x = + k (k ∈ ¢ ) 6 (n = 1) π M( ) Khi k = x = π π ⇒ x biểu diễn điểm M ( ) 6 y M() π π 2π (n = 2) 2/ x = + kπ ⇔ x = + k (k ∈ ¢ ) 6 π π ⇒ x biểu diễn điểm M ( ) Khi k = x = 6 π Khi k = x = + π ⇒ x biểu diễn điểm N O x N (N điểm đối xứng M qua O) π kπ π 2π (n = 4) + ⇔ x = +k (k ∈ ¢ ) 6 π π ⇒ x biểu diễn điểm M ( ) Khi k = x = 6 π π Khi k = x = + ⇒ x biểu diễn điểm P π Khi k = x = + π ⇒ x biểu diễn điểm N 3/ x = (N điểm đối xứng M qua O) P M() O x N π 3π Khi k = x = + ⇒ x biểu diễn điểm Q Q (Q điểm đối xứng N qua O) Kết luận : x = π kπ + ( k ∈ Z ) , x biểu diễn điểm có điểm đỉnh hình vng MNPQ nội tiếp đường tròn lượng giác Tổng quát: Nếu x = α + 2kπ ( k ∈ Z) x biểu diễn n điểm đỉnh đa giác n cạnh n nội tiếp đường tròn lượng giác III/ MỘT VÀI KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC III.1 Kỹ thuật 1: Biến đổi phương trình cho dạng tích số : 1/ Khi hai vế phương trình có thừa số giống có chứa x ta phải chuyển vế đưa phương trình tích Ví dụ 1: Giải phương trình : sinx ( cosx +1 ) = cos2x.sinx Giải : sinx ( cosx -1 ) = cos2x.sinx ⇔ sinx ( cos2x – 2cosx – ) = Vậy phương trình cho có nghiệm : x = kπ sin x = ⇔ cos x − 2cos x + = sin x =  x = kπ ⇔ cos x = ⇔  x = 2hπ ⇔ x = kπ   ( k ∈Z ) 2/ Nếu góc phương trình có dạng nhân đôi ta thường dùng công thức nhân đôi công thức hạ bậc nâng cung để đưa phương trình theo góc Ví dụ : Giải phương trình : sin 2x = cos2x Giải : sin 2x = cos2x ⇔ sinx cosx - cos2x = ⇔ 2cosx ( sinx – cosx ) = cos x = cos x = ⇔ ⇔ sin( x − π ) = sin x − cos x =   π   x = + kπ ⇔  x = π + hπ  π   x = + kπ Vậy phương trình cho có nghiệm :  ( k,h ∈ Z )  x = π + hπ  sin 2x = cos x ⇔ sin2x = + cos2x ⇔ sin2x – cos2x = 3/ Neáu phương trình có chứa cos2x , sin2 x ta dùng công thức hạ bậc nâng cung Ví dụ 3: Giải phương trình : sin2 x + sin2 2x = sin2 3x + sin24x Giải : sin2 x + sin2 2x = sin2 3x + sin24x ⇔ − cos x − cos x − cos x − cos8 x + = + 2 2 ⇔ cos2x + cos4x = cos6x + cos8x ⇔ cos3x cosx = cos7x cosx ⇔ cosx ( cos7x – cos3x) = π  π   x = + kπ x = + k π    cos x = hπ ⇔ ⇔ 7 x = x + 2hπ ⇔  x =  cos x = cos3 x 7 x = −3x + 2hπ    x = hπ    x = Vậy phương trình cho có nghiệm :  x =  hπ hπ  x = ⇔ x =  hπ hπ ( k,h ∈ Z ) 4/ Nếu phương trình có dạng tổng ta biến thành tích ngược lại Ví dụ 4: Giải phương trình : sinx + sin 2x + sin 3x =0 Giải : sinx + sin 2x + sin 3x = ⇔ ( sin3x + sinx) + sin2x = ⇔ 2sin2x cosx + sin2x = ⇔ sin2x ( cosx + 1) = kπ  sin x = x = ⇔ ⇔ cos x = −  x = ± 2π + hπ   kπ  x = Vậy phương trình cho có nghiệm :  ( k,h ∈ Z )  x = ± 2π + hπ  Ví dụ 5: Giải phương trình : cosx cos7x = cos 3x cos 5x 2 Giải : Cosx cos7x = cos 3x cos 5x ⇔ (cos8 x + cos x) = (cos8 x + cos x) ⇔ cos6x = cos2x  x = x + kπ ⇔  x = −2 x + k π Vậy phương trình cho có nghiệm : x = ⇔ kπ Bài tập :Giaûi phương trình sau :  x =  x =  kπ ⇔ x = kπ kπ 4 ( k ∈Z ) 1) sin 4x + sin 3x = sin 2x + sin x 2) sin x(1 + cosx) = + cosx + cos x 3) sin 3x − cos 4x = sin 5x − cos 6x 4) 2 2 cos2x + sin x − sin 2x + tan x 7) ( cos x − 1) ( 2sin x + cosx ) = sin 2x − s inx 9/ – 13 cosx = + tan x 5) cot x − = cos x ( cosx − 1) sinx + cosx 6) cos 3x.cos2x − cos x = 8/ sin3 x + cos3 x = sinx – cos x 10/ 3( sinx – cos x) + sin 2x = 11/ sin2 x – sinx cosx + cos2 x = - 13/ sin x − sin x − cos x = ( + s inx ) 12 / cos 3x – cos 2x = sin 3x = cos x + sin x 14/ sin 5x – sinx = sin x 16/ cos x – cos 2x + sin6 15/ ( cosx + sinx )(1 – sinx ) = cos 2x x=0 17/ cosx - cos 2x = sin 3x 18/ cos 2x + 2cos2 x = III.2 Kỹ thuật 2: Đặt ẩn phụ để đưa phương trình cho dạng phương trình đại số 1/ Đặt ẩn phụ theo tan x 2t 1− t2 ⇒ sin x = , cos x = 1+ t2 1+ t2 2t 1− t2 ⇒ sin x = , cos x = ) 1+ t2 1+ t2 ï t = tan ( t = tanx Ví dụ 1: Giải phương trình : 6tan2 x – 2cos2 x = cos 2x π Giải: Điều kiện : x ≠ + kπ ( k ∈ Z ) 2 6tan x – 2cos x = cos 2x ⇔ 6tan2 x = 2cos2x + 1− t2 nên ta đặt ẩn phụ t = tan x ⇒ cos x = 1+ t2 1− t2 Khi phương trình (1) trở thành : 6t2 = ( ) + ⇔ 6t4 + 7t2 – = 1+ t2 ⇔ 2 t = − (loai ) ⇔ tan2x =  t =  ⇔ π  tan x = = tan     π  tan x = − = tan  − ÷    ∈Z ) π Vậy phương trình cho có nghiệm x = ± + hπ 10 ( h ∈Z ) π   x = + hπ ⇔   x = − π + hπ  (h 2/ Biến đổi phương trình cho dạng có biêu thức đồng dạng để từ ta đặt ẩn phụ Ví dụ 2: Giải phương trình: tanx + tan2x + tan3x + cot2x + cot3x = (1) kπ Giải: Điều kiện : x ≠ ( k ∈Z ) (1) ⇔ ( tanx + cotx ) + ( tan2x+ cot2x ) +( tan3x+ cot3x ) = Đặt t = tanx + cotx = sin 2x t ≥  t ≤ −2 , sin x ≤ nên t ≥ ⇔  ⇒ tan2x+ cot2x = t2 – , tan3x+ cot3x = t3 – 3t t = Khi phương trình (1) trở thành: t3 +t2 – 2t – = ⇔  t + 3t + = (vn) π ⇔ = ⇔ sn2x = ⇔ x = + hπ ( sin 2x h ∈ Z ) ( thỏa đk) π Vậy phương trình cho có nghiệm : x = + hπ ( h ∈ Z ) m n 3/ Phương trình có chứa đồng thời ( sin x ± cos x ) , ( sin x.cos x ) ta đặt t = sinx ± cosx Ví dụ3 :Giải phương trình: sin3x + cos3x = ( sinx + cosx) – (1) Giải: Đặt t = sinx + cosx = sin ( x + π ) Điều kiện : t ∈ [− 2; 2] ⇒ sin3x + cos3x = ( sinx + cosx)3 – 3sinxcosx( sinx + cosx) = t3 – 3t ( t −1 ) t −1 Khi phương trình (1) trở thành: t3 – 3t ( ) = 2t – ⇔ 2t3 – 3t( t2 – 1) = 4t – 2 t = ⇔ t3 + t – = ⇔  t + t + = (VN )  x = kπ π π = sin ⇔  ⇔ sin ( x + ) =  x = − π + kπ 4   x = kπ Vậy phương trình cho có nghiệm :  π x = − + kπ  11 ( k ∈Z ) 4/ Phương trình có dạng : a (tan2x + cot2x ) + b( tanx – cotx) + c = Ta đặt t = tanx – cotx ⇒ tan2x + cot2x = t2 + Ví dụ 4:Giải phương trình: = (1) Giải: Điều kiện : x ≠ kπ (tan2x + cot2x ) + ( - 1) ( tanx – cotx) – - ( k ∈Z ) Đặt t = tanx – cotx ⇒ tan2x + cot2x = t2 + Khi phương trình (1) trở thành: ( t2 + 2) + ( - 1)t – - = ⇔ t2 + ( t = −2 ⇔ t =  3 - 1)t – =  tan x = −1 − = tan α ⇔ tan2x + 2tanx – = ⇔   tan x = −1 + = tan β  x = α + hπ ⇔ ( k, h ∈ Z )( thỏa đk)  x = β + hπ − cos x 2 2 sin x − cos x ⇔ tanx – cotx = ⇔ ⇔ *t= = = sin x 3 3 sin x cos x π ⇔ cot2x = = cot ( - ) 3 π π lπ ⇔ 2x = - + l π ⇔ x = - + ( l ∈ Z )( thỏa đk) * t = -2 ⇔ tanx – cotx = -2  x = α + hπ π lπ Vậy phương trình cho có nghiệm :  x = - + ( k, h, l ∈ Z )  x = β + hπ Bài tập: A/ Giải phương trình sau: =6 3cos x + 4sin x + 3/ 2(tan x − s inx) + 3(cotx − cosx) + = 1/ 3cos x + 4sin x + 2/ s inx − cosx + 4sin 2x = 5/ cos3x + cos2x – cosx – = 4/ + s inx + cosx + sin2x + cos2x = 6/ π π   cos x + sin x + cos  x − ÷.sin  3x − ÷ − = 4 4   x  7/ cot x + sin x 1 + tan x tan ÷ = 2  x 9/ + cosx = 2tan 8/ ( cos6 x + sin x ) − sin x cos x − 2sin x 10/ cotx = tanx + tan2x 12 =0 11/ + tanx = 2 sinx 12/ sin( 2x - π π ) = sin( x - ) + cos 3x 3π x π 3x π − ) = sin( + ) 14/ 2cos( x + ) = sin3x – cos3x 10 2 10 π m −1 − 2m tan x − m + = có ba nghiệm thuộc ( - π ; ) B/ Tìm m để phương trình : 2 cos x 13/ sin( C/ Tìm m để phương trình : cos2 x + ( – m)cosx + 2m – = có nghiệm thuộc [0; π ] D/ Tìm m để phương trình : tan4x + ( 2m – 1)tan3x + ( m2 – 2m) tan2x – ( m2 – m + 1) tanx – m+1=0 có nghiệm thuộc khoảng ( E/ Cho phương trình : 2( π π ; ) 2 + cos2x ) + m ( - cosx) = (1) cos x cos x a/ Giải phương trình m = π b/ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng ( 0; ) F/ Cho phương trình : 4tan2x + 4m + = (1) cosx a/ Giải phương trình m = - b/Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng ( - π π ; ) 2 G/ Cho phương trình : sin3x – cos3x = m (1) a/ Giải phương trình m = b/ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thuộc đoạn [ : π ] H/ Cho phương trình : ( cosx – sinx ) + sin2x = m (1) a/ Giải phương trình m = - b/Tìm m để phương trình (1) vơ nghiệm III.3 Kỹ thuật 3: Phương trình lượng giác có điều kiện 1/ Phương trình lượng giác chứa tang, cotang có chứa ẩn số mẫu: Phân tích: Nguyên tắc giải phương trình loại là: − Đặt điều kiện cho tốn có nghĩa − Sau đó, giải phương trình kiểm tra nghiệm tìm có thỏa điều kiện đặt hay khơng? − Kết luận nghiệm Ví dụ 1: Giải phương trình: tan x.tan x.tan x = tan x − tan x − tan x (1) 13 π   x ≠ (2l + 1) (a ) cos x ≠  π   Giải:Điều kiện: cos 3x ≠ ⇔  x ≠ (2m + 1) (b) cos x ≠   π   x ≠ (2h + 1) 10 (c)  Với điều kiện (1) tan x(1 + tan x.tan x) = tan x − tan x (2) Nhận xét: + tan2x.tan3x ≠ nếu: + tan2x.tan3x = ⇒ tan2x = tan3x (VT=0 ⇒ + tan 2 x = tan x = Vậy (2) VP=0) vô lý tan x − tan x = tan( − x) + tan x.tan x ⇔ x = − x + kπ ⇔ x = kπ Ta kiểm tra nghiệm tìm có thỏa điều kiện hay khơng? a/ Điều kiện (a) bị vi phạm : ∃k , l ∈ Z : Vậy x = k kπ π = (2l + 1) ⇔ 2k = 6l + (vơ lý ) π thỏa điều kiện (a) b/ Điều kiện (b) bị vi phạm ∃k , m ∈ Z : k π π = ( 2m + 1) ⇔ k = 2m + số nguyên lẻ 6 Vậy điều kiện (b) thỏa k = 2n , nghiệm pt x = n c/ Điều kiện (c) bị vi phạm ∃n, h ∈ Z : n π π π = ( 2h + 1) ⇔ 10n = 6h + ( vơ lý n, h ∈ 10 Z) π Vậy x = n thỏa điều kiện (c) Kết luận nghiệm phương trình cho : x = n Ví dụ 2: Giải phương trình: tan x = tan x Giải: π kπ   x ≠ 10 + ( a) (k , h ∈ Z ) Điều kiện :   x ≠ π + hπ (b)  Với điều kiện tan5x=tan3x ⇔ 5x = 3x + l π ⇔ x = 14 lπ π Điều kiện (a) bị vi phạm ∃k , l ∈ Z cho π kπ lπ l −1 ⇔ k = 2l + + = 10 2 l −1 = m số nguyên ⇔ l = 2m + Suy điều kiện (a) không bị vi phạm l = 2n ⇒ nghiệm x = n π π hπ ⇔ 6n = 2h + ( vô lý) Điều kiện (b) bị vi phạm ∃h, n ∈ Z cho n π = + Vậy nghiệm x thỏa điều kiện (a) (b) x = n π Vì k,l số ngun nên Ví dụ 3: Giải phương trình: ( cot x − 1) 2cot x − cos x.cot x = cos x (1) Giải: cos x ≠ π  Điều kiện : sin x ≠ ⇔ sin x ≠ ⇔ x ≠ l sin x ≠  Với điều kiện (1) ⇔ ( cos 2 x − sin x ) sin x − cos x cos x = cos x sin x sin x.2cos x cos x(1 − cos x) ⇔ = cos x sin x π ⇔ sin4x = cosx = sin ( − x ) π k 2π   x = 10 + ⇔  x = π + k 2π  π 2kπ π 2kπ lπ l −1 ⇔k=l+ = a/ Nghiệm x = + vi phạm điều kiện + 10 10 l −1 Do k,l ∈ Z nên = m ⇔ l = 4m + π 2kπ Vậy x = + nghiệm Thay l vào k ta có k = 5m + 10 (1) với k ≠ 5m + π 2kπ π 2kπ lπ k +1 ⇔ + 4k = 3l ⇔ l = k + = b/ Nghiệm x = + vi phạm điều kiện : + 6 3 k +1 Do k,l ∈ Z nên = n ⇔ k = 3n – π 2kπ Vậy x = + nghiệm (1) với k ≠ 3n – 15 π k 2π   x = 10 + Kết luận: Nghiệm (1)   x = π + k 2π  ( k ≠ 5m + 1) ( k ≠ 3n − 1) ( k,m,n ∈ Z ) 2/ Việc chọn nghiệm nảy sinh biến đổi phương trình ban đầu phương trình hệ Ví dụ 4: Giải phương trình: cosx.cos2x.cos4x.cos8x = (1) 16 Phân tích : vế trái (1) biểu thức có dạng tích cos mà góc sau gâp đơi góc trước nên ta thường nhân hai vế (1) cho sin góc nhỏ Giải: a/ Xét sinx = ⇔ x = lπ khơng thỏa phương trình (1) b/ Xét sinx ≠ ⇔ x ≠ lπ Nhân hai vế (1) cho sinx : sinx 16 1 ⇔ sin2x.cos2x.cos4x.cos8x = sinx 16 (1) ⇔ sinx cosx.cos2x.cos4x.cos8x = ⇔ 1 sin4xcos4x.cos8x = sinx 16 2kπ  x=  1 15 ⇔ sin8xcos8x = sinx ⇔ sin16x = sinx ⇔  (2) 16  x = π + 2kπ  17 17 Ta phải loại bỏ nghiệm x = lπ (2) phương trình hệ (1) 2kπ 15l l a/ Nghiệm x = = lπ ⇔ k = =7 l + 15 2 l Do k,l ∈ Z nên = m ∈ Z ⇔ l = 2m , suy k = 15m 2 kπ Vậy x = nghiệm phương trình (1) với k ≠ 15m 15 π 2kπ l −1 b/ Nghiệm x = + = l π ⇔ k = 8l + 17 17 l −1 Do k,l ∈ Z nên = n ∈ Z ⇔ l = 2n + , suy k = 17n + π 2kπ Vậy x = + nghiệm phương trình (1) với k ≠ 17n + 17 17 16 2kπ  (k ≠ 15m)  x = 15 (k , m, n ∈ Z ) Kết luận : Nghiệm phương trình (1) :   x = π + 2kπ (k ≠ 17n + 8)  17 17 Ví dụ 5: Giải phương trình: cos2x + cos4x + cos6x + cos8x + cos10x = - (1) Phân tích : vế trái (1) biểu thức có dạng tổng cos mà góc tạo thành câp số cộng với công sai d = 2x.Thường để rút gọn ta nhân hai vế cho sin d Giải: a/ Xét sinx = ⇔ x = n π khơng thỏa phương trình (1) b/ Xét sinx ≠ ⇔ x ≠ n π Nhân hai vế (1) cho sinx , ta có : (1) ⇔ sinxcos2x + sinxcos4x + sinxcos6x + sinxcos8x + sinxcos10x = - sinx ⇔ [(sin3x – sinx)+( sin5x – sin3x)+(sin7x – sin5x)+( sin9x – sin7x)+( sin11x – sin9x)] = 2 - sinx ⇔ sin11x – sinx = -sinx ⇔ sin11x = ⇔ x = kπ 11 kπ kπ vi phạm điều kiện ∃ k,l ∈Z cho : = n π ⇔ k = 11.n 11 11 kπ Vậy nghiệm phương trình (1) : x = với k ≠ 11.n ( k, n ∈Z) 11 Nghiệm x = Bài tập: Giải phương trình : 1/ cos2x + cos x = ĐS : x = 8n 2/ sin3x( cosx – 2sin3x) + cos3x(1 + sinx – 2cos3x) = 3/ sinx( cos x x - 2sinx) + cosx( + sin - 2cosx) = 4 4/ sinx.sin2x.cos(3x + π )=1 ĐS : ptvn ĐS : x = π + 8n π ĐS : ptvn 5/ sinx.cos4x.cos8x = ĐS : x = 6/ cos2x + cos4x + cos6x = cosx.cos2x.cos3x + 17 π + k2 π ĐS : x = k π 7/ π   x = + 2kπ ĐS :   x = 5π + 2kπ  1 + = cos x sin x sin x 8/ tan2x.tan7x = ĐS : x = π kπ + 18 ( k ≠ −5 − 9t ) IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Phương trình sin 8x − cos 6x = ( sin 6x + cos8x ) π   x = + kπ a b  π π x = + k  Phương trình sin x + cos6 x = 16 có nghiệm π π π π a x = ± + k b x = ± + k Phương trình sin 3x − 4sin x.cos 2x = có có họ nghiệm là: π   x = + kπ  x = π + k π  12 a  x = k2π   x = ± π + nπ  Phương trình a  x =  x =  b  x = kπ   x = ± π + nπ  x x − sin có 2 π π  x = + k b  π  x = + kπ  sin 2x = cos π 2π +k π + k2π Phương trình: a 3sin 3x + sin 9x = + 4sin 3x π 2π π 2π   x = − + k x = − + k  b  7π 2π  x = π + k 2π x = +k   9 π + kπ π π +k d  x =  x =  π π +k d x=± d 2π  x = k   x = ± 2π + nπ  d π π   x = 12 + k   x = 3π + kπ  d π 2π   x = − 54 + k   x = π + k 2π  18 c  x =  x =  c x=± π + kπ π π +k là: π π +k nghiệm là: c π  x = k   x = ± π + nπ  nghiệm là; c π   x = + kπ   x = π + k2π  có nghiệm là: c π 2π   x = − 12 + k   x = π + k 2π  12 Phương trình sin x + sin 2x = có nghiệm là: π π π π π π    x = + k x = + k  x = 12 + k a  b  c   x = − π + kπ  x = − π + kπ  x = − π + kπ    Phương trình cos x − cos 2x − cos 4x = có nghiệm là: a π   x = + kπ   x = k2π b π π  x = + k   x = kπ c π 2π  x = = k  x = k π  Phương trình f cot 2x − 3cot 3x = tan 2x có nghiệm là: 18 d Vô nghiệm d π π  x = + k  x = k π  a x=k π b x = kπ c d Vơ nghiệm x = k2π Phương trình 10 11 cos x − cos 2x + 2sin x = có nghiệm là: π π π a x = + kπ b x = + k c x = kπ Phương trình sin 2x − cos x + = có nghiệm là: π π π a x = ± + kπ b x = ± + kπ c x = ± + kπ π  π  Phương trình cos  x + ÷ + cos  − x ÷ = có nghiệm là: π π π     x = − + k2π  x = + k2π  x = − + k2π a  π b  3π c  5π  x = + k2π x = x = + k2π + k2π    2 12 Cho phương trình phương trình là: 13 14 − 15 Phương trình: a π  x = k  x = π + k π  x = k2π d x=± d  x =  x =  2π + kπ π + k2π π + k2π Các nghiệm thuộc khoảng ( −π; π ) π 2π π π − , − , c 3 π π 4 4 Phương trình: sin x + sin  x + ÷ + sin  x − ÷ = có nghiệm π π π π π a x = + k b x = + k c x = + kπ π π   Phương trình: cos  2x + ÷ + cos  2x − ÷ + 4sin x = + ( − sin x ) π π π     x = + k2π  x = + k2π  x = 12 + k2π a  11π b  5π c  2π  x = x = + k2π x= + k2π + k2π    12 a 2π π , 3 cos 5x cos x = cos 4x cos 2x + 3cos x + d b d π π − , 2 d x = π + k2π là: có nghiệm là: cos5 x.sin x − 4sin x.cos x = sin 4x có nghiệm π   x = kπ x = k  b c  x = 3π + kπ π π x = + k   d π   x = + k2π   x = 3π + k2π  d  x = k2π   x = π + k2π  là: Những thông tin cần bảo mật (nếu có): Khơng Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: - Học sinh nhớ giá trị lượng giác cung - Học sinh có lực học tốn mức trung bình trở lên 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử (nếu có) theo nội dung sau: 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: 19 - Thêm nhiều kinh nghiệm trình giảng dạy phương trình lượng giác 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức, cá nhân: - Học sinh biết cách học ghi nhớ cơng thức lượng giác - Biết tìm điểm biểu diễn cung đường tròn lượng giác - Nắm số kỹ thuật biến đổi phương trình lượng giác - Biết cách loại nghiệm phương trình lượng giác có điều kiện 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): Số Tên tổ chức/cá TT nhân Nguyễn Thị Hương Địa Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Trường THPT Nguyễn Thái Học ., ngày tháng năm Thủ trưởng đơn vị Đại số & Giải tích 11 Vĩnh Yên, ngày 15 tháng năm 2020 Tác giả sáng kiến Nguyễn Thị Hương 20 21 ... câu giải phương trình lượng giác câu học Vì để giúp em học sinh đạt điểm tối đa phần lượng giác kỳ thi mạnh dạn viết đề tài : « MỘT SỐ KỸ THUẬT GIÚP HỌC SINH HỌC TỐT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC » Tơi... kiện, học sinh chưa biết loại nghiệm ngoại lai 7.2 Một số giải pháp - Đưa số kỹ thuật để giúp học sinh học thuộc công thức lượng giác giải phương trình lượng giác 7.3 Nội dung I/ CÁCH HỌC VÀ... thức lượng giác 2/ Giúp học sinh số nhận xét để chứng minh đẳng thức lượng giác hay rút gọn biểu thức lượng giác 3/ Giúp học sinh số nhận xét nhìn phương trình cho biết sử dụng công thức để đưa phương