SKKN ỨNG DỤNG đạo hàm để GIÚP học SINH GIẢI QUYẾT các bài TOÁN THỰC tế TRONG đề THI THPT QUỐC GIA

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIÚP HỌC SINH GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA Người thực

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIÚP HỌC SINH GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA

Người thực hiện: Hoàng Thị Xuân Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ, NĂM 2019

2.4 Ứng dụng đạo hàm trong bài toán chuyển động 4

2.5 Ứng dụng đạo hàm trong bài toán tính diện tích,

tính thể tích

5

2.6 Ứng dụng đạo hàm trong bài toán kinh tế 13

2.7 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 20

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1

I.MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Mục tiêu của giáo dục phổ thông là phải phục vụ cuộc sống Do vậy các kiến thức học sinh được học phải gắn liền với thực tế Chính vì lẽ đó màcác nhà giáo dục đã không ngừng chỉnh sửa cải cách nội dung giảng dạy chophù hợp với yêu cầu của xã hội

Toán học bắt nguồn từ thực tiễn, và mọi lí thuyết toán học dù trừu tượng đếnđâu cũng đều tìm thấy ứng dụng của chúng trong thực tế cuộc sống: có rấtnhiều những bài toán liên quan đến tối ưu hóa nhằm đạt được lợi ích cao nhấtnhư phải tính toán như thể nào để làm cho chi phí sản xuất là thấp nhất mà lợinhuận đạt được là cao nhất , các bài toán tính toán về vận tốc,và các bài toán

về kinh tế Chính vì lẽ đó mà tôi viết sáng kiến:

“ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIÚP HỌC SINH GIẢI QUYẾT CÁC BÀITOÁN THỰC TẾ TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA” Trong phạm vi sángkiến của mình, tôi đề cập tới áp dụng của đạo hàm vào các bài toán thực tiễn,

cụ thể là dùng công cụ đạo hàm để xét tính tối ưu của các bài toán về vận tốc,diện tích, thể tích, về khoảng cách, góc và bài toán kinh tế

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Cung cấp một số bài tập tương đối phong phú, đa dạng về ứng dụng đạohàm có tác dụng tốt để rèn luyện tư duy mềm dẻo, linh hoạt, khéo léo cho họcsinh

- Thông qua đây học sinh có thể làm tốt các bài tập liên quan

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán thực tế

- Áp dụng vào giảng dạy cho học sinh lớp 12 năm học 2017-2018 tạitrường THPT Nguyễn Trãi

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Tìm hiểu và đọc sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí, mạng internet,các đề thi thử THPT Quốc Gia của các trường THPT, các chuyên đề có liênquan

Quan sát việc học tập của học sinh, tham khảo ý kiến các thầy cô giáotrong tổ bộ môn

II NỘI DUNG

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Khi dạy học sinh trung học phổ thông lớp 12, tôi nhận thấy các em cóphần hạn chế trong việc giải những bài toán thực tế, các em rất ngại các bài tậpdạng này Hơn nữa tôi cũng nhận thấy rằng công cụ đạo hàm có thể giảiđược phần lớn các bài toán thực tế Xuất phát từ thực trạng đó tôi thiết nghĩcần tăng cường rèn luyện cho học sinh khả năng giải quyết các tình huống thựctiễn liên quan đến việc ứng dụng của đạo hàm

2.3 Cơ sở lý thuyết

2.3.1 Phương pháp giải bài toán: Tìm GTNN, GTLN của hàm số y = f(x) trên tập số D bằng đạo hàm

Phương pháp chung: Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập số D Căn cứ

vào bảng biến thiên để kết luận

Trong trường hợp D là đoạn [a; b] và f(x) liên tục trên D thì có thể làm như

sau:

Tính đạo hàm y’

Tìm các nghiệm của y’ trong đoạn [a; b] giả sử các nghiệm này là x1, x2

Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2)

KL: Số lớn nhất (nhỏ nhất) trong các số trên là GTLN, (NN) của f(x) trên [a; b]

2.3.2 Các bước làm bài toán thực tế ứng dụng đạo hàm

Bước 1: Dựa trên các giả thiết và yếu tố của đề bài, ta diễn tả bài toán“dưới dạng ngôn ngữ Toán học”

Đặt biến , biểu diễn các đại lượng trong bài theo biến, tìm các điều kiện tồn tại của chúng cũng như sự ràng buộc, liên hệ với các giả thiết của đề bài.

3 Trong mục 2.3.1: Cơ sở lý thuyết được tham khảo từ TLTK số 1,2.

Bước 2: Dựa vào các kiến thức liên quan đến vấn đề thực tế trong kinh tế, đời sống, trong khoa học kỹ thuật như Vật lý, Hóa học, Sinh học, Ta thiết lập hoàn chỉnh hàm số phụ thuộc theo biến

Bước 3: Sử dụng công cụ đạo hàm của hàm số để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành ở bước 2 Lưu ý các điều kiện ràng buộc của biến số và kết quả thu được có phù hợp với bài toán thực tế đã cho chưa

2.4 Ứng dụng đạo hàm trong bài toán chuyển động

2.4.1 Một số ví dụ:

Bài 1: Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga Quãng

đường (theo đơn vị mét  m ) đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian

t (theo đơn vị giây  s ) cho bởi phương trình là s 6t2  t3. Tìm thời điểm t

mà tại đó vận tốc vm/s của đoàn tàu đạt giá trị lớn nhất ?

Vậy tại thời điểm t=4 vận tốc của đoàn tàu đạt giá trị lớn nhất

Bài 2: Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được xác định bởi công thức

G x 0, 024x 30 x , trong đó x là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhâncao huyết áp (x được tính bằng mg) Tìm lượng thuốc để tiêm cho bệnh nhâncao huyết áp để huyết áp giảm nhiều nhất

Vậy lượng thuốc để tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp để huyết áp giảm nhiềunhất là: 20 mg

2.4.2 Một số bài vận dụng.

Bài 1: Một vật chuyển động theo quy luậts9t2  t3 với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di

chuyển được trong khoảng thời gian đó Hỏi trong khoảng thời gian 5 giây, kể

từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được là bao nhiêu ?

A 27 m/s B 15 m/s C.100 m/s D.54 m/s

Bài 2: Một vật chuyển động theo quy luật

3 21

63

s  t  t

với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng

đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó Hỏi trong khoảng thờigian 9 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được

là bao nhiêu ?

A 144 (m/s) B. 36 (m/s) C 243 (m/s) D 27 (m/s)

Bài 3: Một chất điểm chuyển động theo phương trình s2t318t22t 1,

trong đó t tính bằng giây  s và S tính bằng mét  m Tính thời gian vận tốcchất điểm đạt giá trị lớn nhất

Bài 4: Một vật chuyển động theo quy luật

3 21

+9 ,3

s t t

với t (giây) là khoảng

thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi

được trong thời gian đó Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầuchuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu ?

A 216 (m/s) B 30 (m/s) C 400 (m/s) D. 54 (m/s)

Bài 5: Có một cái hố rộng 50m, dài 200m Một vận động viên chạy phối hợp

với bơi (bắt buộc cả hai) cần đi từ góc này qua góc đối diện bằng cách cả chạy

và bơi Sau khi chạy được bao xã (quảng đường x) thì nên chạy xuống bơi đểđến đích nhan nhất? Biết rằng vận tốc bơi là 1.5m/s, vận tốc chạy là 4.5m/s.Giá trị của x gần bằng:

2.5 Ứng dụng đạo hàm trong bài toán diện tích, thể tích

2.5.1 Một số ví dụ:

5 Trong mục 2.4.1: Bài1,2 được tham khảo từ TLTK số 5.

Bài 1: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a Người ta cắt ở bốn góc bốn hình

vuông bằng nhau, rồi gập tấm nhôm lại hình vẽ dưới đây để được một cái hộpkhông nắp.Tìm cạnh của hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp lớnnhất

Bài giải

Gọi x là độ dài cạnh hình vuông bị cắt 0 2

a x

BC = cm Người ta cắt 6 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng x cm,

Trong mục 2.4.2: Bài 3,4,5 được tham khảo từ TLTK số7

Trong mục 2.5.1: Bài 1 được tham khảo từ TLTK số 2

rồi gập tấm bìa lại để được một cái hộp có nắp đậy (tham khảo hình vẽ bêndưới) Giá trị của x sao cho thể tích của khối hộp lớn nhất là

x =

trên khoảng (0;20)

Bình luận: Qua hai bài toán trên ta cần lưu ý:

Một là, khâu tìm điều kiện cho biến cần đặt là cực kì quan trọng Chúng ta không nên chỉ ghi theo cách hiểu số đo đại số là một số dương mà phải tìm điều kiện xác định của ẩn

Hai là, nếu không thuộc công thức tính thể tích khối hộp xem như bài toán này không thể giải quyết tiếp được Điều này đòi hỏi người giải phải biết cách vận dụng các kiến thức đã học vào bài toán thực tế

Ba là, biết chuyển sang bài toán tìm GTLN,NN.

Bài 3: Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu làmảnh tôn hình tam giác đều ABC có cạnh bằng 90 (cm) Bạn muốn cắt mảnh

7

P Q

tôn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu ( với M, N thuộc cạnh BC;

P và Q tương ứng thuộc cạnh AC và AB) để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng MQ Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn A có thể làm được là:

Bài giải

Gọi I là trung điểm BC Suy ra I là trung điểm MN

Đặt MN = x ( 0 x 90 );

3(90 )2

13500 3max ( )

9

Bài giải

Trong mục 2.5.1: Bài 4 được tham khảo từ TLTK số 8

11

B A

M N P Q I

12

P

M N

x





.Chiều cao của hình chóp:

Bài giải

Gọi x là độ dài tam giác đều, 0x2 ( )m

13

Cạnh của hình vuông là

6 3 4

x



Tổng diện tích tam giác và hình vuông là

2 2

Bài giải

Gọi x y, lần lượt là chiều rộng và dài của miếng phụ

Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là S S MNPQ4xy

Trong mục 2.5.1: Bài 1 được tham khảo từ TLTK số 8

chính là giá trị thỏa mãn bài toán

Bài 7: Cho một tấm gỗ hình vuông cạnh 200cm Người ta cắt một tấm gỗ cóhình một tam giác vuông ABC từ tấm gỗ hình vuông đã cho như hình vẽ sau.Biết AB x 0 x 60cm là một cạnh góc vuông của tam giác ABC và tổng độdài cạnh góc vuông AB với cạnh huyền BC bằng 120cm Tìm x để tam giác

ABC có diện tích lớn nhất

200

120-x

x A

Vậy tam giác ABC có diện tích lớn nhất khix40cm

2.5.2 Một số bài vận dụng.

Bài 1: Với một đĩa phẳng hình tròn bằng thép bán kính R, phải làm một cáiphễu bằng cách cắt đi một hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành mộthình nón Gọi độ dài cung tròn của hình quạt còn lại là x Tìm x để thể tíchkhối nón tạo thành nhận giá trị lớn nhất

3





Bài 2: Trong số các hình trụ có diện tích toàn phần đều bằng S thì bán kính

R và chiều cao h của khối trụ có thể tích lớn nhất là

A 10 2 cm  B 50 2 cm  C 20 cm  D. 25 cm 

Bài 4: Một công ty mỹ phẩm chuẩn bị ra một mẫu sản phẩm dưỡng da mớimang tên Ngọc Trai với thiết kế một khối cầu như viên ngọc trai, bên trong làmột khối trụ nằm trong nửa khối cầu để đựng kem dưỡng như hình vẽ Theo

16

dự kiến, nhà sản xuất có dự định để khối cầu có bán kính là R3 3 cm Tìm thểtích lớn nhất của khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớnnhất (với mục đích thu hút khách hàng).

Bài giải

Gọi 5xlà số tiền cần giảm trên mỗi quả bưởi bán ra để đạt lợi nhuận lớn nhất

Khi đó, lợi nhuận thu được tính bằng công thức

Bài 2: Ông Bình có tất cả 20 căn hộ cho thuê Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn

hộ với giá 2 triệu đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê Nhưng cứmỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm chẵn 200 nghìn đồng thì có thêm 1

17

căn hộ bị bỏ trống Hỏi khi tăng giá lên mức mỗi căn bao nhiêu tiền một thángthì ông Bình thu được tổng số tiền nhiều nhất trên một tháng?

Lời giải Gọi x là số lần tăng 200 nghìn đồng (x>0) để ông Bình thu đượctổng số tiền nhiều nhất trên một tháng

Khi đó ông Bình cho thuê được số phòng là: (20 x- ) phòng

Tổng số tiền ông Bình thu được trên một tháng là:

Dấu '' '' = xảy ra khi và khi x =5.

Vậy ông Bình thu được tổng số tiền nhiều nhất trên một tháng khi ông tăng giálên mức mỗi căn 3 triệu đồng một tháng

Bài 3: Ông Bình đặt thợ làm một bể cá, nguyên liệu bằng kính trong suốt, không có nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật có thể tích chứa được 220500 cm3

nước Biết tỉ lệ giữa chiều cao và chiều rộng của bể bằng 3 Xác định diện tích đáy của bể cá để tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất

lên 0,5 kg Hỏi vụ tới ông An cần phải thả bao nhiêu con cá giống để tổng

Trong mục 2.6.1 : Bài 1,2 được tham khảo từ TLTK số 7 ,8.

khối lượng cá thu được cao nhất ? (Giả sử không có hao hụt trong quá trìnhchăn nuôi và khối lượng mỗi con cá là bằng nhau).

Bài giải

Theo giả thiết: Giảm mật độ 4 con / m2 thì tăng 0,5 kg/con

Suy ra nếu giảm x con/m2 (0 < x < 20, x là số nguyên) thì mỗi con tăng 0,125.x kg

Và tổng khối lượng cá thu được là: f x( ) 500.(20  x).(1,5 0,125 ) x

Lập bảng biến thiên thấy f(x) đạt giá trị lớn nhất tại x = 4

Vậy ông An cần phải thả 8000 con cá giống để tổng khối lượng cá thu đượccao nhất

Bài 5: Một người bán gạo muốn đóng một thùng tôn đựng gạo có thể tíchkhông đổi bằng 8 m , thùng tôn hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông,3không nắp Trên thị trường, giá tôn làm đáy thùng là 100000 / m2, giá tôn làmthành xung quanh thùng là 50000 / m2 Hỏi người bán gạo đó cần đóng thùngđựng gạo với cạnh đáy là bao nhiêu để chi phí mua nguyên liệu là nhỏ nhất?

Bài giải:

Gọi cạnh đáy và cạnh bên của thùng tôn là a và b (điều kiện: a 0và b 0)

Ta có thể tích thùng tôn là: V a b2 8 Suy ra: 2

8

b a

.Chi phí để sản xuất thùng tôn là: 4 50000 100000ab  a2

Khi đó, ta có bảng biến thiên sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta có ymin  a 2

19 Trong mục 2.6.1 : Bài 3,4 được tham khảo từ TLTK số 6 ,8.

Vậy người bán gạo đó cần đóng thùng đựng gạo với cạnh đáy 2 m

Bài 6: Một người cần đi từ khách sạn A bên bờ biển đến hòn đảo C Biết rằng

khoảng cách từ đảo C đến bờ biển là 10km khoảng cách từ khách sạn A đến điểm B trên bờ gần đảo C là 40km Người đó có thể đi đường thủy hoặc đi

đường bộ rồi đi đường thủy (như hình vẽ) Biết kinh phí đi đường thủy là

5USD/km, đi đường bộ là 3USD/km Hỏi người đó phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu để kinh phí nhỏ nhất? (AB=40km, BC=10km)

Bài giải: Giả sử người đó phải đi đường bộ một khoảng x (km) với 0<x<40

Ta có AD=x ⇒ DB=40−x(km) ⇒CD=√100+( 40−x )2

Kinh phí phải trả khi đó là f ( x )=3 x +5√100+(40−x )2

Khảo sát hàm số này trên khoảng (0; 40) ta có

Bài 7: Cô An đang ở khách sạn A bên bờ biển, cô cần đi du lịch đến hòn đảo

C Biết rằng khoảng cách từ đảo C đến bờ biển là 10 km, khoảng cách từkhách sạn A đến điểm B trên bờ gần đảo C là 50 km Từ khách sạn A, cô An

có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy để đến hòn đảo C

(như hình vẽ bên) Biết rằng chi phí đi đường thủy là 5 USD/km, chi phí điđường bộ là 3USD/km Hỏi cô An phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu

km để chi phí là nhỏ nhất

0 15 2

MNvới vận tốc 15km h/ rồi đi thẳng từ X đến Cvới vận tốc 30km h/ (hình vẽ).Thời gian ít nhất để người ấy đi từ A đến C là mấy giờ?

Bài giải: Gọi MX x km  với 0  x 25

X

x

O A

C

B 1,4

1,8

Quãng đường AX  x2102 thời gian tương ứng  

2 100 15

Bài 9: Một màn ảnh hình chữ nhật cao 1,4 m được đặt ở độ cao 1,8 m so với

tầm mắt (tính từ đầu mép dưới của màn hình) Để nhìn rõ nhất phải xác định vịtrí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất Hãy xác định vị trí đó?

Bài giải:

Ta cần xác định OA để góc ^BOC lớn nhất

Điều này xảy ra khi và chỉ khi tan ^BOC lớn

nhất Đặt OA=x (m) với x>0.Ta có

tan ^BOC=tan(^AOC −^ AOB)

¿ tan ^AOC−tan ^ AOB

1+tan ^AOC tan ^ AOB=

AC

OA−

AB OA

Bài 1: Một cửa hàng bán trà sữa ở Hà Nội sắp khai trương, đang nghiên cứu

thị trường để định giá bán cho mỗi cốc trà sữa Sau khi nghiên cứu, ngườiquản lý thấy rằng nếu bán với giá 30.000 đồng/ cốc thì mỗi tháng trung bình sẽbán được 2.200 cốc, còn từ mức giá 30.000 đồng mà cứ tăng thêm 1.000 đồngthì sẽ bán ít đi 100 cốc mỗi tháng Biết chi phí nguyên vật liệu để pha 1 cốc tràsữa không thay đổi là 22.000 đồng Hỏi cửa hàng phải bán mỗi cốc trà sữa vớigiá bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất?

Trong mục 2.6.2: Bài 1 được tham khảo từ TLTK số 8.

Bài 2: Công ty xe khách Thiên Ân dự định tăng giá vé trên mỗi hành khách.Hiện tại giá vé là 50000VNĐ một khách và có 10000khách trong một tháng.Nhưng nếu tăng giá vé thêm 1000VNĐ một hành khách thì số khách sẽ giảm

đi 50 người một tháng Hỏi công ty sẽ tăng giá vé là bao nhiêu đối với mộtkhách để có lợi nhuận lớn nhất?

A 50.000 VNĐ B 15.000 VNĐ C 35.000 VNĐ D.75.000 VNĐ

Bài 3: Một chủ hộ kinh doanh có 32 phòng trọ cho thuê Biết giá cho thuê mỗi

tháng là 2.000.000đ/1 phòng trọ, thì không có phòng trống Nếu cứ tăng giámỗi phòng trọ thêm 200.000đ/tháng, thì sẽ có 2 phòng bị bỏ trống Hỏi chủ hộkinh doanh sẽ cho thuê với giá là bao nhiêu để có thu nhập mỗi tháng caonhất?

23