MỘT số GIẢI PHÁP hạn CHẾ lỗi SAI KHI học CHƯƠNG ỨNG DỤNG đạo hàm KHẢO sát vàvẽ đồ THỊ hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI MỘT SỐ GIẢI PHÁP HẠN CHẾ LỖI SAI KHI HỌC CHƯƠNG" ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT VÀVẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ" Người thực hiện: Hà Thị Nguyệt Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực : Mơn Tốn THANH HOÁ NĂM 2021 MỤC LỤC Mục Mở đầu 1.1.Lý chọn đề tài 1.2.Mục đích nghiên cứu 1.3.Đối tượng nghiên cứu 1.4.Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1Cơ sở lí luận 2.2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN 2.3.Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1.Các giải pháp chung 2.3.2 Nội dung thực cụ thể 2.3.3.1- Phân tích lỗi sai thường gặp cách khắc phục thơng qua số ví dụ minh họa 1.Sai lầm xét tính đơn điệu hàm số 2.Sai lầm chứng minh bất đẳng thức 3.Sai lầm sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp 4.Sai lầm giải toán cực trị hàm số 5.Sai lầm giải tốn tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ 6.Sai lầm giải toán tiếp tuyến 2.3.3.2- Bài tập tương tự 2.4 Hiệu SKKN Kết luận-Kiến nghị 3.1.Kết luận 3.2 Kiến nghị Tài liệu tham khảo Danh mục đề tài SKKN cấp Sở GD&ĐT đánh giá đạt từ loại C trở lên Trang 2 2 3 4 5 5 10 11 13 14 17 18 18 19 19 19 20 1- MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Như biết,trong chương trình giải tích lớp 12, chương I" ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số " có vị trí đặc biệt quan trọng, chiếm thời lượng lớn phân phối chương trình, cơng cụ sắc bén để giải nhiều toán đề thi THPTQG, thi học sinh giỏi cấp… Trong trình giảng dạy tơi nhận thấy giải toán liên quan đến việc vận dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số, em thường mắc lỗi sai mà em không phát ,hoặc phát bạn làm sai mà sửa khơng có hướng dẫn thầy Nhằm giúp học sinh nắm vững kiến thức đạo hàm,tránh sai lầm có kỹ ứng dụng đạo hàm để giải toán liên quan đến khảo sát hàm số, chọn đề tài "Một số giải pháp hạn chế lỗi sai học chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số " 1.2 Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh hiểu chất vấn đề thơng qua việc phân tích lỗi sai ,ngun nhân dẫn đến lỗi sai,cách khắc phục để học sinh tránh sai sót giải tốn liên quan đến ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số - Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải tốn, từ nâng cao khả tư duy, sáng tạo em 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Các toán liên quan đến đạo hàm ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số - chương I, giải tích lớp 12 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp điều tra - Phương pháp đối chứng - Phương pháp nghiên cứu tài liệu 2- NỘI DUNG SKKN 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN Các định nghĩa, định lí quy tắc (chương I - giải tích 12 - Ban bản) Tính đơn điệu hàm số: *Định nghĩa: - Hàm số y = f(x) đồng biến khoảng K với x1, x2 thuộc K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) - Hàm số y = f(x) nghịch biến khoảng K với x 1, x2 thuộc K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) * Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số hàm số dựa định lí sau: Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng K (Kí hiệu K khoảng, đoạn nửa khoảng) a Nếu f '(x) > với ∀x∈ K hàm số f(x) đồng biến K b Nếu f '(x) < với ∀x∈ K hàm số f(x) nghịch biến K c Nếu f '(x) = với ∀x∈ K hàm số f(x) khơng đổi K Cực trị hàm số Quy tắc tìm điểm cực trị hàm số dựa hai định lớ sau: ỗ nh lớ 1: Gi s hm s y = f(x) liên tục khoảng K = (x0 − h; x0 + h) có đạo hàm K K \ { x0} , với h > a Nếu f '(x) > khoảng (x0 − h; x0) f '(x) < khoảng (x0; x0 + h) x0 điểm cực đại hàm số f(x) b Nếu f '(x) < khoảng (x0 − h; x0) f '(x) > khoảng (x0; x0 + h) x0 điểm cực tiểu hàm số f(x) ç Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai khoảng (x0 − h; x0 + h) , với h > Khi đó: a Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) > x0 điểm cực tiểu b Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) < x0 điểm cực đại Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số miền D:  f(x) ≥ m , ∀x∈ D  f(x) ≤ M , ∀x∈ D f ( x ) ⇔ , M = max D ∃x0 ∈ D : f(x0 ) = m ∃x0 ∈ D : f(x0 ) = M m= f(x) ⇔  D Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = f(x): ç Tiếp tuyến điểm M0(x0;y0) ∈ (C) có phương trỡnh: y = f '(x0).(x - x0) + y0 ỗ Tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k, qua điểm M1(x1;y1) có phương trình: y = k.(x - x1) + y1 Trong hệ số góc k thỏa mãn hệ:  f(x) = k(x − x1) + y1   f '(x) = k Quy tắc tính đạo hàm hàm hợp 2.2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SKKN Học sinh thường mắc sai lầm sau giải toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số: Sai lầm toán xét tính đơn điệu hàm số, khơng nắm vững định nghĩa tính đơn điệu hàm số , điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng (a;b) hay không ý tới điểm tới hạn hàm số Sai lầm toán chứng minh bất đẳng thức, khơng nhớ xác tính đơn điệu hàm số để vận dụng vận dụng sai tính chất hàm đồng biến, nghịch biến Sai lầm việc giải toán liên quan tới đạo hàm, vận dụng sai công thức tính đạo hàm hàm hợp Sai lầm việc giải toán liên quan tới cực trị hàm số, vận dụng sai điều kiện để hàm số có cực trị Sai lầm việc giải tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số miền D, chuyển đổi tốn khơng tương đương Sai lầm việc giải tốn viết phương trình tiếp tuyến qua điểm M1(x1;y1) thuộc đồ thị (C) hàm số; toán liên quan đến số tiếp tuyến đồ thị 2.3 CÁC GIẢI PHÁP Đà SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.3.1.CÁC GIẢI PHÁP CHUNG Phân tích, mổ xẻ khái niệm, định nghĩa, định lí ,đưa ví dụ, phản ví dụ minh họa để học sinh nắm chất khái niệm, định nghĩa, định lí đó.Qua giúp học sinh: - Nắm vững định nghĩa tính đơn điệu hàm số khoảng, hiểu xác định nghĩa điểm tới hạn hàm số - Nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng - Nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị điểm x0 - Nắm vững định nghĩa giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số miền D - Nắm vững chất khác tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị với tiếp tuyến kẻ từ điểm đến đồ thị hàm số cho Như học sinh tránh sai sót giải toán liên quan 2.3.2 NỘI DUNG THỰC HIỆN CỤ THỂ 2.3.3 Phân tích sai lầm cách khắc phục thơng qua số ví dụ minh họa Sai lầm xét tính đơn điệu hàm số Ø Các em thường mắc phải sai lầm khơng nắm vững định nghĩa tính đơn điệu hàm số Ví dụ minh họa 1: Xét tính đơn điệu hàm số: y = x−2 x +1 Tập xác định: D=R \ { − 1} Một số học sinh trình bày sau: Ta có: y ′ = ( x + 1) > 0∀x ∈ D Bảng biến thiên: x y' y -∞ +∞ -1 + + +∞ - ∞ Vậy hàm số đồng biến (−∞ ;−1) ∪ (−1;+∞) Phân tích: Lời giải rồi, ta không ý đến kết luận toán ! Chú ý rằng: hàm số y = f(x) đồng biến tập D với x1, x2 thuộc D, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) Trong kết luận toán, ta lấy x1 = - ∈ D x2 = 0∈ D x1 < x2 f(x1) = > - = f(x2) ??? Lời giải : Chỉ cần thay kết luận lời giải thành: Vậy hàm số đồng biến khoảng (−∞ ;−1) (−1;+∞) Ø Khi sử dụng Định lí I để xét tính đơn điệu hàm số em quên điều kiện đủ khơng phải điều kiện cần Quy tắc: Ÿ y ′ > 0∀x ∈ (a; b) ⇒ hàm số đồng biến khoảng (a;b) Ÿ y ′ < 0∀x ∈ (a; b) ⇒ hàm số nghịch biến khoảng (a;b) Điều ngược lại nói chung khơng (!) Ví dụ minh họa 2: Tìm m để hàm số y= x + mx + x đồng biến R Một số học sinh trình bày sau: Tập xác định :R y ′ = x + 2mx + Hàm số đồng biến R y ′ > 0∀x ∈ R ⇒ ∆ ′ < ⇔ m − < ⇔ −1 < m < Phân tích: Chẳng hạn, hàm số y = x3 đồng biến R, y ′ = 3x ≥ 0∀x ∈ R dấu "=" xảy x= (!) Nhớ rằng: hàm số y = f(x) xác định khoảng (a;b), f ′( x) ≥ 0∀x ∈ (a; b) dấu "=" xảy hữu hạn điểm thuộc khoảng (a;b) hàm số y = f(x) đồng biến khoảng (a;b) Sai lầm không xét trường hợp y ′ = ,dấu xảy hữu hạn điểm Lời giải là: Tập xác định :R y ′ = x + 2mx + Hàm số nghịch biến R y ′ ≥ 0∀x ∈ R (dấu xảy hữu hạn điểm) ⇒ ∆ ′ ≤ ⇔ m − ≤ ⇔ −1 ≤ m ≤ Vậy m ∈ [ − 1;1] Ø Nhiều em không ý đến mở rộng định lí điều kiện đủ tính đơn điệu hàm số, dẫn đến giải sai tốn tốn tìm tham số để hàm số đơn điệu miền Ví dụ minh họa 3:Tìm m để hàm số y = x+m đồng biến khoảng xác x định Một số học sinh trình bày sau: Tập xác định :R\ { 0} y′ = −m x2 Hàm số đồng biến khoảng xác định y ′ ≥ 0∀x ∈ (−∞ ;0) ∪ (0;+∞) ⇒ − m ≥ ⇒ m ≤ Phân tích:Với m=0 dễ dàng thấy y=1 hàm không đổi sai lầm đâu? Sai lầm trường hợp y ′ = dấu xảy điểm x ∈ (−∞ ;0) ∪ (0;+∞) Tập xác định :R\ { 0} Lời giải là: y′ = −m x2 Hàm số đồng biến khoảng xác định y ′ ≥ 0∀x ∈ (−∞ ;0) ∪ (0;+∞) (dấu xảy hữu hạn điểm) ⇒ − m ≥ ⇒ m ≤ Khi m=0 y ′ = điểm x ∈ (−∞ ;0) ∪ (0;+∞) nên m=0 không thỏa mãn Vậy m − < m < ⇔ ⇔2≤m nên ta có bảng biến thiên sau: -2 x y' 2 + - 2- y -3 Suy ra: hàm số đồng biến khoảng (- 2; 2) nghịch biến khoảng ( 2; 2) Sai lầm chứng minh bất đẳng thức Ø Khi sử dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh thường mắc phải sai lầm không nhớ xác định nghĩa tính đơn điệu hàm số để vận dụng Ví dụ minh họa 6: (Bài tập 5, trang 10, sách giáo khoa giải tích 12 - ban bản) π Chứng minh rằng: tanx > x, với x ∈ (0; ) Một số học sinh trình bày sau: π Xét hàm số f(x) = tanx - x, với x ∈ (0; ) có f '(x) = π − > 0∀x ∈ (0; ) , 2 cos x π suy hàm số f(x) đồng biến khoảng x ∈ (0; ) π Từ x > ⇒ f(x) > f(0) ⇒ tanx - x > tan0 - hay tanx > x, với x ∈ (0; ) 10 Phân tích: Lời giải đúng, sai lầm tinh vi (?!) Sau π kết luận f(x) đồng biến khoảng x ∈ (0; ) từ x > ⇒ f(x) > f(0) ??? π Sai lầm ∉ (0; ) Nhớ rằng: f(x) đồng biến đoạn [a; b ] (tức f(x) liên tục [a; b ] f '(x)> với x ∈ (a; b) ) với x1 ; x ∈ [ a; b], x1 < x ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) Lời giải là: π   Xét hàm số f(x) = tanx - x, với x ∈ 0;   2  π π Hàm số f(x) liên tục nửa khoảng 0;  f '(x) = − > 0∀x ∈ (0; ) , cos x  2  π suy hàm số f(x) đồng biến nửa khoảng 0;   2 π Từ x > ⇒ f(x) > f(0) ⇒ tanx - x > tan0 - hay tanx > x, với x ∈ (0; ) Sai lầm giải toán liên quan tới đạo hàm hàm hợp Ø Sai lầm vận dụng cơng thức tính đạo hàm hàm hợp: Ví dụ minh họa 8: Tìm m để hàm số: y= − cos x + m π đồng biến (0; ) cos x + m Học sinh Sơn lên bảng trình bày sau: π Đặt u=cosx Với x ∈ (0; ) ⇒ u ∈ (0;1) y′ = − 2m (u + m) Ta có y= −u +m u+m π ( u ≠ −m ) Hàm số cho đồng biến (0; ) hàm số y= −u +m u+m đồng biến (0;1) ⇒ y ′ ≥ 0∀x ∈ (0,1) ⇒ −2m ≥ ⇒ m ≤ Với m=0 y=-1 hàm nên m=0 không thỏa mãn π Vậy m0 với x thuộc π ( 0; ) suy 2 m > − m ∉ (0;1)  m > ⇔ ⇔m>0  m ≤ −1 ∪ m ≥ Vậy m>0 thỏa mãn tốn Phân tích: Đáp số khác hẳn nhau.Vậy cách giải đúng,cách sai sai chỗ nào??? Ở cách giải em Sơn, ta thấy học sinh nhầm lẫn hàm số cho với hàm số sau đặt ẩn phụ(thực chất hàm hợp qua hàm trung gian u=cosx),dẫn đến tính đạo hàm theo biến u lại sử dụng đạo hàm theo biến x Từ sửa cách giải em Sơn sau π Đặt u=cosx Với x ∈ (0; ) ⇒ u ∈ (0;1) Ta có y u = −u +m u+m ( u ≠ −m ) π Hàm số cho đồng biến (0; ) hàm số phải xác định với x thuộc ( π π 0; ) y ′x ≥ 0∀x ∈ (0; ) ( dấu xảy hữu hạn điểm) 2 Suy y ′x = y u′ u ′x = y u′ (− sin x ) ≥ y u′ ≤ 0∀u ∈ (0;1) Từ ta có y u′ = - m ≠ u∀u ∈ (0;1) Vì sinx>0 π với x thuộc ( 0; ) nên − 2m ≤ ( dấu xảy hữu hạn điểm) (u + m ) m > ⇒ ⇔m>0 − m ∉ (0;1) Vậy m>0 thỏa mãn tốn 12 Bình luận:Cách giải em Trang hồn tồn vận dụng xác định lí tính đơn điệu hàm số Và tốn cá nhân tơi thấy cách em Trang có phần hay Sai lầm giải toán liên quan tới cực trị hàm số Ø Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị hàm số em thường quên điều kiện đủ điều kiện cần Quy tắc:  f ′( x ) = ⇒ x0 điểm cực tiểu Ÿ  f ′′( x ) >  f ′( x ) = ⇒ x0 điểm cực đại Ÿ  f ′′( x ) < Điều ngược lại nói chung khơng (!) Ví dụ minh họa 9: Cho hàm số y = f(x) = x + mx3+ Tìm tất giá trị tham số m để hàm số đạt cực tiểu x = ? Một số học sinh trình bày sau: f '(x) = 4x3 + 3mx2 , f ''(x) = 12x2 + 6mx 4.0 + 3m.0 =  f ′(0) = ⇔ Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu x = là:  ′′  12m.0 + 6m.0 >  f (0) > Hệ vô nghiệm m Vậy không tồn giá trị m để hàm số đạt cực tiểu x = Phân tích: Ta thấy, với m = 0, hàm số y = x4 + có y ' = 4x3 y ' = ⇔ x = Bảng biến thiên: x y' y -∞ +∞ - 0 +∞ + +∞ Suy hàm số đạt cực tiểu x = (!) Vậy lời giải sai đâu ??? 13  f ′( x ) = 0 ⇒ x0 Nhớ rằng, để áp dụng định lí II f ′′( x0 ) ≠ Nếu x0 thỏa mãn  ′′  f ( x0 ) < điểm cực đại hàm số, điều ngược lại chưa (!) Lời giải là: xét trường hợp (m = 0, m > 0, m < 0) v m = 0: Ta có y = x4 + có y ' = 4x3 , y ' = ⇔ x = Bảng biến thiên: -∞ x y' - +∞ y 0 +∞ + +∞ Suy hàm số đạt cực tiểu x = nên m=0 thỏa mãn 3m v m > 0: Ta có y ' = x 2(4x + 3m) , y ' = Û x = x = Lập bảng biến thiên ta thấy y ' không đổi dấu qua x = (nghiệm bội bậc chẵn) Do hàm số khơng có cực trị x = v m < 0: Ta có y ' = x2(4x + 3m), y ' = ⇔ x = x = - 3m Lập bảng biến thiên ta thấy y ' không đổi dấu qua x = (nghiệm bội bậc chẵn) Do hàm số khơng có cực trị x = Kết luận: với m = hàm số cho đạt cực tiểu x = Sai lầm giải tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số Ø Các em thường mắc sai lầm không nắm vững định nghĩa giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) hàm số miền D Ví dụ minh họa 10: Tìm giá trị nhỏ hàm số y = f(x) = cos x + 1 + 2(cos x + ) −1 cos x cos x Một số học sinh trình bày sau: Đặt t = cosx + 1 ⇒ cos x + = t2 - cosx cos x Ta hàm số: g(t) = t2 + 2t - = (t+1)2 - ≥ −4∀t 14 Vậy f (x) =- , t = - Phân tích: Sai lầm chuyển tốn khơng tương đương Giá trị nhỏ hàm f(x) không trùng với giá trị nhỏ hàm g(t), ∀t ∈ R Có thể thấy t = - không tồn giá trị x để cosx + = - (!) cosx  f(x) ≥ m , ∀x∈ D ∃x0 ∈ D : f(x0 ) = m in f(x) ⇔  Nhớ rằng, số m= mD Lời giải là: Đặt t = cosx + π , với x ≠ + kπ cosx ⇒ t = cos x + ≥ Dấu "=" xảy cos x cosx = Khi đó: cos x + = t2 - cos x Ta hàm số: g(t) = t2 + 2t - Lập bảng biến thiên hàm số g(t) (với t ≥ ): t -∞ g '(t) +∞ g(t) - -2 - -1 + +∞ + +∞ -3 g(t) = - f(x) = Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra: m= t≥2 D đạt t = - ⇒ cos x + = −2 ⇒ cos x = −1 ⇒ x = π + k 2π cos x Sai lầm giải toán tiếp tuyến đồ thị hàm số Ø Các em thường mắc sai lầm viết phương trình tiếp tuyến qua điểm nằm đồ thị Ví dụ minh họa 11: Cho hàm số y = f(x) = - x3 + 3x2, có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(-1;4) Một số học sinh trình bày sau: f '(x) = - 3x2 + 6x Ta có điểm A(-1;4) thuộc đồ thị (C) ,suy phương trình tiếp tuyến là: y = f '(-1).(x+1)+4 15 ⇔ y = −9( x + 1) + ⇔ y = −9 x − Phân tích: Phương trình tiếp tuyến y =- 9x - tiếp tuyến A (nhận A làm tiếp điểm)tất nhiên kẻ từ A Nhưng có tiếp tuyến đồ thị (C) qua A mà không nhận A làm tiếp điểm Lời giải là: Phương trình đường thẳng (d) qua điểm A(-1;4) có hệ số góc k là: y = k(x + 1) + Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp tuyến đồ thị (C) hệ sau có nghiệm: − x + x = k  (I) − x + 3x = k ( x + 1) + − x + x = k  x =  x = −1 ⇔ ⇔ ∪ Hệ (I)   x − x − = k = k = −9 Từ ta có hai tiếp tuyến có phương trình: y=4 y=-9x-5 Ø Các em cịn mắc sai lầm giải số toán số tiếp tuyến với đồ thị ,cho số tiếp điểm số tiếp tuyến Ví dụ minh họa 12: Cho hàm số y= x − x − Có tiếp tuyến với đồ thị kẻ từ A(0;-2) Một số học sinh trình bày sau: Phương trình đường thẳng (d) qua điểm A(0;-2) có hệ số góc k là: y = kx - Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp tuyến đồ thị (C) hệ sau có nghiệm:  x − x − = kx −  4 x − x = k Dùng phép ta có : x − x − = (4 x − x) x − ⇔ x = −1 ∪ x = Vậy có tiếp tuyến kẻ từ A 16 Phân tích: học sinh giải nghiệm x thay vào tìm giá trị k=0 nên thực chất có tiếp tuyến Đây tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị điểm cực tiểu đồ thị Lời giải là: Phương trình đường thẳng (d) qua điểm A(0;-2) có hệ số góc k là: y = kx - Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp tuyến đồ thị (C) hệ sau có nghiệm:  x − x − = kx −  4 x − x = k Dùng phép ta có : x − x − = (4 x − x) x − ⇔ x = −1 ∪ x = Với x=-1 ⇒ k = Với x=1 ⇒ k = Vậy có tiếp tuyến qua A(0;-2) Bình luận:Nếu khơng phân tích sai lầm học sinh mắc sai lầm toán chứa tham số mà khó để em biết sai chỗ Ví dụ minh họa 13:(ĐHY/D TPHCM) Cho hàm số y= x − x − có đồ thị (C ) Tìm trục tung điểm mà từ kẻ tiếp tuyến tới đồ thị Một số học sinh trình bày sau: Giả sử điểm A(0;b) thuộc Oy Phương trình đường thẳng (d) qua điểm A(0;b) có hệ số góc k là: y = kx +b Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp tuyến đồ thị (C) hệ sau có nghiệm:  x − x − = kx + b  4 x − x = k Dùng phương pháp ta có phương trình: x − x − = (4 x − x) x + b ⇔ 3x − x + b + = (1) Để có tiếp tuyến phương trình (1) có nghiệm phân biệt Đặt t = x (t ≥ 0) ta có 3t − 2t + b + = (2) 17 Phương trình (1) có nghiệm phân biệt phương trình (2) có nghiệm dương nghiệm Từ suy b=-1 điểm cần tìm A(0;-1) Phân tích: Lời giải đúng, sai lầm khó phát học sinh (?!) Vấn đề đặt là: phương trình (1) có nghiệm phân biệt thay vào thu giá trị k???hay(1) có nghiệm phân biệt thay vào thu giá trị k sao? Sai lầm lời giải khẳng định số nghiệm phương trình (1) bắng số tiếp tuyến, điều không khẳng định minh họa VD12 Lời giải là: Giả sử diểm A(0;b) thuộc Oy Phương trình đường thẳng (d) qua điểm A(0;b) có hệ số góc k là: y = kx +b Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp tuyến đồ thị (C) hệ sau có nghiệm:  x − x − = kx + b  4 x − x = k Vì đồ thị (C ) có trục đối xứng Oy nên để có tiếp tuyến với đồ thị điều kiện cần phải có tiếp tuyến nằm ngang(song song với Ox),nghĩa k=0 ⇒ x − x = ⇔ x = ∪ x = ±1 Mặt khác theo giả thiết,tiếp tuyến qua A(0,b),nên có x=0 thỏa mãn,suy b=-1  x − x − = kx − Thử lại : với b=-1 Giải hệ  4 x − x = k k = ∪ k = ± 3 nên qua A(0;-1) kẻ tiếp tuyến với đồ thị (C ) Vậy A(0;-1) thỏa mãn toán 2.3.2.Bài tập tương tự Bài tập 1: Xét tính đơn điệu hàm số sau: a y = x −1 2x + Bài tập 2: Tìm m để hàm số y = b y = cosx - sinx sin x + sin x + m π nghịch biến trên( 0; ) 18 Bài tập 3: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x - mx2 + x- đồng biến R: Bài tập 4: Xác định m để hàm số sau khơng có cực trị: y = x + 2mx - x- m Bài tập 5: Chứng minh bất đẳng thức sau: a sinx0 π b sinx+tanx>0 ∀x ∈ (0; ) Bài tập 6: Cho hàm số y = (x + 1) (2 - x) , có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến qua điểm M(2;0) Bài tập 7: (Đề 72 -BĐTS)Cho hàm số y= x − x + có đồ thị (C ) Tìm trục tung điểm mà từ kẻ tiếp tuyến tới đồ thị 2.4.HIỆU QUẢ CỦA SKKN: Trong năm học 2017-2018 ,tôi tiến hành thực nghiệm sáng kiến vào buổi sinh hoạt chuyên đề đồng nghiệp đánh giá tương đối tốt Liên tục năm học từ 2018-2019 đến 2019-2020 thực nghiệm với học sinh tiết dạy tự chọn Sau áp dụng đề tài vào giảng dạy số lớp thu kết tương đối khả quan Lớp12A2;và 12A1 năm học 2018-2019 Lớp12A8và 12A2 năm học 2019-2020 * Trước dạy sáng kiếm kinh nghiệm này, với tập kiểm tra sau: Bài 1: Cho hàm số y = f(x) = mx4 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số đạt cực đại x = ? Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau: y = cos3x - 6cos2x + 9cosx + Tỉ lệ học sinh giải 12-15% Tỉ lệ học sinh giải Tỉ lệ học sinh khơng làm 50-62% 23-38% *Sau áp dụng đề tài giảng dạy tập kết thay đổi rõ rệt sau: Tỉ lệ học sinh giải Tỉ lệ học sinh giải Tỉ lệ học sinh không làm 1bài 19 72-76% 90-96% 3-5% Như vậy, bước đầu đề tài khắc phục sai lầm học sinh thường mắc phải giải tập toán liên quan đến việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số, toán liên quan ; đề tài góp phần nâng cao chất lượng học tập học sinh đem lại hiệu rõ rệt KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ 3.1.Kết luận Như nói,chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số giải nhiều tốn liên quan Ngồi ra, đạo hàm cịn cơng cụ sắc bén để giải nhiều dạng tốn khác giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình hệ bất phương trình ; chứng minh bất đẳng thức… Tuy nhiên số tiết phân phối chương trình có hạn nên giáo viên nên dùng tiết tự chọn để hướng dẫn cho học sinh Với nội dung triển khai đề tài, học sinh có nhìn sâu sắc sai lầm thường mắc phải giải toán Đồng thời, qua sai lầm mà rút cho kinh nghiệm phương pháp giải tốn, quay trở lại để kiểm chứng lí thuyết trang bị để làm tốn 3.2.Kiến nghị Trong khn khổ SKKN này, tơi khơng có tham vọng phân tích hết lỗi sai học sinh Mặc dù đề tài nghiền ngẫm, đúc rút kinh nghiệm vận dụng giảng dạy nhiều năm, giúp điều bổ ích cho học sinh học tập tốt Tuy nhiên để đề tài hoàn chỉnh chắn cịn phải tiếp tục hồn thiện, bổ sung thêm Vậy tơi mong góp ý chân tình em học sinh bạn đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN Thanh Hóa, ngày 17 tháng 05 năm 2021 20 CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Hà Thị Nguyệt TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.SGK,SBT,SGV Giải tích nâng cao 12 2.SGK,SBT ,SGV Giải tích 12 3."Phương pháp giải tốn hàm số "-Lê Hồng Đức ,trường THKT in 2004 4."Khảo sát hàm số "-Trần Văn Hạo-NXBGD 2001 5."Tài liệu chuẩn kiến thức Toán 12"-Văn Như Cương -NXBGD 1994 6.Các đề thi học kì,thi chọn học sinh giỏi ,thi thử đại học trường THPT,của sở GD-ĐT nước Các đề thi Đại học Bộ giáo dục đào tạo 21 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: HÀ THỊ NGUYỆT Chức vụ đơn vị cơng tác: Giáo viên trường THPT Lê Hồn TT Tên đề tài SKKN Phương pháp thể tích giải số tốn hình học Kết Cấp đánh đánh giá Năm học giá xếp loại xếp loại đánh giá xếp (Phòng, Sở, (A, B, loại Tỉnh ) C) SỞ GD&ĐT C 2009-2010 Thanh hóa khơng gian 22 ... pháp hạn chế lỗi sai học chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số " 1.2 Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh hiểu chất vấn đề thơng qua việc phân tích lỗi sai ,ngun nhân dẫn đến lỗi sai, cách... liên quan đến đạo hàm ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số - chương I, giải tích lớp 12 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp điều tra - Phương pháp đối chứng - Phương pháp nghiên... làm sai mà sửa khơng có hướng dẫn thầy Nhằm giúp học sinh nắm vững kiến thức đạo hàm, tránh sai lầm có kỹ ứng dụng đạo hàm để giải toán liên quan đến khảo sát hàm số, chọn đề tài "Một số giải pháp